Принцип Ферма

Принцип наименьшего времени

Рис. 1 :  Принцип Ферма в случае преломления света на плоской поверхности между (скажем) воздухом и водой. Учитывая точку объекта A в воздухе и точку наблюдения B в воде, точка преломления P — это точка, которая минимизирует время, необходимое свету для прохождения пути APB . Если мы ищем требуемое значение x , мы обнаруживаем, что углы α и β удовлетворяют закону Снеллиуса .

Принцип Ферма , также известный как принцип наименьшего времени , является связующим звеном между лучевой оптикой и волновой оптикой . Принцип Ферма гласит, что путь, пройденный лучом между двумя заданными точками, — это путь, который можно пройти за наименьшее время.

Впервые предложенный французским математиком Пьером де Ферма в 1662 году как средство объяснения обычного закона преломления света (рис. 1), принцип Ферма изначально был спорным, поскольку казалось, что он приписывает природе знания и намерения. Лишь в XIX веке стало понятно, что способность природы проверять альтернативные пути — это всего лишь фундаментальное свойство волн. ^[1] Если заданы точки A и B , волновой фронт , расширяющийся от A , охватывает все возможные пути лучей, исходящих из A , независимо от того, проходят они через B или нет. Если волновой фронт достигает точки B , он охватывает не только путь(и) луча от A до B , но также и бесконечное множество близлежащих путей с теми же конечными точками. Принцип Ферма описывает любой луч, достигающий точки  B ; нет никакого намека на то, что луч «знал» самый быстрый путь или «намеревался» пойти по этому пути.

Рис. 2 :  Две точки P и P' на пути из A в B. Для целей принципа Ферма время распространения от P до P' берется как для точечного источника в точке P , а не (например) для произвольного волнового фронта W , проходящего через P. Поверхность Σ   (с единичной нормалью n̂ в точке P′ ) представляет собой геометрическое место точек, которых возмущение в точке P может достичь за то же время, которое требуется для достижения P′ ; другими словами, Σ — вторичный волновой фронт радиуса PP′ . (Среда не предполагается однородной или изотропной .)

В своей первоначальной «сильной» форме ^[2] принцип Ферма гласит, что путь, пройденный лучом между двумя заданными точками, — это путь, который можно пройти за наименьшее время. Чтобы быть истинным во всех случаях, это утверждение необходимо ослабить, заменив «наименьшее» время временем, « стационарным » по отношению к изменениям пути – так, чтобы отклонение пути вызывало, самое большее, изменение времени прохождения второго порядка . Грубо говоря, путь луча окружен близкими путями, которые можно пройти за очень близкое время. Можно показать, что это техническое определение соответствует более интуитивным представлениям о луче, например, прямой видимости или пути узкого луча .

В целях сравнения времени прохождения время от одной точки до следующей назначенной точки берется так, как если бы первая точка была точкой -источником . ^[3] Без этого условия время прохождения было бы неоднозначным; например, если бы время распространения от P до P' отсчитывалось от произвольного волнового фронта W , содержащего P   (рис. 2), это время можно было бы сделать сколь угодно малым, соответствующим образом наклонив волновой фронт.

Рассмотрение точки на пути как источника является минимальным требованием принципа Гюйгенса и частью объяснения принципа Ферма. Но можно также показать, что геометрическая конструкция , с помощью которой Гюйгенс пытался применить свой собственный принцип (в отличие от самого принципа), представляет собой просто обращение к принципу Ферма. ^[4] Следовательно, все выводы, которые Гюйгенс сделал из этой конструкции – включая, помимо прочего, законы прямолинейного распространения света, обычного отражения, обычного преломления и необычайного преломления « исландского кристалла » (кальцита) – также являются следствием Принцип Ферма.

Вывод

Достаточные условия

Предположим, что:

1. Возмущение распространяется последовательно через среду (вакуум или какой-либо материал, не обязательно однородный или изотропный ), не действуя на расстоянии ;
2. При распространении влияние возмущения в любой промежуточной точке P на окружающие точки имеет ненулевой угловой разброс (как если бы P был источником), так что возмущение, исходящее из любой точки A , достигает любой другой точки B через бесконечность. путей, по которым B получает бесконечное количество задержанных версий возмущения в A ; ^{[Примечание 1]} и
3. Эти задержанные версии возмущения будут усиливать друг друга в точке B , если они синхронизированы в пределах некоторого допуска.

Тогда различные пути распространения от A до B будут помогать друг другу, если время их прохождения будет находиться в пределах указанного допуска. При малом допуске (в предельном случае) допустимый диапазон изменений пути максимизируется, если путь таков, что время его обхода стационарно относительно изменений, так что изменение пути вызывает не более секунды . -порядок изменения времени обхода. ^[5]

Наиболее очевидным примером стационарности во времени прохождения является минимум (локальный или глобальный), то есть путь наименьшего времени , как в «сильной» форме принципа Ферма. Но это условие не является существенным для аргументации. ^{[Заметка 2]}

Установив, что путь стационарного времени обхода подкрепляется максимально широким коридором соседних путей, нам еще предстоит объяснить, как это подкрепление соответствует интуитивным представлениям о луче. Но для краткости объяснений давайте сначала определим путь луча как путь стационарного прохождения во времени.

Луч как путь сигнала (линия видимости)

Если коридор путей, усиливающий путь луча от A до B , существенно заблокирован, это существенно изменит возмущение, достигающее B из A - в отличие от препятствия аналогичного размера за пределами любого такого коридора, блокирующего пути, которые не усиливают друг друга. Первое препятствие будет существенно нарушать сигнал, достигающий B от A , а второе - нет; таким образом, путь луча отмечает путь сигнала . Если сигнал представляет собой видимый свет, первое препятствие существенно повлияет на внешний вид объекта в точке A , как его видит наблюдатель в точке B , а второе - нет; таким образом, путь луча отмечает линию обзора .

В оптических экспериментах за линией зрения обычно понимают траекторию луча. ^[6]

Луч как энергетический путь (луч)

Рис . 3.  Эксперимент, демонстрирующий преломление (и частичное отражение) лучей , аппроксимируемых узкими лучами или содержащихся в них.

Если коридор путей, усиливающий путь луча от A до B , существенно затруднен, это существенно повлияет на энергию ^{[Примечание 3],} достигающую B из A – в отличие от препятствия аналогичного размера за пределами любого такого коридора. Таким образом, путь луча отмечает путь энергии – как и луч.

