Оптическая аберрация

Отклонение от идеального параксиального оптического поведения

1: Формирование изображения с помощью линзы с хроматической аберрацией . 2: Линза с меньшей хроматической аберрацией.

В оптике аберрация — это свойство оптических систем, таких как линзы , которое заставляет свет рассеиваться по некоторой области пространства, а не фокусироваться в точке. ^[1] Аберрации приводят к тому, что изображение, сформированное линзой , становится размытым или искаженным, причем характер искажения зависит от типа аберрации. Аберрацию можно определить как отклонение характеристик оптической системы от предсказаний параксиальной оптики . ^[2] В системе формирования изображений это происходит, когда свет из одной точки объекта не сходится в одну точку (или не расходится из нее) после прохождения через систему. Аберрации возникают из-за того, что простая параксиальная теория не является полностью точной моделью воздействия оптической системы на свет, а не из-за недостатков оптических элементов. ^[3]

Оптическая система формирования изображения с аберрацией даст нечеткое изображение. Производителям оптических приборов необходимо корректировать оптические системы для компенсации аберрации. Аберрации особенно значимы в телескопах, где они могут значительно ухудшить качество наблюдаемых небесных объектов. Понимание и исправление этих оптических недостатков имеют решающее значение для астрономов, чтобы добиться четких и точных наблюдений. ^[4]

Аберрацию можно анализировать с помощью методов геометрической оптики . В статьях по отражению , преломлению и каустике обсуждаются общие свойства отраженных и преломленных лучей .

Обзор

Отражение от сферического зеркала. Падающие лучи (красные) от центра зеркала создают отраженные лучи (зеленые), которые не попадают в фокусную точку F. Это происходит из-за сферической аберрации .

При использовании идеальной линзы свет из любой заданной точки на объекте проходил бы через линзу и собирался бы в одной точке на плоскости изображения (или, в более общем смысле, на поверхности изображения ). Однако реальные линзы не фокусируют свет точно в одну точку, даже если они идеально сделаны. Эти отклонения от идеальных характеристик линзы называются аберрациями линзы.

Аберрации делятся на два класса: монохроматические и хроматические . Монохроматические аберрации вызваны геометрией линзы или зеркала и возникают как при отражении света, так и при его преломлении. Они появляются даже при использовании монохроматического света , отсюда и название.

Хроматические аберрации вызваны дисперсией , изменением показателя преломления линзы с длиной волны . Из-за дисперсии разные длины волн света фокусируются в разных точках. Хроматическая аберрация не возникает при использовании монохроматического света.

Монохроматические аберрации

Наиболее распространенными монохроматическими аберрациями являются:

• Расфокусировка
• Сферическая аберрация
• кома
• Астигматизм
• Кривизна поля
• Искажение изображения

Хотя технически дефокусировка является оптическими аберрациями низшего порядка, ее обычно не считают аберрацией линзы, поскольку ее можно исправить, переместив линзу (или плоскость изображения) так, чтобы привести плоскость изображения в оптический фокус линзы.

В дополнение к этим аберрациям, поршень и наклон являются эффектами, которые смещают положение фокусной точки. Поршень и наклон не являются истинными оптическими аберрациями, поскольку когда в остальном идеальный волновой фронт изменяется поршнем и наклоном, он все равно будет формировать идеальное, свободное от аберраций изображение, только смещенное в другое положение.

Хроматические аберрации

Сравнение идеального изображения кольца (1) и изображений, имеющих только осевую (2) и только поперечную (3) хроматическую аберрацию

Хроматическая аберрация возникает, когда разные длины волн не фокусируются в одной точке. Типы хроматической аберрации:

• Аксиальная (или «продольная») хроматическая аберрация
• Боковая (или «поперечная») хроматическая аберрация

Теория монохроматической аберрации

В идеальной оптической системе в классической теории оптики ^{[5] [6]} лучи света, исходящие из любой точки объекта , объединяются в точке изображения ; и, следовательно, пространство объектов воспроизводится в пространстве изображения. Введение простых вспомогательных терминов, принадлежащих Гауссу ^[7] [ ^8], называемых фокусными расстояниями и фокальными плоскостями , позволяет определить изображение любого объекта для любой системы. Однако гауссова теория верна только до тех пор, пока углы, образуемые всеми лучами с оптической осью (симметричной осью системы), бесконечно малы, т. е. с бесконечно малыми объектами, изображениями и линзами; на практике эти условия могут не быть реализованы, и изображения, проецируемые неисправленными системами, в общем случае плохо определены и часто размыты, если апертура или поле зрения превышают определенные пределы. ^[8]

Исследования Джеймса Клерка Максвелла ^[9] и Эрнста Аббе ^{[примечание 1]} показали, что свойства этих репродукций, т. е. относительное положение и величина изображений, не являются особыми свойствами оптических систем, а необходимыми следствиями предположения (по Аббе) о воспроизведении всех точек пространства в точках изображения и не зависят от способа, которым осуществляется воспроизведение. Эти авторы показали, однако, что ни одна оптическая система не может оправдать эти предположения, поскольку они противоречат фундаментальным законам отражения и преломления. Следовательно, гауссова теория предоставляет только удобный метод приближения к реальности; реалистичные оптические системы не достигают этого недостижимого идеала. В настоящее время все, что может быть достигнуто, — это проекция одной плоскости на другую плоскость; но даже в этом случае всегда возникают аберрации, и маловероятно, что они когда-либо будут полностью исправлены. ^[8]

Аберрация осевых точек (сферическая аберрация в узком смысле)

Рисунок 1

Пусть S (рис. 1) — любая оптическая система, лучи, исходящие из осевой точки O под углом u1, соединятся в осевой точке O'1; а лучи под углом u2 — в осевой точке O'2. Если происходит преломление на коллективной сферической поверхности или через тонкую положительную линзу, O'2 будет лежать перед O'1 до тех пор, пока угол u2 больше u1 ( недокоррекция ); и наоборот, с дисперсионной поверхностью или линзами ( перекоррекция ). Каустика в первом случае напоминает знак > (больше чем); во втором — < (меньше чем). Если угол u1 очень мал, O'1 — гауссово изображение; и O'1 O'2 называется продольной аберрацией , а O'1R — боковой аберрацией карандашей с апертурой u2. Если карандаш с углом u2 является карандашом максимальной аберрации из всех переданных карандашей, то в плоскости, перпендикулярной оси в точке O'1, находится круговой диск рассеяния радиусом O'1R, а в параллельной плоскости в точке O'2 — еще один круг радиусом O'2R2; между этими двумя расположен диск наименьшего рассеяния. ^[8]

