Геометрическая оптика

Модель оптики, описывающая свет как геометрические лучи

Геометрическая оптика , или лучевая оптика , является моделью оптики , которая описывает распространение света в терминах лучей . Луч в геометрической оптике является абстракцией , полезной для аппроксимации путей , по которым свет распространяется при определенных обстоятельствах.

Упрощающие предположения геометрической оптики включают в себя то, что световые лучи:

• распространяются по прямолинейным траекториям, поскольку они перемещаются в однородной среде
• изгибаться, а в определенных обстоятельствах может разделяться на две части на границе раздела двух разнородных сред
• следовать по криволинейным траекториям в среде, в которой изменяется показатель преломления
• может быть поглощен или отражен.

Геометрическая оптика не учитывает некоторые оптические эффекты, такие как дифракция и интерференция , которые рассматриваются в физической оптике . Это упрощение полезно на практике; это превосходное приближение, когда длина волны мала по сравнению с размером структур, с которыми взаимодействует свет. Эти методы особенно полезны при описании геометрических аспектов визуализации , включая оптические аберрации .

Объяснение

Когда свет проходит через пространство, он колеблется по амплитуде . На этом изображении каждый максимальный гребень амплитуды отмечен плоскостью, чтобы проиллюстрировать волновой фронт . Луч — это стрелка, перпендикулярная этим параллельным поверхностям.

Световой луч — это линия или кривая , перпендикулярная волновым фронтам света (и, следовательно, коллинеарная волновому вектору ). Немного более строгое определение светового луча следует из принципа Ферма , который гласит, что путь, пройденный лучом света между двумя точками, — это путь, который можно пройти за наименьшее время. ^[1]

Геометрическая оптика часто упрощается путем параксиального приближения или «приближения малого угла». Математическое поведение тогда становится линейным , что позволяет описывать оптические компоненты и системы простыми матрицами. Это приводит к методам гауссовой оптики и параксиальной трассировки лучей , которые используются для нахождения основных свойств оптических систем, таких как приблизительное положение изображения и объекта и увеличение . ^[2]

Отражение

Диаграмма зеркального отражения

Глянцевые поверхности, такие как зеркала, отражают свет простым, предсказуемым образом. Это позволяет создавать отраженные изображения, которые можно связать с реальным ( реальным ) или экстраполированным ( виртуальным ) местоположением в пространстве.

При таких поверхностях направление отраженного луча определяется углом, который падающий луч образует с нормалью к поверхности , линией, перпендикулярной поверхности в точке падения луча. Падающий и отраженный лучи лежат в одной плоскости, а угол между отраженным лучом и нормалью к поверхности такой же, как угол между падающим лучом и нормалью. ^[3] Это известно как Закон отражения .

Для плоских зеркал закон отражения подразумевает, что изображения объектов являются вертикальными и находятся на том же расстоянии позади зеркала, на котором находятся объекты перед зеркалом. Размер изображения совпадает с размером объекта. (Увеличение плоского зеркала равно единице.) Закон также подразумевает, что зеркальные изображения являются инвертированными по четности , что воспринимается как инверсия слева направо.

Зеркала с криволинейными поверхностями можно моделировать с помощью трассировки лучей и использования закона отражения в каждой точке поверхности. Для зеркал с параболическими поверхностями параллельные лучи, падающие на зеркало, создают отраженные лучи, которые сходятся в общем фокусе . Другие криволинейные поверхности также могут фокусировать свет, но с аберрациями из-за расходящейся формы, заставляющей фокус размываться в пространстве. В частности, сферические зеркала демонстрируют сферическую аберрацию . Кривые зеркала могут формировать изображения с увеличением больше или меньше единицы, и изображение может быть прямым или перевернутым. Прямое изображение, сформированное отражением в зеркале, всегда является виртуальным, в то время как перевернутое изображение является реальным и может быть спроецировано на экран. ^[3]

