Аполлоний Пергский ( греч . Ἀπολλώνιος ὁ Περγαῖος Apollṓnios ho Pergaîos ; ок. 240 г. до н. э. — ок. 190 г. до н. э. ) был древнегреческим геометром и астрономом, известным своими работами по коническим сечениям . Начиная с более ранних вкладов Евклида и Архимеда в эту тему, он довел их до состояния, предшествовавшего изобретению аналитической геометрии . Его определения терминов эллипс , парабола и гипербола используются и сегодня. Вместе со своими предшественниками Евклидом и Архимедом Аполлоний, как правило, считается одним из величайших математиков древности. [1]
Помимо геометрии, Аполлоний работал над множеством других тем, включая астрономию. Большая часть этой работы не сохранилась, за исключением фрагментов, на которые ссылаются другие авторы, такие как Папп Александрийский . Его гипотеза об эксцентрических орбитах для объяснения явно аберрантного движения планет , общепринятая до Средних веков , была заменена в эпоху Возрождения . Кратер Аполлония на Луне назван в его честь. [2]
Несмотря на его знаменательный вклад в область математики , сохранилось мало биографических сведений об Аполлонии. Греческий комментатор VI века Евтокий из Аскалона , писавший о « Кониках » Аполлония , утверждает: [3]
Аполлоний, геометр,... происходил из Перги в Памфилии во времена Птолемея III Эвергета , так пишет Гераклий, биограф Архимеда....
Из этого отрывка можно приблизительно датировать Аполлония, [a] но конкретные годы рождения и смерти, указанные современными учеными, являются лишь предположениями. [4] Птолемей III Эвергет («благодетель») был третьим греческим династией Египта в династии диадохов , правившим в 246–222/221 гг. до н. э. «Времена» всегда записываются по правителю или исполняющему обязанности магистрата, поэтому Аполлоний, скорее всего, родился после 246 г. Личность Ираклия неизвестна.
Перга была эллинизированным городом в Памфилии , Анатолия , руины которого сохранились до сих пор. Это был центр эллинистической культуры. Евтокий, по-видимому, связывает Пергу с династией Птолемеев в Египте. Никогда не находившаяся под властью Египта, Перга в 246 г. до н. э. принадлежала империи Селевкидов , независимому государству диадохов, которым правила династия Селевкидов. Во второй половине 3-го века до н. э. Перга несколько раз переходила из рук в руки, попеременно находясь под властью Селевкидов и Атталидов из Пергама на севере. Можно было бы ожидать, что кто-то, названный «из Перги», жил и работал там; напротив, если Аполлоний позже был идентифицирован с Пергой, то не на основе его места жительства. Оставшийся автобиографический материал подразумевает, что он жил, учился и писал в Александрии.
Письмо греческого математика и астронома Гипсикла первоначально было частью дополнения, взятого из Книги XIV Евклида, части тринадцати книг «Начал» Евклида . [5]
Василид Тирский , о Протарх, когда он прибыл в Александрию и встретил моего отца, провел большую часть своего пребывания с ним из-за связи между ними, вызванной их общим интересом к математике. И однажды, когда они изучали трактат, написанный Аполлонием о сравнении додекаэдра и икосаэдра , вписанных в одну и ту же сферу, то есть по вопросу о том, какое отношение они имеют друг к другу, они пришли к выводу, что трактовка Аполлонием этого в этой книге была неправильной; соответственно, как я понял от моего отца, они приступили к исправлению и переписыванию ее. Но я сам впоследствии наткнулся на другую книгу, опубликованную Аполлонием, содержащую демонстрацию обсуждаемого вопроса, и меня очень привлекло его исследование проблемы. Теперь книга, опубликованная Аполлонием, доступна всем; поскольку она имеет большой тираж в форме, которая, кажется, была результатом более поздней тщательной разработки.
Некоторый автобиографический материал можно найти в сохранившихся предисловиях к книгам «Коники». Это письма Аполлония, адресованные влиятельным друзьям, в которых он просит их рецензировать книгу, приложенную к письму. Первые два предисловия адресованы Эвдему Пергамскому.
Вероятно, Эвдемус был или стал главой исследовательского центра Музея Пергама , города, известного своими книгами и пергаментной промышленностью, от которой и произошло название пергамент . Исследования в греческих математических институтах, которые следовали модели Афинского Ликея , были частью образовательной работы, к которой были приложены библиотека и музей. В государстве была только одна такая школа, находившаяся под королевским покровительством. Книги были редкими и дорогими, и их коллекционирование было королевской обязанностью.
В предисловии к Книге I Аполлоний сообщает Эвдему, что первые четыре книги были посвящены развитию элементов, а последние четыре — специальным темам. Аполлоний напоминает Эвдему, что «Коники» изначально были запрошены Навкратом, геометром и гостем в Александрии, в остальном неизвестным истории. Аполлоний предоставил Навкрату первый черновик всех восьми книг, но он называет их «без тщательного очищения» и намеревался проверить и исправить книги, выпуская каждую по мере ее завершения.
