Уравнение Майораны

Релятивистское волновое описание фермионов

В физике уравнение Майораны представляет собой релятивистское волновое уравнение . Оно названо в честь итальянского физика Этторе Майорана , который предложил его в 1937 году как средство описания фермионов , которые сами по себе являются античастицами . ^[1] Частицы, соответствующие этому уравнению, называются частицами Майораны , хотя теперь этот термин имеет более широкое значение, относясь к любой (возможно, нерелятивистской) фермионной частице, которая является своей собственной античастицей (и, следовательно, электрически нейтральна).

Были предположения, что массивные нейтрино описываются майорановскими частицами; существуют различные расширения Стандартной модели , которые позволяют это сделать. В статье о майорановских частицах представлено состояние экспериментальных поисков, включая подробности о нейтрино. В данной статье основное внимание уделяется математическому развитию теории с вниманием к ее дискретной и непрерывной симметрии . Дискретными симметриями являются зарядовое сопряжение , преобразование четности и обращение времени ; непрерывная симметрия является лоренц-инвариантностью .

Зарядовое сопряжение играет огромную роль, поскольку это ключевая симметрия, которая позволяет описывать майорановские частицы как электрически нейтральные. Особенно примечательным аспектом является то, что электрическая нейтральность позволяет свободно выбирать несколько глобальных фаз, по одной для левого и правого киральных полей. Это означает, что без явных ограничений на эти фазы поля Майораны естественным образом нарушают CP . Другой аспект электронейтральности заключается в том, что левому и правому киральным полям можно придать разные массы. То есть электрический заряд — это лоренц-инвариант , а также константа движения ; тогда как киральность является инвариантом Лоренца, но не является константой движения для массивных полей. Таким образом, электрически нейтральные поля менее ограничены, чем заряженные поля. При зарядовом сопряжении две свободные глобальные фазы появляются в массовых терминах (поскольку они лоренц-инвариантны), и поэтому майорановская масса описывается комплексной матрицей, а не одним числом. Короче говоря, дискретные симметрии уравнения Майораны значительно сложнее, чем симметрии уравнения Дирака , где симметрия электрического заряда ограничивает и устраняет эти свободы. ${\displaystyle U(1)}$

Определение

Уравнение Майораны можно записать в нескольких различных формах:

• Поскольку уравнение Дирака записано так, что оператор Дирака является чисто эрмитовым, что дает чисто вещественные решения.
• Как оператор, связывающий четырехкомпонентный спинор с его зарядовым сопряжением .
• Как дифференциальное уравнение 2 × 2, действующее на комплексный двухкомпонентный спинор, напоминающее уравнение Вейля с правильно лоренц-ковариантным массовым членом. ^{[2] [3] [4] [5]}

Эти три формы эквивалентны и могут быть получены одна из другой. Каждый из них предлагает немного разное понимание природы уравнения. Первая форма подчеркивает, что можно найти чисто реальные решения. Вторая форма уточняет роль зарядового сопряжения . Третья форма обеспечивает наиболее непосредственную связь с теорией представлений группы Лоренца .

Чисто вещественная четырехкомпонентная форма

Обычной отправной точкой является утверждение, что « уравнение Дирака может быть записано в эрмитовой форме », когда гамма-матрицы берутся в представлении Майорана . Тогда уравнение Дирака запишется в виде ^[6]

${\displaystyle \left(\,-i\,{\frac {\partial }{\partial t}}-i\,{\hat {\alpha }}\cdot \nabla +\beta \,m\,\right)\,\psi =0}$

будучи чисто действительными симметричными матрицами 4×4 и чисто мнимыми кососимметричными; как требуется, чтобы гарантировать, что оператор (часть в скобках) является эрмитовым. В этом случае могут быть найдены чисто вещественные 4-спинорные решения уравнения; это майорановские спиноры . ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$ ${\displaystyle \beta }$

Зарядово-сопряженная четырехкомпонентная форма

Уравнение Майораны:

${\displaystyle i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi -m\,\psi _{c}=0~}$

с оператором производной , записанным в косой черте Фейнмана и включающим гамма-матрицы , а также суммирование по спинорным компонентам. Спинор является зарядовым сопряжением По построению зарядовые сопряжения обязательно имеют вид ${\displaystyle {\partial \!\!\!{\big /}}}$ ${\textstyle \,\psi _{c}\,}$ ${\textstyle \,\psi \,.}$

${\displaystyle \psi _{c}=\eta _{c}\,C\,{\overline {\psi }}^{\mathsf {T}}~}$

где обозначает транспонирование , — произвольный фазовый коэффициент, обычно принимаемый за и — матрица 4×4, матрица зарядового сопряжения . Матричное представление зависит от выбора представления гамма-матрицы . Условно сопряженный спинор записывается как ${\displaystyle \,(\cdot )^{\mathsf {T}}\,}$ ${\displaystyle \,\eta _{c}\,}$ ${\displaystyle \,|\eta _{c}|=1\,,}$ ${\displaystyle \,\eta _{c}=1\,,}$ ${\displaystyle \,C\,}$ ${\displaystyle \,C\,}$

${\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\,\gamma ^{0}~.}$

Из матрицы зарядового сопряжения следует ряд алгебраических тождеств ^[а]. Утверждают, что в любом представлении гамма -матрицы , включая представления Дирака, Вейля и Майораны, и так можно записать ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle \,C\,\gamma _{\mu }=-\gamma _{\mu }^{\mathsf {T}}\,C\,}$

${\displaystyle \psi _{c}=-\eta _{c}\,\gamma ^{0}\,C\,\psi ^{*}~}$

где – комплексно-сопряженная форма. Матрица зарядового сопряжения также обладает тем свойством, что ${\displaystyle \,\psi ^{*}\,}$ ${\displaystyle \,\psi \,.}$ ${\displaystyle \,C\,}$

${\displaystyle C^{-1}=C^{\dagger }=C^{\mathsf {T}}=-C}$

во всех представлениях (Дираковское, хиральное, Майорановское). Из этого и изрядного количества алгебры можно получить эквивалентное уравнение:

${\displaystyle i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi _{c}-m\,\psi =0}$

Доказательство

Эта форма не совсем очевидна и поэтому заслуживает доказательства. Начиная с

${\displaystyle -i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi +m\,\psi _{c}=0}$

Расширять : ${\displaystyle \,\psi _{c}=C\,{\overline {\psi }}^{\mathsf {T}}\,}$

${\displaystyle -i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi +m\,C\,{\overline {\psi }}^{\mathsf {T}}=0}$

Умножить на использование : ${\displaystyle \,C\,}$ ${\displaystyle \,C^{2}=-1\,}$

${\displaystyle -i\,C\,{\partial \!\!\!{\big /}}C^{-1}\,C\,\psi -m\,{\overline {\psi }}^{\mathsf {T}}=0}$

Зарядовое сопряжение транспонирует гамма-матрицы:

${\displaystyle +i\,{\partial \!\!\!{\big /}}^{\mathsf {T}}\,C\,\psi -m\,\left(\gamma ^{0}\right)^{\mathsf {T}}\,\psi ^{*}=0}$

Возьмем комплексное сопряжение:

${\displaystyle -i\,{\partial \!\!\!{\big /}}^{\dagger }C^{*}\,\psi ^{*}-m\,\left(\gamma ^{0}\right)^{\dagger }\,\psi =0}$

Матрица эрмитова во всех трёх представлениях (Дирака, киральное, Майорановское): ${\displaystyle \,\gamma ^{0}\,}$ ${\displaystyle \,\left(\gamma ^{0}\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}\,}$

${\displaystyle -i\,{\partial \!\!\!{\big /}}^{\dagger }C^{*}\,\psi ^{*}-m\,\gamma ^{0}\,\psi =0}$

Это также инволюция , принимающая эрмитово сопряжение : ${\displaystyle \,\gamma ^{0}\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{0}=\left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dagger }}$

${\displaystyle -i\,\gamma ^{0}\,{\partial \!\!\!{\big /}}\gamma ^{0}\,C^{*}\,\psi ^{*}-m\,\gamma ^{0}\,\psi =0}$

Умножьте на , обратите на это внимание и используйте : ${\displaystyle \,\gamma ^{0}\,}$ ${\displaystyle \,\left(\gamma ^{0}\right)^{2}=I\,}$ ${\displaystyle \,C^{*}=C\,}$

${\displaystyle -i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\gamma ^{0}\,C\,\psi ^{*}-m\,\psi =0}$

Вышеприведенное является всего лишь определением сопряженного, поэтому заключите, что

${\displaystyle i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi _{c}-m\,\psi =0}$

Подробное обсуждение физической интерпретации матрицы как зарядового сопряжения можно найти в статье о зарядовом сопряжении . Короче говоря, он участвует в сопоставлении частиц с их античастицами , что включает, среди прочего, изменение электрического заряда . Хотя он определяется как «зарядовое сопряжение», оператор зарядового сопряжения имеет не одно, а два собственных значения. Это позволяет определить второй спинор, спинор ELKO. Более подробно это обсуждается ниже. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \psi ^{c}}$ ${\displaystyle \psi ,}$

Сложная двухкомпонентная форма

Оператор Майораны определяется как ${\displaystyle \,\mathrm {D} _{\text{L}}\,,}$

${\displaystyle \mathrm {D} _{\text{L}}\equiv i\,{\overline {\sigma }}^{\mu }\,\partial _{\mu }+\eta \,m\,\omega \,K}$

где

${\displaystyle {\overline {\sigma }}^{\mu }={\begin{bmatrix}\sigma ^{0}&-\sigma ^{1}&-\sigma ^{2}&-\sigma ^{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{2}&-\sigma _{\text{x}}&-\sigma _{\text{y}}&-\sigma _{\text{z}}\end{bmatrix}}}$

— вектор , компонентами которого являются единичная матрица 2×2 для и (минус) матрицы Паули для . — произвольный фазовый коэффициент, обычно принимаемый равным единице. — матрица 2×2, которую можно интерпретировать как симплектическую форму для симплектическая группа , являющаяся двойным накрытием группы Лоренца . Это ${\displaystyle \,I_{2}\,}$ ${\displaystyle \,\mu =0\,}$ ${\displaystyle \,\mu \in \{1,\,2,\,3\}\,.}$ ${\displaystyle \,\eta \,}$ ${\displaystyle \,|\eta |=1\,,}$ ${\displaystyle \,\eta =1\,.}$ ${\displaystyle \,\omega \,}$ ${\displaystyle \,\operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} )\,,}$

${\displaystyle \omega =i\,\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}~,}$

которая оказывается изоморфной мнимой единице " i " (т.е. и for ) с транспонированием матрицы, являющимся аналогом комплексного сопряжения . ${\displaystyle \omega ^{2}=-I\,}$ ${\displaystyle \,a\,I+b\,\omega \cong a+b\,i\in \mathbb {C} \,}$ ${\displaystyle \,a,b\in \mathbb {R} }$

Наконец, это краткое напоминание о необходимости использования комплексного сопряжения. Тогда уравнение Майораны для левого комплекснозначного двухкомпонентного спинора имеет вид ${\displaystyle \,K\,}$ ${\displaystyle \,\psi _{\text{L}}\,}$

${\displaystyle \mathrm {D} _{\text{L}}\psi _{\text{L}}=0}$

или, что то же самое,

${\displaystyle i\,{\overline {\sigma }}^{\mu }\,\partial _{\mu }\psi _{\text{L}}(x)+\eta \,m\,\omega \,\psi _{\text{L}}^{*}(x)=0}$

с комплексно - сопряженным индексом L в этом разделе используется для обозначения левого кирального спинора; при преобразовании четности это можно преобразовать в правый спинор, и поэтому уравнение также имеет правую форму. Это относится и к четырехкомпонентному уравнению; Более подробная информация представлена ​​ниже. ${\displaystyle \,\psi _{\text{L}}^{*}(x)\,}$ ${\displaystyle \,\psi _{\text{L}}(x)\,.}$

Ключевые идеи

Здесь суммированы некоторые свойства уравнения Майораны, его решения и лагранжевой формулировки.