Предположим, что волновой фронт, расширяющийся из точки A , проходит точку P , лежащую на пути луча от точки A до точки B. По определению, все точки волнового фронта имеют одинаковое время распространения от A. Теперь пусть волновой фронт заблокирован, за исключением окна с центром в P и достаточно маленького, чтобы находиться в коридоре путей, усиливающих путь луча от A до B. Тогда все точки на свободной части волнового фронта будут иметь почти одинаковое время распространения до B , но не до точек в других направлениях, так что B будет находиться в направлении максимальной интенсивности луча, проходящего через окно. ^[7] Таким образом, путь луча отмечает луч. А в оптических экспериментах пучок принято рассматривать как совокупность лучей или (если он узкий) как приближение к лучу (рис. 3). ^[8]

Аналогии

Согласно «сильной» форме принципа Ферма задача о нахождении пути светового луча от точки А в среде более быстрого распространения до точки В в среде более медленного распространения (рис. 1) аналогична задаче проблема, с которой сталкивается спасатель при выборе места входа в воду, чтобы как можно скорее добраться до тонущего пловца, учитывая, что спасатель может бежать быстрее, чем он(а) может плавать. ^[9] Но эта аналогия не может объяснить поведение света, потому что спасатель может думать о проблеме (пусть даже на мгновение), тогда как свет, по-видимому, не может. Открытие того, что муравьи способны на подобные вычисления ^[10], не устраняет разрыв между живым и неживым.

Напротив, приведенные выше предположения (1)–(3) справедливы для любого волнового возмущения и объясняют принцип Ферма чисто механистическими терминами, без какого-либо вменения знаний или цели.

Этот принцип применим к волнам в целом, включая (например) звуковые волны в жидкостях и упругие волны в твердых телах. ^[11] В модифицированной форме это работает даже для волн материи : в квантовой механике классический путь частицы можно получить, применив принцип Ферма к соответствующей волне – за исключением того, что, поскольку частота может меняться в зависимости от пути, стационарность заключается в фазовом сдвиге (или количестве циклов), а не обязательно во времени. ^{[12] [13]}

Однако принцип Ферма наиболее известен в случае видимого света : это связующее звено между геометрической оптикой , которая описывает определенные оптические явления в терминах лучей , и волновой теорией света , которая объясняет те же явления на основе гипотезы, что свет состоит из волн .

Эквивалентность конструкции Гюйгенса

Рис. 4 :  Две итерации конструкции Гюйгенса. В первой итерации более поздний волновой фронт W' получается из более раннего волнового фронта W путем взятия огибающей всех вторичных волновых фронтов (серые дуги), расширяющихся за заданное время из всех точек (например, P ) на W. Стрелки показывают направления лучей.

В этой статье мы различаем принцип Гюйгенса , который гласит, что каждая точка, пересекаемая бегущей волной, становится источником вторичной волны, и конструкцию Гюйгенса , которая описана ниже.

Пусть поверхность W представляет собой волновой фронт в момент времени t , а поверхность W′ представляет собой тот же волновой фронт в более поздний момент времени t + ∆t ( рис. 4). Пусть P — общая точка на W. Тогда, согласно конструкции Гюйгенса, ^[14]

1. W' - это огибающая ( общая касательная поверхность) на передней стороне W всех вторичных волновых фронтов, каждый из которых будет расширяться во времени Δt из точки на W , и
2. если вторичный волновой фронт, расширяющийся из точки P за время Δt , касается поверхности W' в точке P' , то P и P' лежат на луче .

Построение можно повторить, чтобы найти последовательные положения первичного волнового фронта и последовательные точки луча.

Направление луча, заданное этой конструкцией, является радиальным направлением вторичного волнового фронта ^[15] и может отличаться от нормали вторичного волнового фронта (см. рис. 2), а значит, и от нормали первичного волнового фронта в точке касание. Следовательно, скорость луча по величине и направлению представляет собой радиальную скорость бесконечно малого вторичного волнового фронта и обычно является функцией местоположения и направления. ^[16]

Теперь пусть Q — точка на W , близкая к P , и пусть Q’ — точка на W, близкая к P’ . Тогда по построению

1.   время, необходимое для того, чтобы вторичный волновой фронт от P достиг Q', имеет зависимость не более второго порядка от смещения P'Q' , и
2. время, необходимое вторичному волновому фронту для достижения P' от Q , имеет зависимость не более второго порядка от смещения PQ .

Согласно (i), путь луча представляет собой путь со стационарным временем прохождения от P до W' ; ^[17] и согласно (ii) это путь стационарного времени обхода от точки на W до P' . ^[18]

Таким образом, конструкция Гюйгенса неявно определяет путь луча как путь стационарного времени прохождения между последовательными положениями волнового фронта , причем время отсчитывается от точечного источника на более раннем волновом фронте. ^{[Примечание 4]} Этот вывод остается в силе, если вторичные волновые фронты отражаются или преломляются поверхностями с неоднородностями свойств среды, при условии, что сравнение ограничивается затронутыми путями и затронутыми частями волновых фронтов. ^{[Примечание 5]}

Однако принцип Ферма традиционно выражается в терминах «точка-точка» , а не в терминах «волновой фронт к волновому фронту». Соответственно, давайте модифицируем пример, предположив, что волновой фронт, который становится поверхностью W в момент времени t и который становится поверхностью W' в более поздний момент времени t + Δt , излучается из точки A в момент  0 . Пусть P — точка на W (как и раньше), а B — точка на W′ . И пусть A , W , W′ и B заданы, так что проблема состоит в том, чтобы найти P .

Если P удовлетворяет конструкции Гюйгенса, так что вторичный волновой фронт от P касается W ' в B , то PB - это путь стационарного времени прохождения от W до B . Добавляя фиксированное время от A до W , мы находим, что APB — это путь стационарного времени прохождения от A до B (возможно, с ограниченной областью сравнения, как отмечалось выше), в соответствии с принципом Ферма. Этот аргумент работает так же хорошо и в обратном направлении, при условии, что W' имеет четко определенную касательную плоскость в точке B. Таким образом, конструкция Гюйгенса и принцип Ферма геометрически эквивалентны. ^{[19] [Примечание 6]}

Благодаря этой эквивалентности принцип Ферма поддерживает конструкцию Гюйгенса и, следовательно, все выводы, которые Гюйгенс смог сделать из этой конструкции. Короче говоря, «Законы геометрической оптики могут быть выведены из принципа Ферма». ^[20] За исключением самого принципа Ферма-Гюйгенса, эти законы являются особыми случаями в том смысле, что они зависят от дальнейших предположений о средствах массовой информации. Два из них упомянуты под следующим заголовком.

Особые случаи

Изотропные среды: лучи, нормальные волновым фронтам.