Рефракция

Иллюстрация закона Снеллиуса

Рефракция происходит, когда свет проходит через область пространства, имеющую изменяющийся показатель преломления. Простейший случай рефракции происходит, когда есть интерфейс между однородной средой с показателем преломления и другой средой с показателем преломления . В таких ситуациях закон Снеллиуса описывает результирующее отклонение светового луча: где и — углы между нормалью (к интерфейсу) и падающей и преломленной волнами соответственно. Это явление также связано с изменяющейся скоростью света, как видно из определения показателя преломления, приведенного выше, которое подразумевает: где и — скорости волн через соответствующие среды. ^[3] ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle n_{2}}$ $${\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}}$$ ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$ $${\displaystyle v_{1}\sin \theta _{2}\ =v_{2}\sin \theta _{1}}$$ ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}}$

Различные следствия закона Снеллиуса включают тот факт, что для световых лучей, идущих от материала с высоким показателем преломления к материалу с низким показателем преломления, возможно, что взаимодействие с интерфейсом приведет к нулевой передаче. Это явление называется полным внутренним отражением и позволяет использовать технологию волоконной оптики . Когда световые сигналы распространяются по волоконно-оптическому кабелю, они подвергаются полному внутреннему отражению, что позволяет практически не терять свет по всей длине кабеля. Также возможно создавать поляризованные световые лучи, используя комбинацию отражения и преломления: когда преломленный луч и отраженный луч образуют прямой угол , отраженный луч обладает свойством «плоской поляризации». Угол падения, необходимый для такого сценария, известен как угол Брюстера . ^[3]

Закон Снеллиуса можно использовать для прогнозирования отклонения световых лучей при их прохождении через «линейные среды», если известны показатели преломления и геометрия среды. Например, распространение света через призму приводит к отклонению светового луча в зависимости от формы и ориентации призмы. Кроме того, поскольку различные частоты света имеют немного разные показатели преломления в большинстве материалов, преломление можно использовать для получения дисперсионных спектров , которые выглядят как радуги. Открытие этого явления при прохождении света через призму приписывается Исааку Ньютону . ^[3]

Некоторые среды имеют показатель преломления, который постепенно меняется в зависимости от положения, и, таким образом, лучи света искривляются через среду, а не движутся по прямым линиям. Этот эффект является причиной миражей , которые можно увидеть в жаркие дни, когда изменяющийся показатель преломления воздуха заставляет лучи света изгибаться, создавая видимость зеркальных отражений на расстоянии (как на поверхности бассейна с водой). Материал, который имеет переменный показатель преломления, называется материалом с градиентным показателем преломления (GRIN) и обладает многими полезными свойствами, используемыми в современных технологиях оптического сканирования, включая фотокопировальные аппараты и сканеры . Это явление изучается в области оптики с градиентным показателем преломления . ^[4]

Диаграмма трассировки лучей для простой собирающей линзы.

Устройство, которое создает сходящиеся или расходящиеся световые лучи из-за преломления, известно как линза . Тонкие линзы создают фокусные точки с обеих сторон, которые можно смоделировать с помощью уравнения изготовителя линз . ^[5] В общем, существует два типа линз: выпуклые линзы , которые заставляют параллельные световые лучи сходиться, и вогнутые линзы , которые заставляют параллельные световые лучи расходиться. Подробное предсказание того, как изображения создаются этими линзами, можно сделать с помощью трассировки лучей, аналогичной изогнутым зеркалам. Подобно изогнутым зеркалам, тонкие линзы следуют простому уравнению, которое определяет местоположение изображений при заданном фокусном расстоянии ( ) и расстоянии до объекта ( ): где — расстояние, связанное с изображением, и по соглашению считается отрицательным, если находится на той же стороне линзы, что и объект, и положительным, если находится на противоположной стороне линзы. ^[5] Фокусное расстояние f считается отрицательным для вогнутых линз. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S_{1}}$ $${\displaystyle {\frac {1}{S_{1}}}+{\frac {1}{S_{2}}}={\frac {1}{f}}}$$ ${\displaystyle S_{2}}$

Входящие параллельные лучи фокусируются выпуклой линзой в перевернутое действительное изображение на расстоянии одного фокусного расстояния от линзы, на дальней стороне линзы.