Услышав этот план от самого Аполлония, посетившего Пергам, Эвдем настоял, чтобы Аполлоний отправлял ему каждую книгу перед выпуском. На этом этапе Аполлоний, вероятно, был еще молодым геометром, который, по словам Паппа, оставался в Александрии с учениками Евклида (намного позже времени Евклида), возможно, на последнем этапе своего образования. Эвдем мог быть наставником со времен Аполлония в Пергаме.
Между первым и вторым предисловиями есть пробел. Аполлоний послал своего сына, также по имени Аполлоний, доставить второе. Он говорит с большей уверенностью, предлагая Эвдему использовать книгу в специальных учебных группах. Аполлоний упоминает о встрече с Филонидом из Лаодикии , геометром, которого он представил Эвдему в Эфесе , и который стал учеником Эвдема. Филонид жил в основном в Сирии в первой половине II века до н. э. Неясно, указывает ли встреча на то, что Аполлоний теперь жил в Эфесе; интеллектуальное сообщество Средиземноморья было космополитичным, и ученые в этот «золотой век математики» искали работу за рубежом, навещали друг друга, читали работы друг друга и делали предложения, рекомендовали студентов и общались через своего рода почтовую службу. Сохранилось множество писем.
Предисловие к Книге III отсутствует, и в промежутке Эвдем умер, говорит Аполлоний в предисловии к Книге IV. Предисловия к Книгам IV–VII более формальны, это просто резюме, опускающие личную информацию. Все четыре адресованы таинственному Атталу, выбор сделан, говорит Аполлоний, «из-за твоего искреннего желания обладать моими трудами». Предположительно, Аттал был важен для отправки рукописей Аполлония . Одна из теорий заключается в том, что Аттал — это Аттал II Филадельф (220–138 до н. э.), полководец и защитник Пергама, брат которого Эвмен II был царем, и который стал соправителем после болезни своего брата в 160 г. до н. э. и вступил на престол в 158 г. до н. э. Оба брата были покровителями искусств, расширив библиотеку до международного великолепия. Аттал был современником Филонида, и мотив Аполлония созвучен инициативе Аттала по коллекционированию книг.
В Предисловии VII Аполлоний описывает Книгу VIII как «приложение... которое я позабочусь отправить вам как можно скорее». Нет никаких записей о том, что она когда-либо была отправлена, и Аполлоний мог умереть, не закончив ее. Однако Папп Александрийский предоставил леммы для нее, так что она должна была быть в обращении в какой-то форме.
Аполлоний был плодовитым геометром, создавшим большое количество работ. Сохранилась только одна, «Коники» . Из восьми ее книг только первые четыре сохранились как непереведенные оригинальные тексты Аполлония. Книги 5-7 сохранились только через арабский перевод, сделанный Табитом ибн Куррой по заказу Бану Муса ; оригинальный греческий текст утерян. [6] Статус книги 8 неизвестен. Существовал первый черновик, но неизвестно, был ли когда-либо создан окончательный черновик. «Реконструкция» ее Эдмондом Галлеем существует на латыни, но нет способа узнать, насколько она, если таковая вообще имеется, правдоподобна Аполлонию.
Греческий текст «Коник» использует евклидову организацию определений, фигур и их частей; т. е. «данные», за которыми следуют предложения, «которые нужно доказать». Книги I–VII представляют 387 предложений. Этот тип организации можно увидеть в любом современном учебнике геометрии традиционного предмета. Как и в любом курсе математики, материал очень плотный, и его рассмотрение неизбежно медленное. У Аполлония был план для каждой книги, который частично описан в Предисловиях . Заголовки или указатели на план несколько дефицитны, поскольку Аполлоний больше зависел от логического течения тем.
Книга I содержит 58 положений. Ее наиболее выдающееся содержание — все основные определения, касающиеся конусов и конических сечений. Эти определения не совсем совпадают с современными определениями тех же слов. Этимологически современные слова происходят от древних, но этимон часто отличается по значению от своего рефлекса .
Коническая поверхность образуется отрезком прямой, вращающимся вокруг биссектрисы таким образом, что конечные точки описывают окружности , каждая в своей плоскости . Конус , одна из ветвей двойной конической поверхности, представляет собой поверхность с точкой ( вершиной ), окружностью ( основанием ) и осью, соединяющей вершину и центр основания.
Сечение (лат. sectio , греч. tome ) — воображаемое «сечение» конуса плоскостью .
Греческие геометры были заинтересованы в размещении избранных фигур из своего инвентаря в различных приложениях инженерии и архитектуры, как это делали великие изобретатели, такие как Архимед. Спрос на конические сечения существовал тогда и существует сейчас. Развитие математической характеризации переместило геометрию в направлении греческой геометрической алгебры , которая наглядно демонстрирует такие алгебраические основы, как присвоение значений отрезкам линий в качестве переменных. Они использовали систему координат, промежуточную между сеткой измерений и декартовой системой координат . Теории пропорции и применения площадей позволили разработать наглядные уравнения. (См. ниже в разделе Методы Аполлония).