В изотропной среде, поскольку скорость распространения не зависит от направления, вторичные волновые фронты, которые расширяются от точек первичного волнового фронта за заданное бесконечно малое время , имеют сферическую форму ^[16] , так что их радиусы нормальны к их общей касательной поверхности в точках касания. Но их радиусы обозначают направления лучей, а их общая касательная поверхность представляет собой общий волновой фронт. Таким образом, лучи нормальны (ортогональны) волновым фронтам. ^[21]

Поскольку большая часть преподавания оптики концентрируется на изотропных средах, рассматривая анизотропные среды как необязательную тему, предположение о том, что лучи перпендикулярны волновым фронтам, может стать настолько распространенным, что даже принцип Ферма объясняется в рамках этого предположения, хотя на самом деле принцип Ферма более общий. ^[22]

Однородные среды: прямолинейное распространение.

В однородной среде (также называемой однородной средой ) все вторичные волновые фронты, которые расширяются от данного первичного волнового фронта W в данное время Δt , конгруэнтны и одинаково ориентированы, так что их огибающую W ' можно рассматривать как огибающую единственный вторичный волновой фронт, который сохраняет свою ориентацию, пока его центр (источник) перемещается по W . Если P — его центр, а P’ — точка касания с W’ , то P’ движется параллельно P , так что плоскость, касательная к W’ в P’ , параллельна плоскости, касательной к W в P ’. Пусть другой (конгруэнтный и аналогично ориентированный) вторичный волновой фронт находится в центре P' , движется вместе с P , и пусть он встречается со своей огибающей W″ в точке P″ . Тогда, по тем же соображениям, плоскость, касательная к W″ в точке P″ , параллельна двум другим плоскостям. Следовательно, из-за конгруэнтности и схожей ориентации направления лучей PP' и P'P″ одинаковы (но не обязательно перпендикулярны волновым фронтам, поскольку вторичные волновые фронты не обязательно имеют сферическую форму). Эту конструкцию можно повторять сколько угодно раз, получая прямой луч любой длины. Таким образом, однородная среда допускает прямолинейные лучи. ^[23]

Современная версия

Формулировка с учетом показателя преломления

Пусть путь Γ продолжается из точки A в точку B. Пусть s — длина дуги, измеренная вдоль пути от A , и пусть t — время, необходимое для прохождения этой длины дуги со скоростью луча (то есть с радиальной скоростью локального вторичного волнового фронта для каждого местоположения и направления на путь). Тогда время прохождения всего пути Γ равно ${\displaystyle v_{\mathrm {r} }}$

(где A и B просто обозначают конечные точки и не должны рассматриваться как значения t или s ). Условием того, что Γ является лучевой траекторией, является то, что изменение T первого порядка из -за изменения Γ равно нулю; то есть,

$${\displaystyle \delta T=\,\delta \int _{A}^{B}{\frac {ds}{\,v_{\mathrm {r} }\,}}\,=\,0\,.}$$

Теперь определим оптическую длину данного пути ( оптическая длина пути , OPL ) как расстояние, проходимое лучом в однородной изотропной среде сравнения (например, в вакууме) за то же время, которое требуется для прохождения данного пути при локальная скорость луча. ^[24] Тогда, если c обозначает скорость распространения в эталонной среде (например, скорость света в вакууме), оптическая длина пути, пройденного за время dt , равна dS = c dt , а оптическая длина пройденного пути во времени T равно S = cT .  Итак, умножив уравнение  (1) на c , получим

$${\displaystyle S\,=\int _{A}^{B}\!dS\,=\int _{A}^{B}{\frac {\,c\,}{v_{\mathrm {r} }}}\,ds=\int _{A}^{B}\!n_{\mathrm {r} }\,ds\,,}$$

лучапоказатель преломлениялучафазовой скорости^[25]геометрическаяΓ ${\displaystyle \,n_{\mathrm {r} }=c/v_{\mathrm {r} }\,}$  ${\displaystyle dS=n_{\mathrm {r} \,}ds\,,\,}$

Это имеет форму принципа Мопертюи в классической механике (для одиночной частицы), при этом индекс луча в оптике играет роль импульса или скорости в механике. ^[26]

_{В изотропной среде} , для которой лучевая скорость является также фазовой скоростью, ^{[примечание 7] мы можем заменить} n r  обычным показателем преломления n .  ^{[27] [28]}

Связь с принципом Гамильтона

Если x , y , z — декартовы координаты, а точка означает дифференцирование по s , принцип Ферма (2) можно записать ^[29]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta S&=\,\delta \int _{A}^{B}\!n_{\mathrm {r} }\,{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}\\&=\,\delta \int _{A}^{B}\!n_{\mathrm {r} }\,{\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}~ds\,=\,0\,.\end{aligned}}}$$

n _rn ( x , y , z )скалярное полеоптический лагранжиан ^[30]

$${\displaystyle L(x,y,z,{\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}})\,=\,n(x,y,z)\,{\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}\,,}$$

^[31]

$${\displaystyle \delta S=\,\delta \int _{A}^{B}\!L(x,y,z,{\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}})\,ds\,=\,0\,.}$$

zszs^[32]

$${\displaystyle L{\big (}x(z),y(z),{\dot {x}}(z),{\dot {y}}(z),z{\big )}=n(x,y,z)\,{\sqrt {1+{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}\,,}$$

$${\displaystyle \delta S=\,\delta \int _{A}^{B}\!L{\big (}x(z),y(z),{\dot {x}}(z),{\dot {y}}(z),z{\big )}\,dz\,=\,0.}$$

принципа Гамильтона^[33]лагранжевой и гамильтоновой оптики^[34]

История

Если луч следует по прямой, он, очевидно, выбирает путь наименьшей длины . Герой Александрийский в своей «Катоптрике» (I век н. э.) показал, что обычный закон отражения от плоской поверхности следует из предположения, что общая длина пути луча минимальна. ^[35] Ибн аль-Хайсам , эрудит XI века, позже распространил этот принцип на преломление, дав тем самым раннюю версию принципа Ферма. ^{[36] [37] [38]}

Ферма против картезианцев

Пьер де Ферма (1607 ^[39]  –1665)

В 1657 году Пьер де Ферма получил от Марина Кюро де ла Шамбр копию только что опубликованного трактата, в котором Ла Шамбр отмечал принцип Геро и жаловался, что он не действует на рефракцию. ^[40]

Ферма ответил, что рефракцию можно привести к одной и той же схеме, если предположить, что свет идет по пути наименьшего сопротивления и что разные среды оказывают разное сопротивление. Его окончательное решение, описанное в письме Ла Шамбру от 1 января 1662 года, заключалось в том, что «сопротивление» обратно пропорционально скорости, так что свет шел по пути наименьшего времени . Эта предпосылка привела к обычному закону преломления при условии, что свет распространяется медленнее в оптически более плотной среде. ^{[41] [Примечание 8]}

Решение Ферма стало важной вехой в том, что оно объединило известные тогда законы геометрической оптики в рамках вариационного принципа или принципа действия , создав прецедент для принципа наименьшего действия в классической механике и соответствующих принципов в других областях (см. Историю вариационных принципов). по физике ). ^[42] Это было тем более примечательно, что в нем использовался метод адекватности , который в ретроспективе можно понимать как нахождение точки, в которой наклон бесконечно короткой хорды равен нулю, ^[43] без промежуточного этапа поиска общего выражения для наклон ( производная ).

