Евклид ( / ˈ j uː k l ɪ d / ; греческий : Εὐκλείδης ; эт. 300 г. до н.э.) был древнегреческим математиком , работавшим как геометр и логик . [2] Считается «отцом геометрии», [3] он в основном известен благодаря трактату « Элементы », в котором заложены основы геометрии , которая в значительной степени доминировала в этой области до начала 19 века. Его система, теперь называемая евклидовой геометрией , включала новые инновации в сочетании с синтезом теорий более ранних греческих математиков, в том числе Евдокса Книдского , Гиппократа Хиосского и Теэтета . Наряду с Архимедом и Аполлонием Пергским Евклид обычно считается одним из величайших математиков древности и одним из самых влиятельных в истории математики .
О жизни Евклида известно очень мало, и большая часть информации поступает от ученых Прокла и Паппа из Александрии много столетий спустя. Средневековые исламские математики придумали причудливую биографию, а средневековые византийские ученые и ученые раннего Возрождения приняли его за более раннего философа Евклида из Мегары . Сейчас общепринято, что он провел свою карьеру в Александрии и жил около 300 г. до н.э., после учеников Платона и до Архимеда . Есть некоторые предположения, что Евклид учился в Платонической академии , а затем преподавал в Музее ; его считают связующим звеном между ранней платонической традицией в Афинах и более поздней традицией в Александрии.
В « Элементах» Евклид вывел теоремы из небольшого набора аксиом . Он также написал работы по перспективе , коническим сечениям , сферической геометрии , теории чисел и математической строгости . В дополнение к « Элементам » Евклид написал центральный ранний текст в области оптики « Оптика » и менее известные работы, включая «Данные » и «Феномены» . Авторство Евклида двух других текстов — «О разделении фигур» и «Катоптрика » — подвергалось сомнению. Считается, что он написал множество ныне утраченных произведений.
Английское имя «Евклид» является англизированной версией древнегреческого имени Евклид ( Εὐκλείδης ) . [4] [a] Оно происходит от «eu-» (εὖ; «хорошо») и «klês» (-κλῆς; «слава»), что означает «знаменитый, славный». [6] На английском языке под метонимией «Евклид» может означать его самую известную работу, « Начала Евклида » или ее копию, [5] и иногда является синонимом слова «геометрия». [2]
Как и у многих древнегреческих математиков, подробности жизни Евклида по большей части неизвестны. [7] Его считают автором четырех, в основном дошедших до нас, трактатов — « Элементы », «Оптика» , «Данные» , «Феномены» , — но, кроме этого, о нем ничего достоверно не известно. [8] [b] Традиционное повествование в основном следует за рассказом Прокла 5-го века нашей эры в его «Комментариях к Первой книге «Начал» Евклида» , а также нескольким анекдотам из Паппа Александрийского в начале 4-го века. [4] [с]
По словам Прокла, Евклид жил вскоре после нескольких последователей Платона ( ум. 347 до н. э.) и до математика Архимеда ( ок. 287 – ок. 212 до н. э.); [d] в частности, Прокл поместил Евклида во время правления Птолемея I ( годы правления 305/304–282 до н.э.). [8] [7] [e] Дата рождения Евклида неизвестна; по оценкам некоторых ученых, около 330 [11] [12] или 325 г. до н. э., [2] [13] , но другие воздерживаются от спекуляций. [14] Предполагается, что он был греческого происхождения, [11] но место его рождения неизвестно. [15] [ф]
Прокл считал, что Евклид следовал платонической традиции , но окончательного подтверждения этому нет. [17] Маловероятно, что он был современником Платона, поэтому часто предполагается, что он получил образование у учеников Платона в Платоновской Академии в Афинах. [18] Историк Томас Хит поддержал эту теорию, отметив, что наиболее способные геометры жили в Афинах, в том числе многие из тех, на чью работу опирался Евклид; [19] Сиаларос считает это простой гипотезой. [20] [4] В любом случае, содержание работы Евклида демонстрирует знакомство с платоновской традицией геометрии. [11]