«Применение площадей» неявно спрашивает, если даны площадь и отрезок прямой, применяется ли эта площадь; то есть равна ли она квадрату на отрезке? Если да, то применимость (парабола) установлена. Аполлоний последовал за Евклидом, спросив, применим ли прямоугольник на абсциссе любой точки на сечении к квадрату ординаты . [ 7] Если это так, то его словесное уравнение является эквивалентом , что является одной из современных форм уравнения для параболы . Прямоугольник имеет стороны и . Именно он соответственно назвал фигуру, параболу, «применением».
Случай «неприменимости» далее делится на две возможности. Дана функция, , такая, что в случае применимости, , в случае неприменимости, либо , либо . В первом случае не дотягивает до величины, называемой многоточием , «дефицит». Во втором случае перехлестывает до величины, называемой гиперболой , «избыток».
Применимость может быть достигнута путем добавления дефицита или вычитания излишка. Фигура, компенсирующая дефицит, была названа эллипсом, а излишек — гиперболой. [c] Члены современного уравнения зависят от перемещения и вращения фигуры относительно начала координат, но общее уравнение для эллипса,
можно разместить в форме
где дефицит, а уравнение для гиперболы,
становится
где избыток. [d]
Книга II содержит 53 предложения. Аполлоний говорит, что он намеревался охватить «свойства, имеющие отношение к диаметрам и осям, а также асимптотам и другим вещам... для пределов возможности». Его определение «диаметра» отличается от традиционного, поскольку он считает необходимым отослать предполагаемого получателя письма к своей работе за определением. Упомянутые элементы — это те, которые определяют форму и генерацию фигур. Касательные рассматриваются в конце книги.
Книга III содержит 56 предложений. Аполлоний заявляет об оригинальном открытии теорем, «используемых для построения телесных геометрических мест... трех- и четырехлинейных геометрических мест ...». Геометрическое место конического сечения — это сечение. Задача о трехлинейных местах (как указано в приложении Талиаферо к Книге III) находит «геометрическое место точек, расстояния которых от трех данных фиксированных прямых линий... таковы, что квадрат одного из расстояний всегда находится в постоянном отношении к прямоугольнику, содержащемуся на двух других расстояниях». Это доказательство применения площадей, приводящее к параболе. [8] Задача о четырех линиях приводит к эллипсу и гиперболе. Аналитическая геометрия выводит те же геометрические места из более простых критериев, поддерживаемых алгеброй, а не геометрией, за которую Декарт был высоко оценен. Он превосходит Аполлония в своих методах.
Книга IV содержит 57 предложений. Первая, отправленная Атталу, а не Эвдему, таким образом, представляет его более зрелую геометрическую мысль. Тема довольно специализирована: «наибольшее количество точек, в которых сечения конуса могут встречаться друг с другом или встречаться с окружностью круга, ...». Тем не менее, он говорит с энтузиазмом, называя их «значительно полезными» при решении задач (Предисловие 4). [e]
Книга V, известная только по переводу с арабского, содержит 77 предложений, больше, чем любая другая книга. [9] Они охватывают эллипс (50 предложений), параболу (22) и гиперболу (28). [10] Это не явная тема, которую в Предисловиях I и V Аполлоний называет максимальными и минимальными линиями. Эти термины не объясняются. В отличие от Книги I, Книга V не содержит определений и объяснений.
Неоднозначность служила магнитом для толкователей Аполлония, которые должны были интерпретировать без точного знания значения основных терминов книги. До недавнего времени преобладала точка зрения Хита: линии должны рассматриваться как нормали к сечениям. [11] Нормаль в этом случае - это перпендикуляр к кривой в точке касания, иногда называемой основанием. Если сечение построено в соответствии с системой координат Аполлония (см. ниже в разделе Методы Аполлония), с диаметром (переведенным Хитом как ось) на оси x и вершиной в начале координат слева, фразеология предложений указывает, что минимумы/максимумы должны быть найдены между сечением и осью. Хит приходит к своей точке зрения, рассматривая фиксированную точку p на сечении, служащую как точкой касания, так и одним концом линии. Минимальное расстояние между p и некоторой точкой g на оси должно тогда быть нормалью из p.