Это также сразу же вызвало споры. Обычный закон преломления в то время приписывался Рене Декарту (ум. 1650), который пытался объяснить его, предполагая, что свет — это сила, распространяющаяся мгновенно , или что свет аналогичен теннисному мячу, который движется быстрее в более плотная среда, ^{[44] [45]} любая предпосылка несовместима с предпосылкой Ферма. Самый известный защитник Декарта, Клод Клерселье , критиковал Ферма за то, что он явно приписывал природе знания и намерения, а также за неспособность объяснить, почему природа должна предпочитать экономить время, а не расстояние. Клерселье частично писал:

1. Принцип, который вы берете за основу вашего доказательства, а именно, что природа всегда действует кратчайшим и простым образом, есть только моральный принцип, а не физический; оно не является и не может быть причиной какого-либо действия в природе... Ибо в противном случае мы приписывали бы познание природе; но здесь под «природой» мы понимаем только этот порядок и этот закон, установленный в мире таким, какой он есть, который действует без предусмотрительности, без выбора и по необходимой определенности.

2. Этот же принцип сделал бы природу нерешительной... Ибо я спрашиваю вас... когда луч света должен пройти из точки в разреженной среде в точку в плотной, нет ли у природы причины колебаться, если , по вашему принципу, оно должно сразу выбирать прямую линию, а не изогнутую, так как если последняя оказывается короче во времени, то первая оказывается короче и проще по длине? Кто будет решать и кто высказывать?  ^[46]

Ферма, не зная механистических основ своего собственного принципа, был не в состоянии защитить его, за исключением чисто геометрического и кинематического положения. ^{[47] [48]}   Волновая теория света , впервые предложенная Робертом Гуком в год смерти Ферма, ^[49] и быстро усовершенствованная Игнасом-Гастоном Парди ^[50] и (особенно) Христианом Гюйгенсом , ^[51] содержала необходимые фундаменты; но признание этого факта шло на удивление медленно.

Оплошность Гюйгенса

Христиан Гюйгенс (1629–1695)

В 1678 году Гюйгенс предположил, что каждая точка, достигнутая световым возмущением, становится источником сферической волны; сумма этих вторичных волн определяет форму волны в любой последующий момент времени. ^[52] Гюйгенс неоднократно называл огибающую своих вторичных волновых фронтов окончанием движения , ^[53] имея в виду, что более поздний волновой фронт был внешней границей, которой возмущение могло достичь за данное время, ^[54] что, следовательно, было минимумом время, за которое может быть достигнута каждая точка на более позднем волновом фронте. Но он не утверждал, что минимальное время направлено от вторичного источника к точке касания; вместо этого он вывел направление луча на основе протяженности общей касательной поверхности, соответствующей заданной протяженности исходного волнового фронта. ^[55] Его единственное одобрение принципа Ферма было ограниченным по объему: выведя закон обычного преломления, согласно которому лучи нормальны к волновым фронтам, ^[56] Гюйгенс дал геометрическое доказательство того, что луч, преломляемый в соответствии с этим законом, принимает путь наименьшего времени. ^[57] Едва ли он счел бы это необходимым, если бы знал, что принцип наименьшего времени непосредственно вытекает из той же конструкции общей касательной, с помощью которой он вывел не только закон обычного преломления, но и законы прямолинейного распространения и обычное отражение (которое также, как известно, вытекало из принципа Ферма) и ранее неизвестный закон необычайного преломления - последний посредством вторичных волновых фронтов, которые были сфероидальными , а не сферическими, в результате чего лучи обычно были наклонены к волновым фронтам. Как будто Гюйгенс не заметил, что его конструкция подразумевает принцип Ферма, и даже как если бы он думал, что нашел исключение из этого принципа. Рукописные данные, цитируемые Аланом Э.  Шапиро, имеют тенденцию подтверждать, что Гюйгенс считал принцип наименьшего времени недействительным «при двойном лучепреломлении , когда лучи не перпендикулярны волновым фронтам». ^{[58] [Примечание 9]}

Шапиро далее сообщает, что единственные три авторитета, которые приняли «принцип Гюйгенса» в 17 и 18 веках, а именно Филипп де Ла Гир , Дени Папен и Готфрид Вильгельм Лейбниц , сделали это потому, что он объяснял необычайную рефракцию « исландского кристалла » . (кальцит) аналогично ранее известным законам геометрической оптики. ^[59] Но на данный момент соответствующее расширение принципа Ферма осталось незамеченным.

Лаплас, Янг, Френель и Лоренц

Пьер-Симон Лаплас (1749–1827)

30 января 1809 года ^[60] Пьер-Симон Лаплас , сообщая о работе своего протеже Этьена-Луи Малюса , утверждал, что необычное преломление кальцита можно объяснить в рамках корпускулярной теории света с помощью принципа наименьшего действия Мопертюи. : что интеграл скорости по расстоянию был минимальным. Корпускулярная скорость, удовлетворяющая этому принципу, была пропорциональна обратной скорости луча, заданной радиусом сфероида Гюйгенса. Лаплас продолжал:

Согласно Гюйгенсу, скорость необыкновенного луча в кристалле просто выражается радиусом сфероида; следовательно, его гипотеза не согласуется с принципом наименьшего действия; но примечательно , что она согласуется с принципом Ферма, который заключается в том, что свет проходит из данной точки вне кристалла в данную точку внутри него, в минимально возможное время; ибо легко видеть, что этот принцип совпадает с принципом наименьшего действия, если мы обратим выражение скорости. ^[61]

Томас Янг (1773–1829)

Отчет Лапласа стал предметом широкого опровержения со стороны Томаса Янга , который частично написал:

Принцип Ферма, хотя он был принят этим математиком на гипотетических или даже воображаемых основаниях, на самом деле является фундаментальным законом относительно волнового движения и явно [ sic ] является основой каждого определения в теории Гюйгена ... Г-н Лаплас, по-видимому, не знаком с этим самым существенным принципом одной из двух теорий, которые он сравнивает; ибо он говорит, что «замечательно», что закон необычайного преломления Гюйгена согласуется с принципом Ферма; что он вряд ли бы соблюдал, если бы знал, что закон является непосредственным следствием принципа. ^[62]

Фактически Лаплас знал , что принцип Ферма вытекает из конструкции Гюйгенса в случае преломления изотропной среды в анизотропную; геометрическое доказательство содержалось в полной версии отчета Лапласа, напечатанной в 1810 году. ^[63]

Утверждение Янга было более общим, чем утверждение Лапласа, и оно также поддерживало принцип Ферма даже в случае необычайного преломления, при котором лучи обычно не перпендикулярны волновым фронтам. К сожалению, однако, пропущенное среднее предложение цитируемого абзаца Янга начиналось со слов: «Движение каждой волны обязательно должно быть в направлении, перпендикулярном ее поверхности…» (курсив наш), и поэтому должно было сеять скорее путаницу, чем ясность. .