В своем «Сборнике» Папп упоминает, что Аполлоний учился у учеников Евклида в Александрии , и это было воспринято как подразумевающее, что Евклид работал и основал там математическую традицию . [8] [21] [19] Город был основан Александром Македонским в 331 г. до н. э., [22] а правление Птолемея I с 306 г. до н. э. придало ему стабильность, которая была относительно уникальной на фоне хаотичных войн за раздел империи Александра. . [23] Птолемей начал процесс эллинизации и заказал многочисленные постройки, построив массивный музей , который был ведущим центром образования. [15] [g] Предполагается, что Евклид был одним из первых ученых Музея. [22]
Дата смерти Евклида неизвестна; Было высказано предположение, что он умер c. 270 г. до н.э. [22]
Евклида часто называют «Евклидом Александрийским», чтобы отличить его от более раннего философа Евклида Мегарского , ученика Сократа , включенного в диалоги Платона , с которым его исторически отождествляли. [4] [14] Валерий Максим , римский компилятор анекдотов I века нашей эры, ошибочно заменил имя Евклида на Евдокса (4 век до нашей эры) как математика, к которому Платон отправлял тех, кто спрашивал, как удвоить куб . [26] Возможно, на основании этого упоминания о математическом Евклиде примерно на столетие раньше, Евклида перепутали с Евклидом Мегарским в средневековых византийских источниках (ныне утерянных), [27] в конечном итоге это привело к тому, что Евклиду-математику стали приписывать детали обоих мужские биографии и описываются как Megarensis ( букв. «Мегарский»). [4] [28] Византийский ученый Теодор Метохит ( около 1300 г. ) явно объединил двух Евклидов, как и печатник Эрхард Ратдольт в 1482 году, издав «Принцепс» Кампана Новарского латинского перевода «Элементов » . [27] В честь математика Бартоломео Замберти добавил большую часть дошедших до нас биографических фрагментов о Евклиде к предисловию своего перевода « Элементов» 1505 года , последующие публикации передали это определение. [27] Более поздние ученые эпохи Возрождения, особенно Питер Рамус , переоценили это утверждение, доказав его ложность из-за проблем в хронологии и противоречий в ранних источниках. [27]
Средневековые арабские источники содержат огромное количество информации о жизни Евклида, но совершенно не поддаются проверке. [4] Большинство ученых считают, что их подлинность сомнительна; [8] Хит, в частности, утверждает, что беллетризация была сделана для укрепления связи между уважаемым математиком и арабским миром. [17] Есть также множество анекдотических историй, касающихся Евклида, все с неопределенной историчностью, которые «изображают его добрым и нежным стариком». [29] Самым известным из них является рассказ Прокла о том, как Птолемей спросил Евклида, есть ли более быстрый путь к изучению геометрии, чем чтение его « Начал» , на что Евклид ответил: «Нет царской дороги к геометрии». [29] Этот анекдот вызывает сомнения, поскольку очень похожее взаимодействие между Менехмом и Александром Великим записано у Стобея . [30] Оба отчета были написаны в V веке нашей эры, ни один из них не указывает на его источник, и ни один из них не появляется в древнегреческой литературе. [31]
Любая точная датировка деятельности Евклида ок. 300 г. до н.э. ставится под сомнение из-за отсутствия современных ссылок. [4] Самая ранняя оригинальная ссылка на Евклида содержится в вступительном письме Аполлония к « Коникам» (начало II века до н.э.): «Третья книга «Коников» содержит множество удивительных теорем, которые полезны как для синтеза, так и для определения количества решений. твёрдых локусов . Большинство из них, и лучшие из них, являются новыми. И когда мы открыли их, мы поняли, что Евклид не осуществил синтез локуса по трем и четырем линиям, а лишь случайный его фрагмент, и даже что не было удачно сделано». [26] Предполагается, что «Элементы » по крайней мере частично находились в обращении к III веку до нашей эры, поскольку Архимед и Аполлоний принимают некоторые из его положений как нечто само собой разумеющееся; [4] однако Архимед использует более старый вариант теории пропорций, чем тот, который найден в « Началах» . [8] Самые старые физические копии материалов, включенных в « Элементы» , датируемые примерно 100 годом нашей эры, можно найти на фрагментах папируса, раскопанных в древней куче мусора из Оксиринха , римский Египет . Самые старые из сохранившихся прямых ссылок на Элементы в работах, даты которых точно известны, датируются Галеном и Александром Афродисиасским только во II веке нашей эры ; к тому времени это был стандартный школьный текст. [26] Некоторые древнегреческие математики упоминают Евклида по имени, но обычно его называют «ὁ στοιχειώτης» («автор « Начал »). [32] В средние века некоторые учёные утверждали, что Евклид не был исторической личностью и что его имя возникло в результате искажения греческих математических терминов. [33]
