В математике отношение ( / ˈ r eɪ ʃ ( i ) oʊ / ) показывает , сколько раз одно число содержит другое. Например, если в вазе с фруктами восемь апельсинов и шесть лимонов, то отношение апельсинов к лимонам составляет восемь к шести (то есть 8:6, что эквивалентно отношению 4:3). Аналогично отношение лимонов к апельсинам составляет 6:8 (или 3:4), а отношение апельсинов к общему количеству фруктов составляет 8:14 (или 4:7).
Числа в соотношении могут быть величинами любого рода, например, количеством людей или предметов, или такими, как измерения длины, веса, времени и т. д. В большинстве контекстов оба числа должны быть положительными .
Отношение может быть определено либо указанием обоих составляющих чисел, записанных как « a к b » или « a:b », либо указанием только значения их частного а/б . [1] [2] [3] Равные частные соответствуют равным отношениям. Утверждение, выражающее равенство двух отношений, называется пропорцией .
Следовательно, отношение можно рассматривать как упорядоченную пару чисел, дробь с первым числом в числителе и вторым в знаменателе, или как значение, обозначенное этой дробью. Отношения количеств, заданные (ненулевыми) натуральными числами , являются рациональными числами и иногда могут быть натуральными числами.
Более конкретное определение, принятое в физических науках (особенно в метрологии ) для отношения , — это безразмерное частное между двумя физическими величинами, измеренными в одной и той же единице . [4] Частное двух величин, измеренных в разных единицах, можно назвать скоростью . [5]
Соотношение чисел A и B можно выразить как: [6]
Когда отношение записано в форме A : B , символ из двух точек иногда является знаком препинания двоеточие . [8] В Unicode это U+003A : COLON , хотя Unicode также предоставляет специальный символ отношения, U+2236 ∶ RATIO . [9]
Числа A и B иногда называются членами отношения , где A — антецедент , а B — консеквент . [ 10]
Утверждение, выражающее равенство двух отношений A : B и C : D, называется пропорцией , [11] и записывается как A : B = C : D или A : B ∷ C : D. Эта последняя форма, когда ее говорят или пишут на английском языке, часто выражается как
A , B , C и D называются членами пропорции. A и D называются ее крайними значениями , а B и C называются ее средними значениями . Равенство трех или более отношений, например A : B = C : D = E : F , называется непрерывной пропорцией . [12]
Иногда используются соотношения с тремя или даже более членами, например, соотношение длин сторон бруска « два на четыре », имеющего длину десять дюймов, равно
хорошую бетонную смесь (в единицах объема) иногда называют
Для (довольно сухой) смеси цемента и воды в соотношении 4:1 по объему можно сказать, что соотношение цемента и воды составляет 4:1, то есть цемента в 4 раза больше, чем воды, или что воды на четверть (1/4) больше, чем цемента.
Смысл такой пропорции отношений с более чем двумя членами заключается в том, что отношение любых двух членов в левой части равно отношению соответствующих двух членов в правой части.