Входящие параллельные лучи фокусируются выпуклой линзой в перевернутое действительное изображение на расстоянии одного фокусного расстояния от линзы, на дальней стороне линзы.

Лучи от объекта, находящегося на конечном расстоянии, фокусируются дальше от линзы, чем фокусное расстояние; чем ближе объект к линзе, тем дальше от линзы изображение. В случае вогнутых линз входящие параллельные лучи расходятся после прохождения через линзу таким образом, что кажется, что они возникли в прямом мнимом изображении на расстоянии одного фокусного расстояния от линзы, с той же стороны линзы, с которой приближаются параллельные лучи.

В случае вогнутых линз входящие параллельные лучи расходятся после прохождения через линзу таким образом, что создается впечатление, что они возникли в прямом мнимом изображении на расстоянии одного фокусного расстояния от линзы, с той же стороны линзы, с которой приближаются параллельные лучи.

Лучи от объекта на конечном расстоянии связаны с мнимым изображением, которое находится ближе к линзе, чем фокусное расстояние, и по ту же сторону линзы, что и объект. Чем ближе объект к линзе, тем ближе мнимое изображение к линзе.

Лучи от объекта, находящегося на конечном расстоянии, связаны с мнимым изображением, которое находится ближе к линзе, чем фокусное расстояние, и по ту же сторону линзы, что и объект.

Аналогично, увеличение линзы задается как где отрицательный знак дается, по соглашению, чтобы указать на прямой объект для положительных значений и перевернутый объект для отрицательных значений. Подобно зеркалам, прямые изображения, создаваемые одиночными линзами, являются виртуальными, а перевернутые изображения — действительными. ^[3] $${\displaystyle M=-{\frac {S_{2}}{S_{1}}}={\frac {f}{f-S_{1}}}}$$

Линзы страдают от аберраций , которые искажают изображения и фокусные точки. Они возникают как из-за геометрических несовершенств, так и из-за изменения показателя преломления для различных длин волн света ( хроматическая аберрация ). ^[3]

Базовая математика

Как математическое исследование, геометрическая оптика возникает как коротковолновый предел для решений гиперболических уравнений в частных производных (метод Зоммерфельда–Рунге) или как свойство распространения разрывов поля в соответствии с уравнениями Максвелла (метод Люнебурга). В этом коротковолновом пределе можно локально аппроксимировать решение с помощью , где удовлетворяют дисперсионному соотношению , а амплитуда изменяется медленно. Точнее, решение ведущего порядка принимает вид Фаза может быть линеаризована для восстановления большого волнового числа , и частоты . Амплитуда удовлетворяет уравнению переноса . Малый параметр выходит на сцену из-за сильно осциллирующих начальных условий. Таким образом, когда начальные условия осциллируют намного быстрее, чем коэффициенты дифференциального уравнения, решения будут сильно осциллирующими и переноситься вдоль лучей. Предполагая, что коэффициенты в дифференциальном уравнении гладкие, лучи тоже будут. Другими словами, преломление не происходит. Мотивация для этой техники исходит из изучения типичного сценария распространения света, где коротковолновый свет распространяется вдоль лучей, которые минимизируют (более или менее) время его путешествия. Его полное применение требует инструментов из микролокального анализа . $${\displaystyle u(t,x)\approx a(t,x)e^{i(k\cdot x-\omega t)}}$$ ${\displaystyle k,\omega }$ ${\displaystyle a(t,x)}$ $${\displaystyle a_{0}(t,x)e^{i\varphi (t,x)/\varepsilon }.}$$ ${\displaystyle \varphi (t,x)/\varepsilon }$ ${\displaystyle k:=\nabla _{x}\varphi }$ ${\displaystyle \omega :=-\partial _{t}\varphi }$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle \varepsilon \,}$