Наибольшее отверстие карандашей, которые принимают участие в воспроизведении O, т. е. угол u, обычно определяется краем одной из линз или отверстием в тонкой пластине, расположенной между, перед или за линзами системы. Это отверстие называется диафрагмой или стопой ; Аббе использовал термин диафрагма как для отверстия , так и для ограничивающего края линзы. Компонент S1 системы, расположенный между диафрагмой и объектом O, проецирует изображение диафрагмы, названное Аббе входным зрачком ; выходной зрачок - это изображение, сформированное компонентом S2, который расположен за диафрагмой. Все лучи, которые выходят из O и проходят через диафрагму, также проходят через входной и выходной зрачки, поскольку они являются изображениями диафрагмы. Поскольку максимальная диафрагма карандашей, выходящих из O, является углом u, образуемым входным зрачком в этой точке, величина аберрации будет определяться положением и диаметром входного зрачка. Если система находится полностью за апертурной диафрагмой, то это и есть входной зрачок ( передняя диафрагма ); если полностью перед ней, то это выходной зрачок ( задняя диафрагма ). ^[8]

Если точка объекта бесконечно удалена, все лучи, принимаемые первым членом системы, параллельны, и их пересечения, после прохождения системы, изменяются в зависимости от их перпендикулярной высоты падения, т. е. их расстояния от оси. Это расстояние заменяет угол u в предыдущих рассмотрениях; а апертура, т. е. радиус входного зрачка, является его максимальным значением. ^[8]

Аберрация элементов, т.е. мельчайшие объекты, расположенные перпендикулярно оси

Если лучи, исходящие из O (рис. 1), совпадают, то из этого не следует, что точки в части плоскости, перпендикулярной в точке O к оси, также будут совпадать, даже если часть плоскости очень мала. По мере увеличения диаметра линзы (т. е. с увеличением апертуры) соседняя точка N будет воспроизводиться, но сопровождаться аберрациями, сравнимыми по величине с ON. Эти аберрации избегаются, если, согласно Аббе, условие синуса, sin u'1/sin u1=sin u'2/sin u2, выполняется для всех лучей, воспроизводящих точку O. Если точка объекта O бесконечно удалена, u1 и u2 следует заменить на h1 и h2, перпендикулярные высоты падения; тогда условие синуса становится sin u'1/h1=sin u'2/h2. Система, удовлетворяющая этому условию и свободная от сферической аберрации, называется апланатической (греч. a-, отрицательный, plann, блуждающий). Это слово впервые использовал Роберт Блэр для характеристики превосходного ахроматизма, а впоследствии многие авторы также использовали его для обозначения свободы от сферической аберрации. ^[8]

Поскольку аберрация увеличивается с увеличением расстояния луча от центра линзы, аберрация увеличивается с увеличением диаметра линзы (или, соответственно, с диаметром апертуры) и, следовательно, может быть минимизирована путем уменьшения апертуры, за счет также уменьшения количества света, достигающего плоскости изображения.

Аберрация боковых точек объекта (точек за пределами оси) при узких карандашах — астигматизм

Рисунок 2

Точка O (рис. 2) на конечном расстоянии от оси (или при бесконечно удаленном объекте точка, которая образует конечный угол в системе) в общем случае даже тогда не воспроизводится резко, если пучок лучей, исходящих из нее и проходящих через систему, сделать бесконечно узким путем уменьшения апертурной диафрагмы; такой пучок состоит из лучей, которые могут проходить из точки объекта через теперь бесконечно малый входной зрачок. Видно (игнорируя исключительные случаи), что пучок не встречается с преломляющей или отражающей поверхностью под прямым углом; поэтому он астигматичен (греч. a-, приватный, stigmia, точка). Называя центральный луч, проходящий через входной зрачок, осью пучка или главным лучом, можно сказать: лучи пучка пересекаются не в одной точке, а в двух фокальных линиях, которые можно считать перпендикулярными главному лучу; из них один лежит в плоскости, содержащей главный луч и ось системы, т. е. в первом главном сечении или меридиональном сечении , а другой под прямым углом к ​​нему, т. е. во втором главном сечении или сагиттальном сечении. Мы получаем, таким образом, ни в одной пересекающей плоскости позади системы, как, например, фокусирующий экран, изображение точки объекта; с другой стороны, в каждой из двух плоскостей линии O' и O" образуются по отдельности (в соседних плоскостях образуются эллипсы), а в плоскости между O' и O" - круг наименьшего смешения. Интервал O'O", называемый астигматической разностью, увеличивается, в общем, с углом W, образуемым главным лучом OP с осью системы, т. е. с полем зрения. Две астигматические поверхности изображения соответствуют одной предметной плоскости; и они соприкасаются в точке оси; на одной лежат фокальные линии первого рода, на другой — второго. Системы, в которых две астигматические поверхности совпадают, называются анастигматическими или стигматическими. ^[8]

Сэр Исаак Ньютон, вероятно, был первооткрывателем астигматизма; положение астигматических линий изображения было определено Томасом Юнгом; ^[10] а теория была разработана Алваром Гулльстрандом . ^{[11] [12] [8]} Библиография П. Кульманна приведена в книге Морица фон Рора « Die Bilderzeugung in optischen Instrumenten» . ^{[13] [8]}

Аберрация боковых точек объекта с широкими карандашами — кома

При более широком открытии диафрагмы для боковых точек возникают такие же отклонения, как уже обсуждалось для осевых точек; но в этом случае они гораздо сложнее. Ход лучей в меридиональном сечении больше не симметричен главному лучу карандаша; и на пересекающей плоскости вместо светящейся точки появляется пятно света, не симметричное относительно точки, и часто демонстрирующее сходство с кометой, хвост которой направлен к оси или от нее. От этого вида она и получила свое название. Несимметричная форма меридионального карандаша — прежде единственная рассматриваемая — является комой только в более узком смысле; другие ошибки комы были рассмотрены Артуром Кёнигом и Морицем фон Рором ^[13] , а позднее Алваром Гулльстрандом. ^{[12] [8]}

Кривизна поля изображения

Если устранить вышеуказанные ошибки, объединить две астигматические поверхности и получить четкое изображение с широкой апертурой, то остается необходимость исправления кривизны поверхности изображения, особенно когда изображение должно быть получено на плоской поверхности, например, в фотографии. В большинстве случаев поверхность вогнута по отношению к системе. ^[8]

Искажение изображения

Рис. 3а: Бочкообразное искажение

Рис. 3б: Подушкообразное искажение

Даже если изображение четкое, оно может быть искажено по сравнению с идеальной проекцией пинхола . В проекции пинхола увеличение объекта обратно пропорционально его расстоянию до камеры вдоль оптической оси, так что камера, направленная прямо на плоскую поверхность, воспроизводит эту плоскую поверхность. Искажение можно рассматривать как неравномерное растяжение изображения или, что эквивалентно, как изменение увеличения по полю. Хотя «искажение» может включать произвольную деформацию изображения, наиболее выраженным режимом искажения, создаваемым обычной оптикой формирования изображений, является «бочкообразное искажение», при котором центр изображения увеличивается больше, чем периметр (рисунок 3a). Обратное, при котором периметр увеличивается больше, чем центр, известно как «подушкообразное искажение» (рисунок 3b). Этот эффект называется искажением линзы или искажением изображения , и существуют алгоритмы для его исправления.

