Мультипликативная обратная величина

Число, которое при умножении на x равно 1

Обратная функция: y = 1/ x . Для каждого x, кроме 0, y представляет собой его мультипликативную обратную функцию. График образует прямоугольную гиперболу .

В математике мультипликативная обратная или обратная величина для числа x , обозначаемая как 1/ x или x ⁻¹ , — это число, которое при умножении на x дает мультипликативное тождество , 1. Мультипликативная обратная дробь a / b равна b / a . Для мультипликативной обратной величины действительного числа разделите 1 на это число. Например, обратная величина 5 равна одной пятой (1/5 или 0,2), а обратная величина 0,25 равна 1, деленной на 0,25, или 4. Обратная функция , функция f ( x ), которая отображает x в 1/ x , является одним из простейших примеров функции, которая является своей собственной обратной ( инволюцией ).

Умножение на число равнозначно делению на его обратную величину и наоборот. Например, умножение на 4/5 (или 0,8) даст тот же результат, что и деление на 5/4 (или 1,25). Таким образом, умножение на число с последующим умножением на его обратную величину дает исходное число (поскольку произведение числа и его обратной величины равно 1).

Термин «обратный» широко использовался, по крайней мере, еще в третьем издании Encyclopaedia Britannica (1797) для описания двух чисел, произведение которых равно 1; геометрические величины, находящиеся в обратной пропорции, описаны как «обратные» в переводе «Начал» Евклида 1570 года . ^[1]

В словосочетании мультипликативная обратная квалификатор мультипликативный часто опускается и затем подразумевается (в отличие от аддитивной обратной ). Мультипликативные обратные могут быть определены во многих математических областях, а также числах. В этих случаях может случиться, что ab ≠ ba ; тогда «обратная» обычно подразумевает, что элемент является как левой, так и правой обратной .

Обозначение f ⁻¹ иногда также используется для обратной функции функции f , которая для большинства функций не равна мультипликативной обратной. Например, мультипликативная обратная функция 1/(sin x ) = (sin x ) ⁻¹ является косекансом x, а не обратным синусом x, обозначаемым как sin ⁻¹ x или arcsin x . Различия в терминологии reciprocal и inverse недостаточно для проведения этого различия, поскольку многие авторы предпочитают противоположное соглашение об именовании, вероятно, по историческим причинам (например, во французском языке обратную функцию предпочтительно называют bijection réciproque).

Примеры и контрпримеры

В действительных числах ноль не имеет обратного числа ( деление на ноль не определено ) , потому что никакое действительное число, умноженное на 0, не дает 1 (произведение любого числа с нулем равно нулю). За исключением нуля, обратные числа каждого действительного числа являются действительными, обратные числа каждого рационального числа являются рациональными, а обратные числа каждого комплексного числа являются комплексными. Свойство, что каждый элемент, отличный от нуля, имеет мультипликативную обратную величину, является частью определения поля , все эти примеры. С другой стороны, никакое целое число, отличное от 1 и −1, не имеет обратного целого числа, и поэтому целые числа не являются полем.

В модульной арифметике также определяется модульное мультипликативное обратное число a: это число x , такое что ax ≡ 1 (mod n ) . Это мультипликативное обратное число существует тогда и только тогда, когда a и n взаимно просты . Например, обратное число 3 по модулю 11 равно 4, потому что 4 ⋅ 3 ≡ 1 (mod 11) . Для его вычисления можно использовать расширенный алгоритм Евклида .

Седенионы — это алгебра , в которой каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный элемент, но которая, тем не менее, имеет делители нуля, то есть ненулевые элементы x , y такие, что xy  = 0.

Квадратная матрица имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда ее определитель имеет обратную матрицу в кольце коэффициентов . Линейное отображение, имеющее матрицу A ⁻¹ относительно некоторой базы, является тогда обратной функцией отображения, имеющего матрицу A в той же базе. Таким образом, два различных понятия обратной функции в этом случае сильно связаны, но они все еще не совпадают, поскольку мультипликативная обратная матрица Ax будет ( Ax ) ⁻¹ , а не A ⁻¹ x.

Эти два понятия обратной функции иногда совпадают, например, для функции, где — главная ветвь комплексного логарифма , а : ${\displaystyle f(x)=x^{i}=e^{i\ln(x)}}$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle e^{-\pi }<|x|<e^{\pi }}$

${\displaystyle ((1/f)\circ f)(x)=(1/f)(f(x))=1/(f(f(x)))=1/e^{i\ln(e^{i\ln(x)})}=1/e^{ii\ln(x)}=1/e^{-\ln(x)}=x}$.

Тригонометрические функции связаны соотношением обратных величин: котангенс — это величина, обратная тангенсу; секанс — это величина, обратная косинусу; косеканс — это величина, обратная синусу.