Метод Зоммерфельда–Рунге

Метод получения уравнений геометрической оптики путем принятия предела нулевой длины волны был впервые описан Арнольдом Зоммерфельдом и Й. Рунге в 1911 году. ^[6] Их вывод был основан на устном замечании Петера Дебая . ^{[7] [8]} Рассмотрим монохроматическое скалярное поле , где может быть любая из компонент электрического или магнитного поля и, следовательно, функция удовлетворяет волновому уравнению , где с - скорость света в вакууме. Здесь - показатель преломления среды. Без потери общности, давайте введем для преобразования уравнения в ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=\phi (\mathbf {r} )e^{i\omega t}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\phi +k_{o}^{2}n(\mathbf {r} )^{2}\phi =0}$$ ${\displaystyle k_{o}=\omega /c=2\pi /\lambda _{o}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \phi =A(k_{o},\mathbf {r} )e^{ik_{o}S(\mathbf {r} )}}$ $${\displaystyle -k_{o}^{2}A[(\nabla S)^{2}-n^{2}]+2ik_{o}(\nabla S\cdot \nabla A)+ik_{o}A\nabla ^{2}S+\nabla ^{2}A=0.}$$

Поскольку основной принцип геометрической оптики лежит в пределе , предполагается следующий асимптотический ряд: ${\displaystyle \lambda _{o}\sim k_{o}^{-1}\rightarrow 0}$ $${\displaystyle A(k_{o},\mathbf {r} )=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {A_{m}(\mathbf {r} )}{(ik_{o})^{m}}}}$$

Для большого, но конечного значения ряд расходится, и нужно быть осторожным, сохраняя только несколько первых членов. Для каждого значения можно найти оптимальное число членов, которые следует сохранить, и добавление большего числа членов, чем оптимальное число, может привести к более плохому приближению. ^[9] Подставляя ряд в уравнение и собирая члены разных порядков, можно найти в общем случае, ${\displaystyle k_{o}}$ ${\displaystyle k_{o}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}O(k_{o}^{2}):&\quad (\nabla S)^{2}=n^{2},\\[1ex]O(k_{o}):&\quad 2\nabla S\cdot \nabla A_{0}+A_{0}\nabla ^{2}S=0,\\[1ex]O(1):&\quad 2\nabla S\cdot \nabla A_{1}+A_{1}\nabla ^{2}S=-\nabla ^{2}A_{0},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle O(k_{o}^{1-m}):\quad 2\nabla S\cdot \nabla A_{m}+A_{m}\nabla ^{2}S=-\nabla ^{2}A_{m-1}.}$$

Первое уравнение известно как уравнение эйконала , которое определяет эйконал как уравнение Гамильтона–Якоби , записанное, например, в декартовых координатах, становится ${\displaystyle S(\mathbf {r} )}$ $${\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial z}}\right)^{2}=n^{2}.}$$

Остальные уравнения определяют функции . ${\displaystyle A_{m}(\mathbf {r} )}$

метод Люнебурга

Метод получения уравнений геометрической оптики путем анализа поверхностей разрывов решений уравнений Максвелла был впервые описан Рудольфом Карлом Люнебургом в 1944 году. ^[10] Он не ограничивает электромагнитное поле специальной формой, требуемой методом Зоммерфельда-Рунге, который предполагает, что амплитуда и фаза удовлетворяют уравнению . Этому условию удовлетворяют, например, плоские волны, но оно не является аддитивным. ${\displaystyle A(k_{o},\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle S(\mathbf {r} )}$ ${\textstyle \lim _{k_{0}\to \infty }{\frac {1}{k_{0}}}\left({\frac {1}{A}}\,\nabla S\cdot \nabla A+{\frac {1}{2}}\nabla ^{2}S\right)=0}$

Основной вывод подхода Люнебурга заключается в следующем:

Теорема. Предположим, что поля и (в линейной изотропной среде, описываемой диэлектрическими проницаемостями и ) имеют конечные разрывы вдоль (движущейся) поверхности в , описываемой уравнением . Тогда уравнения Максвелла в интегральной форме подразумевают, что удовлетворяет уравнению эйконала : где - показатель преломления среды (в гауссовых единицах). ${\displaystyle \mathbf {E} (x,y,z,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {H} (x,y,z,t)}$ ${\displaystyle \varepsilon (x,y,z)}$ ${\displaystyle \mu (x,y,z)}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \psi (x,y,z)-ct=0}$ ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle \psi _{x}^{2}+\psi _{y}^{2}+\psi _{z}^{2}=\varepsilon \mu =n^{2},}$$ ${\displaystyle n}$

Примером такой поверхности разрыва является начальный волновой фронт, исходящий от источника, который начинает излучать в определенный момент времени.