Системы, не дающие искажений, называются ортоскопическими (orthos — правый, skopein — смотреть) или прямолинейными (прямые линии).

Рисунок 4

Эта аберрация совершенно отлична от аберрации резкости воспроизведения; при нерезком воспроизведении вопрос об искажении возникает, если на рисунке можно распознать только части объекта. Если на нерезком изображении пятно света соответствует точке объекта, центр тяжести пятна можно рассматривать как точку изображения, являющуюся точкой, где плоскость, принимающая изображение, например, фокусирующий экран, пересекает луч, проходящий через середину диафрагмы. Это предположение оправдано, если плохое изображение на фокусирующем экране остается неподвижным при уменьшении апертуры; на практике это обычно и происходит. Этот луч, названный Аббе главным лучом (не путать с главными лучами гауссовой теории), проходит через центр входного зрачка до первой рефракции и центр выходного зрачка после последней рефракции. Из этого следует, что правильность рисунка зависит исключительно от главных лучей; и не зависит от резкости или кривизны поля изображения. Ссылаясь на рис. 4, имеем O'Q'/OQ = a' tan w'/a tan w = 1/N, где N - масштаб или увеличение изображения. Для того чтобы N было постоянным для всех значений w, a' tan w'/a tan w также должно быть постоянным. Если отношение a'/a достаточно постоянно, как это часто бывает, то вышеуказанное соотношение сводится к условию Эйри , т . е. tan w'/ tan w = константа. Это простое соотношение (см. Camb. Phil. Trans., 1830, 3, стр. 1) выполняется во всех системах, которые симметричны относительно своей диафрагмы (кратко называемые симметричными или голосимметричными объективами ), или которые состоят из двух одинаковых, но разных по размеру компонентов, размещенных от диафрагмы в соотношении их размеров и представляющих одну и ту же кривизну к ней (гемисимметричные объективы); в этих системах tan w' / tan w = 1. ^[8]

Постоянство a'/a, необходимое для соблюдения этого соотношения, было указано RH Bow (Brit. Journ. Photog., 1861) и Thomas Sutton (Photographic Notes, 1862); оно было рассмотрено O. Lummer и M. von Rohr (Zeit. f. Instrumentenk., 1897, 17 и 1898, 18, стр. 4). Оно требует, чтобы середина апертурной диафрагмы воспроизводилась в центрах входного и выходного зрачков без сферической аберрации. M. von Rohr показал, что для систем, не удовлетворяющих ни условию Эйри, ни условию Боу-Саттона, отношение a' cos w'/a tan w будет постоянным для одного расстояния объекта. Это комбинированное условие точно выполняется голосимметричными объективами, воспроизводящими с масштабом 1, и полусимметричными, если масштаб воспроизведения равен отношению размеров двух компонентов. ^[8]

Модель аберраций Зернике

Плоскость изображения плоской вершины пучка под действием первых 21 полинома Цернике.

Эффект аберраций Цернике в логарифмической шкале. Видны минимумы интенсивности.

Круговые профили волнового фронта, связанные с аберрациями, могут быть математически смоделированы с использованием полиномов Цернике . Разработанные Фрицем Цернике в 1930-х годах, полиномы Цернике ортогональны по окружности единичного радиуса. Сложный, аберрированный профиль волнового фронта может быть подобран по кривой с помощью полиномов Цернике для получения набора коэффициентов подгонки , которые по отдельности представляют различные типы аберраций. Эти коэффициенты Цернике линейно независимы , поэтому отдельные вклады аберраций в общий волновой фронт могут быть изолированы и количественно оценены отдельно.

Существуют четные и нечетные полиномы Цернике. Четные полиномы Цернике определяются как

${\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho ,\phi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\cos(m\,\phi )\!}$

и нечетные полиномы Цернике как

${\displaystyle Z_{n}^{-m}(\rho ,\phi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\sin(m\,\phi ),\!}$

где m и n — неотрицательные целые числа с , Φ — азимутальный угол в радианах , а ρ — нормализованное радиальное расстояние. Радиальные полиномы не имеют азимутальной зависимости и определяются как ${\displaystyle n\geq m}$ ${\displaystyle R_{n}^{m}}$

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=\!\sum _{k=0}^{(n-m)/2}\!\!\!{\frac {(-1)^{k}\,(n-k)!}{k!\,((n+m)/2-k)!\,((n-m)/2-k)!}}\;\rho ^{n-2\,k}\quad {\mbox{if }}n-m{\mbox{ is even}}}$

и если нечетное. ${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=0}$ ${\displaystyle n-m}$

Первые несколько полиномов Цернике, умноженные на соответствующие им коэффициенты подгонки, равны: ^[14]

где — нормализованный радиус зрачка при , — азимутальный угол вокруг зрачка при , а коэффициенты подгонки — ошибки волнового фронта в длинах волн. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle 0\leq \rho \leq 1}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle 0\leq \phi \leq 2\pi }$ ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{8}}$

Как и в синтезе Фурье с использованием синусов и косинусов , волновой фронт может быть идеально представлен достаточно большим числом полиномов Цернике более высокого порядка. Однако волновые фронты с очень крутыми градиентами или очень высокой пространственной частотной структурой, например, создаваемые распространением через атмосферную турбулентность или аэродинамические поля потоков , не очень хорошо моделируются полиномами Цернике, которые имеют тенденцию фильтровать низкие частоты для тонкой пространственной определенности в волновом фронте. В этом случае другие методы подгонки, такие как фракталы или разложение по сингулярным значениям, могут дать улучшенные результаты подгонки.

