В физике полное внутреннее отражение ( ПВО ) — явление, при котором волны , приходящие на границу раздела (границы) из одной среды в другую (например, из воды в воздух), не преломляются во вторую («внешнюю») среду, а полностью отражается обратно в первую («внутреннюю») среду. Это происходит, когда вторая среда имеет более высокую скорость волны (т. е. меньший показатель преломления ), чем первая, и волны падают на границу раздела под достаточно наклонным углом. Например, поверхность вода-воздух в типичном аквариуме, если смотреть под углом снизу, отражает подводную сцену как зеркало без потери яркости (рис. 1).
TIR возникает не только с электромагнитными волнами , такими как свет и микроволны , но и с другими типами волн, включая звуковые и водные волны . Если волны способны образовывать узкий луч (рис. 2), отражение, как правило, описывается в терминах « лучей », а не волн; в среде, свойства которой не зависят от направления, например в воздухе, воде или стекле , «лучи» перпендикулярны соответствующим волновым фронтам .
Преломление обычно сопровождается частичным отражением. Когда волны преломляются от среды с меньшей скоростью распространения (более высокий показатель преломления ) к среде с более высокой скоростью распространения (меньший показатель преломления) — например, от воды к воздуху — угол преломления (между выходящим лучом и нормалью к поверхности ) больше угла падения (между входящим лучом и нормалью). Когда угол падения приближается к определенному порогу, называемому критическим углом , угол преломления приближается к 90°, при котором преломленный луч становится параллельным граничной поверхности. Когда угол падения превышает критический угол, условия преломления перестают удовлетворяться, поэтому преломленный луч отсутствует, и частичное отражение становится полным. Для видимого света критический угол составляет около 49° для падения из воды в воздух и около 42° для падения из обычного стекла в воздух.
Детали механизма МДП порождают более тонкие явления. Хотя полное отражение по определению не предполагает непрерывного потока энергии через границу раздела двух сред, внешняя среда несет так называемую затухающую волну , которая распространяется вдоль границы раздела с амплитудой, которая экспоненциально падает с расстоянием от границы раздела. «Полное» отражение действительно является полным, если внешняя среда без потерь (совершенно прозрачна), непрерывна и имеет бесконечную протяженность, но может быть заметно меньше полного, если затухающая волна поглощается внешней средой с потерями (« ослабленное полное отражение ») . ), или отклоняется внешней границей внешней среды или объектами, встроенными в эту среду («разочарованный» МДП). В отличие от частичного отражения между прозрачными средами, полное внутреннее отражение сопровождается нетривиальным фазовым сдвигом (а не только нулевым или 180°) для каждой компоненты поляризации ( перпендикулярной или параллельной плоскости падения ), причем сдвиги изменяются в зависимости от угла заболеваемости. Объяснение этого эффекта, сделанное Огюстеном-Жаном Френелем в 1823 году, усилило доказательства в пользу волновой теории света .
Фазовые сдвиги используются в изобретении Френеля, ромбе Френеля , для изменения поляризации. Эффективность полного внутреннего отражения используется в оптических волокнах (используемых в телекоммуникационных кабелях и в фиброскопах , формирующих изображение ), а также в отражающих призмах , таких как формирующие изображение призмы Порро / крыши для монокуляров и биноклей .
Хотя полное внутреннее отражение может происходить с любым типом волн, о которых можно сказать, что они падают под наклоном, включая (например) микроволны [1] и звуковые волны, [2] оно наиболее распространено в случае световых волн.
Полное внутреннее отражение света можно продемонстрировать с помощью полукругло-цилиндрического блока из обычного стекла или акрилового стекла. На рис. 3 «лучевой ящик» проецирует узкий пучок света (« луч ») радиально внутрь. Полукруглое поперечное сечение стекла позволяет входящему лучу оставаться перпендикулярным изогнутой части поверхности воздух/стекло, а затем, следовательно, продолжаться по прямой линии к плоской части поверхности, хотя его угол с плоской частью варьируется.
Там, где луч встречается с плоской границей раздела стекло-воздух, угол между лучом и нормалью (перпендикуляром) к границе раздела называется углом падения . [3] Если этот угол достаточно мал, луч частично отражается, но в основном проходит, а прошедшая часть преломляется от нормали, так что угол преломления (между преломленным лучом и нормалью к границе раздела) больше чем угол падения. На данный момент давайте назовем угол падения θ i и угол преломления θ t (где t означает проходящий свет , оставляя r для отраженного света ). Когда θ i увеличивается и приближается к определенному «критическому углу», обозначаемому θ c (или иногда θ cr ), угол преломления приближается к 90 ° (то есть преломленный луч приближается к касательной к границе раздела), а преломленный луч становится слабее, а отраженный луч становится ярче. [4] Когда θ i превышает θ c , преломленный луч исчезает и остается только отраженный луч, так что вся энергия падающего луча отражается; это полное внутреннее отражение (TIR). Вкратце:
Критический угол — это наименьший угол падения, при котором происходит полное отражение, или, что то же самое, наибольший угол, при котором существует преломленный луч. [5] Для световых волн, падающих из «внутренней» среды с одним показателем преломления n 1 , «внешнюю» среду с одним показателем преломления n 2 , угол определяется как определяется, если n2 ≤ п 1 . Для некоторых других типов волн удобнее мыслить в терминах скоростей распространения, а не показателей преломления. Объяснение критического угла через скорости является более общим и поэтому будет обсуждаться сначала.