Таким образом, поверхности разрыва поля становятся волновыми фронтами геометрической оптики с соответствующими полями геометрической оптики, определяемыми как: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} ^{*}(x,y,z)&=\mathbf {E} (x,y,z,\psi (x,y,z)/c)\\[1ex]\mathbf {H} ^{*}(x,y,z)&=\mathbf {H} (x,y,z,\psi (x,y,z)/c)\end{aligned}}}$$

Эти поля подчиняются уравнениям переноса, соответствующим уравнениям переноса подхода Зоммерфельда-Рунге. Световые лучи в теории Люнебурга определяются как траектории, ортогональные поверхностям разрыва, и можно показать, что они подчиняются принципу наименьшего времени Ферма , тем самым устанавливая идентичность этих лучей со световыми лучами стандартной оптики.

Вышеуказанные разработки можно обобщить на анизотропные среды. ^[11]

Доказательство теоремы Люнебурга основано на исследовании того, как уравнения Максвелла управляют распространением разрывов решений. Основная техническая лемма такова:

Техническая лемма. Пусть будет гиперповерхностью (3-мерным многообразием) в пространстве-времени, на которой одно или несколько из: , , , , имеют конечный разрыв. Тогда в каждой точке гиперповерхности справедливы следующие формулы: где оператор действует в -пространстве (для каждого фиксированного ), а квадратные скобки обозначают разницу значений по обе стороны от поверхности разрыва (установленной в соответствии с произвольным, но фиксированным соглашением, например, градиент указывает в направлении величин, вычитаемых из ). ${\displaystyle \varphi (x,y,z,t)=0}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} (x,y,z,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {H} (x,y,z,t)}$ ${\displaystyle \varepsilon (x,y,z)}$ ${\displaystyle \mu (x,y,z)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \varphi \cdot [\varepsilon \mathbf {E} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \cdot [\mu \mathbf {H} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ]+{\frac {1}{c}}\,\varphi _{t}\,[\mu \mathbf {H} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ]-{\frac {1}{c}}\,\varphi _{t}\,[\varepsilon \mathbf {E} ]&=0\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle xyz}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \nabla \varphi }$

Набросок доказательства. Начнем с уравнений Максвелла вдали от источников (гауссовы единицы): $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \varepsilon \mathbf {E} =0\\[1ex]\nabla \cdot \mu \mathbf {H} =0\\[1ex]\nabla \times \mathbf {E} +{\tfrac {\mu }{c}}\,\mathbf {H} _{t}=0\\[1ex]\nabla \times \mathbf {H} -{\tfrac {\varepsilon }{c}}\,\mathbf {E} _{t}=0\end{aligned}}}$$

Используя теорему Стокса в можно заключить из первого из приведенных выше уравнений, что для любой области в с кусочно-гладкой (3-мерной) границей справедливо следующее: где — проекция внешней единичной нормали на 3D-сечение , а — объемная 3-форма на . Аналогично из оставшихся уравнений Максвелла можно установить следующее: ${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ $${\displaystyle \oint _{\Gamma }(\mathbf {M} \cdot \varepsilon \mathbf {E} )\,dS=0}$$ ${\displaystyle \mathbf {M} =(x_{N},y_{N},z_{N})}$ ${\displaystyle (x_{N},y_{N},z_{N},t_{N})}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle t={\rm {const}}}$ ${\displaystyle dS}$ ${\displaystyle \Gamma }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{\Gamma }\left(\mathbf {M} \cdot \mu \mathbf {H} \right)dS&=0\\[1.55ex]\oint _{\Gamma }\left(\mathbf {M} \times \mathbf {E} +{\frac {\mu }{c}}\,t_{N}\,\mathbf {H} \right)dS&=0\\[1.55ex]\oint _{\Gamma }\left(\mathbf {M} \times \mathbf {H} -{\frac {\varepsilon }{c}}\,t_{N}\,\mathbf {E} \right)dS&=0\end{aligned}}}$$