Кольцо, в котором каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный элемент, является кольцом с делением ; аналогично алгебра, в которой это выполняется, является алгеброй с делением .

Комплексные числа

Как упоминалось выше, обратная величина каждого ненулевого комплексного числа является комплексной. Ее можно найти, умножив верхнюю и нижнюю часть 1/ z на ее комплексно сопряженное число и используя свойство, что , абсолютное значение z в квадрате, которое является действительным числом a ² + b ² : ${\displaystyle z=a+bi}$ ${\displaystyle {\bar {z}}=a-bi}$ ${\displaystyle z{\bar {z}}=\|z\|^{2}}$

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i.}$

Интуиция подсказывает, что

${\displaystyle {\frac {\bar {z}}{\|z\|}}}$

дает нам комплексно сопряженное число с величиной, уменьшенной до значения , поэтому повторное деление на гарантирует, что величина теперь также равна обратной величине исходной величины, следовательно: ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \|z\|}$

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}}$

В частности, если || z ||=1 ( z имеет единичную величину), то . Следовательно, мнимые единицы ± i имеют аддитивную обратную величину , равную мультипликативной обратной величине, и являются единственными комплексными числами с этим свойством. Например, аддитивные и мультипликативные обратные числа i равны −( i ) = − i и 1/ i = − i , соответственно. ${\displaystyle 1/z={\bar {z}}}$

Для комплексного числа в полярной форме z = r (cos φ + i  sin φ) обратная величина просто берет обратную величину величины и отрицательную величину угла:

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{r}}\left(\cos(-\varphi )+i\sin(-\varphi )\right).}$

Геометрическая интуиция для интеграла 1/ x . Три интеграла от 1 до 2, от 2 до 4 и от 4 до 8 равны. Каждая область представляет собой предыдущую область, разделенную пополам по вертикали и удвоенную по горизонтали. Расширяя это, интеграл от 1 до 2 ^k равен k , умноженному на интеграл от 1 до 2, точно так же, как ln 2 ^k = k ln 2.

Исчисление

В действительном исчислении производная 1 / x = x −1 задается ^{степенным} правилом со степенью −1:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{-1}=(-1)x^{(-1)-1}=-x^{-2}=-{\frac {1}{x^{2}}}.}$

Правило мощности для интегралов ( квадратурная формула Кавальери ) не может быть использовано для вычисления интеграла 1/ x , поскольку это приведет к делению на 0: Вместо этого интеграл определяется как: где ln — натуральный логарифм . Чтобы показать это, отметим, что , поэтому если и , то мы имеем: ^[2] $${\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}={\frac {x^{0}}{0}}+C}$$ $${\displaystyle \int _{1}^{a}{\frac {dx}{x}}=\ln a,}$$ $${\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}=\ln x+C.}$$ ${\textstyle {\frac {d}{dy}}e^{y}=e^{y}}$ ${\displaystyle x=e^{y}}$ ${\displaystyle y=\ln x}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dx}{dy}}=x\quad \Rightarrow \quad {\frac {dx}{x}}=dy\\[10mu]&\quad \Rightarrow \quad \int {\frac {dx}{x}}=\int dy=y+C=\ln x+C.\end{aligned}}}$$

Алгоритмы

Обратную величину можно вычислить вручную, используя деление в столбик .

Вычисление обратной величины важно во многих алгоритмах деления , поскольку частное a / b можно вычислить, сначала вычислив 1 / b, а затем умножив его на a . Заметив, что имеет ноль при x = 1 / b , метод Ньютона может найти этот ноль, начиная с предположения и итерируя с использованием правила: ${\displaystyle f(x)=1/x-b}$ ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}-{\frac {1/x_{n}-b}{-1/x_{n}^{2}}}=2x_{n}-bx_{n}^{2}=x_{n}(2-bx_{n}).}$

Это продолжается до тех пор, пока не будет достигнута желаемая точность. Например, предположим, что мы хотим вычислить 1/17 ≈ 0,0588 с точностью 3 знака. Принимая x ₀ = 0,1, получаем следующую последовательность:

х ₁ = 0,1(2 − 17 × 0,1) = 0,03

х ₂ = 0,03(2 − 17 × 0,03) = 0,0447

х ₃ = 0,0447(2 − 17 × 0,0447) ≈ 0,0554

х ₄ = 0,0554(2 − 17 × 0,0554) ≈ 0,0586

х ₅ = 0,0586(2 − 17 × 0,0586) ≈ 0,0588

Типичное начальное предположение можно получить, округлив b до ближайшей степени 2, а затем используя битовые сдвиги для вычисления его обратной величины.