Евклид наиболее известен своим трактатом из тринадцати книг «Элементы» ( греч . Στοιχεῖα ; Stoicheia ), который считается его выдающимся произведением . [3] [35] Большая часть его содержания происходит от более ранних математиков, в том числе Евдокса , Гиппократа Хиосского , Фалеса и Теэтета , в то время как другие теоремы упоминаются Платоном и Аристотелем. [36] Трудно отличить работу Евклида от работ его предшественников, особенно потому, что « Начала» по существу вытеснили гораздо более раннюю и ныне утраченную греческую математику. [37] [h] Классик Маркус Аспер заключает, что «очевидно, достижение Евклида состоит в сборке принятых математических знаний в убедительный порядок и добавлении новых доказательств для заполнения пробелов», а математик Серафина Куомо описала это как «резервуар результатов». . [38] [36] Несмотря на это, Сиаларос далее отмечает, что «необычайно плотная структура «Элементов» демонстрирует авторский контроль, выходящий за рамки простого редактора». [9]
В « Элементах » обсуждается не только геометрия, как иногда полагают. [37] Традиционно он делится на три темы: геометрия на плоскости (книги 1–6), основная теория чисел (книги 7–10:) и геометрия твердого тела (книги 11–13), хотя есть книги 5 (книги пропорций) и 10 (книги 11–13). по иррациональному принципу) не совсем вписываются в эту схему. [39] [40] Сердцем текста являются теоремы , разбросанные повсюду. [35] Используя терминологию Аристотеля, их можно разделить на две категории: «первые принципы» и «вторые принципы». [41] В первую группу входят утверждения, помеченные как «определение» ( греч . ὅρος или ὁρισμός ), «постулат» ( αἴτημα ) или «общее понятие» ( κοινὴ ἔννοια ); [41] [42] только первая книга включает постулаты, позже известные как аксиомы , и общие понятия. [37] [i] Вторая группа состоит из предложений, представленных вместе с математическими доказательствами и диаграммами. [41] [j] Неизвестно, задумывал ли Евклид « Элементы» как учебник, но метод изложения делает их естественными. [9] В целом авторский голос остается общим и безличным. [36]
Первая книга « Начал» является основой всего текста. [37] Он начинается с серии из 20 определений основных геометрических понятий, таких как линии , углы и различные правильные многоугольники . [45] Затем Евклид представляет 10 предположений (см. таблицу справа), сгруппированных в пять постулатов (аксиом) и пять общих понятий. [46] [l] Эти предположения призваны обеспечить логическую основу для каждой последующей теоремы, т.е. служить аксиоматической системой . [47] [m] Общие понятия касаются исключительно сравнения величин . [49] Хотя постулаты с 1 по 4 относительно просты, [n] 5-й известен как параллельный постулат и особенно известен. [49] [о]
Книга 1 также включает 48 положений, которые можно условно разделить на положения, касающиеся основных теорем и конструкций плоской геометрии и сравнения треугольников (1–26); параллельные линии (27–34); площади треугольников и параллелограммов ( 35–45 ) ; и теорема Пифагора (46–48). [49] Последнее из них включает самое раннее сохранившееся доказательство теоремы Пифагора, описанное Сиаларосом как «удивительно тонкое». [41]
Книга 2 традиционно понимается как посвященная « геометрической алгебре », хотя эта интерпретация активно обсуждается с 1970-х годов; критики называют эту характеристику анахронизмом, поскольку основы даже зарождающейся алгебры возникли много столетий спустя. [41] Вторая книга имеет более целенаправленную сферу и в основном содержит алгебраические теоремы для описания различных геометрических фигур. [37] [49] Он фокусируется на площади прямоугольников и квадратов (см. Квадратура ) и приводит к геометрическому предшественнику закона косинусов .