Когда волновой фронт преломляется от одной среды к другой, падающая (входящая) и преломленная (выходящая) части волнового фронта встречаются на общей линии на преломляющей поверхности (границе). Пусть эта линия, обозначенная L , движется со скоростью u по поверхности, [6] [7] где u измеряется перпендикулярно L рис. 4). Пусть падающий и преломленный волновые фронты распространяются с нормальными скоростями и (соответственно) и составляют двугранные углы θ 1 и θ 2 (соответственно) с границей раздела. Из геометрии — составляющая u в направлении, нормальном к падающей волне, так что , каждое уравнение для 1/ u и приравнивая результаты, получаем общий закон преломления волн:
Но двугранный угол между двумя плоскостями является также углом между их нормалями. Итак, θ 1 представляет собой угол между нормалью к падающему волновому фронту и нормалью к границе раздела, а θ 2 представляет собой угол между нормалью к преломленному волновому фронту и нормалью к границе раздела; и уравнение. ( 1 ) говорит нам, что синусы этих углов находятся в том же соотношении, что и соответствующие скорости. [8]
Этот результат имеет форму « закона Снеллиуса », за исключением того, что мы еще не сказали, что отношение скоростей постоянно, и не отождествили θ 1 и θ 2 с углами падения и преломления (названными выше θ i и θ t ). Однако если теперь предположить, что свойства сред изотропны ( не зависят от направления), следуют еще два вывода: во-первых, две скорости, а следовательно, и их отношение, не зависят от их направлений; и, во-вторых, направления нормали волны совпадают с направлениями лучей , так что θ 1 и θ 2 совпадают с углами падения и преломления, как определено выше. [Примечание 1]
Очевидно, что угол преломления не может превышать 90°. В предельном случае в уравнении (2) положим θ 2 = 90° и θ1 = θ c ( 1 ) и найдите критический угол:
При получении этого результата мы сохраняем предположение об изотропности сред, чтобы отождествить θ 1 и θ 2 с углами падения и преломления. [Заметка 3]
Для электромагнитных волн , и особенно для света, принято выражать приведенные выше результаты через показатели преломления . Показатель преломления среды с нормальной скоростью определяется как , где c — скорость света в вакууме. [9] Следовательно , эти замены в уравнениях. ( 1 ) и ( 2 ), получаем
и
уравнение ( 3 ) — закон преломления для обычных сред, выраженный в показателях преломления, при условии, что θ 1 и θ 2 взяты в качестве двугранных углов; но если среды изотропны , то n 1 и n 2 становятся независимыми от направления, а θ 1 и θ 2 можно принять как углы падения и преломления лучей, и уравнение ( 4 ) следует. Итак, для изотропных сред уравнения ( 3 ) и ( 4 ) вместе описывают поведение на рис. 5.
Согласно уравнению ( 4 ), для падения из воды ( n 1 ≈ 1,333 ) воздух ( n 2 ≈ 1 ), имеем θ c ≈ 48,6° , для падения из обычного стекла или акрила ( n 1 ≈ 1,50 к воздуху ( n 2 ≈ 1 ), имеем θc ≈ 41,8° .
Функция arcsin, дающая θ c, определена только в том случае, если n 2 ≤ n 1. Следовательно, для изотропных сред полное внутреннее отражение не может произойти, если вторая среда имеет более высокий показатель преломления (более низкую нормальную скорость), чем первая. Например, не может быть МДП для падения груза из воздуха в воду; скорее, критический угол падения света из воды в воздух угол преломления при скользящем падении света из воздуха в воду (рис. 6). [10]
Среду с более высоким показателем преломления обычно называют оптически более плотной , а с более низким показателем преломления — оптически более редкой . [11] Следовательно, говорят, что полное внутреннее отражение возможно для падения от «плотного к редкому», но не для падения «от редкого к плотному».
Стоя возле аквариума и опустив глаза ниже уровня воды, можно увидеть отраженных в водно-воздушной поверхности рыб или подводные предметы (рис. 1). Яркость отраженного изображения – такая же яркая, как и «прямой» взгляд – может поразить.
Подобный эффект можно наблюдать, открыв глаза во время плавания чуть ниже поверхности воды. Если вода спокойна, поверхность за пределами критического угла (измеренного от вертикали) выглядит зеркальной, отражая предметы, находящиеся внизу. Область над водой нельзя увидеть, кроме как над головой, где полусферическое поле зрения сжато в коническое поле, известное как окно Снеллиуса , угловой диаметр которого в два раза превышает критический угол (см. рис. 6). [12] Поле зрения над водой теоретически составляет 180°, но кажется меньшим, потому что, когда мы смотрим ближе к горизонту, вертикальное измерение сильнее сжимается из-за рефракции; например, по уравнению ( 3 ), для углов падения воздух-вода 90°, 80° и 70° соответствующие углы преломления составляют 48,6° ( θcr на рис. 6), 47,6° и 44,8°, что указывает на то, что изображение точки, расположенной на высоте 20° над горизонтом, находится на расстоянии 3,8° от края окна Снелла, изображение точки, находящейся на высоте 10° над горизонтом, находится всего на расстоянии 1° от края. [13]
На рис. 7, например, представлена фотография, сделанная на дне мелководного бассейна. То, что выглядит как широкая горизонтальная полоса на правой стене, Дисперсия ).
из нижних краев ряда оранжевых плиток и их отражений; это отмечает уровень воды, который затем можно отследить по другой стене. Пловчиха потревожила поверхность над собой, повредив нижнюю половину своего отражения и исказив отражение лестницы (справа). Но большая часть поверхности все еще спокойна, что дает четкое отражение выложенного плиткой дна бассейна. Пространство над водой не видно, за исключением верхней части кадра, где ручки лестницы едва различимы над краем окна Снелла – внутри которого отражение дна бассейна лишь частичное, но все же заметное в фотограф. Можно даже различить цветную окантовку края окна Снелла из-за изменения показателя преломления, а следовательно, и критического угла, в зависимости от длины волны (см.Критический угол влияет на углы огранки драгоценных камней . Например, круглая « бриллиантовая » огранка предназначена для преломления света, падающего на передние грани, двукратного отражения его на TIR от задних граней и пропускания его снова через передние грани, так что камень выглядит ярким. Алмаз (рис. 8) особенно подходит для такой обработки, поскольку его высокий показатель преломления (около 2,42) и, следовательно, небольшой критический угол (около 24,5°) обеспечивают желаемое поведение в широком диапазоне углов наблюдения. [14] Более дешевые материалы, которые аналогичным образом поддаются этой обработке, включают кубический цирконий (индекс ≈ 2,15) и муассанит (неизотропный, следовательно, дважды преломляющий , с показателем от 2,65 до 2,69, [Примечание 4] в зависимости от направления и поляризации. ); поэтому оба они популярны как имитаторы алмазов .