В современной математике нормали к кривым известны тем, что являются местоположением центра кривизны той малой части кривой, которая расположена вокруг подножия. Расстояние от подножия до центра — это радиус кривизны . Последний является радиусом окружности, но для кривых, отличных от круговых, малая дуга может быть аппроксимирована круговой дугой. Кривизна некруговых кривых; например, конических сечений, должна изменяться по сечению. Карта центра кривизны; т. е. его геометрического места, по мере того как подножие движется по сечению, называется эволютой сечения . Такая фигура, край последовательных положений линии, сегодня называется огибающей . Хит считал, что в Книге V мы видим, как Аполлоний устанавливает логическую основу теории нормалей, эволютов и огибающих. [12]
Интерпретация Хита была принята как авторитетная интерпретация Книги V на протяжении всего XX века, но смена века принесла с собой изменение взглядов. В 2001 году исследователи Аполлония Фрид и Унгуру, отдавая должное другим главам Хита, выступили против историчности анализа Хита Книги V, утверждая, что он «перерабатывает оригинал, чтобы сделать его более близким по духу современному математику... это то, что делает работу Хита сомнительной ценностью для историка, раскрывая больше ума Хита, чем ума Аполлония». [13] Некоторые из его аргументов вкратце таковы. Ни в предисловиях, ни в самих книгах не упоминается, что максимумы/минимумы являются per se нормалями. [f] Из 50 предложений, выбранных Хитом и, как утверждается, охватывающих нормали, только 7, Книга V: 27–33, утверждают или подразумевают, что линии максимума/минимума перпендикулярны касательным. Эти 7 Фрид классифицирует как изолированные, не связанные с основными предложениями книги. Они никоим образом не подразумевают, что максимумы/минимумы в целом являются нормалями. В своем обширном исследовании остальных 43 предложений Фрид доказывает, что многие из них не могут быть таковыми. [g]
Фрид и Унгуру противостоят, изображая Аполлония как продолжение прошлого, а не предзнаменование будущего. Во-первых, это полное филологическое исследование всех ссылок на минимальные и максимальные линии, которое раскрывает стандартную фразеологию. Есть три группы по 20-25 предложений в каждой. [14] Первая группа содержит фразу «от точки на оси до сечения», которая является полной противоположностью гипотетического «от точки на сечении до оси». Первая не обязательно должна быть перпендикулярна чему-либо, хотя это может быть так. Учитывая фиксированную точку на оси, из всех линий, соединяющих ее со всеми точками сечения, одна будет самой длинной (максимальной) и одна самой короткой (минимальной). Другие фразы — «в сечении», «вычерченный из сечения», «отрезанный между сечением и его осью», отрезанный осью», — все они относятся к одному и тому же образу.
По мнению Фрида и Унгуру, тема Книги V — именно то, что говорит Аполлоний, максимальные и минимальные линии. Это не кодовые слова для будущих концепций, а отсылка к древним концепциям, которые использовались в то время. Авторы цитируют Евклида, Элементы, Книга III, которая посвящена окружностям и максимальным и минимальным расстояниям от внутренних точек до окружности. [15] Не признавая никакой особой общности, они используют такие термины, как «подобный» или «аналог». Они известны тем, что ввели новый термин «подобный невсису». Построение невсиса было методом подгонки заданного сегмента между двумя заданными кривыми. Дана точка P и линейка с отмеченным на ней сегментом. Линейку вращают вокруг P, пересекая две кривые, пока сегмент не будет подогнан между ними. В Книге V P — это точка на оси. Вращая линейку вокруг нее, обнаруживают расстояния до сечения, из которых можно различить минимум и максимум. Этот метод не применяется к ситуации, поэтому он не является невсисом. Авторы используют невсисоподобный метод, усматривая в нем архетипическое сходство с древним методом. [13]
Книга VI, известная только по переводу с арабского, содержит 33 предложения, меньше всех книг. Она также имеет большие лакуны или пробелы в тексте из-за повреждений или искажений в предыдущих текстах.
Тема относительно ясна и не вызывает противоречий. В предисловии 1 говорится, что это «равные и подобные сечения конусов». Аполлоний распространяет понятия конгруэнтности и подобия, представленные Евклидом для более элементарных фигур, таких как треугольники, четырехугольники, на конические сечения. В предисловии 6 упоминаются «сечения и сегменты», которые являются «равными и неравными», а также «подобными и неподобными», и добавляется некоторая конструктивная информация.
В книге VI представлен возврат к основным определениям в начале книги. « Равенство » определяется применением площадей. Если одна фигура, то есть сечение или сегмент, «прикладывается» к другой ( si applicari possit altera super alteram Галлея), они «равны» ( aequales Галлея ), если они совпадают и ни одна линия одной не пересекает никакую линию другой. Это, очевидно, стандарт соответствия , следующий Евклиду, Книга I, Общие понятия, 4: «и вещи, совпадающие ( epharmazanta ) друг с другом, равны ( isa )». Совпадение и равенство пересекаются, но это не одно и то же: применение площадей, используемых для определения сечений, зависит от количественного равенства площадей, но они могут принадлежать разным фигурам.
Между экземплярами, которые одинаковы ( homos), будучи равными друг другу, и теми, которые различны или неравны , находятся фигуры, которые являются «одинаковыми» (hom-oios), или подобными . Они не являются ни полностью одинаковыми, ни полностью разными, но разделяют аспекты, которые являются одинаковыми, и не разделяют аспекты, которые различаются. Интуитивно геометры имели в виду масштаб ; например, карта похожа на топографическую область. Таким образом, фигуры могли иметь большие или меньшие версии самих себя.
Аспекты, которые одинаковы в подобных фигурах, зависят от фигуры. В 6-й книге «Начал» Евклида подобные треугольники представлены как те, которые имеют одинаковые соответствующие углы. Таким образом, треугольник может иметь миниатюры сколь угодно малых размеров или гигантские версии, и при этом оставаться «тем же» треугольником, что и оригинал.