Книга 3 посвящена кругам, а в 4-й обсуждаются правильные многоугольники , особенно пятиугольник . [37] [51] Книга 5 является одним из наиболее важных разделов работы и представляет то, что обычно называют «общей теорией пропорций». [52] [p] Книга 6 использует «теорию отношений » в контексте плоской геометрии. [37] Оно построено почти полностью на основе своего первого положения: [53] «Треугольники и параллелограммы, находящиеся под одной и той же высотой, являются друг для друга своими основаниями». [54]
Начиная с книги 7, математик Бенно Артманн отмечает, что «Евклид начинает заново. Ничего из предыдущих книг не используется». [55] Теория чисел описана в книгах с 7 по 10, первая из которых начинается с набора из 22 определений четности , простых чисел и других понятий, связанных с арифметикой. [37] Книга 7 включает алгоритм Евклида — метод нахождения наибольшего общего делителя двух чисел. [55] В 8-й книге обсуждаются геометрические прогрессии , а в 9-й книге содержится утверждение, теперь называемое теоремой Евклида , о том, что существует бесконечно много простых чисел . [37]
Из «Элементов » книга 10, безусловно, самая большая и сложная, в ней рассматриваются иррациональные числа в контексте величин. [41]
Последние три книги (11–13) в основном посвящены твердотельной геометрии . [39] Представляя список из 37 определений, Книга 11 контекстуализирует следующие два. [56] Хотя ее основополагающий характер напоминает Книгу 1, в отличие от последней она не содержит аксиоматической системы или постулатов. [56] Три раздела Книги 11 включают материалы по объемной геометрии (1–19), телесным углам (20–23) и параллелепипедным телам (24–37). [56]
Помимо «Начал» до наших дней сохранилось как минимум пять произведений Евклида. Они следуют той же логической структуре, что и Elements , с определениями и доказанными утверждениями.
Четыре других произведения достоверно приписываются Евклиду, но они утеряны. [9]
Работы Евклида можно найти в культурных учреждениях по всему миру. Многие из этих изданий оцифрованы и доступны для публичного ознакомления.
Евклида обычно считают наряду с Архимедом и Аполлонием Пергским одними из величайших математиков древности. [11] Многие комментаторы называют его одной из самых влиятельных фигур в истории математики . [2] Геометрическая система, установленная Элементами, долгое время доминировала в этой области; однако сегодня эту систему часто называют « евклидовой геометрией », чтобы отличить ее от других неевклидовых геометрий, открытых в начале 19 века. [63] Среди многих тезок Евклида — космический корабль «Евклид » Европейского космического агентства (ЕКА) , [64] лунный кратер Евклид , [65] и малая планета 4354 Евклид . [66]
«Элементы » часто считают после Библии наиболее часто переводимой, публикуемой и изучаемой книгой в истории западного мира . [63] Наряду с «Метафизикой» Аристотеля « Начала » являются, пожалуй, самым успешным древнегреческим текстом и доминирующим учебником по математике в средневековом арабском и латинском мире. [63]
Первое английское издание «Элементов » было опубликовано в 1570 году Генри Биллингсли и Джоном Ди . [27] Математик Оливер Бирн в 1847 году опубликовал известную версию «Элементов», озаглавленную «Первые шесть книг элементов Евклида, в которых для большего удобства учащихся вместо букв используются цветные диаграммы и символы» , которая включала цветные диаграммы. призван повысить его педагогический эффект. [67] Дэвид Гильберт является автором современной аксиоматизации «Элементов » . [68]