• Уравнение Майораны похоже на уравнение Дирака в том смысле , что оно включает четырехкомпонентные спиноры, гамма-матрицы и массовые члены, но включает зарядовое сопряжение  спинора . Напротив, уравнение Вейля относится к двухкомпонентному спинору без массы. ${\textstyle \psi _{c}}$  ${\textstyle \psi }$
• Решения уравнения Майораны можно интерпретировать как электрически нейтральные частицы, являющиеся своими собственными античастицами. По соглашению оператор сопряжения заряда переводит частицы в их античастицы, и поэтому спинор Майораны условно определяется как решение , где спинор Майораны является «собственной античастицей». Поскольку зарядовое сопряжение переводит электрически заряженную частицу в ее античастицу с противоположным зарядом, следует заключить, что майорановский спинор электрически нейтрален. ${\displaystyle \psi =\psi _{c}.}$
• Уравнение Майораны является лоренц-ковариантным , и из его спиноров можно построить множество скаляров Лоренца. Это позволяет построить несколько различных лагранжианов для полей Майораны.
• Когда лагранжиан выражается через двухкомпонентные левый и правый киральные спиноры, он может содержать три различных массовых члена: левый и правый массовые члены Майораны и массовый член Дирака. Физически они проявляются как две отдельные массы; это ключевая идея механизма качелей для описания нейтрино малой массы с левой связью со Стандартной моделью, где правая компонента соответствует стерильному нейтрино с массами в масштабе Великого Объединения .
• Дискретные симметрии C- , P- и T- сопряжения тесно контролируются свободно выбранным фазовым коэффициентом оператора зарядового сопряжения . Это проявляется в виде отдельных сложных фаз в массовом отношении. Это позволяет записывать как CP-симметричные, так и CP-нарушающие лагранжианы.
• Поля Майораны CPT-инвариантны , но эта инвариантность в некотором смысле «более свободна», чем для заряженных частиц. Это связано с тем, что заряд обязательно является лоренц-инвариантным свойством и, таким образом, ограничен для заряженных полей. Нейтральные поля Майораны не ограничены таким образом и могут смешиваться.

Двухкомпонентное уравнение Майораны

Уравнение Майораны можно записать как в терминах вещественного четырехкомпонентного спинора, так и в виде комплексного двухкомпонентного спинора. Оба могут быть построены из уравнения Вейля с добавлением правильно лоренц-ковариантного массового члена. ^[7] В этом разделе представлена ​​явная конструкция и формулировка.

Уравнение Вейля

Уравнение Вейля описывает временную эволюцию безмассового комплексного двухкомпонентного спинора . Условно его записывают как ^{[8] [9] [10]}

${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0}$

Написано явно, это

${\displaystyle I_{2}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\sigma _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\sigma _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\sigma _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}=0}$

Четырехвектор Паули

${\displaystyle \sigma ^{\mu }={\begin{pmatrix}\sigma ^{0}&\sigma ^{1}&\sigma ^{2}&\sigma ^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{2}&\sigma _{x}&\sigma _{y}&\sigma _{z}\end{pmatrix}}}$

то есть вектор , компонентами которого являются единичная матрица 2 × 2 для µ = 0 и матрицы Паули для µ = 1, 2, 3. При преобразовании четности получается двойственное уравнение ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}\to {\vec {x}}^{\prime }=-{\vec {x}}}$

${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0}$

где . Это две разные формы уравнения Вейля; их решения также различны. Можно показать, что решения имеют левую и правую спиральность и, следовательно, киральность . Традиционно эти две различные формы обозначаются явно, например: ${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }={\begin{pmatrix}I_{2}&-\sigma _{x}&-\sigma _{y}&-\sigma _{z}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}=0\qquad {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}=0~.}$

Лоренц-инвариантность

Уравнение Вейля описывает безмассовую частицу; уравнение Майораны добавляет массовый член. Массу необходимо вводить лоренц-инвариантным способом. Это достигается тем, что специальная линейная группа изоморфна симплектической группе. Обе эти группы являются двойными накрытиями группы Лоренца. Лоренц - инвариантность производного члена (из уравнения Вейля) традиционно формулируется через действие группа на спинорах, тогда как лоренц-инвариантность массового члена требует применения определяющего соотношения для симплектической группы. ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} ).}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (1,3).}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$

Двойное накрытие группы Лоренца имеет вид

${\displaystyle {\overline {\sigma }}_{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=S{\overline {\sigma }}_{\nu }S^{\dagger }}$

где и и – эрмитово транспонирование . Это используется для того, чтобы связать свойства преобразования дифференциалов при преобразовании Лоренца со свойствами преобразования спиноров. ${\displaystyle \Lambda \in \operatorname {SO} (1,3)}$ ${\displaystyle S\in \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle S^{\dagger }}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{\prime }=\Lambda x}$

Симплектическая группа определяется как набор всех комплексных матриц размера 2 × 2, удовлетворяющих условиям ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \omega ^{-1}S^{\textsf {T}}\omega =S^{-1}}$

где

${\displaystyle \omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}$

является кососимметричной матрицей . Он используется для определения симплектической билинейной формы при записи пары произвольных двухвекторов в виде ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}.}$ ${\displaystyle u,v\in \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle u={\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{pmatrix}}\qquad v={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}}$

симплектическое произведение

${\displaystyle \langle u,v\rangle =-\langle v,u\rangle =u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}=u^{\textsf {T}}\omega v}$

где транспонирование Эта форма инвариантна относительно преобразований Лоренца, в том, что ${\displaystyle u^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle u~.}$

${\displaystyle \langle u,v\rangle =\langle Su,Sv\rangle }$

Матрица перекоса преобразует матрицы Паули за вычетом их транспонирования:

${\displaystyle \omega \sigma _{k}\omega ^{-1}=-\sigma _{k}^{\textsf {T}}}$

Косую матрицу можно интерпретировать как продукт преобразования четности и транспозиции, действующей на два спинора. Однако, как будет подчеркнуто в следующем разделе, его также можно интерпретировать как один из компонентов оператора зарядового сопряжения , тогда как другой компонент представляет собой комплексное сопряжение . Применяя его к преобразованию Лоренца, получаем ${\displaystyle k=1,2,3.}$

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

Эти два варианта описывают ковариационные свойства дифференциалов, действующих на левый и правый спиноры соответственно.

