уравнение Паули

Квантово-механическое уравнение движения заряженных частиц в магнитном поле

В квантовой механике уравнение Паули или уравнение Шредингера-Паули представляет собой формулировку уравнения Шредингера для частиц со спином ½ , которая учитывает взаимодействие спина частицы с внешним электромагнитным полем . Это нерелятивистский предел уравнения Дирака , и его можно использовать там, где частицы движутся со скоростью, намного меньшей скорости света , так что релятивистскими эффектами можно пренебречь. Оно было сформулировано Вольфгангом Паули в 1927 году. ^[1] В линеаризованной форме оно известно как уравнение Леви-Леблона .

Уравнение

Для частицы массы и электрического заряда в электромагнитном поле , описываемом магнитным векторным потенциалом и электрическим скалярным потенциалом , уравнение Паули гласит: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \phi }$

Уравнение Паули (общее)

${\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }$

Вот операторы Паули , собранные для удобства в вектор, а – оператор импульса в позиционном представлении. Состояние системы (записанное в обозначениях Дирака ) можно рассматривать как двухкомпонентную спинорную волновую функцию или вектор-столбец (после выбора базиса): ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\psi _{+}|{\mathord {\uparrow }}\rangle +\psi _{-}|{\mathord {\downarrow }}\rangle \,{\stackrel {\cdot }{=}}\,{\begin{bmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{bmatrix}}}$.

Оператор Гамильтона представляет собой матрицу размера 2 × 2 из-за операторов Паули .

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} )\right]^{2}+q\phi }$

Подстановка в уравнение Шредингера дает уравнение Паули. Этот гамильтониан аналогичен классическому гамильтониану заряженной частицы, взаимодействующей с электромагнитным полем. Подробности этого классического случая см. в силе Лоренца . Член кинетической энергии для свободной частицы в отсутствие электромагнитного поля - это где - кинетический импульс , тогда как в присутствии электромагнитного поля он включает минимальную связь , где теперь - кинетический импульс и - канонический импульс . ${\displaystyle {\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } =\mathbf {p} -q\mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

Операторы Паули можно удалить из термина кинетической энергии, используя тождество вектора Паули :

${\displaystyle ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {a} )({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)}$

Обратите внимание, что в отличие от вектора дифференциальный оператор имеет ненулевое векторное произведение на самого себя. В этом можно убедиться, рассмотрев векторное произведение, примененное к скалярной функции : ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \left[\left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)\times \left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)\right]\psi =-q\left[\mathbf {\hat {p}} \times \left(\mathbf {A} \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\mathbf {\hat {p}} \psi \right)\right]=iq\hbar \left[\nabla \times \left(\mathbf {A} \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)\right]=iq\hbar \left[\psi \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)-\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)\right]=iq\hbar \mathbf {B} \psi }$

где магнитное поле. ${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$

Тогда для полного уравнения Паули получаем ^[2]

Уравнение Паули (стандартная форма)

${\displaystyle {\hat {H}}|\psi \rangle =\left[{\frac {1}{2m}}\left[\left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)^{2}-q\hbar {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \right]+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }$

для которых известны лишь несколько аналитических результатов, например, в контексте квантования Ландау с однородными магнитными полями или для идеализированного кулоновского неоднородного магнитного поля. ^[3]

Слабые магнитные поля

В случае, когда магнитное поле постоянно и однородно, можно расширить, используя симметричную калибровку , где – оператор положения , а A теперь является оператором. Мы получаем ${\textstyle (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} )^{2}}$ ${\textstyle \mathbf {\hat {A}} ={\frac {1}{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {\hat {r}} }$ ${\textstyle \mathbf {r} }$

${\displaystyle (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {\hat {A}} )^{2}=|\mathbf {\hat {p}} |^{2}-q(\mathbf {\hat {r}} \times \mathbf {\hat {p}} )\cdot \mathbf {B} +{\frac {1}{4}}q^{2}\left(|\mathbf {B} |^{2}|\mathbf {\hat {r}} |^{2}-|\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {r}} |^{2}\right)\approx \mathbf {\hat {p}} ^{2}-q\mathbf {\hat {L}} \cdot \mathbf {B} \,,}$

где – оператор углового момента частицы , и мы пренебрегли членами в квадрате магнитного поля . Таким образом, мы получаем ${\textstyle \mathbf {\hat {L}} }$ ${\textstyle B^{2}}$