Круговые полиномы были введены Фрицем Цернике для оценки точечного изображения аберрированной оптической системы с учетом эффектов дифракции . Идеальное точечное изображение при наличии дифракции было описано Эйри еще в 1835 году. Потребовалось почти сто лет, чтобы прийти к всеобъемлющей теории и моделированию точечного изображения аберрированных систем (Цернике и Нийбур). Анализ Нийбура и Цернике описывает распределение интенсивности вблизи оптимальной фокальной плоскости. Недавно была разработана расширенная теория, которая позволяет вычислять амплитуду и интенсивность точечного изображения по гораздо большему объему в фокальной области (расширенная теория Нийбура-Цернике). Эта расширенная теория Нийбура-Цернике формирования точечного изображения или «функции рассеяния точки» нашла применение в общих исследованиях формирования изображений, особенно для систем с высокой числовой апертурой , и в характеристике оптических систем относительно их аберраций. ^[15]

Аналитическая обработка аберраций

Предшествующий обзор нескольких ошибок воспроизведения принадлежит теории аберраций Аббе, в которой определенные аберрации обсуждаются отдельно; она хорошо подходит для практических нужд, поскольку при конструировании оптического прибора стремятся устранить определенные ошибки, выбор которых оправдан опытом. В математическом смысле, однако, этот выбор произволен; воспроизведение конечного объекта с конечной апертурой влечет за собой, по всей вероятности, бесконечное число аберраций. Это число конечно только в том случае, если объект и апертура предполагаются бесконечно малыми определенного порядка ; и с каждым порядком бесконечной малости, т. е. с каждой степенью приближения к реальности (к конечным объектам и апертурам), связано определенное число аберраций. Эта связь обеспечивается только теориями, которые рассматривают аберрации в общем и аналитически с помощью неопределенных рядов. ^[8]

Рисунок 5

Луч, исходящий из точки объекта O (рис. 5), может быть определен координатами (ξ, η). Точки O в плоскости объекта I, перпендикулярной оси, и двумя другими координатами (x, y), точкой, в которой луч пересекает входной зрачок, т. е. плоскость II. Аналогично соответствующий луч изображения может быть определен точками (ξ', η') и (x', y') в плоскостях I' и II'. Начала этих четырех плоских систем координат могут быть коллинеарными с осью оптической системы; и соответствующие оси могут быть параллельными. Каждая из четырех координат ξ', η', x', y' является функцией ξ, η, x, y; и если предположить, что поле зрения и апертура бесконечно малы, то ξ, η, x, y имеют тот же порядок бесконечно малых; следовательно, разлагая ξ', η', x', y' по возрастающим степеням ξ, η, x, y, получаются ряды, в которых необходимо рассматривать только самые низкие степени. Легко видеть, что если оптическая система симметрична, начала систем координат коллинеарны с оптической осью и соответствующие оси параллельны, то при изменении знаков ξ, η, x, y значения ξ', η', x', y' также должны изменить свой знак, но сохранить свои арифметические значения; это означает, что ряды ограничены нечетными степенями неотмеченных переменных. ^[8]

Природа воспроизведения состоит в том, что лучи, исходящие из точки O, объединяются в другой точке O'; в общем случае это не будет иметь места, поскольку ξ', η' изменяются, если ξ, η постоянны, а x, y переменны. Можно предположить, что плоскости I' и II' нарисованы там, где изображения плоскостей I и II образованы лучами вблизи оси по обычным гауссовым правилам; и путем расширения этих правил, однако не соответствующего действительности, можно построить гауссово изображение точки O' ₀ с координатами ξ' ₀ , η' ₀ точки O на некотором расстоянии от оси. Записывая Dξ'=ξ'-ξ' ₀ и Dη'=η'-η' ₀ , тогда Dξ' и Dη' являются аберрациями, принадлежащими ξ, η и x, y, и являются функциями этих величин, которые при разложении в ряд содержат только нечетные степени по тем же причинам, что указаны выше. Вследствие аберраций всех лучей, проходящих через O, в плоскости I' будет сформировано пятно света, размер которого зависит от наименьших степеней ξ, η, x, y, которые содержат аберрации. Эти степени, названные Й. Петцвалем ^[16] числовыми порядками изображения, являются, следовательно, только нечетными степенями; условием образования изображения m-го порядка является то, что в рядах для Dξ' и Dη' коэффициенты при степенях 3-й, 5-й...(m-2)-й степеней должны обращаться в нуль. Так как изображения теории Гаусса являются изображениями третьего порядка, то следующая проблема — получить изображение 5-го порядка или сделать коэффициенты степеней 3-й степени равными нулю. Это требует удовлетворения пяти уравнений; другими словами, есть пять изменений 3-го порядка, исчезновение которых дает изображение 5-го порядка. ^[8]

Выражение для этих коэффициентов через константы оптической системы, т. е. радиусы, толщины, показатели преломления и расстояния между линзами, было решено Л. Зайделем ; ^[17] в 1840 году Й. Петцваль построил свой портретный объектив, используя аналогичные вычисления, которые никогда не были опубликованы. ^[18] Теория была разработана С. Финтерсвальдером, ^[19] который также опубликовал посмертную статью Зайделя, содержащую краткий обзор его работы; ^[20] более простая форма была дана А. Кербером. ^[21] А. Кёниг и М. фон Рор ^{[22] : 317–323} представили метод Кербера и вывели формулы Зайделя из геометрических соображений, основанных на методе Аббе, и геометрически интерпретировали аналитические результаты. ^{[22] : 212–316  [8]}

Аберрации также могут быть выражены посредством характеристической функции системы и ее дифференциальных коэффициентов, а не радиусами и т. д. линз; эти формулы не применимы непосредственно, но дают, однако, связь между числом аберраций и порядком. Сэр Уильям Роуэн Гамильтон (British Assoc. Report, 1833, стр. 360) таким образом вывел аберрации третьего порядка; и в более позднее время этот метод был продолжен Клерк Максвеллом ( Proc. London Math. Soc., 1874–1875; (см. также трактаты RS Heath и LA Herman), М. Тизеном ( Berlin. Akad. Sitzber., 1890, 35, стр. 804), Х. Брунсом ( Leipzig. Math. Phys. Ber., 1895, 21, стр. 410), и особенно успешно К. Шварцшильдом ( Göttingen. Akad. Abhandl., 1905, 4, № 1), который таким образом открыл аберрации 5-го порядка (которых существует девять), и, возможно, самое короткое доказательство практических (Зейделя) формул. А. Гулльстранд (см. supra, и Ann. d. Phys., 1905, 18, стр. 941) основал свою теория аберраций в дифференциальной геометрии поверхностей. ^[8]

Аберрации третьего порядка: (1) аберрация точки оси; (2) аберрация точек, расстояние которых от оси очень мало, меньше третьего порядка — отклонение от синусоидального условия и кома здесь попадают вместе в один класс; (3) астигматизм; (4) кривизна поля; (5) дисторсия. ^[8]