Математически волны описываются в терминах изменяющихся во времени полей , причем «поле» является функцией местоположения в пространстве. Распространяющаяся волна требует поля «усилия» и поля «потока», причем последнее является вектором ( если мы работаем в двух или трех измерениях). Продукт усилия и потока связан с мощностью (см. Эквивалентность системы ). Например, для звуковых волн в невязкой жидкости мы могли бы принять поле усилий как давление (скаляр), а поле потока как скорость жидкости (вектор). Произведением этих двух величин является интенсивность (мощность на единицу площади). [ 15] [Примечание 5] Для электромагнитных волн мы примем поле усилий как электрическое поле E , а поле потока как намагничивающее поле H. Оба они являются векторами, и их векторное произведение снова является интенсивностью (см. Вектор Пойнтинга ). [16]
Когда волна, скажем, в среде 1, отражается от границы раздела между средами 1 и средой 2, поле течения в среде 1 представляет собой векторную сумму полей течения, обусловленных падающей и отраженной волнами. [Примечание 6] Если отражение наклонное, падающее и отраженное поля не направлены в противоположные стороны и, следовательно, не могут компенсироваться на границе раздела; даже если отражение полное, либо нормальная составляющая, либо тангенциальная составляющая объединенного поля (как функция местоположения и времени) должна быть ненулевой вблизи границы раздела. Более того, физические законы, управляющие полями, обычно подразумевают, что один из двух компонентов непрерывен на границе раздела (то есть он не меняется внезапно при пересечении границы раздела); например, для электромагнитных волн одним из условий интерфейса является то, что тангенциальная составляющая H непрерывна, если нет поверхностного тока. [17] Следовательно, даже если отражение полное, должно быть некоторое проникновение поля потока в среду 2; и это, в сочетании с законами, связывающими поля усилия и потока, подразумевает, что будет также некоторое проникновение в поле усилия. Из этого же условия непрерывности следует, что изменение («волнистость») поля в среде 2 будет синхронизировано с изменением падающих и отраженных волн в среде 1.
Но если отражение полное, пространственное проникновение полей в среду 2 должно быть каким-то образом ограничено, иначе общая протяженность и, следовательно, общая энергия этих полей будут продолжать увеличиваться, истощая энергию из среды 1. Полное отражение Продолжающаяся волновая последовательность позволяет сохранять некоторую энергию в среде 2, но не позволяет осуществлять непрерывную передачу мощности из среды 1 в среду 2.
Таким образом, используя преимущественно качественные рассуждения, можно заключить, что полное внутреннее отражение должно сопровождаться волнообразным полем во «внешней» среде, распространяющимся вдоль границы раздела синхронно с падающей и отраженной волнами, но с каким-то ограниченным пространственным проникновением в «внешняя» среда; такое поле можно назвать затухающей волной .
На рис. 9 показана основная идея. Падающая волна предполагается плоской и синусоидальной . Отраженная волна для простоты не показана. Затухающая волна движется вправо синхронно с падающей и отраженной волнами, но ее амплитуда падает по мере удаления от границы раздела.
(Две особенности затухающей волны на рис. 9 будут объяснены позже: во-первых, гребни затухающей волны перпендикулярны границе раздела; и во-вторых, затухающая волна немного опережает падающую волну.)
Чтобы внутреннее отражение было полным, не должно быть отклонения затухающей волны. Предположим, например, что электромагнитные волны, падающие из стекла (с более высоким показателем преломления) в воздух (с более низким показателем преломления) под определенным углом падения, подвергаются ПВО. И предположим, что у нас есть третья среда (часто идентичная первой), показатель преломления которой достаточно высок, и если бы третья среда заменила вторую, мы получили бы стандартную передаваемую волновую последовательность для того же угла падения. Затем, если третью среду перенести на расстояние нескольких длин волн от поверхности первой среды, где затухающая волна имеет значительную амплитуду во второй среде, то затухающая волна эффективно преломляется в третью среду, что приводит к нулевое пропускание в третью среду и, следовательно, меньшее, чем полное отражение обратно в первую среду. [18] Поскольку амплитуда затухающей волны затухает в воздушном зазоре, передаваемые волны ослабляются , так что передача меньше и, следовательно, больше отражений, чем было бы без зазора; но пока существует некоторая передача, отражение не является полным. Это явление называется нарушенным полным внутренним отражением (где «неудовлетворенное» отрицает «полное»), сокращенно «неудачное полное внутреннее отражение» или «FTIR».
Расстроенный ПИД можно наблюдать, глядя на верх стакана с водой, который он держит в руке (рис. 10). Если стекло держать слабо, контакт может быть недостаточно тесным и широким, чтобы произвести заметный эффект. Но если держать его крепче, гребни отпечатков пальцев сильно взаимодействуют с мимолетными волнами, позволяя гребням быть видимыми сквозь полностью отражающую поверхность стекла и воздуха. [19]
Тот же эффект можно продемонстрировать с помощью микроволн, используя парафин в качестве «внутренней» среды (где существуют падающие и отраженные волны). В этом случае допустимая ширина зазора может составлять, например, 1 см или несколько см, что легко отслеживать и регулировать. [1] [20]
Термин «неудачное ПВО» также применяется к случаю, когда затухающая волна рассеивается объектом , достаточно близким к отражающей границе. Этот эффект вместе с сильной зависимостью количества рассеянного света от расстояния от границы раздела используется в микроскопии полного внутреннего отражения . [21]
Механизм FTIR называется связью затухающих волн и является хорошим аналогом для визуализации квантового туннелирования . [22] Из-за волновой природы материи электрон имеет ненулевую вероятность «туннелировать» через барьер, даже если классическая механика говорит, что его энергии недостаточно. [18] [19] Точно так же из-за волновой природы света фотон имеет ненулевую вероятность пересечения зазора, даже если лучевая оптика сказала бы, что его подход слишком наклонен.
Другая причина, по которой внутреннее отражение может быть меньше полного, даже за критическим углом, заключается в том, что внешняя среда может быть «потерянной» (менее совершенно прозрачной), и в этом случае внешняя среда будет поглощать энергию затухающей волны, так что поддержание затухающей волны будет поглощать энергию падающей волны. Последующее неполное отражение называется ослабленным полным отражением (ATR). Этот эффект, а особенно частотная зависимость поглощения, может быть использован для изучения состава неизвестной внешней среды. [23]
В однородной плоской синусоидальной электромагнитной волне электрическое поле E имеет вид
где E k — (постоянный) комплексный вектор амплитуды, i — мнимая единица измерения , k — волновой вектор (величина которого k — угловое волновое число ), r — вектор положения , ω — угловая частота , t — время, и подразумевается, что реальной частью выражения является физическое поле. [Примечание 7] Намагничивающее поле H имеет ту же форму при тех же k и ω . Значение выражения не меняется, если положение r изменяется в направлении, нормальном к k ; следовательно, k нормально к волновым фронтам .