Можно проследить происхождение слова «ratio» до древнегреческого λόγος ( logos ). Ранние переводчики переводили его на латынь как ratio («разум»; как в слове «рациональный»). Более современная интерпретация значения Евклида больше похожа на вычисление или подсчет. [14] Средневековые писатели использовали слово proportio («пропорция») для обозначения ratio и ratioalitas («пропорциональность») для обозначения равенства отношений. [15]
Евклид собрал результаты, представленные в «Началах» из более ранних источников. Пифагорейцы разработали теорию отношения и пропорции применительно к числам. [16] Концепция числа пифагорейцев включала только то, что сегодня называется рациональными числами, что ставит под сомнение справедливость теории в геометрии, где, как также обнаружили пифагорейцы, существуют несоизмеримые отношения (соответствующие иррациональным числам ). Открытие теории отношений, которая не предполагает соизмеримости, вероятно, принадлежит Евдоксу Книдскому . Изложение теории пропорций, которое появляется в книге VII «Начал», отражает более раннюю теорию отношений соизмеримых величин. [17]
Существование множественных теорий кажется излишне сложным, поскольку отношения в значительной степени отождествляются с частными и их предполагаемыми значениями. Однако это сравнительно недавнее развитие, как можно видеть из того факта, что современные учебники геометрии все еще используют различную терминологию и обозначения для отношений и частных. Причины этого двояки: во-первых, было ранее упомянутое нежелание принимать иррациональные числа как истинные числа, а во-вторых, отсутствие широко используемой символики для замены уже устоявшейся терминологии отношений задержало полное принятие дробей в качестве альтернативы до 16-го века. [18]
В пятой книге « Начал» Евклида содержится 18 определений, все из которых относятся к соотношениям. [19] Кроме того, Евклид использует идеи, которые были настолько общеупотребительны, что он не включил для них определения. Первые два определения говорят, что часть величины — это другая величина, которая «измеряет» ее, и наоборот, кратное величины — это другая величина, которую она измеряет. В современной терминологии это означает, что кратное величины — это величина, умноженная на целое число, большее единицы, а часть величины (имеется в виду аликвотная часть ) — это часть, которая при умножении на целое число, большее единицы, дает величину.
Евклид не определяет термин «мера», как он здесь используется, однако, можно сделать вывод, что если величина взята в качестве единицы измерения, а вторая величина дана как целое число этих единиц, то первая величина измеряет вторую. Эти определения повторяются, почти слово в слово, как определения 3 и 5 в книге VII.
Определение 3 описывает, что такое отношение в общем виде. Оно не является строгим в математическом смысле, и некоторые приписывают его редакторам Евклида, а не самому Евклиду. [20] Евклид определяет отношение как отношение между двумя величинами одного и того же типа , поэтому этим определением определяются отношения двух длин или двух площадей, но не отношение длины и площади. Определение 4 делает это более строгим. Оно утверждает, что отношение двух величин существует, когда существует кратное каждой из них, которое превышает другую. В современных обозначениях отношение существует между величинами p и q , если существуют целые числа m и n, такие что mp > q и nq > p . Это условие известно как свойство Архимеда .
Определение 5 является самым сложным и трудным. Оно определяет, что означает равенство двух отношений. Сегодня это можно сделать, просто заявив, что отношения равны, когда равны частные членов, но такое определение было бы бессмысленным для Евклида. В современных обозначениях определение равенства Евклида заключается в том, что заданные величины p , q , r и s , p : q ∷ r : s тогда и только тогда, когда для любых положительных целых чисел m и n , np < mq , np = mq или np > mq в соответствии с тем, что nr < ms , nr = ms или nr > ms соответственно. [21] Это определение имеет сходство с сечениями Дедекинда , так как при положительных n и q np становится равным mq как п/д соответствует рациональному числу м/н (разделив оба члена на nq ). [22]
Определение 6 гласит, что величины, имеющие одинаковое отношение, пропорциональны или находятся в пропорции . Евклид использует греческое слово ἀναλόγον (аналог), оно имеет тот же корень, что и λόγος, и связано с английским словом «analog».
Определение 7 определяет, что означает, что одно отношение меньше или больше другого, и основано на идеях, представленных в определении 5. В современных обозначениях оно гласит, что для данных величин p , q , r и s выполняется соотношение p : q > r : s , если существуют положительные целые числа m и n, такие, что np > mq и nr ≤ ms .
Как и определение 3, определение 8 некоторые считают более поздней вставкой редакторов Евклида. Оно определяет три термина p , q и r как пропорциональные, когда p : q ∷ q : r . Это распространяется на четыре термина p , q , r и s как p : q ∷ q : r ∷ r : s и так далее. Последовательности, обладающие свойством, что отношения последовательных членов равны, называются геометрическими прогрессиями . Определения 9 и 10 применяют это, говоря, что если p , q и r пропорциональны, то p : r является двойным отношением p : q , а если p , q , r и s пропорциональны , то p : s является тройным отношением p : q .
В общем, сравнение количеств двухсущностного отношения может быть выражено как дробь, полученная из отношения. Например, в отношении 2:3 количество, размер, объем или количество первой сущности равно количеству, размеру, объему или количеству второй сущности.