Огюстен-Жан Френель (1788–1827)

Такой путаницы не существует во «Вторых мемуарах» Огюстена-Жана Френеля о двойном лучепреломлении (Fresnel, 1827), в которых в нескольких местах рассматривается принцип Ферма (без упоминания Ферма), исходя из частного случая, когда лучи нормальны к волновым фронтам, к общему случаю, когда лучи являются путями наименьшего времени или стационарным временем. (В следующем резюме номера страниц относятся к переводу Альфреда В. Хобсона.)

• Для преломления плоской волны при параллельном падении на одну грань анизотропного кристаллического клина (с. 291–2) для того, чтобы найти «первый луч, пришедший» в точку наблюдения за другой гранью клина, достаточно рассматривать лучи вне кристалла как нормальные к волновым фронтам, а внутри кристалла рассматривать только параллельные волновые фронты (независимо от направления луча). Таким образом, в этом случае Френель не пытается проследить полный путь луча. ^{[Примечание 10]}
• Далее Френель рассматривает луч, преломленный от точечного источника М внутри кристалла, через точку А на поверхности к точке наблюдения В снаружи (стр. 294–6). Поверхность, проходящая через B и заданная «местом возмущений, пришедших первыми», согласно конструкции Гюйгенса, нормальна «лучу AB самого быстрого прихода». Но эта конструкция требует знания «поверхности волны» (то есть вторичного волнового фронта) внутри кристалла.
• Затем он рассматривает плоский волновой фронт, распространяющийся в среде с несферическими вторичными волновыми фронтами, ориентированный так, что путь луча, заданный конструкцией Гюйгенса – от источника вторичного волнового фронта до точки его касания с последующим первичным волновым фронтом – не является нормальным . к первичным волновым фронтам (с. 296). Он показывает, что этот путь, тем не менее, является «путем скорейшего прихода возмущения» от более раннего первичного волнового фронта к точке касания.
• В следующем заголовке (стр. 305) он заявляет, что «конструкция Гюйгенса, определяющая путь наискорейшего прибытия» применима к вторичным волновым фронтам любой формы. Затем он отмечает, что когда мы применим конструкцию Гюйгенса к преломлению в кристалле с двухполостным вторичным волновым фронтом и проведем линии от двух точек касания к центру вторичного волнового фронта, «мы получим направления двух пути скорейшего прибытия и, следовательно, обыкновенного и необыкновенного луча».
• В разделе «Определение слова Луч » (стр. 309) он заключает, что этот термин следует применять к линии, соединяющей центр вторичной волны с точкой на ее поверхности, каков бы ни был наклон этой линии к поверхность.
• В качестве «нового соображения» (стр. 310–11) он отмечает, что если плоский волновой фронт пройти через небольшое отверстие с центром в точке E , то направление ED максимальной интенсивности результирующего луча будет таким, в котором вторичный луч волна, начинающаяся из E, «придет туда первой», а вторичные волновые фронты с противоположных сторон дыры (равноудаленных от E ) «придут в D в одно и то же время» друг с другом. Это направление не предполагается нормальным к какому-либо волновому фронту.

Таким образом, Френель показал, даже для анизотропных сред, что путь луча, заданный конструкцией Гюйгенса, представляет собой путь наименьшего времени между последовательными положениями плоского или расходящегося волнового фронта, что скорости лучей представляют собой радиусы вторичной «волновой поверхности» после единицы время и что стационарное время прохождения определяет направление максимальной интенсивности луча. Однако установление общей эквивалентности между конструкцией Гюйгенса и принципом Ферма потребовало бы дальнейшего рассмотрения принципа Ферма в двухточечном выражении.

Хендрик Лоренц в статье, написанной в 1886 году и переизданной в 1907 году, ^[64] вывел принцип наименьшего времени в двухточечной форме из конструкции Гюйгенса. Но суть его аргументов была несколько затемнена очевидной зависимостью от эфира и сопротивления эфира .

Работу Лоренца процитировал в 1959 году Адриан Дж. де Витте, который затем предложил свой собственный аргумент, который «хотя по сути тот же, но считается более убедительным и более общим». Трактовка де Витта более оригинальна, чем можно предположить из этого описания, хотя и ограничена двумя измерениями; он использует вариационное исчисление, чтобы показать, что конструкция Гюйгенса и принцип Ферма приводят к одному и тому же дифференциальному уравнению для траектории луча, и что в случае принципа Ферма справедливо обратное. Де Витте также отметил, что «похоже, этот вопрос ускользнул от внимания в учебниках». ^[65]

В популярной культуре

Рассказ «История вашей жизни» писателя-фантаста Теда Чанга содержит визуальные изображения принципа Ферма, а также обсуждение его телеологического измерения. В книге Кита Девлина « Математический инстинкт» есть глава «Элвис, вельш-корги, умеющий считать», в которой обсуждается исчисление, «встроенное» в некоторых животных, когда они решают задачу «наименьшего времени» в реальных ситуациях.

Смотрите также

• Действие (физика)
• Адекватность
• Огюстен-Жан Френель
• Двойное лучепреломление
• Вариационное исчисление
• Уравнение Эйконала
• Принципы Ферма и изменения энергии в теории поля
• геодезический
• Принцип Гамильтона
• Принцип Гюйгенса
• Формулировка интеграла по траектории
• Пьер де Ферма
• Принцип наименьшего действия
• Закон Снелла
• Томас Янг (ученый)