Если ℓ является компонентом r в направлении k , можно записать ( 5 ). Если аргумент должен быть постоянным, ℓ должно увеличиваться со скоростью , как фазовая скорость . [24] Это, в свою очередь, равно где c — фазовая скорость в эталонной среде (принимаемой за вакуум), а n — локальный показатель преломления относительно эталонной среды. Решение для k дает т.е.
где - волновое число в вакууме. [25] [Примечание 8]
Из ( 5 ) электрическое поле во «внешней» среде имеет вид
где k t — волновой вектор прошедшей волны (мы предполагаем, что среда изотропна, но прошедшая волна еще не считается затухающей).
В декартовых координатах ( x , y , z ) пусть область y < 0 показатель преломления n 1 , пусть область y> 0 показатель преломления n 2 . Тогда плоскость xz является границей раздела, а ось y нормальна границе раздела (рис. 11). Пусть i и j (жирным прямым шрифтом ) — единичные векторы в направлениях x и y соответственно. Пусть плоскость падения (содержащая нормаль к падающей волне и нормаль к границе раздела) будет плоскостью xy (плоскостью страницы), с углом падения θ i, измеренным от j к i . Пусть угол преломления, измеренный в том же смысле, равен θt ( t для проходящего , оставляя r для отраженного ).
Из ( 6 ) передаваемый волновой вектор k t имеет величину n 2 k 0 . Следовательно, из геометрии,
В случае ПВО угла θt в обычном смысле не существует. Но мы все равно можем интерпретировать ( 8 ) для прошедшей (затухающей) волны, допуская, что cos θ t является комплексным . Это становится необходимым, когда мы записываем cos θ t через sin θ t , затем через sin θ i, используя закон Снеллиуса:
Чтобы определить, какой знак применим, подставим ( 9 ) в ( 8 ), получив
где неопределенный знак противоположен знаку в ( 9 ). Для затухающей передаваемой волны – то есть такой, амплитуда которой затухает по мере увеличения y – неопределенный знак в ( 10 ) должен быть минусом , поэтому неопределенный знак в ( 9 ) должен быть плюсом . [Примечание 9]
При правильном знаке результат ( 10 ) можно сократить
где
а k 0 — волновое число в вакууме, т.е.
Таким образом, затухающая волна представляет собой плоскую синусоидальную волну, распространяющуюся в направлении x , с амплитудой, которая экспоненциально затухает в направлении y (см. рис. 9). Очевидно, что энергия, запасенная в этой волне, также распространяется в направлении x и не пересекает границу раздела. Следовательно, вектор Пойнтинга обычно имеет компонент в направлении x , но его компонент y в среднем равен нулю (хотя его мгновенный компонент y не равен нулю ). [27] [28]
уравнение ( 11 ) указывает на то, что амплитуда затухающей волны падает в е раз по мере увеличения координаты y (измеренной от границы раздела) на расстояние, называемое «глубиной проникновения» затухающей волны. [29] Взяв обратные значения первому уравнению ( 12 ), мы находим, что глубина проникновения равна [28]
Между 1817 и 1823 годами Огюстен-Жан Френель обнаружил, что полное внутреннее отражение сопровождается нетривиальным фазовым сдвигом (то есть фазовым сдвигом, который не ограничивается 0° или 180°), поскольку коэффициент отражения Френеля приобретает нестандартное значение. -нулевая мнимая часть . [31] Теперь мы объясним этот эффект для электромагнитных волн в случае линейных , однородных , изотропных, немагнитных сред. Фазовый сдвиг оказывается опережением , которое растет по мере увеличения угла падения сверх критического угла, но зависит от поляризации падающей волны.
В уравнениях ( 5 ), ( 7 ), ( 8 ), ( 10 ) и ( 11 ) мы сдвигаем фазу на угол φ , если заменим ωt на ωt+φ (то есть, если мы заменим −ωt на − ωt−φ ), в результате чего (комплексное) поле умножается на e −iφ . Таким образом, сдвиг фазы эквивалентен умножению на комплексную константу с отрицательным аргументом . Это становится более очевидным, когда (например) поле ( 5 ) факторизуется так, что последний фактор содержит зависимость от времени. [Примечание 10]
Чтобы представить поляризацию падающей, отраженной или прошедшей волны, электрическое поле, прилегающее к границе раздела, можно разложить на две перпендикулярные компоненты, известные как компоненты s и p , которые параллельны поверхности и плоскости падения соответственно. ; другими словами, компоненты s и p соответственно квадратны и параллельны плоскости падения. [Примечание 11]
Для каждого компонента поляризации падающее, отраженное или прошедшее электрическое поле ( E в уравнении ( 5 ) ) имеет определенное направление и может быть представлено его (комплексной) скалярной составляющей в этом направлении. Коэффициент отражения или пропускания затем можно определить как соотношение комплексных компонентов в одной и той же точке или в бесконечно малых точках на противоположных сторонах границы раздела. Но, чтобы зафиксировать знаки коэффициентов, мы должны выбрать для «направлений» положительные смыслы. Для s- компоненты очевидным выбором будет сказать, что положительные направления падающего, отраженного и прошедшего полей одинаковы (например, направление z на рис. 11). Для p- компонент в этой статье принято соглашение, согласно которому положительные направления падающего, отраженного и прошедшего полей наклонены к одной и той же среде (то есть к одной и той же стороне границы раздела, например, как красные стрелки на рис. 11). ). [Примечание 12] Но читатель должен быть предупрежден, что в некоторых книгах используются другие соглашения для компонентов p , что приводит к другому знаку в результирующей формуле для коэффициента отражения. [32]
Для s - поляризации пусть коэффициенты отражения и прохождения равны r s и t s соответственно. Для p - поляризации пусть соответствующие коэффициенты будут r p и t p . Тогда для линейных , однородных , изотропных, немагнитных сред коэффициенты определяются по формуле: [33]
(Вывод вышеизложенного см. в разделе « Уравнения Френеля § Теория ».)