1. Аберрация третьего порядка осевых точек рассматривается во всех учебниках по оптике. Она очень важна в конструкции телескопа. В телескопах апертура обычно принимается как линейный диаметр объектива. Это не то же самое, что апертура микроскопа, которая основана на входном зрачке или поле зрения, как видно со стороны объекта, и выражается как угловое измерение. Аберрациями более высокого порядка в конструкции телескопа в основном можно пренебречь. Для микроскопов ее нельзя пренебречь. Для одной линзы очень малой толщины и заданной мощности аберрация зависит от отношения радиусов r:r' и является минимальной (но никогда не нулевой) для определенного значения этого отношения; она изменяется обратно пропорционально показателю преломления (мощность линзы остается постоянной). Общая аберрация двух или более очень тонких линз, находящихся в контакте, будучи суммой индивидуальных аберраций, может быть равна нулю. Это также возможно, если линзы имеют одинаковый алгебраический знак. Из тонких положительных линз с n=1,5 для исправления сферической аберрации третьего порядка необходимо четыре. Однако эти системы не имеют большого практического значения. В большинстве случаев комбинируются две тонкие линзы, одна из которых имеет такую ​​же сильную положительную аберрацию ( недокоррекцию, см. выше), как и другая отрицательную; первая должна быть положительной линзой, а вторая — отрицательной; однако, силы могут различаться, так что желаемый эффект линзы сохраняется. Обычно выгодно обеспечить большой эффект преломления несколькими более слабыми, чем одной мощной линзой. С помощью одной, а также нескольких и даже бесконечного числа тонких линз в контакте можно воспроизвести не более двух точек оси без аберрации третьего порядка. Свобода от аберрации для двух точек оси, одна из которых находится на бесконечном расстоянии, известна как условие Гершеля. Все эти правила действительны, поскольку толщины и расстояния линз не следует принимать во внимание. ^[8]
2. Условие отсутствия комы в третьем порядке также важно для телескопических объективов; оно известно как условие Фраунгофера . (4) После устранения аберрации на оси, комы и астигматизма соотношение для плоскостности поля в третьем порядке выражается уравнением Петцваля, S1/r(n'−n) = 0, где r — радиус преломляющей поверхности, n и n' — показатели преломления соседних сред, а S — знак суммирования для всех преломляющих поверхностей. ^[8]

Практическое устранение аберраций

Лазерные опорные звезды помогают устранить атмосферные искажения. ^[23]

Классическая задача визуализации заключается в идеальном воспроизведении конечной плоскости (объекта) на другой плоскости (изображении) через конечную апертуру. Невозможно сделать это идеально для более чем одной такой пары плоскостей (это было доказано с возрастающей общностью Максвеллом в 1858 году, Брунсом в 1895 году и Каратеодори в 1926 году, см. резюме в Walther, A., J. Opt. Soc. Am. A 6 , 415–422 (1989)). Однако для одной пары плоскостей (например, для одной фокусной установки объектива) задача в принципе может быть решена идеально. Примерами такой теоретически совершенной системы являются линза Люнебурга и рыбий глаз Максвелла .

Практические методы решают эту проблему с точностью, которая в основном достаточна для специального назначения каждого вида инструмента. Проблема нахождения системы, которая воспроизводит данный объект на данной плоскости с данным увеличением (поскольку аберрации должны быть учтены), может быть решена с помощью теории приближения; в большинстве случаев, однако, аналитические трудности были слишком велики для старых методов расчета, но могут быть улучшены путем применения современных компьютерных систем. Решения, однако, были получены в особых случаях. ^[24] В настоящее время конструкторы почти всегда используют обратный метод: они составляют систему из определенного, часто совершенно личного опыта, и проверяют, тригонометрическим расчетом путей нескольких лучей, дает ли система желаемое воспроизведение (примеры приведены в A. Gleichen, Lehrbuch der geometrischen Optik , Leipzig and Berlin, 1902). Радиусы, толщины и расстояния непрерывно изменяются до тех пор, пока ошибки изображения не станут достаточно малыми. Этим методом исследуются только некоторые ошибки воспроизведения, особенно отдельные члены или все из тех, что названы выше. Аналитическая теория приближения часто применяется временно, поскольку ее точность обычно недостаточна. ^[8]

Для того чтобы сделать сферическую аберрацию и отклонение от синусоидального условия малыми по всей апертуре, лучу с конечным углом раскрытия u* (ширина бесконечно удаленных объектов: с конечной высотой падения h*) дается то же расстояние пересечения и то же отношение синусов, что и лучу, соседнему с осью (u* или h* не могут быть намного меньше, чем наибольшая апертура U или H, используемая в системе). Лучи с углом раскрытия, меньшим u*, не будут иметь того же расстояния пересечения и того же отношения синусов; эти отклонения называются зонами, и конструктор стремится свести их к минимуму. То же самое относится к ошибкам, зависящим от угла поля зрения w: астигматизм, кривизна поля и искажение устраняются для определенного значения w*, зоны астигматизма, кривизны поля и искажения сопровождают меньшие значения w. Практикующий оптик называет такие системы: скорректированные по углу апертуры u* (высоте падения h*) или углу поля зрения w*. Сферическая аберрация и изменения синусоидальных отношений часто представляются графически как функции апертуры, так же как отклонения двух астигматических поверхностей изображения плоскости изображения осевой точки представляются как функции углов поля зрения. ^[8]

Окончательная форма практической системы, следовательно, основывается на компромиссе; увеличение апертуры приводит к уменьшению доступного поля зрения, и наоборот. Но большая апертура даст большее разрешение. Следующее можно считать типичным: ^[8]

1. Наибольшая апертура; необходимые поправки — на точку оси и условие синуса; погрешности поля зрения почти не учитываются; пример — объективы микроскопов с большим увеличением.
2. Широкоугольный объектив ; необходимые поправки — на астигматизм, кривизну поля и дисторсию; ошибки апертуры учитываются лишь в незначительной степени; примеры — фотографические широкоугольные объективы и окуляры.
   Между этими крайними примерами находится нормальный объектив : он больше скорректирован в отношении апертуры; объективы для групп больше скорректированы в отношении поля зрения.
3. Длиннофокусные объективы имеют малые поля зрения, а аберрации на оси очень важны. Поэтому зоны будут максимально малыми, а дизайн должен подчеркивать простоту. Благодаря этому эти объективы лучше всего подходят для аналитических вычислений.