Примечания

1. Предположение (2) практически следует из (1), поскольку: (a) в той степени, в которой возмущение в промежуточной точке P может быть представлено скаляром , его влияние является всенаправленным; (б) в той степени, в которой ее можно представить вектором предполагаемого направления распространения (как в продольной волне ), она имеет ненулевую составляющую в диапазоне соседних направлений; и (c) в той степени, в которой она может быть представлена ​​вектором, пересекающим предполагаемое направление распространения (как в поперечной волне ), она имеет ненулевой компонент в диапазоне соседних направлений. Таким образом, существует бесконечно много путей из A в B , потому что существует бесконечно много путей, исходящих из каждой промежуточной точки P.
2. Если луч отражается от достаточно вогнутой поверхности, точка отражения такова, что общее время прохождения является локальным максимумом, при условии , что пути к точке отражения и обратно, рассматриваемые отдельно, должны быть возможными путями лучей. . Но принцип Ферма не накладывает такого ограничения; и без этого ограничения всегда можно изменить общий путь, чтобы увеличить время его прохождения. Таким образом, стационарное время прохождения траектории луча никогда не является локальным максимумом (см. Born & Wolf, 2002, стр. 137n). Но, как показывает случай с вогнутым отражателем, это не обязательно локальный минимум. Следовательно, это не обязательно экстремум. Поэтому мы должны довольствоваться тем, что называем это стационарностью.
3. Точнее, плотность потока энергии .
4. Если бы время отсчитывалось от более раннего волнового фронта в целом, это время везде было бы точно Δt , и было бы бессмысленно говорить о «стационарном» или «наименьшем» времени.
   «Стационарным» временем будет наименьшее время при условии, что вторичные волновые фронты более выпуклые, чем первичные (как на рис. 4). Однако это условие не всегда выполняется. Например, если первичный волновой фронт в пределах диапазона вторичного волнового фронта сходится к фокусу и снова начинает расходиться, вторичный волновой фронт коснется более позднего первичного волнового фронта снаружи, а не изнутри. Чтобы учесть такие сложности, мы должны довольствоваться тем, что говорим «стационарное» время, а не «наименьшее» время.  См. Born & Wolf, 2002, стр. 136–7 (что означает «обычный район»).
5. Более того, использование конструкции Гюйгенса для определения закона отражения или преломления - это вопрос поиска пути стационарного прохождения во времени между двумя конкретными волновыми фронтами; ср. Френель, 1827, тр. Хобсон, с. 305–6.
6. В конструкции Гюйгенса выбор огибающей вторичных волновых фронтов на передней стороне W , то есть отказ от «обратных» или «ретроградных» вторичных волн, также объясняется принципом Ферма. Например, на рис. 2 время прохождения пути APP′P (где последний отрезок «сдваивается назад») не стационарно относительно изменения P′ , а максимально чувствительно к движению P′ вдоль участка ПП' .
7. Направление луча — это направление конструктивной интерференции, которое является направлением групповой скорости . Однако «скорость луча» определяется не как групповая скорость, а как фазовая скорость, измеренная в этом направлении, так что «фазовая скорость есть проекция скорости луча на направление нормали волны» (цитата взято из Born & Wolf, 2002, стр. 794). В изотропной среде по симметрии направления лучевой и фазовой скоростей совпадают, так что «проекция» сводится к тождеству. Другими словами: в изотропной среде, поскольку лучевая и фазовая скорости имеют одинаковое направление (по симметрии) и поскольку обе скорости следуют за фазой (по определению), они также должны иметь одинаковую величину.
8. Ибн аль-Хайсам , писавший в Каире во 2-м десятилетии 11-го века, также считал, что свет идет по пути наименьшего сопротивления и что более плотная среда оказывает большее сопротивление, но он сохранил более традиционное понятие «сопротивление». Если это понятие должно было объяснить преломление, оно требовало, чтобы сопротивление менялось в зависимости от направления таким образом, который трудно было совместить с отражением. Тем временем Ибн Сахль уже другим методом пришел к правильному закону преломления; но его закон не был распространен (Михас, 2006, стр. 761–5; Дарригол, 2012, стр. 20–21, ‍ 41 ).
   Задача, решенная Ферма, математически эквивалентна следующей: учитывая две точки в разных средах с разной плотностью, минимизируйте взвешенную по плотности длину пути между двумя точками. В Лувене в 1634 году (к этому времени Виллеброрд Снеллиус заново открыл закон Ибн Саля, а Декарт вывел его, но еще не опубликовал) профессор -иезуит Вильгельм Бельманс дал правильное решение этой проблемы и поставил ее доказательство в качестве упражнения для его ученики-иезуиты (Ziggelaar, 1980).
9. В последней главе своего «Трактата» Гюйгенс определил необходимые формы поверхностей, формирующих изображение, исходя из предпосылки, что все части волнового фронта должны проходить от точки объекта к точке изображения за одинаковое время, и рассматривая лучи как нормальные. к волновым фронтам. Но он не упомянул Ферма в этом контексте.
10. В переводе на схеме отсутствуют некоторые линии и символы; исправленную диаграмму можно найти в книге Френеля « Oeuvres Complètes» , том. 2, с. 547.