Дифференциалы

При преобразовании Лоренца дифференциальный член преобразуется как ${\displaystyle x\mapsto x^{\prime }=\Lambda x}$

${\displaystyle \sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}(x^{\prime })=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)}$

при условии, что правое поле преобразуется как

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }(x^{\prime })=S\psi _{\rm {R}}(x)}$

Аналогично левый дифференциал преобразуется как

${\displaystyle {\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)\mapsto {\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {L}}(x^{\prime })=S{\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)}$

при условии, что левый спинор преобразуется как

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }(x^{\prime })=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}(x)}$

Доказательство

Эти свойства трансформации не особенно «очевидны» и поэтому заслуживают тщательного вывода. Начните с формы

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }(x^{\prime })=R\psi _{\rm {R}}(x)}$

чтобы некоторые неизвестные были определены. Преобразование Лоренца в координатах имеет вид ${\displaystyle R\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle x^{\prime \mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }}$

или, что то же самое,

${\displaystyle x^{\nu }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }x^{\prime \mu }}$

Это ведет к

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }\psi _{\rm {R}}(x^{\prime })\\{}={}&\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}(x^{\prime })\\{}={}&\sigma ^{\mu }{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime \mu }}}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}R\psi _{\rm {R}}(x)\\{}={}&\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}R\psi _{\rm {R}}(x)\\{}={}&\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\end{aligned}}}$

Чтобы воспользоваться картой Вейля

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

несколько индексов необходимо поднять и понизить. Это легче сказать, чем сделать, поскольку это вызывает тождество

${\displaystyle \eta \Lambda ^{T}\eta =\Lambda ^{-1}}$

где – метрика Минковского в плоском пространстве . Вышеприведенное тождество часто используется для определения элементов. Делается транспонирование: ${\displaystyle \eta =\operatorname {diag} (+1,-1,-1,-1)}$ ${\displaystyle \Lambda \in \operatorname {SO} (1,3).}$

${\displaystyle {\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }={\left(\Lambda ^{-1T}\right)_{\mu }}^{\nu }}$

написать

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\{}={}&\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1T}\right)_{\mu }}^{\nu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\{}={}&\sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }\partial ^{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\{}={}&\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\mu }\partial ^{\mu }S^{-1}R\psi _{\rm {R}}(x)\end{aligned}}}$

Таким образом, можно восстановить первоначальную форму, если т. е. Проделав те же манипуляции с левым уравнением, можно заключить, что ${\displaystyle S^{-1}R=1,}$ ${\displaystyle R=S.}$

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }(x^{\prime })=L\psi _{\rm {L}}(x)}$

с ^[б] ${\displaystyle L=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}.}$

Массовый термин

Комплексно -сопряженное правое спинорное поле преобразуется как

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime *}(x^{\prime })=S^{*}\psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

Определяющее соотношение для можно переписать как Отсюда следует, что косокомплексное поле преобразуется как ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \omega S^{*}=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\omega \,.}$

${\displaystyle m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto m\omega \psi _{\rm {R}}^{\prime *}(x^{\prime })=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

Это полностью совместимо со свойством ковариации дифференциала. Если принять за произвольный комплексный фазовый множитель, то линейная комбинация ${\displaystyle \eta =e^{i\phi }}$

${\displaystyle i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}(x)+\eta m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

преобразуется ковариантным образом. Установка этого значения в ноль дает сложное двухкомпонентное уравнение Майораны для правого поля. Аналогично, левокиральное уравнение Майораны (включая произвольный фазовый множитель ) имеет вид ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}(x)+\zeta m\omega \psi _{\rm {L}}^{*}(x)=0}$

Левая и правая киральные версии связаны преобразованием четности . Как показано ниже, они соответствуют оператору Клейна – Гордона только в том случае, если косое комплексное сопряжение можно распознать как его зарядово-сопряженную форму, которая более подробно сформулирована ниже. Таким образом, уравнение Майораны можно прочитать как уравнение, связывающее спинор с его зарядово-сопряженной формой. ${\displaystyle \eta =\zeta .}$ ${\displaystyle \omega \psi ^{*}=i\sigma ^{2}\psi }$ ${\displaystyle \psi ~;}$

Левый и правый майорановские операторы

Определим пару операторов, операторов Майораны,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} _{\rm {L}}&=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K&\mathrm {D} _{\rm {R}}&=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\end{aligned}}}$

где — краткое напоминание о необходимости использования комплексного сопряжения. При преобразованиях Лоренца они преобразуются как ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} _{\rm {L}}\mapsto \mathrm {D} _{\rm {L}}^{\prime }&=S\mathrm {D} _{\rm {L}}S^{\dagger }&\mathrm {D} _{\rm {R}}\mapsto \mathrm {D} _{\rm {R}}^{\prime }&=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\mathrm {D} _{\rm {R}}S^{-1}\end{aligned}}}$

тогда как спиноры Вейля преобразуются как

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{\rm {L}}\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }&=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}&\psi _{\rm {R}}\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }&=S\psi _{\rm {R}}\end{aligned}}}$

так же, как указано выше. Таким образом, их согласованные комбинации являются лоренц-ковариантными, и можно принять

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} _{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}&=0&\mathrm {D} _{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}&=0\end{aligned}}}$

как пара комплексных 2-спинорных уравнений Майораны.

