Комплексное сопряжение

Основные операции над комплексными числами

Геометрическое представление ( диаграмма Аргана ) и сопряженного ей числа в комплексной плоскости. Комплексно-сопряженное уравнение находится путем отражения поперек действительной оси. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle z}$

В математике комплексно -сопряженным комплексным числом называется число, имеющее равные действительную и мнимую части, равные по величине , но противоположные по знаку . То есть, если и являются действительными числами, то комплексно-сопряженное число часто обозначается как или . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a+bi}$ ${\displaystyle a-bi.}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle z^{*}}$

В полярной форме , если и являются действительными числами, то сопряженное число равно Это можно показать с помощью формулы Эйлера . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle re^{i\varphi }}$ ${\displaystyle re^{-i\varphi }.}$

Произведение комплексного числа и его сопряженного числа — действительное число:  (или  в полярных координатах ). ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ ${\displaystyle r^{2}}$

Если корень одномерного многочлена с действительными коэффициентами является комплексным, то его комплексно-сопряженный элемент также является корнем .

Обозначения

Комплексно-сопряженное число записывается как или Первое обозначение, винкулум , позволяет избежать путаницы с обозначением сопряженного транспонирования матрицы , которое можно рассматривать как обобщение комплексно-сопряженного числа. Второй вариант предпочтителен в физике , где кинжал (†) используется для сопряженного транспонирования, а также в электротехнике и вычислительной технике , где обозначение столбца можно спутать с символом логического отрицания («НЕ») булевой алгебры , в то время как знак столбца обозначения более распространены в чистой математике . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle z^{*}.}$

Если комплексное число представлено в виде матрицы ${\displaystyle 2\times 2}$ , обозначения идентичны, а комплексно-сопряженное число соответствует транспонированию матрицы , представляющему собой переворот по диагонали. ^[1]

Характеристики

Следующие свойства применимы ко всем комплексным числам , если не указано иное, и могут быть доказаны в письменной форме и в форме ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle w,}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle a+bi.}$

Для любых двух комплексных чисел сопряжение является распределительным по отношению к сложению, вычитанию, умножению и делению: ^{[ссылка 1]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {z+w}}&={\overline {z}}+{\overline {w}},\\{\overline {z-w}}&={\overline {z}}-{\overline {w}},\\{\overline {zw}}&={\overline {z}}\;{\overline {w}},\quad {\text{and}}\\{\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}&={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}},\quad {\text{if }}w\neq 0.\end{aligned}}}$$

Комплексное число равно своему комплексно-сопряженному, если его мнимая часть равна нулю, то есть если число действительное. Другими словами, действительные числа — единственные фиксированные точки сопряжения.

Сопряжение не меняет модуль комплексного числа: ${\displaystyle \left|{\overline {z}}\right|=|z|.}$

Сопряжение — это инволюция , то есть сопряжение сопряженного комплексного числа В символах, ^{[ссылка 1]} ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z.}$ ${\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z.}$

Произведение комплексного числа на сопряженное ему равно квадрату модуля числа:

$${\displaystyle z{\overline {z}}={\left|z\right|}^{2}.}$$

обратное

$${\displaystyle z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}},\quad {\text{ for all }}z\neq 0.}$$

Сопряжение коммутативно при композиции с возведением в степень до целых степеней, с показательной функцией и с натуральным логарифмом для ненулевых аргументов:

$${\displaystyle {\overline {z^{n}}}=\left({\overline {z}}\right)^{n},\quad {\text{ for all }}n\in \mathbb {Z} }$$

^{[примечание 1]}

$${\displaystyle \exp \left({\overline {z}}\right)={\overline {\exp(z)}}}$$

$${\displaystyle \ln \left({\overline {z}}\right)={\overline {\ln(z)}}{\text{ if }}z{\text{ is not zero or a negative real number }}}$$

Если – многочлен с действительными коэффициентами, то и то. Таким образом, невещественные корни вещественных многочленов встречаются в комплексно-сопряженных парах ( см. Теорема о комплексно-сопряженных корнях ). ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(z)=0,}$ ${\displaystyle p\left({\overline {z}}\right)=0}$

В общем случае, если это голоморфная функция , ограничение которой на действительные числа вещественнозначно и определены , то ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (z)}$ ${\displaystyle \varphi ({\overline {z}})}$

$${\displaystyle \varphi \left({\overline {z}}\right)={\overline {\varphi (z)}}.\,\!}$$

Отображение от до является гомеоморфизмом (где топология о считается стандартной топологией) и антилинейным , если рассматривать его как комплексное векторное пространство над собой. Хотя на первый взгляд это хорошая функция, она не голоморфна ; он меняет ориентацию, тогда как голоморфные функции локально сохраняют ориентацию. Он биективен и совместим с арифметическими операциями и, следовательно, является полевым автоморфизмом . Поскольку она сохраняет действительные числа фиксированными, она является элементом группы Галуа расширения поля. Эта группа Галуа имеет только два элемента: и единицу. Таким образом, единственные два полевых автоморфизма, которые оставляют действительные числа фиксированными, - это тождественное отображение и тождество. сложное сопряжение. ${\displaystyle \sigma (z)={\overline {z}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Использовать как переменную

Если задано комплексное число или , его сопряженного числа достаточно для воспроизведения частей -переменной : ${\displaystyle z=x+yi}$ ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ ${\displaystyle z}$