Хроматическая или цветовая аберрация

В оптических системах, состоящих из линз, положение, величина и ошибки изображения зависят от показателей преломления используемого стекла (см. Линза (оптика) и Монохроматическая аберрация, выше). Поскольку показатель преломления изменяется в зависимости от цвета или длины волны света (см. дисперсия ), то отсюда следует, что система линз (нескорректированная) проецирует изображения разных цветов в несколько разных местах и ​​размерах и с разными аберрациями; т. е. существуют хроматические различия расстояний пересечения, увеличений и монохроматических аберраций. Если используется смешанный свет (например, белый свет), все эти изображения формируются, и они вызывают путаницу, называемую хроматической аберрацией; например, вместо белой границы на темном фоне воспринимается цветная граница или узкий спектр. Отсутствие этой ошибки называется ахроматизмом, а оптическая система, скорректированная таким образом, называется ахроматической. Говорят, что система хроматически недоисправлена, когда она показывает тот же тип хроматической ошибки, что и тонкая положительная линза, в противном случае говорят, что она переисправлена. ^[8]

Если, во-первых, пренебречь монохроматическими аберрациями — иными словами, принять гауссову теорию — то всякое воспроизведение определяется положениями фокальных плоскостей и величиной фокусных расстояний, или, если фокусные расстояния, как это обычно бывает, равны, тремя константами воспроизведения. Эти константы определяются данными системы (радиусами, толщинами, расстояниями, индексами и т. д. линз); поэтому их зависимость от показателя преломления и, следовательно, от цвета ^[8] вычислима. ^[25] Показатели преломления для различных длин волн должны быть известны для каждого вида используемого стекла. Таким образом, соблюдаются условия, что любая одна константа воспроизведения одинакова для двух различных цветов, т. е. эта константа ахроматизируется. Например, можно с помощью одной толстой линзы в воздухе ахроматизировать положение фокальной плоскости величины фокусного расстояния. Если все три константы воспроизведения ахроматизированы, то гауссово изображение для всех расстояний объектов одинаково для двух цветов, и говорят, что система находится в устойчивом ахроматизме. ^[8]

На практике более выгодно (по Аббе) определять хроматическую аберрацию (например, расстояние пересечения) для фиксированного положения объекта и выражать ее суммой, в которой каждый компонент содержит величину, обусловленную каждой преломляющей поверхностью. ^{[26] [27] [8]} В плоскости, содержащей точку изображения одного цвета, другой цвет производит диск нерезкости; это похоже на нерезкость, вызванную двумя зонами при сферической аберрации. Для бесконечно удаленных объектов радиус хроматического диска нерезкости пропорционален линейной апертуре и не зависит от фокусного расстояния ( см. выше , Монохроматическая аберрация точки оси ); и поскольку этот диск становится менее вредным с увеличением изображения данного объекта или с увеличением фокусного расстояния, следует, что ухудшение изображения пропорционально отношению апертуры к фокусному расстоянию, т. е. относительному отверстию. (Это объясняет гигантские фокусные расстояния, которые были популярны до открытия ахроматизма.) ^[8]

Примеры:

1. В очень тонкой линзе, в воздухе, должна наблюдаться только одна постоянная воспроизведения, поскольку фокусное расстояние и расстояние до фокусной точки равны. Если показатель преломления для одного цвета будет , а для другого , а мощности, или обратные фокусным расстояниям, будут и , то называется дисперсией, а дисперсионная способность стекла. ^[8] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+dn}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f+df}$ $${\displaystyle {\dfrac {df}{f}}={\dfrac {dn}{(n-1)}}={\dfrac {1}{n}},}$$ ${\displaystyle dn}$ ${\displaystyle n}$
2. Две тонкие линзы в контакте: пусть и будут степенями, соответствующими линзам с показателями преломления и и радиусами , , и , соответственно; пусть обозначают полную степенями, а , , изменениями , , и с цветом. Тогда справедливы следующие соотношения: ^[8] ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$ ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle n_{2}}$ ${\displaystyle r'_{1}}$ ${\displaystyle r''_{1}}$ ${\displaystyle r'_{2}}$ ${\displaystyle r''_{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle dn_{1}}$ ${\displaystyle dn_{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle n_{2}}$
   • ${\displaystyle f=f_{1}-f_{2}=(n_{1}-1)(1/r'_{1}-1/r''_{1})+(n2-1)(1/r'_{2}-1/r''_{2})=(n_{1}-1)k_{1}+(n_{2}-1)k_{2}}$; и
   • ${\displaystyle df=k_{1}dn_{1}+k_{2}dn_{2}}$. Для ахроматизма , следовательно, из (3), ${\displaystyle df=0}$
   • ${\displaystyle k_{1}/k_{2}=-dn_{2}/dn_{1}}$, или . Следовательно , и должны иметь разные алгебраические знаки, или система должна состоять из собирательной и рассеивающей линз. Следовательно, мощности двух должны быть разными (чтобы не быть равными нулю (уравнение 2)), и рассеивающие мощности также должны быть разными (согласно 4). ${\displaystyle f_{1}/f_{2}=-n_{1}/n_{2}}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$ ${\displaystyle f}$

Ньютон не смог осознать существование сред с различными рассеивающими способностями, требуемыми ахроматизмом; поэтому он построил большие рефлекторы вместо рефракторов. Джеймс Грегори и Леонард Эйлер пришли к правильному взгляду из ложной концепции ахроматизма глаза; это было установлено Честером Мором Холлом в 1728 году, Клингеншерной в 1754 году и Доллондом в 1757 году, которые построили знаменитые ахроматические телескопы. (См. телескоп .) ^[8]

Стекло с более слабой дисперсионной способностью (большей ) называется кронгласом ; с большей дисперсионной способностью - флинтгласом . Для построения ахроматической собирательной линзы ( положительной) следует, посредством уравнения (4), что собирательная линза I. из кронгласа и дисперсионная линза II. из флинтгласа должны быть выбраны; последняя, ​​хотя и слабее, исправляет другую хроматически своей большей дисперсионной способностью. Для ахроматической дисперсионной линзы должно быть принято обратное. Это, в настоящее время, обычный тип, например, телескопического объектива; значения четырех радиусов должны удовлетворять уравнениям (2) и (4). Можно также постулировать два других условия: одно - всегда устранение аберрации на оси; второе - либо условие Гершеля , либо условие Фраунгофера, последнее является наилучшим (см. выше, Монохроматическая аберрация ). Однако на практике часто бывает полезнее избегать второго условия, делая линзы контактными, т. е. с равными радиусами. Согласно П. Рудольфу (Eder's Jahrb. f. Photog., 1891, 5, стр. 225; 1893, 7, стр. 221), склеенные объективы из тонких линз позволяют устранить сферическую аберрацию на оси, если, как и выше, собирательная линза имеет меньший показатель преломления; с другой стороны, они позволяют устранить астигматизм и кривизну поля, если собирательная линза имеет больший показатель преломления (это следует из уравнения Петцваля; см. L. Seidel, Astr. Nachr., 1856, стр. 289). Если склеенная система положительна, то и более сильная линза должна быть положительной; и, согласно (4), к большей силе относится более слабая дисперсионная сила (большая ), то есть кронглас; следовательно, кроновое стекло должно иметь больший показатель преломления для астигматических и плоских изображений. Во всех более ранних типах стекла, однако, рассеивающая способность увеличивалась с показателем преломления; то есть уменьшалась по мере увеличения; но некоторые из йенских стекол Э. Аббе и О. Шотта были кроновыми стеклами с высоким показателем преломления, и ахроматические системы из таких кроновых стекол, с флинтовыми стеклами с более низким показателем преломления, называются новыми ахроматами и использовались П. Рудольфом в первых анастигматах (фотообъективах). ^[8] ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle n}$