Рекомендации

1. См.  Янг, 1809, с. 342; Френель, 1827, тр. Хобсон, стр.  294–6,  310–11 ; Де Витте, 1959, с. 293н.
2. См. Борн и Вольф, 2002, с. 876.
3. Де Витте (1959) с самого начала ссылается на условие точечного источника (стр. 294, столбец 1).
4. Де Витте (1959) дает доказательство, основанное на вариационном исчислении . В настоящей статье предлагается более простое объяснение.
5. А. Липсон, С.Г. Липсон и Х. Липсон, 2011, Оптическая физика , 4-е изд., Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-49345-1 , стр. 36. ( Примечание: там, где авторы подразумевают, что свет, распространяющийся вдоль оси градиентного волокна, проходит путь максимального времени, они пренебрегают возможностью дальнейшего удлинения времени за счет обходных путей, не связанных с лучами, например путем удвоения назад.)
6. См. (например) Гюйгенс, 1690, тр. Томпсон, стр. 47, ‍ 55 , ‍ 58 , ‍ 60 , ‍ 82–6 ; Ньютон, 1730, стр. 8, ‍ 18 , ‍ 137 , ‍ 143 , ‍ 166 , ‍ 173 .
7. В этом суть аргумента, приведенного Френелем (1827, тр. Хобсон, стр.  310–11 ).
8. См. (например) Ньютон, 1730, с. 55; Гюйгенс, 1690, тр. Томпсон, стр. 40–41,  56.
9. Р.П. Фейнман, 1985 (седьмое издание, 1988), QED: Странная теория света и материи , Princeton University Press, ISBN 0-691-02417-0 , стр. 51–2 .  
10. Л. Зыга (1 апреля 2013 г.), «Муравьи следуют принципу наименьшего времени Ферма» , Phys.org , получено 9 августа 2019 г..
11. Де Витте, 1959, с. 294.
12. Дж. Огборн и Э. Ф. Тейлор (январь 2005 г.), «Квантовая физика объясняет законы движения Ньютона», Physics Education , 40 (1): 26–34 , doi : 10.1088/0031-9120/40/1/001.
13. Х. ван Хаутен и CWJ Бенаккер, 1995, «Принципы твердотельной электронной оптики»,  в  Э. Бурштейне и К. Вейсбухе (ред.), Удерживаемые электроны и фотоны: новая физика и приложения (серия НАТО ASI; серия B: Физика, т. 340), Бостон, Массачусетс: Springer, ISBN 978-1-4615-1963-8 , стр. 269–303 , doi : 10.1007/978-1-4615-1963-8_9, стр. 272–3 . .   
14. Гюйгенс, 1690, тр. Томпсон, стр. 19, ‍ 50–51 , ‍ 63–65 , ‍ 68 , ‍ 75 .
15. Френель, 1827, тр. Хобсон, с. 309.
16. Де Витте, 1959, с. 294, кол. 2.
17. См. Френель, 1827, тр. Хобсон, с. 305.
18. См. Френель, 1827, тр. Хобсон, с. 296.
19. Де Витте (1959) дает более сложное доказательство того же результата, используя вариационное исчисление.
20. Цитата из Born & Wolf, 2002, стр. 876.
21. Де Витте, 1959, с. 295, кол. 1.
22. Даже Борн и Вольф доказывают принцип Ферма для случая, когда лучи нормальны к волновым фронтам (2002, стр. 136–8), хотя в своем последующем обсуждении анизотропных кристаллов они отмечают, что направления нормали лучей и волн обычно различаются (стр. 792–4), и что для данного направления нормали к волне направление луча таково, что скорость пересечения лучевой линии и плоского волнового фронта является стационарной по отношению к изменениям нормали к волне. направление (стр. 804–5).
23. Де Витте, 1959 (стр. 295, столбец 1 и рисунок 2) излагает результат и объединяет объяснение в одну диаграмму.
24. Рожденный и Вольф, 2002, с. 122.
25. Борн и Вольф, 2002, с. 795, экв. (13).
26. См. Чавес, 2016, с. 673.
27. См. Борн и Вольф, 2002, с. 876, экв. (10а).
28. См.  В. Г. Веселаго (октябрь 2002 г.), «Формулировка принципа Ферма для распространения света в материалах с отрицательным преломлением», Успехи физики , 45 (10): 1097–9 , doi :10.1070/PU2002v045n10ABEH001223, с. 1099.
29. См. Чавес, 2016, стр. 568–9.
30. Чавес, 2016, с. 581.
31. Чавес, 2016, с. 569.
32. См. Чавес, 2016, с. 577.
33. См.  Born & Wolf, 2002, стр. 853–4, ‍ 868 ; Чавес, 2016, с. 669.
34. Чавес, 2016, гл. 14.
35. Сабра, 1981, стр. 69–71. Как отмечает автор, сам закон отражения содержится в предложении  XIX « Оптики» Евклида .
36. Рашид, Рошди (1 апреля 2019 г.). «Ферма и принцип моего времени». Comptes Rendus Mécanique . 347 (4): 357–364. Бибкод : 2019CRMec.347..357R. дои : 10.1016/j.crme.2019.03.010 . ISSN  1631-0721. S2CID  145904123.
37. Бенсимон, Дэвид (14 декабря 2021 г.). Единство науки. ЦРК Пресс. ISBN 978-1-000-51883-2.
38. Санс, Анхель С.; Мире-Артес, Сальвадор (27 марта 2012 г.). Траекторное описание квантовых процессов. I. Основы: бомианская перспектива. Спрингер. ISBN 978-3-642-18092-7.
39. Ф. Качер (май 2016 г.), «Когда родился Пьер де Ферма?», Convergence , получено 22 августа 2019 г..
40. Сабра, 1981, стр. 137–9; Дарригол, 2012, с. 48.
41. Сабра, 1981, стр. 139, ‍ 143–7 ; Дарригол, 2012, стр. 48–9 (где в сноске 21 «Декарт к…», очевидно, должно быть «Ферма к…»).
42. Чавес, 2016, главы 14,  19.
43. Сабра, 1981, стр. 144–5.
44. Дж. А.  Шустер, 2000, « Оптический Декарт : построение закона преломления и создание его физического обоснования, 1618–29»,  в  С. Гаукрогере, Дж. А. Шустере и Дж. Саттоне (ред.), Декарт «Естественный Философия , Лондон: Routledge, стр. 258–312, стр.  261,  264–5 .
45. Дарригол, 2012, стр. 41–2.
46. Клерселье Ферма (на французском языке), 6 мая 1662 г.,  в  П. Таннери и К. Генри (ред.), Œuvres de Fermat , vol. 2 (Париж: Готье-Виллар и др., 1894), стр. 464–72.
47. DE Smith, 1959, Справочник по математике , том. 3 (McGraw-Hill, 1929), перепечатано в Дувре, 1959, с. 651н.
48. Ферма Клерселье (на французском языке), 21 мая 1662 г.,  в  П. Таннери и К. Генри (ред.), Œuvres de Fermat , vol. 2 (Париж: Готье-Виллар и др., 1894), стр. 482–4.
49. Дарригол, 2012, с. 53.
50. Дарригол, 2012, стр. 60–64.
51. Дарригол, 2012, стр. 64–71; Гюйгенс, 1690, тр. Томпсон.
52. Хр. Гюйгенс, «Трактат о свете » (составлен в 1678 г.; опубликован в Лейдене Ван дер Аа, 1690 г.), переведен Сильванусом П. Томпсоном как « Трактат о свете» (Лондон: Macmillan, 1912; издание Project Gutenberg, 2005), стр.19.
53. Гюйгенс, 1690, тр. Томпсон, стр. 20, 24, 37, 51, 80, 108, 119, 122 (с различными вариантами изменения этого слова).
54. Гюйгенс, 1690, тр. Томпсон, начало с. 20.
55. См.  Гюйгенс, 1690, тр. Томпсон, стр.  19–21, ‍ 63–5 .
56. Гюйгенс, 1690, тр. Томпсон, стр. 34–9.
57. Гюйгенс, 1690, тр. Томпсон, стр. 42–5.
58. Шапиро, 1973, с. 229, примечание 294 (слова Шапиро), со ссылкой на « Oeuvres Complètes » Гюйгенса , т. 229, прим. 13 (изд.  DJ Korteweg , 1916), Quatrième Complément à la Dioptrique, стр. 834, «Parte 2 ^da  …» (на латыни, с аннотациями на французском языке).
59. Шапиро, 1973, стр. 245–6,  252.
60. П.-С. Лаплас (прочитано 30 января 1809 г.), «Sur la loi de la réfraction extraordinaire de la lumière dans les cristaux Diaphanes», Journal de Physique, de Chimie et d'Histoire Naturelle , 68 : 107–11 (за январь 1809 г.).
61. Перевод Янга (1809), с. 341; Курсив Янга.
62. Янг, 1809, с. 342.
63. О доказательстве см. Дарригол, 2012, с. 190. О дате чтения (в ранних источниках ошибочно указана 1808 год) см. Frankel, 1974, p. 234н. Полный текст (с опечаткой) — «Mémoire sur les mouvements de la lumière dans les milieux Diaphanes», Mémoires de l'Académie des Sciences , 1st Series, vol.  X (1810 г.), перепечатано в Oeuvres complètes de Laplace , vol. 12 (Париж, Готье-Виллар и др., 1898), стр. 267–298. Промежуточная версия, включая доказательство, но не прилагаемое «Примечание», появилась как «Sur le mouvement de la lumière dans les milieux Diaphanes», Mémoires de Physique et de Chimie de la Société d'Arcueil , vol. 2 (1809 г.), стр. 111–142 и табл. 1 (после стр. 494).
64. Х. А. Лоренц, 1907, Abhandlungen über Theoretische Physik , vol. 1, Берлин: Тойбнер, гл. 14, сс. 12, 13 и гл. 16, с. 18; переведено как «Х. А. Лоренц об эквивалентности конструкции Гюйгенса и принципа Ферма», doi : 10.5281/zenodo.3835134, 2020.
65. Де Витте, 1959, особенно. С. 293н, 298.