• Реальная часть: ${\displaystyle x=\operatorname {Re} (z)={\dfrac {z+{\overline {z}}}{2}}}$
• Мнимая часть: ${\displaystyle y=\operatorname {Im} (z)={\dfrac {z-{\overline {z}}}{2i}}}$
• Модуль (или абсолютное значение) : ${\displaystyle r=\left|z\right|={\sqrt {z{\overline {z}}}}}$
• Аргумент : так ${\displaystyle e^{i\theta }=e^{i\arg z}={\sqrt {\dfrac {z}{\overline {z}}}},}$ ${\displaystyle \theta =\arg z={\dfrac {1}{i}}\ln {\sqrt {\frac {z}{\overline {z}}}}={\dfrac {\ln z-\ln {\overline {z}}}{2i}}}$

Кроме того, может использоваться для указания линий на плоскости: набор ${\displaystyle {\overline {z}}}$

$${\displaystyle \left\{z:z{\overline {r}}+{\overline {z}}r=0\right\}}$$

${\displaystyle {r},}$ ${\displaystyle z\cdot {\overline {r}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {r}}$ ${\displaystyle u=e^{ib},}$

$${\displaystyle {\frac {z-z_{0}}{{\overline {z}}-{\overline {z_{0}}}}}=u^{2}}$$

${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle u.}$

Такое использование сопряженного числа в качестве переменной проиллюстрировано в книге Фрэнка Морли «Обратная геометрия» (1933), написанной вместе с его сыном Фрэнком Вигором Морли. ${\displaystyle z}$

Обобщения

Другие плоские вещественные алгебры с единицей, двойственные числа и расщепленные комплексные числа также анализируются с использованием комплексного сопряжения.

Для матриц комплексных чисел, где представляет поэлементное сопряжение ^{[ссылка 2].} Сравните это со свойством , где представляет сопряженное транспонирование ${\textstyle {\overline {\mathbf {AB} }}=\left({\overline {\mathbf {A} }}\right)\left({\overline {\mathbf {B} }}\right),}$ ${\textstyle {\overline {\mathbf {A} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} .}$ ${\textstyle \left(\mathbf {AB} \right)^{*}=\mathbf {B} ^{*}\mathbf {A} ^{*},}$ ${\textstyle \mathbf {A} ^{*}}$ ${\textstyle \mathbf {A} .}$

Сопряженное транспонирование (или сопряжение) комплексных матриц обобщает комплексное сопряжение. Еще более общим является понятие сопряженного оператора для операторов в комплексных гильбертовых пространствах (возможно, бесконечномерных) . Все это относится к *-операциям С*-алгебр .

Можно также определить сопряжение для кватернионов и разделенных кватернионов : сопряжение есть ${\textstyle a+bi+cj+dk}$ ${\textstyle a-bi-cj-dk.}$

Все эти обобщения мультипликативны только в том случае, если множители поменяны местами:

$${\displaystyle {\left(zw\right)}^{*}=w^{*}z^{*}.}$$

Поскольку умножение плоских вещественных алгебр коммутативно , то это обращение там не требуется.

Существует также абстрактное понятие сопряжения векторных пространств над комплексными числами . В этом контексте любое антилинейное отображение , удовлетворяющее условию ${\textstyle V}$ ${\textstyle \varphi :V\to V}$

1. ${\displaystyle \varphi ^{2}=\operatorname {id} _{V}\,,}$где и является идентификационной картой на ${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi \circ \varphi }$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{V}}$ ${\displaystyle V,}$
2. ${\displaystyle \varphi (zv)={\overline {z}}\varphi (v)}$для всех и ${\displaystyle v\in V,z\in \mathbb {C} ,}$
3. ${\displaystyle \varphi \left(v_{1}+v_{2}\right)=\varphi \left(v_{1}\right)+\varphi \left(v_{2}\right)\,}$для всех ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V,}$

называется комплексным сопряжением или вещественной структурой . Поскольку инволюция антилинейна , она не может быть тождественной картой на ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle V.}$

Конечно, это -линейное преобразование, если заметить, что каждое комплексное пространство имеет действительную форму, полученную путем взятия тех же векторов , что и в исходном пространстве, и ограничения скаляров вещественностью. Вышеупомянутые свойства фактически определяют реальную структуру в комплексном векторном пространстве ^[2] ${\textstyle \varphi }$ ${\textstyle \mathbb {R} }$ ${\textstyle V,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V.}$

Одним из примеров этого понятия является операция сопряженного транспонирования комплексных матриц, определенная выше. Однако в общих комплексных векторных пространствах не существует канонического понятия комплексного сопряжения.

Смотрите также

• Абсолютный квадрат  – произведение числа на себя.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Комплексно-сопряженная линия  – Операция в сложной геометрии.
• Комплексно-сопряженное представление
• Комплексно-сопряженное векторное пространство  - математическая концепцияPages displaying short descriptions of redirect targets
• Композиционная алгебра  - тип алгебр, возможно, неассоциативный.
• Сопряжение (квадратные корни)  – Изменение знака квадратного корня.
• Эрмитова функция  – тип комплексной функции
• Производные Виртингера  – концепция комплексного анализа

Рекомендации

1. Фридберг, Стивен; Инсель, Арнольд; Спенс, Лоуренс (2018), Линейная алгебра (5-е изд.), ISBN 978-0134860244, Приложение Д
2. Арфкен, Математические методы для физиков , 1985, стр. 201

Сноски

1. См. Возведение в степень # Нецелые степени комплексных чисел .

Библиография

• Будинич П. и Траутман А. Спинориальная шахматная доска . Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3 . (антилинейные отображения обсуждаются в разделе 3.3). 

1. «Объяснение урока: Матричное представление комплексных чисел | Нагва» . www.nagwa.com . Проверено 4 января 2023 г.
2. Будинич П. и Траутман А. Спинориальная шахматная доска . Спрингер-Верлаг, 1988, с. 29