Уравнение Паули (слабые магнитные поля)

${\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}\left[|\mathbf {\hat {p}} |^{2}-q(\mathbf {\hat {L}} +2\mathbf {\hat {S}} )\cdot \mathbf {B} \right]+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }$

где - спин частицы. Фактор 2 перед спином известен как g -фактор Дирака . Член в имеет форму, которая представляет собой обычное взаимодействие между магнитным моментом и магнитным полем, как в эффекте Зеемана . ${\textstyle \mathbf {S} =\hbar {\boldsymbol {\sigma }}/2}$ ${\textstyle \mathbf {B} }$ ${\textstyle -{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} }$ ${\textstyle {\boldsymbol {\mu }}}$

Для заряженного электрона в изотропном постоянном магнитном поле можно дополнительно сократить уравнение, используя полный угловой момент и теорему Вигнера-Экарта . Таким образом, мы находим ${\textstyle -e}$ ${\textstyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} }$

${\displaystyle \left[{\frac {|\mathbf {p} |^{2}}{2m}}+\mu _{\rm {B}}g_{J}m_{j}|\mathbf {B} |-e\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }$

где – магнетон Бора , – магнитное квантовое число , связанное с . Этот термин известен как g-фактор Ланде и здесь определяется выражением ${\textstyle \mu _{\rm {B}}={\frac {e\hbar }{2m}}}$ ${\textstyle m_{j}}$ ${\textstyle \mathbf {J} }$ ${\textstyle g_{J}}$

${\displaystyle g_{J}={\frac {3}{2}}+{\frac {{\frac {3}{4}}-\ell (\ell +1)}{2j(j+1)}},}$^[а]

где – орбитальное квантовое число , связанное с и – полное орбитальное квантовое число, связанное с . ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle J^{2}}$

Из уравнения Дирака

Уравнение Паули можно вывести из нерелятивистского предела уравнения Дирака , которое представляет собой релятивистское квантовое уравнение движения для частиц со спином ½. ^[4]

Вывод

Уравнение Дирака можно записать как:

$${\displaystyle i\hbar \,\partial _{t}{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}=c\,{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi _{2}\\{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi _{1}\end{pmatrix}}+q\,\phi \,{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}+mc^{2}\,{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\-\psi _{2}\end{pmatrix}},}$$

где и – двухкомпонентный спинор , образующий биспинор . ${\textstyle \partial _{t}={\frac {\partial }{\partial t}}}$ ${\displaystyle \psi _{1},\psi _{2}}$

Используя следующий анзац:

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}=e^{-i{\tfrac {mc^{2}t}{\hbar }}}{\begin{pmatrix}\psi \\\chi \end{pmatrix}},}$$

${\displaystyle \psi ,\chi }$

$${\displaystyle i\hbar \partial _{t}{\begin{pmatrix}\psi \\\chi \end{pmatrix}}=c\,{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\chi \\{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi \end{pmatrix}}+q\,\phi \,{\begin{pmatrix}\psi \\\chi \end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\-2\,mc^{2}\,\chi \end{pmatrix}}.}$$

В нерелятивистском пределе кинетическая и электростатическая энергии малы по отношению к энергии покоя , что приводит к уравнению Леви-Леблона . ^[5] Таким образом ${\displaystyle \partial _{t}\chi }$ ${\displaystyle mc^{2}}$

$${\displaystyle \chi \approx {\frac {{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi }{2\,mc}}\,.}$$

Подставив в верхнюю часть уравнения Дирака, находим уравнение Паули (общий вид):

$${\displaystyle i\hbar \,\partial _{t}\,\psi =\left[{\frac {({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }})^{2}}{2\,m}}+q\,\phi \right]\psi .}$$

Из преобразования Фолди – Ваутхейзена.

Строгий вывод уравнения Паули следует из уравнения Дирака во внешнем поле и выполнения преобразования Фолди–Ваутхойзена ^[4] с учетом членов до порядка . Точно так же могут быть определены поправки более высокого порядка к уравнению Паули, приводящие к появлению членов спин-орбитального и дарвиновского взаимодействия, вместо этого при расширении до порядка . ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1/mc)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1/(mc)^{2})}$

Муфта Паули

Уравнение Паули получено путем требования минимальной связи , что обеспечивает g -фактор g =2. Большинство элементарных частиц имеют аномальные g -факторы, отличные от 2. В области релятивистской квантовой теории поля определяют неминимальную связь, иногда называемую связью Паули, чтобы добавить аномальный фактор.