Произведения и оба лоренц-ковариантны. Продукт явно ${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {L}}\mathrm {D} _{\rm {R}}}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {R}}\mathrm {D} _{\rm {L}}}$

${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {R}}\mathrm {D} _{\rm {L}}=\left(i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\right)\left(i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K\right)=-\left(\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}+\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)=-\left(\square +\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)}$

Для проверки этого необходимо иметь в виду, что и что RHS сводится к оператору Клейна-Гордона при условии, что , то есть Эти два оператора Майораны, таким образом, являются «квадратными корнями» оператора Клейна-Гордона. ${\displaystyle \omega ^{2}=-1}$ ${\displaystyle Ki=-iK~.}$ ${\displaystyle \eta \zeta ^{*}=1}$ ${\displaystyle \eta =\zeta ~.}$

Четырехкомпонентное уравнение Майораны

Реальная четырехкомпонентная версия уравнения Майораны может быть построена из комплексного двухкомпонентного уравнения следующим образом. Учитывая комплексное поле, удовлетворяющее описанному выше, определите ${\displaystyle \psi _{\rm {L}}}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}=0}$

${\displaystyle \chi _{\rm {R}}\equiv -\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}}$

Используя приведенный выше алгебраический аппарат, нетрудно показать, что

${\displaystyle \left(i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }-\eta m\omega K\right)\chi _{\rm {R}}=0}$

Определение сопряженного оператора

${\displaystyle \delta _{\rm {R}}=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }-\eta m\omega K}$

Тогда четырехкомпонентное уравнение Майораны имеет вид

${\displaystyle \left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)\left(\psi _{\rm {L}}\oplus \chi _{\rm {R}}\right)=0}$

Расписывая это подробно, получаем

${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}={\begin{bmatrix}\mathrm {D} _{\rm {L}}&0\\0&\delta _{\rm {R}}\end{bmatrix}}=i{\begin{bmatrix}I&0\\0&I\end{bmatrix}}\partial _{t}+i{\begin{bmatrix}-\sigma ^{k}&0\\0&\sigma ^{k}\end{bmatrix}}\nabla _{k}+m{\begin{bmatrix}\eta \omega K&0\\0&-\eta \omega K\end{bmatrix}}}$

Умножив слева на

${\displaystyle \beta =\gamma ^{0}={\begin{bmatrix}0&I\\I&0\end{bmatrix}}}$

приводит вышеизложенное в матричную форму, в которой можно распознать гамма-матрицы в киральном представлении. Это

${\displaystyle \beta \left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)={\begin{bmatrix}0&\delta _{\rm {R}}\\\mathrm {D} _{\rm {L}}&0\end{bmatrix}}=i\beta \partial _{t}+i{\begin{bmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{bmatrix}}\nabla _{k}-m{\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}}$

То есть,

${\displaystyle \beta \left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)=i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}}$

Применяя это к 4-спинору

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}\oplus \chi _{\rm {R}}={\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\\chi _{\rm {R}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\-\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}}$

и вспоминая, что оказывается, что спинор является собственным состоянием массового члена, ${\displaystyle \omega ^{2}=-1}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\-\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\-\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}}$

и поэтому для этого конкретного спинора четырехкомпонентное уравнение Майораны сводится к уравнению Дирака

${\displaystyle \left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right){\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\-\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}=0}$

Косую матрицу можно отождествить с оператором зарядового сопряжения (в базисе Вейля ). Явно это

${\displaystyle {\mathsf {C}}={\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}}$

Для произвольного четырехкомпонентного спинора его зарядовое сопряжение равно ${\displaystyle \psi ~,}$

${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi =\psi ^{c}=\eta C{\overline {\psi }}^{\textsf {T}}}$

с обычной матрицей 4×4, имеющей вид, явно заданный в статье о гамма-матрицах . В заключение четырехкомпонентное уравнение Майораны можно записать в виде ${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\mathsf {C}}\right)\psi \\&=i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m\psi ^{c}\end{aligned}}}$

Сопряжение зарядов и четность

Оператор зарядового сопряжения появляется непосредственно в 4-компонентной версии уравнения Майораны. Когда спинорное поле является зарядовым, сопряженным самому себе, то есть когда тогда уравнение Майораны сводится к уравнению Дирака, и любое решение можно интерпретировать как описывающее электрически нейтральное поле. Однако оператор зарядового сопряжения имеет не одно, а два различных собственных состояния, одно из которых является спинором ELKO; оно не решает уравнение Майораны, а, скорее, его версию с перевернутым знаком. ${\displaystyle \psi ^{c}=\psi ,}$

Оператор зарядового сопряжения для четырехкомпонентного спинора определяется как ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$

${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi =\psi _{c}=\eta C\left({\overline {\psi }}\right)^{\textsf {T}}}$

Общее обсуждение физической интерпретации этого оператора в терминах электрического заряда дано в статье о зарядовом сопряжении . Дополнительные обсуждения предоставлены Бьоркеном и Дреллом ^[11] или Ициксоном и Зубером. ^[c] В более абстрактных терминах это спинорный эквивалент комплексного сопряжения связи электромагнитного поля. Это можно увидеть следующим образом. Если у вас есть единственное реальное скалярное поле , оно не может быть связано с электромагнетизмом; однако пара вещественных скалярных полей, представленных в виде комплексного числа , может. Для скалярных полей зарядовое сопряжение аналогично комплексному сопряжению . Дискретная симметрия калибровочной теории следует из «тривиального» наблюдения, что ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle U(1)}$

${\displaystyle *:U(1)\to U(1)\quad e^{i\phi }\mapsto e^{-i\phi }}$

является автоморфизмом Для спинорных полей ситуация более запутанная. Грубо говоря, однако, можно сказать, что поле Майораны электрически нейтрально и что соответствующую комбинацию двух полей Майораны можно интерпретировать как единое электрически заряженное поле Дирака. Приведенный выше оператор зарядового сопряжения соответствует автоморфизму ${\displaystyle U(1).}$ ${\displaystyle U(1).}$

Выше приведена матрица 4×4, приведенная в статье о гамма-матрицах . Его явная форма зависит от представления. Оператор не может быть записан в виде матрицы 4×4, поскольку он принимает комплексно-сопряженное число , а комплексное сопряжение не может быть достигнуто с помощью комплексной матрицы 4×4. Ее можно записать как реальную матрицу 8×8, предполагая, что ее также можно записать как чисто реальный 8-компонентный спинор. Обозначая комплексное сопряжение, чтобы затем можно было написать для четырехкомпонентных спиноров: ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K(x+iy)=x-iy,}$