Теперь мы предполагаем, что передаваемая волна мимолетна. При правильном знаке (+) замена ( 9 ) на ( 13 ) дает
Сделав ту же замену в ( 14 ), мы находим, что t s имеет тот же знаменатель, что и r s , с положительным действительным числителем (вместо комплексно-сопряженного числителя) и, следовательно, имеет половину аргумента r s , , что фаза продвижение затухающей волны вдвое меньше, чем отраженной волны .
При том же выборе знака [примечание 14] подстановка ( 9 ) в ( 15 ) дает
Сделав ту же замену в ( 16 ), мы снова находим, что набег по фазе затухающей волны вдвое меньше, чем у отраженной волны.
Уравнения ( 17 ) и ( 18 ) применяются, когда θc ≤ θi < 90°, где θi — угол падения, а θc — критический угол (1 / n ) . Эти уравнения показывают, что
Для θ i ≤ θ c , отражения определяются уравнениями ( 13 ) и ( 15 ) и являются действительными , так что фазовый сдвиг составляет либо 0° (если коэффициент положительный), либо 180° (если коэффициент отрицательный).
В ( 13 ), если мы поставим 1/№ 1 sin θ t , получаем [36] [37]
закон Снеллиуса) и умножим числитель и знаменателькоторый положителен для всех углов падения прошедшего луча (поскольку θ t > θ i ), что дает фазовый сдвиг δ s, равный нулю.
Если мы проделаем то же самое с ( 15 ), легко показать, что результат эквивалентен [38] [39]
который отрицателен для малых углов (т. е. при почти нормальном падении), но меняет знак при угле Брюстера , где θ i и θ t дополняют друг друга. Таким образом , фазовый сдвиг δp составляет 180° для малых θi , но переключается на 0° под углом Брюстера. Сочетание дополнительности с законом Снелла дает θi = arctan (1/ n ) угол Брюстера для падения от плотного к редкому. [Примечание 15]
( Уравнения ( 19 ) и ( 20 ) известны как закон синуса Френеля и закон тангенса Френеля . [40] Оба сводятся к 0/0 при нормальном падении, но дают правильные результаты в пределе, когда θ i → 0. То, что они имеют противоположные знаки по мере приближения к нормальной заболеваемости, что является очевидным недостатком соглашения о знаках, используемого в этой статье; соответствующее преимущество состоит в том, что они имеют одинаковые знаки при постепенной заболеваемости. )
Это завершает информацию, необходимую для построения графиков δ s и δ p для всех углов падения. Это сделано на рис. 13, [34] с δ p красным цветом и δ s синим цветом для трех показателей преломления. На шкале углов падения (горизонтальная ось) угол Брюстера — это место, где δ p (красный) падает со 180 ° до 0 °, а критический угол — это место, где оба δ p и δ s (красный и синий) начинают расти. снова. Слева от критического угла находится область частичного отражения, где оба коэффициента отражения действительны (фаза 0° или 180°) с величинами меньше 1. Справа от критического угла находится область полного отражения , где оба коэффициента отражения действительны (фаза 0° или 180°). коэффициенты отражения являются комплексными с величинами, равными 1. В этой области черные кривые показывают набег фазы p- компоненты относительно s- компоненты: [41]
Этот относительный сдвиг на 45° используется в изобретении Френеля, теперь известном как ромб Френеля, в котором углы падения выбираются так, что два внутренних отражения вызывают общий относительный сдвиг фазы на 90° между двумя поляризациями падающей волны. Это устройство выполняет ту же функцию, что и двулучепреломляющая четвертьволновая пластинка , но является более ахроматическим (то есть фазовый сдвиг ромба менее чувствителен к длине волны ). Любое устройство можно использовать, например, для преобразования линейной поляризации в круговую поляризацию (которую также открыл Френель) и наоборот.
На рис. 13 δ вычисляется путем окончательного вычитания; но есть и другие способы выразить это. Сам Френель в 1823 году [42] дал формулу для cos δ . Борн и Вольф (1970, стр. 50) выводят выражение для ( δ /2) и аналитически находят его максимум.
Для ПВО луча конечной ширины изменение фазового сдвига с углом падения приводит к эффекту Гуса–Хенхена , который представляет собой боковой сдвиг отраженного луча внутри плоскости падения. [28] [43] Этот эффект применяется к линейной поляризации в направлении s или p . Эффект Имберта -Федорова является аналогичным эффектом для круговой или эллиптической поляризации и вызывает сдвиг, перпендикулярный плоскости падения. [44]
Оптические волокна используют полное внутреннее отражение для передачи сигналов на большие расстояния с небольшим затуханием. [45] Они используются в телекоммуникационных кабелях и в фиброскопах, формирующих изображение, таких как колоноскопы . [46]
В катадиоптрической линзе Френеля , изобретенной Огюстеном-Жаном Френелем для использования в маяках , внешние призмы используют ПВО для отклонения света от лампы на больший угол, чем это было бы возможно с чисто преломляющими призмами, но с меньшим поглощением света (и меньшим риск потускнения), чем при использовании обычных зеркал. [47]
Другие отражающие призмы , использующие TIR, включают следующие (с некоторым дублированием категорий): [48]
Поляризационные призмы : хотя ромб Френеля, который преобразует линейную и эллиптическую поляризацию, не является двойным лучепреломлением (двойным преломлением), существуют другие виды призм, которые сочетают двойное лучепреломление с ПВО таким образом, что свет определенной поляризации полностью отражается, в то время как свет ортогональной поляризации передается, по крайней мере, частично. Примеры включают призму Николя , [50] призму Глана-Томпсона , призму Глана-Фуко (или «призму Фуко»), [51] [52] и призму Глана-Тейлора . [53]
Рефрактометры , измеряющие показатели преломления, часто используют критический угол. [54] [55]
Датчики дождя для автоматических стеклоочистителей/лобового стекла были реализованы с использованием принципа, согласно которому полное внутреннее отражение будет направлять инфракрасный луч от источника к детектору, если внешняя поверхность ветрового стекла сухая, но любые капли воды на поверхности будут отвлекать часть свет. [56]
Светодиодные панели с боковой подсветкой , используемые (например) для подсветки компьютерных ЖК- мониторов, используют TIR для ограничения светодиодного света акриловым стеклом, за исключением того, что некоторая часть света рассеивается гравировкой на одной стороне стекла, что дает примерно равномерный световой поток . [57]
Микроскопия полного внутреннего отражения (TIRM) использует затухающую волну для освещения небольших объектов, близких к отражающей границе. Последующее рассеяние затухающей волны (разновидность нарушенного ПВО) делает объекты яркими, если смотреть с «внешней» стороны. [21] В флуоресцентном микроскопе полного внутреннего отражения (TIRFM) вместо того, чтобы полагаться на простое рассеяние, мы выбираем затухающую длину волны, достаточно короткую, чтобы вызвать флуоресценцию (рис. 15). [58] Высокая чувствительность освещения к расстоянию от границы раздела позволяет измерять чрезвычайно малые смещения и силы. [59]
Куб -делитель луча использует неудовлетворительное TIR для разделения мощности входящего луча между переданным и отраженным лучами. [18] Ширина воздушного зазора (или зазора с низким показателем преломления) между двумя призмами может быть регулируемой, обеспечивая более высокое пропускание и более низкое отражение для более узкого зазора или более высокое отражение и более низкое пропускание для более широкого зазора. [60]
Оптическая модуляция может быть осуществлена с помощью разочарованного ПВО с быстропеременным зазором. [61] Поскольку коэффициент передачи очень чувствителен к ширине зазора (функция приблизительно экспоненциальна до тех пор, пока зазор почти не закроется), этот метод позволяет достичь большого динамического диапазона .