${\displaystyle \gamma ^{\mu }p_{\mu }\to \gamma ^{\mu }p_{\mu }-q\gamma ^{\mu }A_{\mu }+a\sigma _{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$

где – оператор четырехимпульса , – электромагнитный четырехпотенциал , – пропорционален аномальному магнитному дипольному моменту , – электромагнитный тензор , – лоренцевы спиновые матрицы и коммутатор гамма- матриц . ^{[7] [8]} В контексте нерелятивистской квантовой механики вместо работы с уравнением Шредингера связь Паули эквивалентна использованию уравнения Паули (или постулированию энергии Зеемана ) для произвольного g -фактора. ${\displaystyle p_{\mu }}$ ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }}$ ${\textstyle \sigma _{\mu \nu }={\frac {i}{2}}[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]}$ ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$

Смотрите также

• Полуклассическая физика
• Атомная, молекулярная и оптическая физика
• Групповое сокращение
• Разложение Гордона

Сноски

1. Используемая здесь формула предназначена для частицы со спином ½, с g -фактором и орбитальным g -фактором . В более общем смысле это определяется как: где спиновое квантовое число связано с . ${\textstyle g_{S}=2}$ ${\textstyle g_{L}=1}$ ${\displaystyle g_{J}={\frac {3}{2}}+{\frac {m_{s}(m_{s}+1)-\ell (\ell +1)}{2j(j+1)}}.}$ ${\displaystyle m_{s}}$ ${\displaystyle {\hat {S}}}$

Рекомендации

1. Паули, Вольфганг (1927). «Квантовая механика магнитных электронов». Zeitschrift für Physik (на немецком языке). 43 (9–10): 601–623. Бибкод : 1927ZPhy...43..601P. дои : 10.1007/BF01397326. ISSN  0044-3328. S2CID  128228729.
2. Брансден, Британская Колумбия; Хоахейн, CJ (1983). Физика атомов и молекул (1-е изд.). Прентис Холл. стр. 638–638. ISBN 0-582-44401-2.
3. Сидлер, Доминик; Рокай, Василь; Руггенталер, Майкл; Рубио, Ангел (26 октября 2022 г.). «Класс искаженных уровней Ландау и фаз Холла в двумерном электронном газе в неоднородном магнитном поле». Обзор физических исследований . 4 (4): 043059. Бибкод : 2022PhRvR...4d3059S. doi : 10.1103/PhysRevResearch.4.043059. hdl : 10810/58724 . ISSN  2643-1564. S2CID  253175195.
4. Грейнер, Уолтер (6 декабря 2012 г.). Релятивистская квантовая механика: волновые уравнения. Спрингер. ISBN 978-3-642-88082-7.
5. Грейнер, Уолтер (4 октября 2000 г.). Квантовая механика: Введение. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-67458-0.
6. Фрелих, Юрг; Студер, Урбан М. (1 июля 1993 г.). «Калибровочная инвариантность и алгебра токов в нерелятивистской теории многих тел». Обзоры современной физики . 65 (3): 733–802. Бибкод : 1993RvMP...65..733F. doi : 10.1103/RevModPhys.65.733. ISSN  0034-6861.
7. Дас, Ашок (2008). Лекции по квантовой теории поля. Всемирная научная. ISBN 978-981-283-287-0.
8. Барут, АО; Макьюэн, Дж. (январь 1986 г.). «Четыре состояния безмассового нейтрино со связью Паули благодаря спин-калибровочной инвариантности». Письма по математической физике . 11 (1): 67–72. Бибкод : 1986LMaPh..11...67B. дои : 10.1007/BF00417466. ISSN  0377-9017. S2CID  120901078.

Книги

• Швабль, Франц (2004). Квантенмеханик И. Спрингер. ISBN 978-3540431060.
• Швабль, Франц (2005). Квантенмеханика для Fortgeschritten . Спрингер. ISBN 978-3540259046.
• Клод Коэн-Таннуджи; Бернар Диу; Фрэнк Лало (2006). Квантовая механика 2 . Уайли, Дж. ISBN 978-0471569527.