Вместо того, чтобы сделать его нулевым, ему можно присвоить определенное значение, которое произведет, путем добавления двух линз, любое желаемое хроматическое отклонение, например, достаточное для устранения того, которое присутствует в других частях системы. Если линзы I. и II. склеены и имеют одинаковый показатель преломления для одного цвета, то его эффект для этого одного цвета будет эффектом линзы из одной части; путем такого разложения линзы ее можно сделать хроматической или ахроматической по желанию, не изменяя ее сферического эффекта. Если ее хроматический эффект ( ) больше, чем у той же линзы, которая сделана из более дисперсионного из двух используемых стекол, ее называют гиперхроматической. ^[8] ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle df/f}$

Для двух тонких линз, разделенных расстоянием, условие ахроматизма равно ; если (например, если линзы сделаны из одного и того же стекла), это сводится к , известному как условие для окуляров. ^[8] ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D=v_{1}f_{1}+v_{2}f_{2}}$ ${\displaystyle v_{1}=v_{2}}$ ${\displaystyle D=(f_{1}+f_{2})/2}$

Если константа воспроизведения, например фокусное расстояние, сделана одинаковой для двух цветов, то она не будет одинаковой для других цветов, если используются два разных стекла. Например, условие ахроматизма (4) для двух тонких линз, находящихся в контакте, выполняется только в одной части спектра, так как изменяется внутри спектра. Этот факт был впервые установлен Й. Фраунгофером, который определил цвета с помощью темных линий в солнечном спектре; и показал, что отношение дисперсии двух стекол изменяется примерно на 20% от красного до фиолетового (изменение для стекла и воды составляет около 50%). Если, таким образом, для двух цветов, a и b, , то для третьего цвета, c, фокусное расстояние различно; то есть, если c лежит между a и b, то , и наоборот; эти алгебраические результаты следуют из того факта, что в сторону красного преобладает дисперсия положительного кронгласа, в сторону фиолетового — отрицательного флинт. Эти хроматические ошибки систем, которые являются ахроматическими для двух цветов, называются вторичным спектром и зависят от апертуры и фокусного расстояния таким же образом, как и первичные хроматические ошибки. ^[8] ${\displaystyle dn_{2}/dn_{1}}$ ${\displaystyle f_{a}=f_{b}=f}$ ${\displaystyle f_{c}<f}$

На рис. На рисунке 6, взятом из книги М. фон Рора « Теория и история фотографических объективов» , по оси абсцисс указаны фокусные расстояния, а по ординатам — длины волн. Используемые линии Фраунгофера показаны в соседней таблице. ^[8]

Рисунок 6

Фокусные расстояния сделаны равными для линий C и F. В районе 550 нм касательная к кривой параллельна оси длин волн; и фокусное расстояние изменяется меньше всего в довольно большом диапазоне цвета, поэтому в этом районе цветовое объединение является наилучшим. Более того, эта область спектра является той, которая кажется наиболее яркой для человеческого глаза, и, следовательно, эта кривая вторичного спектра, полученная путем создания , является, согласно экспериментам сэра Г. Г. Стокса (Proc. Roy. Soc., 1878), наиболее подходящей для визуальных инструментов ( оптический ахроматизм, ). Аналогичным образом, для систем, используемых в фотографии, вершина цветовой кривой должна быть помещена в положение максимальной чувствительности пластин; это, как правило, предполагается в G'; и для достижения этого объединяются линии F и фиолетовая ртуть. Этот прием специально принят в объективах для астрономической фотографии ( чистый актинический ахроматизм ). Однако для обычной фотографии существует такой недостаток: изображение на фокусировочном экране и правильная настройка фотографической чувствительной пластины не совпадают; в астрономической фотографии эта разница постоянна, но в других видах она зависит от расстояния до объектов. По этой причине линии D и G' объединены для обычных фотографических объективов; как оптическое, так и актиническое изображение хроматически хуже, но оба лежат в одном и том же месте; и, следовательно, наилучшая коррекция лежит в F (это известно как актиническая коррекция или свобода от химического фокуса ). ^[8] ${\displaystyle f_{C}=f_{F}}$

Если в двух контактирующих линзах будут одинаковые фокусные расстояния для трех цветов a, b и c, т. е . , то относительная частичная дисперсия должна быть одинаковой для двух используемых видов стекла. Это следует из рассмотрения уравнения (4) для двух пар цветов ac и bc. До недавнего времени не было известно ни одного стекла с пропорциональной степенью поглощения; но Р. Блэр (Trans. Edin. Soc., 1791, 3, стр. 3), П. Барлоу и Ф. С. Арчер преодолели эту трудность, построив жидкие линзы между стеклянными стенками. Фраунгофер приготовил стекла, которые уменьшили вторичный спектр; но постоянный успех был обеспечен только с введением йенских стекол Э. Аббе и О. Шоттом. При использовании стекол, не имеющих пропорциональной дисперсии, отклонение третьего цвета может быть устранено двумя линзами, если между ними допускается интервал; или тремя контактирующими линзами, которые не все могут состоять из старых стекол. При объединении трех цветов получается ахроматизм более высокого порядка ; Остаточный третичный спектр все еще существует , но им всегда можно пренебречь. ^[8] ${\displaystyle f_{a}=f_{b}=f_{c}=f}$ ${\displaystyle (n_{c}-n_{b})(n_{a}-n_{b})}$