Оптические устройства для снятия отпечатков пальцев используют несостоявшийся метод МДП для записи изображений отпечатков пальцев людей без использования чернил (см. рис. 11). [62]
Анализ походки можно выполнить с помощью системы МДП с высокоскоростной камерой для захвата и анализа следов. [63]
Гониоскоп , используемый в оптометрии и офтальмологии для диагностики глаукомы , подавляет ПВО, чтобы заглянуть в угол между радужкой и роговицей . Этот обзор обычно блокируется TIR на границе раздела роговица-воздух. Гониоскоп заменяет воздух средой с более высоким индексом, обеспечивая передачу при наклонном падении, обычно с последующим отражением в «зеркале», что само по себе может быть реализовано с использованием TIR. [64] [65]
Некоторые интерактивные столы и доски с поддержкой мультитач используют FTIR для обнаружения пальцев, касающихся экрана. За поверхностью экрана расположена инфракрасная камера, подсвеченная по краям инфракрасными светодиодами; при касании поверхности FTIR заставляет часть инфракрасного света выходить за пределы плоскости экрана, и камера воспринимает это как яркие области. Затем используется программное обеспечение компьютерного зрения , чтобы преобразовать это в ряд координат и жестов.
Удивительно полные и во многом правильные объяснения радуги Теодорихом Фрейбергским ( написанными между 1304 и 1310 гг.) [66] и Камал ад-Дином аль-Фариси (завершенным к 1309 г.), [67] хотя иногда упоминаются в связи с полным внутренним отражением (TIR), имеют сомнительную актуальность, поскольку внутреннее отражение солнечного света в сферической капле дождя не является полным. [Примечание 16] Но, согласно Карлу Бенджамину Бойеру , трактат Теодориха о радуге также классифицировал оптические явления по пяти причинам, последней из которых было «полное отражение на границе двух прозрачных сред». [68] Работа Теодориха была забыта, пока ее не открыл заново Джованни Баттиста Вентури в 1814 году . [69]
Поскольку Теодорих впал в безвестность, открытие ПВО обычно приписывалось Иоганну Кеплеру , который опубликовал свои открытия в своей книге «Диоптрика» в 1611 году. Хотя Кеплеру не удалось найти истинный закон преломления, он экспериментально показал, что для падения воздуха на стекло падающие и преломленные лучи вращались в одном и том же направлении вокруг точки падения, и что, когда угол падения изменялся в пределах ±90°, угол преломления (как мы его теперь называем) изменялся в пределах ±42°. Он также знал, что падающие и преломленные лучи взаимозаменяемы. Но эти наблюдения не охватывали случай луча, падающего из стекла в воздух под углом более 42°, и Кеплер сразу пришел к выводу, что такой луч может только отражаться . [70]
Рене Декарт заново открыл закон преломления и опубликовал его в своей книге «Диоптрика » 1637 года. В той же работе он упомянул ощущения вращения падающих и преломленных лучей и состояние ПВО. Но он пренебрег рассмотрением предельного случая и, следовательно, не смог дать выражение для критического угла, хотя легко мог бы это сделать. [71]
Христиан Гюйгенс в своем «Трактате о свете» (1690) уделил большое внимание порогу, при котором падающий луч «не может проникнуть в другое прозрачное вещество». [72] Хотя он не дал ни названия, ни алгебраического выражения для критического угла, он привел числовые примеры для падения стекла на воздух и воду на воздух, отметил большое изменение угла преломления при небольшом изменении угол падения вблизи критического угла и назвал это причиной быстрого увеличения яркости отраженного луча по мере приближения преломленного луча к касательной к границе раздела. [73] Прозрение Гюйгенса подтверждается современной теорией: в уравнениях. ( 13 ) и ( 15 ) выше, нельзя сказать, что коэффициенты отражения исключительно круто возрастают по мере приближения θ t к 90°, за исключением того, что, согласно закону Снелла, θ t само по себе является все более крутой функцией θ i .