В конструктивной математике для того, чтобы действительное число x имело обратное число, недостаточно, чтобы x ≠ 0. Вместо этого должно быть задано рациональное число r такое, что 0 <  r  < | x |. В терминах описанного выше алгоритма аппроксимации это необходимо для доказательства того, что изменение y в конечном итоге станет сколь угодно малым.

График f( x ) = x ^x показывающий минимум при (1/ e , e ^{−1/ e} ).

Эту итерацию можно также обобщить на более широкий вид обратных матриц, например, обратных матриц .

Обратные величины иррациональных чисел

Каждое действительное или комплексное число, за исключением нуля, имеет обратную величину, а обратные величины некоторых иррациональных чисел могут обладать важными специальными свойствами. Примерами служат обратная величина e (≈ 0,367879) и обратная величина золотого сечения (≈ 0,618034). Первая обратная величина является особой, поскольку никакое другое положительное число не может дать меньшее число, если возвести его в степень; является глобальным минимумом . Второе число является единственным положительным числом, равным своей обратной величине плюс один: . Его аддитивное обратное число является единственным отрицательным числом, равным своей обратной величине минус один: . ${\displaystyle f(1/e)}$ ${\displaystyle f(x)=x^{x}}$ ${\displaystyle \varphi =1/\varphi +1}$ ${\displaystyle -\varphi =-1/\varphi -1}$

Функция дает бесконечное число иррациональных чисел, которые отличаются от своих обратных чисел на целое число. Например, иррациональное число . Его обратная величина равна , в точности меньше. Такие иррациональные числа имеют очевидное свойство: они имеют ту же дробную часть , что и их обратные числа, поскольку эти числа отличаются на целое число. ${\textstyle f(n)=n+{\sqrt {n^{2}+1}},n\in \mathbb {N} ,n>0}$ ${\displaystyle f(2)}$ ${\displaystyle 2+{\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle 1/(2+{\sqrt {5}})}$ ${\displaystyle -2+{\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle 4}$

Обратная функция играет важную роль в цепных дробях , которые обладают рядом замечательных свойств, связанных с представлением (как рациональных, так и) иррациональных чисел.

Дополнительные замечания

Если умножение ассоциативно, элемент x с мультипликативным обратным не может быть делителем нуля ( x является делителем нуля, если некоторый ненулевой y , xy = 0 ). Чтобы увидеть это, достаточно умножить уравнение xy = 0 на обратный элемент x (слева), а затем упростить, используя ассоциативность. При отсутствии ассоциативности седенионы дают контрпример.

Обратное не выполняется: элемент, который не является делителем нуля , не обязательно имеет мультипликативную обратную. В Z все целые числа, кроме −1, 0, 1, дают примеры; они не являются делителями нуля и не имеют обратных элементов в Z. Однако, если кольцо или алгебра конечны , то все элементы a , которые не являются делителями нуля, имеют (левый и правый) обратную. Для начала заметим, что отображение f ( x ) = ax должно быть инъективным : f ( x ) = f ( y ) подразумевает x = y :

${\displaystyle {\begin{aligned}ax&=ay&\quad \Rightarrow &\quad ax-ay=0\\&&\quad \Rightarrow &\quad a(x-y)=0\\&&\quad \Rightarrow &\quad x-y=0\\&&\quad \Rightarrow &\quad x=y.\end{aligned}}}$

Различные элементы отображаются в различные элементы, поэтому изображение состоит из того же конечного числа элементов, и отображение обязательно сюръективно . В частности, ƒ (а именно умножение на a ) должно отображать некоторый элемент x в 1, ax = 1 , так что x является обратным для a .

Приложения

Разложение обратной величины 1/ q в любой системе счисления также может действовать ^[3] как источник псевдослучайных чисел , если q — «подходящее» безопасное простое число , простое число вида 2 p  + 1, где p также является простым числом. Последовательность псевдослучайных чисел длиной q  − 1 будет получена в результате разложения.

Смотрите также

• Деление (математика)
• Экспоненциальный распад
• Дробь
• Группа (математика)
• Гипербола
• Обратное распределение
• Список сумм обратных величин
• Повторяющаяся десятичная дробь
• 6-сферные координаты
• Дроби единиц – обратные величины целых чисел
• Нули и полюса

Примечания

1. "В равных параллелепипедах основания обратны их высотам". OED "Reciprocal" §3a. Перевод сэра Генри Биллингсли Elements XI, 34.
2. Энтони, д-р "Доказательство того, что INT(1/x)dx = lnx". Спросите д-ра Математики . Университет Дрекселя . Получено 22 марта 2013 г.
3. Митчелл, Дуглас В., «Нелинейный генератор случайных чисел с известной длинной длиной цикла», Cryptologia 17, январь 1993 г., 55–62.

Ссылки

• Максимально периодические обратные величины, Мэтьюз Р.А.Дж. Бюллетень Института математики и ее приложений, т. 28, стр. 147–148, 1992 г.