Если есть 2 апельсина и 3 яблока, то соотношение апельсинов к яблокам составляет 2:3, а соотношение апельсинов к общему количеству фруктов составляет 2:5. Эти соотношения также можно выразить в виде дроби: апельсинов на 2/3 меньше, чем яблок, и 2/5 фруктов составляют апельсины. Если концентрат апельсинового сока нужно разбавить водой в соотношении 1:4, то одну часть концентрата смешивают с четырьмя частями воды, что дает в общей сложности пять частей; количество концентрата апельсинового сока составляет 1/4 количества воды, в то время как количество концентрата апельсинового сока составляет 1/5 от общего количества жидкости. Как в соотношениях, так и в дробях важно четко понимать, что с чем сравнивается, и новички часто делают ошибки по этой причине.
Дроби также могут быть выведены из соотношений с более чем двумя сущностями; однако, соотношение с более чем двумя сущностями не может быть полностью преобразовано в одну дробь, поскольку дробь может сравнивать только две величины. Отдельная дробь может использоваться для сравнения величин любых двух сущностей, охватываемых соотношением: например, из соотношения 2:3:7 мы можем сделать вывод, что величина второй сущности равна величине третьей сущности.
Если мы умножим все величины, участвующие в соотношении, на одно и то же число, соотношение останется действительным. Например, соотношение 3:2 равно 12:8. Обычно члены либо приводятся к наименьшему общему знаменателю , либо выражаются в долях на сотню ( процентах ).
Если смесь содержит вещества A, B, C и D в соотношении 5:9:4:2, то на каждые 9 частей B приходится 5 частей A, 4 части C и 2 части D. Так как 5+9+4+2=20, то общая смесь содержит 5/20 A (5 частей из 20), 9/20 B, 4/20 C и 2/20 D. Если мы разделим все числа на общую сумму и умножим на 100, мы получим проценты : 25% A, 45% B, 20% C и 10% D (что эквивалентно записи соотношения в виде 25:45:20:10).
Если два или более соотношения величин охватывают все величины в конкретной ситуации, говорят, что «целое» содержит сумму частей: например, фруктовая корзина, содержащая два яблока и три апельсина и никаких других фруктов, состоит из двух частей яблок и трех частей апельсинов. В этом случае, , или 40% целого составляют яблоки и , или 60% целого составляют апельсины. Такое сравнение определенной величины с «целым» называется пропорцией.
Если отношение состоит только из двух значений, его можно представить в виде дроби, в частности, в виде десятичной дроби. Например, старые телевизоры имеют соотношение сторон 4:3 , что означает, что ширина составляет 4/3 высоты (это также может быть выражено как 1,33:1 или просто 1,33, округленное до двух знаков после запятой). Более современные широкоэкранные телевизоры имеют соотношение сторон 16:9, или 1,78, округленное до двух знаков после запятой. Один из популярных широкоэкранных форматов фильмов — 2,35:1 или просто 2,35. Представление соотношений в виде десятичных дробей упрощает их сравнение. При сравнении 1,33, 1,78 и 2,35 очевидно, какой формат предлагает более широкое изображение. Такое сравнение работает только тогда, когда сравниваемые значения согласованы, как всегда выражение ширины по отношению к высоте.
Отношения можно сократить (как и дроби), разделив каждую величину на общие множители всех величин. Что касается дробей, то простейшей формой считается та, в которой числа в отношении являются наименьшими возможными целыми числами.
Таким образом, отношение 40:60 по смыслу эквивалентно отношению 2:3, причем последнее получается из первого путем деления обеих величин на 20. Математически мы записываем 40:60 = 2:3 или, что эквивалентно, 40:60∷2:3. Словесный эквивалент: «40 относится к 60 так же, как 2 к 3».
Отношение, в котором обе величины представлены целыми числами и которое нельзя сократить дальше (используя целые числа), называется простейшим или наименьшим отношением.