Библиография

• М. Борн и Э. Вольф, 2002, Принципы оптики , 7-е изд., Кембридж, 1999 (переиздано с исправлениями, 2002).
• Дж. Чавес, 2016, Введение в оптику, не создающую изображения , 2-е изд., Бока-Ратон, Флорида: CRC Press , ISBN 978-1-4822-0674-6 . 
• О. Дарригол, 2012, История оптики: от греческой древности до девятнадцатого века , Оксфорд, ISBN 978-0-19-964437-7 . 
• А. Дж. де Витте, 1959, «Эквивалентность принципа Гюйгенса и принципа Ферма в лучевой геометрии», American Journal of Physics , vol. 27, нет. 5 (май 1959 г.), стр. 293–301, номер документа : 10.1119/1.1934839.  Ошибка : на рис. 7(b) каждый экземпляр «луча» должен быть «нормальным» (отмечено в томе 27, № 6, стр. 387).
• Э. Франкель, 1974, «Поиски корпускулярной теории двойного лучепреломления: Малюс, Лаплас и ценовая [ sic ] конкуренция 1808 года», Centaurus , vol. 18, нет. 3 (сентябрь 1974 г.), стр. 223–245, doi : 10.1111/j.1600-0498.1974.tb00298.x.
• А. Френель, 1827 г., «Mémoire sur la double refraction», Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France , vol.  VII (за 1824 г., напечатано в 1827 г.), стр. 45–176; перепечатано как « Вторые мемуары…» в Oeuvres complètes d'Augustin Fresnel , vol. 2 (Париж: Imprimerie Impériale, 1868), стр. 479–596; переведен А.В. Хобсоном как «Мемуары о двойном лучепреломлении», в Р. Тейлоре (ред.), Scientific Memoirs , vol.  V (Лондон: Тейлор и Фрэнсис, 1852), стр. 238–333. (Номера страниц взяты из перевода.)
• К. Гюйгенс, 1690, Traité de la Lumière (Лейден: Ван дер Аа), переведенный С. П. Томпсоном как «Трактат о свете» , University of Chicago Press, 1912; Project Gutenberg, 2005. (Номера цитируемых страниц соответствуют изданию 1912 года и HTML-изданию Гутенберга.)
• П. Михас, 2006, «Развитие идей преломления, линз и радуги посредством использования исторических ресурсов», Science & Education , vol. 17, нет. 7 (август 2008 г.), стр. 751–777 (онлайн, 6 сентября 2006 г.), doi : 10.1007/s11191-006-9044-8.
• И. Ньютон, 1730, Оптика: или Трактат об отражениях, преломлениях, изгибах и цветах света, 4-е изд. (Лондон: Уильям Иннис, 1730; Проект Гутенберг, 2010); переиздано с предисловием А. Эйнштейна и введением Э. Т. Уиттакера (Лондон: George Bell & Sons, 1931); переиздано с дополнительным предисловием И.Б. Коэна и аналитическим оглавлением DHD Roller, Минеола, Нью-Йорк: Дувр, 1952, 1979 (с исправленным предисловием), 2012. (Номера цитируемых страниц соответствуют HTML-изданию Gutenberg и изданиям Dover.)
• А. И. Сабра, 1981, Теории света: от Декарта до Ньютона (Лондон: Oldbourne Book Co., 1967), перепечатано издательством Cambridge University Press, 1981, ISBN 0-521-28436-8 . 
• А.Е. Шапиро, 1973, "Кинематическая оптика: Исследование волновой теории света в семнадцатом веке", Архив истории точных наук , вып. 11, нет. 2/3 (июнь 1973 г.), стр. 134–266, номер документа : 10.1007/BF00343533.
• Т. Янг, 1809 г., статья X в Ежеквартальном обзоре , том. 2, нет. 4 (ноябрь 1809 г.), стр.  337–48 .
• А. Зиггелаар, 1980, «Синусический закон преломления, вытекающий из принципа Ферма - до Ферма? Тезисы Вильгельма Бёльмана SJ в 1634 году», Centaurus , vol. 24, нет. 1 (сентябрь 1980 г.), стр. 246–62, doi : 10.1111/j.1600-0498.1980.tb00377.x.

дальнейшее чтение

• А. Бхатия (26 марта 2014 г.), «Чтобы спасти тонущих людей, спросите себя: что будет делать свет?», Nautilus , получено 7 августа 2019 г..
• Дж. З. Бухвальд , 1989, Возникновение волновой теории света: оптическая теория и эксперимент в начале девятнадцатого века , University of Chicago Press, ISBN 0-226-07886-8 , особенно стр. 36–40 .  
• М.Г. Кац ; ДМ Шапс; С. Шнайдер (2013), «Почти равно: метод адекватности от Диофанта до Ферма и далее», Perspectives on Science , 21 (3): 283–324, arXiv : 1210.7750 , Bibcode : 2012arXiv1210.7750K, doi : 10.1162/ POSC_a_00101, S2CID  57569974.
• М. С. Махони (1994), Математическая карьера Пьера де Ферма, 1601–1665 ,  2-е изд., Princeton University Press, ISBN 0-691-03666-7 . 
• Р. Маркес; Ф. Мартин ; М. Соролла, 2008 г. (переиздано в 2013 г.), Метаматериалы с отрицательными параметрами: теория, проектирование и микроволновые применения , Хобокен, Нью-Джерси: Wiley, ISBN 978-0-471-74582-2 . 
• Дж. Б. Пендри и Д. Р. Смит (2004), «Обратный свет с отрицательным преломлением», Physics Today , 57 (6): 37–43 , doi : 10.1063/1.1784272.