Гюйгенс предложил объяснение ПВО в тех же рамках, что и его объяснения законов прямолинейного распространения, отражения, обычного преломления и даже необычайного преломления « исландского кристалла » (кальцита). Эта концепция основывалась на двух предпосылках: во-первых, каждая точка, пересекаемая распространяющимся волновым фронтом, становится источником вторичных волновых фронтов («принцип Гюйгенса»); и, во-вторых, при заданном исходном волновом фронте любое последующее положение волнового фронта является огибающей ( общей касательной поверхностью) всех вторичных волновых фронтов, излучаемых из исходного положения. Все случаи отражения или преломления от поверхности затем объясняются просто путем рассмотрения вторичных волн, излучаемых этой поверхностью. При преломлении от среды с более медленным распространением к среде с более быстрым распространением существует некоторый наклон падения, за пределами которого невозможно, чтобы вторичные волновые фронты образовали общую касательную во второй среде; [74] это то, что мы теперь называем критическим углом. Когда падающий волновой фронт приближается к этому критическому наклону, преломленный волновой фронт концентрируется на преломляющей поверхности, усиливая вторичные волны, которые вызывают отражение обратно в первую среду. [75]
Система Гюйгенса даже учитывала частичное отражение на границе раздела различных сред, хотя и неясно, по аналогии с законами столкновений частиц разных размеров. [76] Однако, пока волновая теория продолжала предполагать продольные волны , у нее не было шансов учесть поляризацию, а следовательно, и никаких шансов объяснить поляризационную зависимость необыкновенного преломления [77] или коэффициента частичного отражения, или фазовый сдвиг в TIR.
Исаак Ньютон отверг волновое объяснение прямолинейного распространения, полагая, что, если бы свет состоял из волн, он бы «изгибался и распространялся во всех направлениях» в тени. [78] Его корпускулярная теория света объясняла прямолинейное распространение более просто и объясняла обычные законы преломления и отражения, включая ПВО, на основе гипотезы о том, что на корпускулы света действует сила, действующая перпендикулярно границе раздела. [79] В этой модели, при падении от плотного к редкому, сила представляла собой притяжение обратно к более плотной среде, а критический угол был углом падения, при котором нормальная скорость приближающейся корпускулы была достаточной, чтобы достичь дальняя сторона силового поля; при более наклонном падении тельце будет повернуто назад. [80] Ньютон дал формулу критического угла, хотя и на словах: «Как синусы измеряют преломление, так и синус падения, при котором начинается полное отражение, равен радиусу круга». [81]
Ньютон превзошел Гюйгенса в двух отношениях. Во-первых, что неудивительно, Ньютон указал на взаимосвязь между ПВО и дисперсией : когда луч белого света приближается к границе раздела стекло-воздух под возрастающим углом, наиболее сильно преломленные лучи (фиолетовые) первыми «выносятся наружу». «Полное отражение», за которым следуют менее преломленные лучи. [82] Во-вторых, он заметил, что полное отражение можно нарушить (как мы теперь говорим), сложив вместе две призмы, одну плоскую, а другую слегка выпуклую; и он объяснил это просто тем, что заметил, что корпускулы будут притягиваться не только к первой призме, но и ко второй. [83]
Однако в двух других отношениях система Ньютона была менее последовательной. Во-первых, его объяснение частичного отражения зависело не только от предполагаемых сил притяжения между корпускулами и средой, но также и от более туманной гипотезы «приступов легкой рефлексии» и «припадков легкой передачи». [84] Во-вторых, хотя его корпускулы предположительно могли иметь «стороны» или «полюса», чья ориентация могла предположительно определять, подвергаются ли корпускулы обычному или необыкновенному преломлению в «Островном-Кристалле», [85] его геометрическое описание необычайного преломления [ 84] 86] было теоретически необоснованным [87] и эмпирически неточным. [88]
Уильям Хайд Волластон в первой из пары статей, прочитанных Лондонскому королевскому обществу в 1802 году, [55] сообщил о своем изобретении рефрактометра, основанного на критическом угле падения внутренней среды с известной «преломляющей силой» (рефрактометр индекс) к внешней среде, индекс которой нужно было измерить. [89] С помощью этого устройства Волластон измерил «преломляющую силу» многочисленных материалов, некоторые из которых были слишком непрозрачными, чтобы можно было напрямую измерить угол преломления. Переводы его статей были опубликованы во Франции в 1803 году и, по-видимому, привлекли внимание Пьера-Симона Лапласа . [90]
Согласно разработке Лапласом теории преломления Ньютона, корпускула, падающая на плоскую границу раздела двух однородных изотропных сред, подвергалась воздействию силового поля, симметричного относительно границы раздела. Если бы обе среды были прозрачными, полное отражение произошло бы, если корпускулу повернуть назад до того, как она выйдет из поля второй среды. Но если бы вторая среда была непрозрачной, отражение не было бы полным, если бы корпускула не была повернута назад до того, как она покинула первую среду; это требовало большего критического угла, чем тот, который дается законом Снелла, и, следовательно, ставило под сомнение применимость метода Волластона для непрозрачных сред. [91] Лаплас объединил два случая в одну формулу для относительного показателя преломления через критический угол (минимальный угол падения для ПВО). Формула содержала параметр, который принимал одно значение для прозрачной внешней среды и другое значение для непрозрачной внешней среды. Теория Лапласа далее предсказала взаимосвязь между показателем преломления и плотностью данного вещества. [92]
В 1807 году теория Лапласа была экспериментально проверена его протеже Этьеном-Луи Малюсом . Взяв формулу Лапласа для показателя преломления как заданную и используя ее для измерения показателя преломления пчелиного воска в жидком (прозрачном) и твердом (непрозрачном) состоянии при различных температурах (следовательно, и при различных плотностях), Малюс проверил соотношение Лапласа между показатель преломления и плотность. [93] [94]
Но теория Лапласа подразумевала, что если угол падения превышает модифицированный критический угол, отражение будет полным, даже если внешняя среда будет поглощающей. Очевидно, что это было неправильно: в уравнениях. ( 12 ) выше, не существует порогового значения угла θ i , за которым κ становится бесконечным; поэтому глубина проникновения затухающей волны (1/ κ ) всегда отлична от нуля, и внешняя среда, если она вообще имеет потери, будет ослаблять отражение. Что касается того, почему Малюс, по-видимому, наблюдал такой угол для непрозрачного воска, мы должны сделать вывод, что существовал определенный угол, за которым затухание отражения было настолько малым, что ATR было визуально неотличимо от TIR. [95]