В определениях Аполлония в начале Книги VI подобные прямые конусы имеют подобные осевые треугольники. Подобные сечения и сегменты сечений находятся, прежде всего, в подобных конусах. Кроме того, для каждой абсциссы одного должна существовать абсцисса другого в желаемом масштабе. Наконец, абсцисса и ордината одного должны соответствовать координатам того же отношения ординаты к абсциссе, что и у другого. Общий эффект таков, как если бы сечение или сегмент перемещались вверх и вниз по конусу для достижения другого масштаба. [h]
Книга VII, также перевод с арабского, содержит 51 предложение. Это последние, которые Хит рассматривает в своем издании 1896 года. В Предисловии I Аполлоний не упоминает их, подразумевая, что во время первого черновика они, возможно, не существовали в достаточно связной форме для описания. Аполлоний использует неясный язык, что они являются «peri dioristikon Theorematon», что Галлей перевел как «de Theorematis ad definitionem pertinentibus», а Хит как «теоремы, включающие определения пределов». Это язык определения, но никаких определений не последовало. Может ли ссылка быть на определенный вид определения, является рассмотрением, но на сегодняшний день ничего достоверного не было предложено. [i] Тема Книги VII, завершенной к концу жизни и карьеры Аполлония, указана в Предисловии VII как диаметры и «фигуры, описанные на них», которые должны включать сопряженные диаметры , поскольку он в значительной степени полагается на них. Не указано, каким образом может применяться термин «пределы» или «определения».
Диаметры и их сопряженные определены в Книге I (Определения 4–6). Не каждый диаметр имеет сопряженную. Топография диаметра (греч. diametros) требует правильной криволинейной фигуры . Области неправильной формы, рассматриваемые в наше время, не входят в древний план игры. Аполлоний, конечно, имеет в виду конические сечения, которые он описывает часто замысловатым языком: «кривая в одной плоскости» — это окружность, эллипс или парабола, в то время как «две кривые в одной плоскости» — это гипербола. Хорда — это прямая линия, две конечные точки которой находятся на фигуре; т. е. она пересекает фигуру в двух местах. Если на фигуру наложена сетка параллельных хорд, то диаметр определяется как линия, делящая пополам все хорды, достигающая самой кривой в точке, называемой вершиной. Нет требования к замкнутой фигуре; например, парабола имеет диаметр.
Парабола имеет симметрию в одном измерении. Если представить ее сложенной на одном диаметре, то две половины будут конгруэнтны или наложены друг на друга. То же самое можно сказать и об одной ветви гиперболы. Сопряженные диаметры (греч. suzugeis diametroi, где suzugeis означает «связанные вместе»), однако, симметричны в двух измерениях. Фигуры, к которым они применяются, также требуют ареального центра (греч. kentron), сегодня называемого центроидом , служащим центром симметрии в двух направлениях. Этими фигурами являются окружность, эллипс и двухветвистая гипербола. Существует только один центроид, который не следует путать с фокусами . Диаметр — это хорда, проходящая через центроид, которая всегда делит его пополам.
Для окружности и эллипса пусть сетка параллельных хорд будет наложена на фигуру так, что самая длинная будет диаметром, а остальные последовательно короче, пока последняя не станет не хордой, а точкой касания. Касательная должна быть параллельна диаметру. Сопряженный диаметр делит хорды пополам, будучи помещенным между центроидом и точкой касания. Более того, оба диаметра сопряжены друг другу, будучи названы сопряженной парой. Очевидно, что любая сопряженная пара окружности перпендикулярна друг другу, но в эллипсе только большая и малая оси перпендикулярны друг другу, удлинение разрушает перпендикулярность во всех остальных случаях.
Сопряженные определяются для двух ветвей гиперболы , полученных в результате разрезания двойного конуса одной плоскостью. Они называются сопряженными ветвями. Они имеют одинаковый диаметр. Его центроид делит пополам отрезок между вершинами. Есть место для еще одной диаметроподобной линии: пусть сетка линий, параллельных диаметру, пересекает обе ветви гиперболы. Эти линии являются хордоподобными, за исключением того, что они не заканчиваются на одной и той же непрерывной кривой. Сопряженный диаметр можно провести из центроида, чтобы разделить пополам хордоподобные линии.
Эти концепции, в основном из Книги I, дают нам старт 51 предложению Книги VII, подробно определяющим отношения между сечениями, диаметрами и сопряженными диаметрами. Как и в случае с некоторыми другими специализированными темами Аполлония, их сегодняшняя полезность по сравнению с аналитической геометрией еще предстоит выяснить, хотя он утверждает в Предисловии VII, что они и полезны, и новаторски; т. е. он присваивает себе их заслугу.