${\displaystyle {\mathsf {C}}=-\eta \gamma ^{0}CK}$

Нетрудно показать, что и что. Это следует из первого тождества, имеющего два собственных значения, которое можно записать как ${\displaystyle {\mathsf {C}}^{2}=1}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}\gamma ^{\mu }{\mathsf {C}}=-\gamma ^{\mu }~.}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$

${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi ^{(\pm )}=\pm \psi ^{(\pm )}}$

Собственные векторы легко находятся в базисе Вейля. Из вышесказанного в этом основании явно ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$

${\displaystyle {\mathsf {C}}={\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}}$

и поэтому

${\displaystyle \psi _{\text{Weyl}}^{(\pm )}={\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\\mp \eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}}$

Оба собственных вектора, очевидно, являются решениями уравнения Майораны. Однако только положительный собственный вектор является решением уравнения Дирака:

${\displaystyle 0=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\mathsf {C}}\right)\psi ^{(+)}=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi ^{(+)}}$

Отрицательный собственный вектор «не работает», у него неправильный знак массового члена Дирака. Однако он по-прежнему решает уравнение Клейна – Гордона. Отрицательный собственный вектор называется спинором ELKO.

Доказательство

То, что оба собственных состояния решают уравнение Клейна – Гордона, следует из предыдущих тождеств для двухкомпонентных версий. Определив, как и прежде,

${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {L}}=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\qquad \mathrm {D} _{\rm {R}}=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K}$

Как было показано ранее

${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {R}}\mathrm {D} _{\rm {L}}=\mathrm {D} _{\rm {L}}\mathrm {D} _{\rm {R}}=-\left(\square +m^{2}\right)}$

Четырехкомпонентный спинор требует введения

${\displaystyle \delta _{\rm {L}}=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }-\eta m\omega K\qquad \delta _{\rm {R}}=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }-\eta m\omega K}$

которые также подчиняются

${\displaystyle \delta _{\rm {R}}\delta _{\rm {L}}=\delta _{\rm {L}}\delta _{\rm {R}}=-\left(\square +m^{2}\right)}$

Поэтому

${\displaystyle \left(\mathrm {D} _{\rm {R}}\oplus \delta _{\rm {L}}\right)\left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)=-\left(\square +m^{2}\right)}$

Киральное представление требует дополнительного фактора : ${\displaystyle \beta =\gamma ^{0}}$

${\displaystyle \beta \left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)=i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\mathsf {C}}\qquad \beta \left(\delta _{\rm {L}}\oplus \mathrm {D} _{\rm {R}}\right)=i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m{\mathsf {C}}}$

и поэтому можно сделать вывод, что

${\displaystyle \left(\mathrm {D} _{\rm {R}}\oplus \delta _{\rm {L}}\right)\left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m{\mathsf {C}}\right)\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\mathsf {C}}\right)=-\left(\square +m^{2}\right)}$

То есть оба собственных вектора оператора зарядового сопряжения решают уравнение Клейна – Гордона. Последнюю личность также можно проверить напрямую, отметив, что и что ${\displaystyle {\mathsf {C}}i=-i{\mathsf {C}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}\gamma ^{\mu }=-\gamma ^{\mu }{\mathsf {C}}~.}$

Паритет

При четности левые спиноры преобразуются в правые спиноры. Два собственных вектора оператора зарядового сопряжения, опять же в базисе Вейля, равны

${\displaystyle \psi _{\rm {{R},{\text{Weyl}}}}^{(\pm )}={\begin{pmatrix}\pm \eta \omega \psi _{\rm {R}}^{*}\\\psi _{\rm {R}}\end{pmatrix}}}$

Как и раньше, оба решают четырехкомпонентное уравнение Майораны, но только один решает также уравнение Дирака. Это можно показать, построив двойственное по четности четырехкомпонентное уравнение. Это принимает форму

${\displaystyle \beta \left(\delta _{\rm {L}}\oplus \mathrm {D} _{\rm {R}}\right)=i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m{\mathsf {C}}}$

где

${\displaystyle \delta _{\rm {L}}=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }-\eta m\omega K}$

Учитывая двухкомпонентный спинор, определите его сопряжение как Нетрудно показать то и то, следовательно, если тогда также и, следовательно, что ${\displaystyle \psi _{\rm {R}}}$ ${\displaystyle \chi _{\rm {L}}=-\eta \omega \psi _{\rm {R}}^{*}.}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}=-\eta \omega (\delta _{\rm {L}}\chi _{\rm {L}})}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}=0}$ ${\displaystyle \delta _{\rm {L}}\chi _{\rm {L}}=0}$

${\displaystyle 0=\left(\delta _{\rm {L}}\oplus \mathrm {D} _{\rm {R}}\right)\left(\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}}\right)}$

или эквивалентно

${\displaystyle 0=(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m{\mathsf {C}}){\begin{pmatrix}\chi _{\rm {L}}\\\psi _{\rm {R}}\end{pmatrix}}}$

Это работает, потому что это сводится к уравнению Дирака для ${\displaystyle {\mathsf {C}}(\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}})=-(\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}})}$

${\displaystyle \psi _{{\rm {R}},{\text{Weyl}}}^{(-)}=\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}}={\begin{pmatrix}\chi _{\rm {L}}\\\psi _{\rm {R}}\end{pmatrix}}}$

В заключение и еще раз отметим, что уравнение Майораны имеет вид

${\displaystyle 0=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\mathsf {C}}\right)\psi =i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m\psi _{c}}$

Оно имеет четыре неэквивалентных, линейно независимых решения. Из них только два также являются решениями уравнения Дирака: а именно и ${\displaystyle \psi _{\rm {L,R}}^{(\pm )}.}$ ${\displaystyle \psi _{\rm {L}}^{(+)}}$ ${\displaystyle \psi _{\rm {R}}^{(-)}~.}$