Теперь, рассматривая произвольные малые подповерхности и устанавливая малые окрестности, окружающие в , и вычитая вышеуказанные интегралы соответственно, получаем: где обозначает градиент в 4D -пространстве. И поскольку является произвольным, подынтегральные функции должны быть равны 0, что доказывает лемму. ${\displaystyle \Gamma _{0}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\Gamma _{0}}(\nabla \varphi \cdot [\varepsilon \mathbf {E} ])\,{dS \over \|\nabla ^{4D}\varphi \|}&=0\\[1ex]\int _{\Gamma _{0}}(\nabla \varphi \cdot [\mu \mathbf {H} ])\,{dS \over \|\nabla ^{4D}\varphi \|}&=0\\[1ex]\int _{\Gamma _{0}}\left(\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ]+{1 \over c}\,\varphi _{t}\,[\mu \mathbf {H} ]\right)\,{\frac {dS}{\|\nabla ^{4D}\varphi \|}}&=0\\[1ex]\int _{\Gamma _{0}}\left(\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ]-{1 \over c}\,\varphi _{t}\,[\varepsilon \mathbf {E} ]\right)\,{\frac {dS}{\|\nabla ^{4D}\varphi \|}}&=0\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \nabla ^{4D}}$ ${\displaystyle xyzt}$ ${\displaystyle \Gamma _{0}}$

Теперь легко показать, что при распространении через непрерывную среду поверхности разрыва подчиняются уравнению эйконала. В частности, если и непрерывны, то разрывы и удовлетворяют: и . В этом случае последние два уравнения леммы можно записать как: ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle [\varepsilon \mathbf {E} ]=\varepsilon [\mathbf {E} ]}$ ${\displaystyle [\mu \mathbf {H} ]=\mu [\mathbf {H} ]}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ]+{\mu \over c}\,\varphi _{t}\,[\mathbf {H} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ]-{\varepsilon \over c}\,\varphi _{t}\,[\mathbf {E} ]&=0\end{aligned}}}$$

Взяв векторное произведение второго уравнения на и подставив первое, получаем: ${\displaystyle \nabla \varphi }$ $${\displaystyle \nabla \varphi \times (\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ])-{\varepsilon \over c}\,\varphi _{t}\,(\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ])=(\nabla \varphi \cdot [\mathbf {H} ])\,\nabla \varphi -\|\nabla \varphi \|^{2}\,[\mathbf {H} ]+{\varepsilon \mu \over c^{2}}\varphi _{t}^{2}\,[\mathbf {H} ]=0}$$

Из непрерывности и второго уравнения леммы следует: , следовательно, для точек, лежащих только на поверхности : ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nabla \varphi \cdot [\mathbf {H} ]=0}$ ${\displaystyle \varphi =0}$ $${\displaystyle \|\nabla \varphi \|^{2}={\varepsilon \mu \over c^{2}}\varphi _{t}^{2}}$$

(Обратите внимание, что наличие разрыва имеет важное значение на этом этапе, поскольку в противном случае нам пришлось бы делить на ноль.)

Из физических соображений можно предположить без потери общности, что имеет следующий вид: , т.е. двумерная поверхность, движущаяся в пространстве, смоделированная как поверхности уровня . (Математически существует, если по теореме о неявной функции .) Вышеуказанное уравнение, записанное в терминах , становится: т.е., которое является уравнением эйконала и справедливо для всех , , , поскольку переменная отсутствует. Другие законы оптики, такие как закон Снеллиуса и формулы Френеля, могут быть получены аналогичным образом, рассматривая разрывы в и . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (x,y,z,t)=\psi (x,y,z)-ct}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \varphi _{t}\neq 0}$ ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle \|\nabla \psi \|^{2}={\varepsilon \mu \over c^{2}}\,(-c)^{2}=\varepsilon \mu =n^{2}}$$ $${\displaystyle \psi _{x}^{2}+\psi _{y}^{2}+\psi _{z}^{2}=n^{2}}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mu }$