Первые печатные издания начались в основном в XVI веке. В то время в Европе ожидалось, что научные книги будут на неолатинском языке . Поскольку на латыни было написано немного математических рукописей, редакторы первых печатных работ переводили их с греческого или арабского. Часто греческий и латинский языки сопоставлялись, причем греческий текст представлял собой либо оригинал, либо реставрацию редактора. Критические комментарии того времени обычно были на латыни. (Более ранние комментарии были написаны на древнегреческом или средневековом греческом или арабском языках.) Только в XVIII и XIX веках начали появляться издания на современных языках. Ниже приведен представительный список первых печатных изданий.
Трудность Conics создала интеллектуальную нишу для более поздних комментаторов, каждый из которых представил Аполлония наиболее ясным и соответствующим образом для своего времени. Они использовали различные методы: аннотации, обширный вступительный материал, различные форматы, дополнительные рисунки, поверхностную реорганизацию путем добавления capita и т. д. Существуют тонкие различия в интерпретации.
Ограниченный материал о конических проекциях был когда-либо написан на английском языке, потому что европейские математики 16-го–18-го века, включая таких английских математиков, как Эдмунд Галлей и Исаак Ньютон, предпочитали неолатынь. В последующие века геометрия была восстановлена с использованием координат ( аналитическая геометрия ), а синтетические методы вышли из моды, поэтому прямое влияние конических проекций на математические исследования уменьшилось.
Презентации, написанные полностью на родном английском языке, начинаются в конце 19 века.
Особенно влиятельным является перевод Томаса Хита «Трактат о конических сечениях ». Его обширный вступительный комментарий включает такие пункты, как словарь геометрических терминов Аполлония, дающий греческий язык, значения и использование. [17] Комментируя, что «очевидно зловещий объем трактата отпугнул многих от попыток познакомиться с ним», [18] он обещает добавить заголовки, поверхностно изменив организацию, и прояснить текст с помощью современных обозначений. Таким образом, его работа ссылается на две системы организации, свою собственную и Аполлония, перекрестно ссылаясь на них в скобках.
Хит был активен в конце 19-го и начале 20-го века, скончался в 1940 году, но тем временем развивалась другая точка зрения. Колледж Св. Иоанна (Аннаполис/Санта-Фе) , который был военной школой с колониальных времен, предшествовавшей Военно-морской академии США в Аннаполисе, штат Мэриленд , к которой он примыкает, в 1936 году лишился аккредитации и оказался на грани банкротства. В отчаянии совет вызвал Стрингфеллоу Барра и Скотта Бьюкенена из Чикагского университета , где они разрабатывали новую теоретическую программу для обучения классикам. Ухватившись за возможность, в 1937 году они учредили «новую программу» в Св. Иоанне, позже названную программой Великих книг , фиксированную учебную программу, которая преподавала бы работы избранных ключевых деятелей культуры западной цивилизации. В Св. Иоанне Аполлоний стал преподаваться как он сам, а не как некое дополнение к аналитической геометрии .
«Наставником» Аполлония был Р. Кейтсби Талиаферро , получивший в 1937 году докторскую степень в Университете Вирджинии . Он преподавал до 1942 года, а затем в течение года в 1948 году, самостоятельно выполняя переводы на английский язык, переведя «Альмагест » Птолемея и « Конические сечения » Аполлония . Эти переводы стали частью серии «Великие книги Западного мира» Британской энциклопедии . Включены только книги I–III с приложением по специальным темам (перевод книги IV «Конических сечений» Майкла Н. Фрида был выполнен в 2002 году). В отличие от Хита, Талиаферро не пытался реорганизовать Аполлония, даже поверхностно, или переписать его. Его перевод на современный английский язык довольно точно следует греческому. Он в некоторой степени использует современную геометрическую нотацию.
Одновременно с работой Талиаферро, Айвор Томас, преподаватель Оксфорда эпохи Второй мировой войны, проявлял интенсивный интерес к греческой математике. Он планировал составить сборник избранных произведений, который был реализован во время его военной службы в качестве офицера в Королевском Норфолкском полку . После войны он нашел пристанище в Классической библиотеке Лёба , где он занимает два тома, все переведенные Томасом, с греческим на одной стороне страницы и английским на другой, как это принято в серии Лёба. Работа Томаса служила справочником для золотого века греческой математики. Для Аполлония он включает в основном только те части Книги I, которые определяют разделы.
Остальные работы Аполлония фрагментарны или утеряны. Многие из утерянных работ описаны или упомянуты комментаторами. Кроме того, существуют идеи, приписываемые Аполлонию другими авторами без документального подтверждения. Достоверные или нет, они являются слухами. Некоторые авторы называют Аполлония автором определенных идей, впоследствии названных в его честь. Другие пытаются выразить Аполлония в современной нотации или фразеологии с неопределенной степенью точности.
Эдмонд Галлей реконструировал De Rationis Sectione и De Spatii Sectione . За этими работами, за исключением нескольких фрагментов, документация, которая могла бы каким-либо образом интерпретироваться как восходящая к Аполлонию, заканчивается.