Иногда полезно записывать соотношение в виде 1: x или x :1, где x не обязательно является целым числом, чтобы можно было сравнивать различные соотношения. Например, соотношение 4:5 можно записать как 1:1,25 (деление обеих сторон на 4). В качестве альтернативы его можно записать как 0,8:1 (деление обеих сторон на 5).
Если контекст делает значение ясным, соотношение в этой форме иногда записывается без 1 и символа соотношения (:), хотя математически это делает его фактором или множителем .
Отношения могут быть установлены также между несоизмеримыми величинами (величинами, отношение которых, как значение дроби, равно иррациональному числу ) . Самый ранний обнаруженный пример, найденный пифагорейцами , — это отношение длины диагонали d к длине стороны s квадрата , которое формально равно квадратному корню из 2. Другой пример — отношение длины окружности к ее диаметру, которое называется π и является не просто иррациональным числом , а трансцендентным числом .
Также хорошо известно золотое сечение двух (в основном) длин a и b , которое определяется пропорцией
Принимая отношения как дроби и имея значение x , получаем уравнение
которое имеет положительное, иррациональное решение Таким образом, по крайней мере одно из a и b должно быть иррациональным, чтобы они находились в золотом сечении. Примером появления золотого сечения в математике является предельное значение отношения двух последовательных чисел Фибоначчи : даже если все эти отношения являются отношениями двух целых чисел и, следовательно, являются рациональными, пределом последовательности этих рациональных отношений является иррациональное золотое сечение.
Аналогично, серебряное соотношение a и b определяется пропорцией
Это уравнение имеет положительное, иррациональное решение , поэтому снова по крайней мере одна из двух величин a и b в соотношении серебра должна быть иррациональной.
Шансы (как в азартных играх) выражаются в виде отношения. Например, шансы "7 к 3 против" (7:3) означают, что на каждые три шанса, что событие произойдет, приходится семь шансов, что событие не произойдет. Вероятность успеха составляет 30%. В каждых десяти попытках ожидается три победы и семь поражений.
Отношения могут быть безразмерными , как в случае, когда они связывают величины в единицах одной размерности , даже если их единицы измерения изначально различны. Например, отношение одна минута : 40 секунд можно сократить, изменив первое значение на 60 секунд, так что отношение станет 60 секунд : 40 секунд . Как только единицы станут одинаковыми, их можно будет опустить, и отношение можно будет сократить до 3:2.
С другой стороны, существуют небезразмерные коэффициенты, также известные как скорости (иногда также как отношения). [23] [24] В химии отношения массовой концентрации обычно выражаются как доли веса/объема. Например, концентрация 3% м/о обычно означает 3 г вещества в каждых 100 мл раствора. Это не может быть преобразовано в безразмерное отношение, как в доли веса/веса или объема/объема.
Расположение точек относительно треугольника с вершинами A , B и C и сторонами AB , BC и CA часто выражается в расширенной пропорциональой форме в виде треугольных координат .
В барицентрических координатах точка с координатами α, β, γ — это точка, в которой невесомый лист металла в форме и размере треугольника точно уравновешивался бы, если бы на вершинах были размещены грузы, при этом соотношение грузов в точках A и B было бы α : β , соотношение грузов в точках B и C было бы β : γ , и, следовательно, соотношение грузов в точках A и C было бы α : γ .
В трилинейных координатах точка с координатами x : y : z имеет перпендикулярные расстояния до стороны BC (напротив вершины A ) и стороны CA (напротив вершины B ) в отношении x : y , расстояния до стороны CA и стороны AB (напротив C ) в отношении y : z , и, следовательно, расстояния до сторон BC и AB в отношении x : z .
Поскольку вся информация выражается в терминах отношений (отдельные числа, обозначенные как α, β, γ, x, y и z , сами по себе не имеют смысла), анализ треугольника с использованием барицентрических или трилинейных координат применим независимо от размера треугольника.
[003A is] также используется для обозначения деления или масштаба; для этого математического использования 2236 ∶ является предпочтительным
«Скорость» можно определить как отношение... «Плотность населения» — это отношение... «Расход бензина» измеряется как отношение...
{{cite book}}: CS1 maint: другие ( ссылка )