Решения

Собственные состояния спина

Одной из удобных отправных точек для написания решений является работа в системе покоя спиноров. Запись квантового гамильтониана с общепринятым соглашением о знаках приводит к тому, что уравнение Майораны принимает вид ${\displaystyle H=i\partial _{t}}$

${\displaystyle i\partial _{t}\psi =-i{\vec {\alpha }}\cdot \nabla \psi +m\beta \psi _{c}}$

В киральном базисе (Вейля) это имеет место

${\displaystyle \gamma ^{0}=\beta ={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}},\quad {\vec {\alpha }}={\begin{pmatrix}{\vec {\sigma }}&0\\0&-{\vec {\sigma }}\end{pmatrix}}}$

с вектором Паули . Соглашение о знаках здесь соответствует статье «Гамма-матрицы» . Подставляя приведенное выше собственное состояние сопряжения с положительным зарядом, получаем уравнение для двухкомпонентного спинора ${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$ ${\displaystyle \psi _{\text{Weyl}}^{(+)}}$

${\displaystyle i\partial _{t}\psi _{\rm {L}}=-i{\vec {\sigma }}\cdot \nabla \psi _{\rm {L}}+m(i\sigma _{2}\psi _{\rm {L}}^{*})}$

и аналогично

${\displaystyle i\partial _{t}(i\sigma _{2}\psi _{\rm {L}}^{*})=+i{\vec {\sigma }}\cdot \nabla (i\sigma _{2}\psi _{\rm {L}}^{*})+m\psi _{\rm {L}}}$

На самом деле эти два уравнения представляют собой одно и то же уравнение, что можно проверить, заметив, что оно дает комплексно-сопряженную матрицу Паули: ${\displaystyle \sigma _{2}}$

${\displaystyle \sigma _{2}\left({\vec {k}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\sigma _{2}=-{\vec {k}}\cdot {\vec {\sigma }}^{*}.}$

Плоские волновые решения могут быть разработаны для энергии-импульса , и их легче всего сформулировать в системе покоя. Решение для раскручивающейся опорной рамы ${\displaystyle \left(k_{0},{\vec {k}}\right)}$

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}^{(u)}={\begin{pmatrix}e^{-imt}\\e^{imt}\end{pmatrix}}}$

в то время как решение со спином вниз

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}^{(d)}={\begin{pmatrix}e^{imt}\\-e^{-imt}\end{pmatrix}}}$

То, что они правильно интерпретируются, можно увидеть, повторно выразив их в базисе Дирака как спиноры Дирака . В этом случае они принимают вид

${\displaystyle \psi _{\text{Dirac}}^{(u)}={\begin{bmatrix}e^{-imt}\\0\\0\\-e^{imt}\end{bmatrix}}}$

и

${\displaystyle \psi _{\text{Dirac}}^{(d)}={\begin{bmatrix}0\\e^{-imt}\\-e^{imt}\\0\end{bmatrix}}}$

Это спиноры системы покоя. Их можно рассматривать как линейную комбинацию решений уравнения Дирака как с положительной, так и с отрицательной энергией. Это единственные два решения; уравнение Майораны имеет только два линейно независимых решения, в отличие от уравнения Дирака, у которого их четыре. Удвоение степеней свободы уравнения Дирака можно приписать спинорам Дирака, несущим заряд.

Собственные состояния импульса

В системе общего импульса майорановский спинор можно записать как

Электрический заряд

Появление обоих и в уравнении Майораны означает, что поле  не может быть связано с заряженным электромагнитным полем без нарушения сохранения заряда , поскольку частицы имеют заряд, противоположный заряду их собственных античастиц. Чтобы удовлетворить этому ограничению, его необходимо считать электрически нейтральным. Это можно сформулировать более подробно. ${\textstyle \psi }$ ${\textstyle \psi _{c}}$ ${\textstyle \psi }$ ${\textstyle \psi }$

Уравнение Дирака можно записать в чисто вещественном виде, если гамма-матрицы взять в майорановском представлении. Тогда уравнение Дирака можно записать как ^[d]

${\displaystyle \left(-i{\frac {\partial }{\partial t}}-i{\hat {\alpha }}\cdot \nabla +\beta m\right)\psi =0}$

будучи чисто действительными симметричными матрицами и будучи чисто мнимыми кососимметричными. В этом случае можно найти чисто вещественные решения уравнения; это майорановские спиноры. Под действием преобразований Лоренца они преобразуются под действием (чисто вещественной) спиновой группы. Это контрастирует со спинорами Дирака , которые ковариантны только под действием комплексифицированной спиновой группы. Интерпретация состоит в том, что комплексифицированная спиновая группа кодирует электромагнитный потенциал, реальная спиновая группа этого не делает. ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (1,3).}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathbb {C} }(1,3).}$

Это можно сформулировать и по-другому: уравнение Дирака и спиноры Дирака содержат достаточное количество калибровочной свободы для естественного кодирования электромагнитных взаимодействий. В этом можно убедиться, заметив, что электромагнитный потенциал можно очень просто добавить к уравнению Дирака, не требуя каких-либо дополнительных модификаций или расширений ни к уравнению, ни к спинору. Местоположение этой дополнительной степени свободы определяется оператором зарядового сопряжения, а наложение ограничения Майораны удаляет эту дополнительную степень свободы. После удаления не может быть никакой связи с электромагнитным потенциалом, следовательно, майорановский спинор обязательно электрически нейтрален. Электромагнитную связь можно получить только путем добавления комплексного фазового коэффициента и связывания этого фазового коэффициента с электромагнитным потенциалом. ${\textstyle \psi =\psi _{c}}$