Помимо «Коники» , Папп упоминает и другие трактаты Аполлония:
Каждая из них была разделена на две книги и, согласно Паппусу, вместе с « Данными» , « Поризмами» и «Поверхностными местами» Евклида и «Кониками » Аполлония, была включена в состав античного анализа. [8] Далее следуют описания шести работ, упомянутых выше.
De Rationis Sectione стремился решить простую задачу: даны две прямые линии и точка на каждой из них; через третью данную точку провести прямую линию, пересекающую две фиксированные линии таким образом, чтобы части, отсекаемые между данными точками на них и точками пересечения с этой третьей линией, имели заданное отношение. [8]
В работе De Spatii Sectione рассматривалась похожая проблема, требующая, чтобы прямоугольник, содержащийся между двумя отрезками, был равен заданному прямоугольнику. [8]
В конце 17 века Эдвард Бернард обнаружил версию De Rationis Sectione в Бодлеанской библиотеке . Хотя он и начал перевод, именно Галлей закончил его и включил в том 1706 года вместе со своей реставрацией De Spatii Sectione .
De Sectione Determinata рассматривает проблемы способом, который можно назвать аналитической геометрией одного измерения; с вопросом нахождения точек на линии, которые находятся в пропорции к другим. [20] Конкретные проблемы таковы: даны две, три или четыре точки на прямой линии, найти другую точку на ней так, чтобы ее расстояния от данных точек удовлетворяли условию, что квадрат на одной или прямоугольник, содержащийся двумя, имеет заданное отношение либо (1) к квадрату на оставшемся одном или прямоугольнику, содержащемуся оставшимися двумя, либо (2) к прямоугольнику, содержащемуся оставшимся одним и другой данной прямой линией. Несколько человек пытались восстановить текст, чтобы обнаружить решение Аполлония, среди них Снеллиус ( Willebrord Snell , Лейден , 1698); Александр Андерсон из Абердина в дополнении к своему Apollonius Redivivus (Париж, 1612); и Роберт Симсон в своей Opera quaedam reliqua (Глазго, 1776), безусловно, лучшая попытка. [8]
Де Тактионибус охватил следующую общую проблему: для данных трех вещей (точек, прямых линий или окружностей) в определенном положении опишите окружность, проходящую через данные точки и касающуюся данных прямых линий или окружностей. Самый сложный и исторически интересный случай возникает, когда три данных вещи являются окружностями. В XVI веке Виета представил эту проблему (иногда известную как проблема Аполлона) Адриану Романусу , который решил ее с помощью гиперболы . После этого Виета предложил более простое решение, в конечном итоге приведшее его к восстановлению всего трактата Аполлония в небольшой работе Apollonius Gallus (Париж, 1600). История проблемы подробно рассматривается в предисловии к краткому труду Дж. В. Камерера Apollonii Pergaei quae supersunt, ac maxime Lemmata Pappi in hos Libras, cum Observationibus, &c (Готы, 1795, 8vo). [8]
Целью De Inclinationibus было продемонстрировать, как прямая линия заданной длины, стремящаяся к заданной точке, может быть вставлена между двумя заданными (прямыми или круговыми) линиями. Хотя Марин Гетальдич и Гуго д'Омерик ( Геометрический анализ , Кадис, 1698) пытались восстановить, лучшая из них принадлежит Сэмюэлю Хорсли (1770). [8]
De Locis Planis — это сборник предложений, касающихся геометрических мест, которые являются либо прямыми линиями, либо окружностями. Поскольку Паппус приводит довольно полные подробности его предложений, этот текст также видел попытки восстановить его, не только П. Ферма ( Oeuvres , i., 1891, стр. 3–51) и Ф. Скутена (Лейден, 1656), но также, наиболее успешно, Р. Симсона (Глазго, 1749). [8]
Древние авторы ссылаются на другие произведения Аполлония, которые не сохранились:
Эквивалентность двух описаний движения планет, одно из которых использует эксцентрики, а другое — деференты и эпициклы , приписывается Аполлонию. Птолемей описывает эту эквивалентность в Альмагесте .
По словам Хита, [21] «Методы Аполлония» не были его личными; какое бы влияние он ни оказал на более поздних теоретиков, оно было влиянием геометрии, а не его собственных технических инноваций. Хит говорит:
В качестве предварительного рассмотрения подробного метода, применяемого в конических сечениях, можно в целом заявить, что они неуклонно следуют общепринятым принципам геометрического исследования, нашедшим свое окончательное выражение в «Началах» Евклида.
Говоря о геометрах золотого века, современные ученые используют термин «метод», чтобы обозначить визуальный, реконструктивный способ, которым геометр производит результат, эквивалентный тому, который производит алгебра сегодня. В качестве простого примера, алгебраический метод вычисления площади квадрата заключается в возведении в квадрат длины его стороны; аналогичный геометрический метод заключается в построении визуального квадрата. Геометрические методы в золотом веке могли производить большинство результатов элементарной алгебры.