Общее уравнение с использованием четырехвекторной записи

В четырехвекторной записи, используемой в специальной теории относительности , волновое уравнение можно записать как $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x_{i}\partial x^{i}}}=0}$$

и замена приводит к ^[12] ${\displaystyle \psi =Ae^{iS/\varepsilon }}$ $${\displaystyle -{\frac {A}{\varepsilon ^{2}}}{\frac {\partial S}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}+{\frac {2i}{\varepsilon }}{\frac {\partial A}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}+{\frac {iA}{\varepsilon }}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x_{i}\partial x^{i}}}+{\frac {\partial ^{2}A}{\partial x_{i}\partial x^{i}}}=0.}$$

Следовательно, уравнение эйконала имеет вид $${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}=0.}$$

После того, как эйконал найден путем решения приведенного выше уравнения, волновой четырехвектор может быть найден из $${\displaystyle k_{i}=-{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}.}$$

Смотрите также

• Гамильтонова оптика
• Геометрическая акустика

Ссылки

1. Артур Шустер , Введение в теорию оптики , Лондон: Эдвард Арнольд, 1904 онлайн.
2. Грейвенкамп, Джон Э. (2004). Полевое руководство по геометрической оптике . Полевые руководства SPIE. Том. 1. ШПИОН . стр. 19–20. ISBN 0-8194-5294-7.
3. Хью Д. Янг (1992). Университетская физика 8e . Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-52981-5.Глава 35.
4. EW Marchand, Gradient Index Optics, Нью-Йорк, Academic Press, 1978.
5. Hecht, Eugene (1987). Оптика (2-е изд.). Addison Wesley. ISBN 0-201-11609-X.Главы 5 и 6.
6. Зоммерфельд А. и Рунге Дж. (1911). Anwendung der Vektorrechnung auf die Grundlagen der geometrischen Optik. Аннален дер Физик, 340(7), 277-298.
7. Борн, М. и Вольф, Э. (2013). Принципы оптики: электромагнитная теория распространения, интерференции и дифракции света . Elsevier.
8. Sommerfield, A.; J., Runge. "The application of vector calculus to the foundations of geometrical optics" (PDF) . Неоклассическая физика . Перевод DH Delphenich . Получено 3 ноября 2023 г. .
9. Боровиц, С. (1967). Основы квантовой механики, частицы, волны и волновая механика.
10. Люнебург, Р. К., Математическая теория оптики , Издательство Брауновского университета, 1944 [мимеографированные заметки], Издательство Калифорнийского университета, 1964
11. Клайн, М., Кей, И.В., Электромагнитная теория и геометрическая оптика , Interscience Publishers 1965
12. Ландау, Л. Д. и Лифшиц, Э. М. (1975). Классическая теория полей.

Дальнейшее чтение

• Роберт Альфред Герман (1900) Трактат о геометрической оптике с Archive.org .
• «Свет очей и просветленный ландшафт видения» — рукопись на арабском языке о геометрической оптике, датируемая XVI веком.
• Теория систем лучей – У. Р. Гамильтон в Трудах Королевской Ирландской академии , т. XV, 1828.

Переводы на английский язык некоторых ранних книг и статей

• Х. Брунс, «Das Eikonal»
• М. Малус, «Оптика»
• Дж. Плюккер, «Обсуждение общей формы световых волн»
• Э. Куммер, «Общая теория прямолинейных лучевых систем»
• Э. Куммер, презентация об оптически реализуемых прямолинейных лучевых системах
• Р. Мейбауэр, «Теория прямолинейных систем световых лучей»
• М. Паш, «О фокальных поверхностях лучевых систем и поверхностях особенностей комплексов»
• А. Левисталь, «Исследования по геометрической оптике»
• Ф. Кляйн, «Об эйконале Брунса»
• Р. Донтот, «Об интегральных инвариантах и ​​некоторых вопросах геометрической оптики»
• Т. де Дондер, «Об интегральных инвариантах оптики»

Внешние ссылки

• Лекция Фейнмана по геометрической оптике