Теория Гаусса является лишь приближением; монохроматические или сферические аберрации все еще имеют место, которые будут разными для разных цветов; и если их компенсировать для одного цвета, изображение другого цвета окажется искажающим. Наиболее важным является хроматическое различие аберрации осевой точки, которое все еще присутствует, чтобы искажать изображение, после того как параксиальные лучи разных цветов объединены соответствующей комбинацией стекол. Если коллективная система будет исправлена ​​для осевой точки для определенной длины волны, то из-за большей дисперсии в отрицательных компонентах — флинтстелах — возникнет перекоррекция для более коротких длин волн (это ошибка отрицательных компонентов), и недокоррекция для более длинных длин волн (ошибка линз из крон-стекла, преобладающих в красном). Эта ошибка была рассмотрена Жаном ле Рондом д'Аламбером и, особенно подробно, К. Ф. Гауссом. Она быстро увеличивается с апертурой и более важна при средних апертурах, чем вторичный спектр параксиальных лучей; следовательно, сферическая аберрация должна быть устранена для двух цветов, а если это невозможно, то она должна быть устранена для тех конкретных длин волн, которые наиболее эффективны для рассматриваемого прибора (графическое представление этой ошибки дано в работе М. фон Рора « Теория и история фотографических объектов »). ^[8]

Условие воспроизведения элемента поверхности на месте резко воспроизведенной точки — константа синусоидального отношения также должна выполняться при больших апертурах для нескольких цветов. Э. Аббе удалось вычислить объективы микроскопа, свободные от ошибки точки оси и удовлетворяющие условию синуса для нескольких цветов, которые поэтому, согласно его определению, были апланатическими для нескольких цветов ; такие системы он назвал апохроматическими . Хотя, однако, увеличение отдельных зон одинаково, оно не одинаково для красного и синего; и существует хроматическая разница увеличения. Она создается в той же степени, но в противоположном направлении, окулярами, которые Аббе использовал с этими объективами ( компенсирующие окуляры ), так что она устраняется в изображении всего микроскопа. Лучшие телескопические объективы и фотографические объективы, предназначенные для трехцветной работы, также являются апохроматическими, даже если они не обладают совсем таким же качеством коррекции, как объективы микроскопа. Хроматические различия других ошибок воспроизведения редко имеют практическое значение. ^[8]

Смотрите также

• Аберрации глаза
• Оптический телескоп § Пять аберраций Зейделя
• Кодирование волнового фронта

Примечания

1. Исследования Эрнста Аббе по геометрической оптике, первоначально опубликованные только в его университетских лекциях, были впервые собраны С. Чапским в 1893 году. Полную ссылку см. ниже.

Ссылки

1. Киркпатрик, Ларри ; Уилер, Джеральд (1992). Физика: Мировоззрение (2-е изд.). Филадельфия: Harcourt Brace College Publishers. стр. 410. ISBN 0-03-000602-3.
2. Гюнтер, Роберт (1990). Современная оптика . Кембридж: John Wiley & Sons Inc. стр. 130. ISBN 0-471-60538-7.
3. "Сравнение оптических аберраций". Edmund Optics. Архивировано из оригинала 6 декабря 2011 г. Получено 26 марта 2012 г.
4. «Аберрация: понимание оптических несовершенств телескопов». www.jameswebbdiscovery.com . Получено 2024-08-07 .
5. Thiesen, M. (1890) Berlin. Akad. Sitzber. ; и (1892) xxxv. 799; Berlin. Phys. Ges. Verh. ; Bruns, H. (1895) Leipzig. Math. Phys. Ber. , xxi. 325, с помощью характеристической функции сэра WR Hamilton . Можно также сослаться на трактат Czapski-Eppenstein, стр. 155–161.
6. Гамильтон, WR (1828). «Теория систем лучей». Труды Королевской Ирландской Академии . 15 : 69–174. ISSN  0790-8113. JSTOR  30078906.
7. Гаусс, Карл Фридрих (1841). Dioptrische Untersuruchungen (на немецком языке). Геттинген: Дитрих.
8.  Одно или несколько предыдущих предложений включают текст из публикации, которая сейчас находится в общественном достоянии :  Chisholm, Hugh , ed. (1911). «Aberration». Encyclopaedia Britannica . Vol. 1 (11th ed.). Cambridge University Press. pp. 54–61.
9. Максвелл, Джеймс Клерк (1856) Phil.Mag., и (1858) Quart. Journ. Math. .
10. Янг, Томас (1807), Курс лекций по натуральной философии.
11. Галлстранд, Аллвар (1890) Сканд. Арх. ф. Физиол. ; и (1901) арх. ф. Офт. , 53, стр. 2, 185.
12. Гулстранд, Аллвар (1900). «Allgemeine Theorie der monochrom. Aberrationen и т. д.». Аннален дер Физик . 1905 (18). Упсала: 941. Бибкод : 1905АнП...323..941Г. дои : 10.1002/andp.19053231504.
13. фон Рор, Мориц (1904). Die bilderzeugung in optischen Instrumenten vom Standpunkte der Geometrischen Optik . Берлин.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
14. Шредер, DJ (2000). Астрономическая оптика (2-е изд.). Сан-Диего: Academic Press. ISBN 978-0-08-049951-2. OCLC  162132153.
15. Борн, Макс; Вольф, Эмиль (1999-10-13). Принципы оптики: Электромагнитная теория распространения, интерференции и дифракции света . Cambridge University Press. ISBN 978-0521642224.
16. Дж. Петцваль, Bericht uber die Ergebnisse einiger dioptrischer Untersuchungen , Буда-Пешт, 1843; Акад. Зитцбер., Вена, 1857, тт. XXIV. XXVI.
17. Л. Зейдель, Astr. Нах. , 1856, с. 289
18. М. фон Рор, Theorie und Geschichte des Photographyischen Objectivs , Берлин, 1899, с. 248
19. С. Финтерсвальдер, Мюнхен. акад. Абхандл. , 1891, 17, с. 519
20. Мюнхен. Акад. Сицбер., 1898, 28, с. 395
21. Beiträge zur Dioptrik , Лейпциг, 1895-6-7-8-9
22. М. фон Рор, Die Bilderzeugung in optischen Instrumenten
23. "Новый лазер улучшает возможности VLT". Объявление ESO . Получено 22 февраля 2013 г.
24. А. Кениг в книге М. фон Рора « Die Bilderzeugung» , с. 373; К. Шварцшильд, Геттинген. Акад. Абхандл., 1905, 4, № 2 и 3.
25. Формулы даны по Чапскому; Эппенштейн (1903). Grundzüge der Theorie der Optischen Instrumente . п. 166.
26. См. Чапский-Эппенштейн (1903). Grundzuge der Theorie der Optischen Instrumente . п. 170.
27. А. Кениг в сборнике М. фон Рора, Die Bilderzeugung , с. 340

Внешние ссылки

• Объективы микроскопа: раздел «Оптические аберрации» веб-сайта Molecular Expressions , Майкл У. Дэвидсон, Мортимер Абрамовиц, Olympus America Inc. и Университет штата Флорида