Вышеизложенное можно уточнить, исследуя ситуацию в пространственных измерениях. В этом случае комплексифицированная спиновая группа имеет двойное накрытие окружностью . Подразумевается, что он кодирует обобщенные преобразования Лоренца (конечно), а круг можно отождествить с действием калибровочной группы на электрические заряды. То есть действие калибровочной группы комплексифицированной спиновой группы на спиноре Дирака можно разделить на чисто вещественную лоренцеву часть и электромагнитную часть. Это можно далее уточнить на неплоских (неплоских по Минковскому) спиновых многообразиях . В этом случае на спинорное расслоение действует оператор Дирака . Разложенное на отдельные члены, оно включает обычную ковариантную производную. Можно видеть, что поле возникает непосредственно из-за кривизны комплексифицированной части спинового расслоения, поскольку калибровочные преобразования связаны с комплексифицированной частью, а не с действительно-спинорной частью. То, что поле соответствует электромагнитному потенциалу, можно увидеть, заметив, что (например) квадрат оператора Дирака представляет собой оператор Лапласа плюс скалярную кривизну (основного многообразия, на котором находится спинорное поле) плюс напряженность (электромагнитного) поля. В случае Майораны имеются только преобразования Лоренца, действующие на спинор Майораны; комплексификация не играет никакой роли. Подробное рассмотрение этих тем можно найти у Йоста ^[12], а этот случай изложен у Бликера. ^[13] К сожалению, ни один из текстов явно не формулирует спинор Майораны в прямой форме. ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (p,q)\times S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}\cong U(1)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (p,q)}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$ ${\displaystyle d+A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle F=dA.}$ ${\displaystyle (p,q)=(1,3)}$

Кванты поля

Кванты уравнения Майораны допускают существование двух классов частиц: нейтральной частицы и ее нейтральной античастицы . Часто применяемое дополнительное условие соответствует спинору Майораны. ${\textstyle \Psi =\Psi _{c}}$

Майорановская частица

Частицы, соответствующие спинорам Майораны, известны как частицы Майораны из-за вышеуказанного ограничения самосопряжения. Все фермионы, включенные в Стандартную модель, были исключены как майорановские фермионы (поскольку они имеют ненулевой электрический заряд и не могут быть античастицами сами по себе), за исключением нейтрино ( которое нейтрально).

Теоретически нейтрино является возможным исключением из этого правила. Если это так, возможен безнейтринный двойной бета-распад , а также ряд распадов мезонов, нарушающих лептонное число, и заряженных лептонов . В настоящее время проводится ряд экспериментов, проверяющих, является ли нейтрино майорановской частицей. ^[14]

Примечания

1. Внимание: не все авторы используют одни и те же правила сопряжения зарядов, поэтому существует много места для тонких ошибок в знаках. В этой статье и статье о зарядовом сопряжении используются соглашения Ицыксона и Зубера ( Квантовая теория поля , см. главу 2 и приложение A). Они очень незначительно отличаются от релятивистской квантовой механики Бьоркена и Дрелла , поэтому при их сравнении необходимо делать допуски.
2. Представленные здесь результаты идентичны результатам Асте, указ. цит. , уравнения 52 и 57, хотя вывод, выполненный здесь, совершенно другой. Используемое здесь двойное накрытие также идентично уравнениям Асте 48 и текущей версии (декабрь 2020 г.) статьи о группе Лоренца .
3. Ицыксон и Зубер, соч. цит. (Глава 2-4)
4. Ицыксон и Зубер, (см. главу 2-1-2, стр. 49)

Рекомендации

1. Этторе Майорана, "Teoria Simmetrica Dell' Elettrone E Del Positrone", Nuovo Cimento 14 (1937), стр. 171–184. PDF Оригинальная итальянская версия
2. Асте, Андреас (2010). «Прямая дорога к полям Майораны». Симметрия . 2010 (2): 1776–1809. arXiv : 0806.1690 . Бибкод : 2010Symm....2.1776A. дои : 10.3390/sym2041776 .
3. Пал, Палаш Б. (2011). «Фермионы Дирака, Майорана и Вейля». Американский журнал физики . 79 (5): 485–498. arXiv : 1006.1718 . Бибкод : 2011AmJPh..79..485P. дои : 10.1119/1.3549729. S2CID  118685467.
4. Марш, Эккарт (2012). «Об уравнении Майораны: связи между его комплексными двухкомпонентными и действительными четырехкомпонентными собственными функциями». ISRN Математическая физика . 2012 : 1–17. arXiv : 1207.4685 . дои : 10.5402/2012/760239 . Артикул 760239.
5. Марш, Эккарт (2013). «Новый путь к уравнению Майораны». Симметрия . 5 (4): 271–286. Бибкод : 2013Symm....5..271M. дои : 10.3390/sym5040271 .
6. Ицыксон, Клод; Зубер, Жан-Бернар (1980). Квантовая теория поля . МакГроу-Хилл. §2-1-2, стр. 49.
7. Андреас Асте, (2010) «Прямая дорога к полям Майораны», Симметрия 2010 (2) 1776-1809; doi: 10.3390/sym2041776 ISSN 2073-8994.
8. Квантовая механика, Э. Аберс, Пирсон Эд., Аддисон Уэсли, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0 
9. Кембриджский справочник физических формул, Г. Воан, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 . 
10. Введение в квантовую теорию поля, М. Е. Пескин, Д. В. Шредер, Аддисон-Уэсли, 1995, ISBN 0-201-50397-2 
11. Джеймс Д. Бьоркен, Сидни Д. Дрелл, (1964) «Релятивистская квантовая механика», McGraw-Hill (см. главу 5.2, страницы 66-70)
12. Юрген Йост (2002) «Риманова геометрия и геометрический анализ (3-е издание) Springer Universitext. (Спиновые структуры см. в главе 1.8, а информацию об операторе Дирака — в главе 3.4.)
13. Дэвид Бликер, (1981) «Калибровочная теория и вариационные принципы» Аддисон-Уэсли (см. главу 6 о свободном поле Дирака и главу 7 о взаимодействующем поле).
14. А. Франклин, Действительно ли существуют нейтрино?: Доказательная история (Westview Press, 2004), стр. 186

Дополнительное чтение

• «Наследие Майораны в современной физике», Электронный журнал теоретической физики (EJTP), том 3, выпуск 10 (апрель 2006 г.). Специальный выпуск к столетию Этторе Майораны (1906–1938?) . ISSN 1729-5254
• Фрэнк Вильчек, (2009) «Майорана возвращается», Nature Physics Vol. 5 страниц 614–618.