Френель пришел к изучению полного внутреннего отражения благодаря своим исследованиям поляризации. В 1811 году Франсуа Араго обнаружил, что поляризованный свет, по-видимому, «деполяризуется» зависимым от ориентации и цвета образом, когда проходит через кусочек кристалла с двойным преломлением: возникающий свет демонстрирует цвета, если смотреть через анализатор (второй поляризатор). Хроматическая поляризация , как стали называть это явление, была более тщательно исследована в 1812 году Жаном-Батистом Био . В 1813 году Био установил, что один случай, изученный Араго, а именно кварц , ограненный перпендикулярно его оптической оси , на самом деле представлял собой постепенное вращение плоскости поляризации с расстоянием. [96]
В 1816 году Френель предложил свою первую попытку создать волновую теорию хроматической поляризации. Без (пока) явного обращения к поперечным волнам , его теория рассматривала свет как состоящий из двух перпендикулярно поляризованных компонентов. [97] В 1817 году он заметил, что плоскополяризованный свет, по-видимому, частично деполяризуется за счет полного внутреннего отражения, если изначально поляризован под острым углом к плоскости падения. [98] Включив полное внутреннее отражение в эксперимент по хроматической поляризации, он обнаружил, что очевидно деполяризованный свет представляет собой смесь компонентов, поляризованных параллельно и перпендикулярно плоскости падения, и что полное отражение создает разность фаз между ними. [99] Выбор подходящего угла падения (еще не точно указанного) дал разность фаз 1/8 цикла. Два таких отражения от «параллельных граней» «двух связанных призм» дали разность фаз 1/4 периода. В этом случае, если свет первоначально был поляризован под углом 45° к плоскости падения и отражения, после двух отражений он оказался полностью деполяризованным. Об этих результатах сообщалось в мемуарах, представленных и прочитанных Французской академии наук в ноябре 1817 года. [100]
В 1821 году Френель вывел формулы, эквивалентные его законам синуса и тангенса ( уравнения ( 19 ) и ( 20 ) выше ) , моделируя световые волны как поперечные упругие волны с колебаниями, перпендикулярными тому, что ранее называлось плоскостью поляризации . [101] [Примечание 17] Используя старые экспериментальные данные, он быстро подтвердил, что уравнения правильно предсказывают направление поляризации отраженного луча, когда падающий луч был поляризован под углом 45 ° к плоскости падения, для света, падающего из воздуха на стекло. или вода. [102] Об экспериментальном подтверждении было сообщено в «постскриптуме» к работе, в которой Френель изложил свою зрелую теорию хроматической поляризации, введя поперечные волны. [103] Подробности вывода были даны позже, в мемуарах, прочитанных академии в январе 1823 года. [104] Вывод сочетал сохранение энергии с непрерывностью тангенциальной вибрации на границе раздела, но не учитывал какие-либо условия на границе раздела. нормальная составляющая вибрации. [105]
Между тем, в мемуарах, представленных в декабре 1822 года, [106] Френель ввел термины « линейная поляризация» , «круговая поляризация » и «эллиптическая поляризация» . [107] Для круговой поляризации две перпендикулярные компоненты сдвинуты по фазе на четверть цикла (±90°).
Новая терминология оказалась полезной в мемуарах от января 1823 года [104] , содержащих подробные выводы законов синуса и тангенса: в том же мемуаре Френель обнаружил, что для углов падения, больших критического угла, результирующие коэффициенты отражения были комплексными. с единичной величиной. Отметив, что величина, как обычно, представляет собой отношение амплитуд, он предположил, что аргумент представляет собой фазовый сдвиг, и подтвердил гипотезу экспериментальным путем. [108] Проверка включала
Эта процедура была необходима, потому что с помощью технологий того времени нельзя было напрямую измерить фазовые сдвиги s и p , а также нельзя было измерить произвольную степень эллиптичности поляризации, например, которая могла быть вызвана разницей между фазами. сдвиги. Но можно было убедиться, что поляризация была круговой , поскольку яркость света тогда была нечувствительна к ориентации анализатора.
Для стекла с показателем преломления 1,51 Френель рассчитал, что разность фаз между двумя коэффициентами отражения в 45 ° (следовательно, разница в 90 ° после двух отражений) требует угла падения 48 ° 37 'или 54 ° 37'. Он разрезал ромб до последнего угла и обнаружил, что он работает так, как ожидалось. [110] Таким образом, спецификация ромба Френеля была завершена. Точно так же Френель рассчитал и проверил угол падения, который дал бы разность фаз 90 ° после трех отражений под одним и тем же углом и четырех отражений под одним и тем же углом. В каждом случае было два решения, и в каждом случае он сообщил, что больший угол падения дает точную круговую поляризацию (для начальной линейной поляризации под углом 45 ° к плоскости отражения). Для случая трех отражений он также проверил меньший угол, но обнаружил, что он дает некоторую окраску из-за близости критического угла и его небольшой зависимости от длины волны. (Сравните рис. 13 выше, который показывает, что разность фаз δ более чувствительна к показателю преломления при меньших углах падения.)
Для большей уверенности Френель предсказал и подтвердил, что четыре полных внутренних отражения под углом 68°27' дадут точную круговую поляризацию, если в двух отражениях в качестве внешней среды используется вода, а в двух других — воздух, но не в том случае, если все отражающие поверхности были бы мокрые или все сухие. [111]
Считается, что вывод Френеля о фазовом сдвиге в TIR был первым случаем, когда аргументу комплексного числа был придан физический смысл. Хотя это рассуждение применялось без знания того, что световые волны являются электромагнитными, оно выдержало экспериментальную проверку и сохранилось в целости и сохранности после того, как Джеймс Клерк Максвелл изменил предполагаемую природу волн. [112] Между тем, успех Френеля вдохновил Джеймса МакКалла и Огюстена-Луи Коши , начиная с 1836 года, анализировать отражение от металлов с помощью уравнений Френеля со сложным показателем преломления . [113] Мнимая часть комплексного индекса представляет собой поглощение. [114]
Термин «критический угол» , использованный для удобства в приведенном выше повествовании, является анахронизмом: он, по-видимому, датируется 1873 годом. [115]
В 20 веке квантовая электродинамика по-новому интерпретировала амплитуду электромагнитной волны с точки зрения вероятности обнаружения фотона. [116] В этой концепции частичное пропускание и нарушенное ПВО касаются вероятности пересечения фотоном границы, а ослабленное полное отражение касается вероятности поглощения фотона на другой стороне.
Исследования более тонких аспектов фазового сдвига в ПВО, включая эффекты Гуса-Хенхена и Имберта-Федорова и их квантовые интерпретации, продолжаются и в 21 веке. [44]