Хит продолжает использовать термин геометрическая алгебра для методов всего золотого века. [k] Термин был определен Генри Берчардом Файном в 1890 году или ранее, который применил его к La Géométrie Рене Декарта , первой полноценной работе по аналитической геометрии . [22] Устанавливая в качестве предварительного условия, что «две алгебры формально идентичны, чьи основные операции формально одинаковы», Файн говорит, что работа Декарта «не является... просто числовой алгеброй, но тем, что за неимением лучшего названия можно назвать алгеброй отрезков прямых. Ее символика та же, что и у числовой алгебры; ...».
Например, у Аполлония отрезок AB (линия между точкой A и точкой B) также является числовой длиной отрезка. Он может иметь любую длину. Поэтому AB становится тем же самым, что и алгебраическая переменная , такая как x (неизвестное), которой может быть присвоено любое значение; например, x = 3.
Переменные определяются у Аполлония такими словесными утверждениями, как «пусть AB будет расстоянием от любой точки сечения до диаметра», практика, которая продолжается в алгебре и сегодня. Каждый студент, изучающий базовую алгебру, должен научиться преобразовывать «текстовые задачи» в алгебраические переменные и уравнения, к которым применяются правила алгебры при решении для x . У Аполлония таких правил не было. Его решения геометрические.
Отношения, не поддающиеся легко изобразительным решениям, были за пределами его понимания; однако его репертуар изобразительных решений исходил из пула сложных геометрических решений, которые сегодня обычно не известны (или не требуются). Одним из хорошо известных исключений является незаменимая теорема Пифагора , даже сейчас представленная прямоугольным треугольником с квадратами на его сторонах, иллюстрирующим выражение, такое как a 2 + b 2 = c 2 . Греческие геометры называли эти термины «квадрат на AB» и т. д. Аналогично, площадь прямоугольника, образованного AB и CD, была «прямоугольником на AB и CD».
Эти концепции дали греческим геометрам алгебраический доступ к линейным функциям и квадратичным функциям , которые являются коническими сечениями. Они содержат степени 1 или 2 соответственно. Аполлоний не очень-то использовал кубы (представленные в стереометрии ), хотя конус является телом. Его интересовали конические сечения, которые являются плоскими фигурами. Степени 4 и выше были за пределами визуализации, требуя степени абстракции, недоступной в геометрии, но под рукой в алгебре.
Все обычные измерения длины в общедоступных единицах, таких как дюймы, с использованием стандартных общедоступных устройств, таких как линейка, подразумевают общественное признание декартовой сетки ; то есть поверхности, разделенной на единичные квадраты, такие как один квадратный дюйм, и пространства, разделенного на единичные кубы, такие как один кубический дюйм. Древнегреческие единицы измерения предоставили такую сетку греческим математикам со времен бронзового века. До Аполлония Менехм и Архимед уже начали размещать свои фигуры на подразумеваемом окне общей сетки, ссылаясь на расстояния, задуманные как измеряемые от левой вертикальной линии, отмечающей низкую меру, и нижней горизонтальной линии, отмечающей низкую меру, направления являются прямолинейными или перпендикулярными друг другу. [23] Эти края окна становятся в декартовой системе координат осями. В качестве координат указываются прямолинейные расстояния любой точки от осей . У древних греков не было такого соглашения. Они просто ссылались на расстояния.
У Аполлония есть стандартное окно, в котором он размещает свои фигуры. Вертикальное измерение происходит от горизонтальной линии, которую он называет «диаметром». Это слово в греческом языке такое же, как и в английском, но греческий язык несколько шире в своем понимании. [24] Если фигура конического сечения разрезана сеткой параллельных линий, диаметр делит пополам все отрезки линий, включенные между ветвями фигуры. Он должен проходить через вершину (koruphe, «корона»). Таким образом, диаметр включает в себя открытые фигуры, такие как парабола, а также закрытые, такие как окружность. Нет никаких указаний на то, что диаметр должен быть перпендикулярен параллельным линиям, но Аполлоний использует только прямолинейные.
Прямолинейное расстояние от точки на сечении до диаметра называется по-гречески tetagmenos, этимологически просто «продленный». Поскольку оно всегда продлевается только «вниз» (kata-) или «вверх» (ana-), переводчики интерпретируют его как ординату . В этом случае диаметр становится осью x, а вершина — началом координат. Ось y тогда становится касательной к кривой в вершине. Абсцисса тогда определяется как сегмент диаметра между ординатой и вершиной.
Используя свою версию системы координат, Аполлонию удается разработать в наглядной форме геометрические эквиваленты уравнений для конических сечений, что поднимает вопрос о том, можно ли считать его систему координат декартовой. Существуют некоторые различия. Декартова система должна рассматриваться как универсальная, охватывающая все фигуры во всем пространстве, применяемом до того, как будут выполнены какие-либо вычисления. Она имеет четыре квадранта, разделенных двумя скрещенными осями. Три из квадрантов включают отрицательные координаты, означающие направления, противоположные опорным осям нуля.
Аполлоний не имеет отрицательных чисел, не имеет явно числа для нуля и не разрабатывает систему координат независимо от конических сечений. Он работает по существу только в квадранте 1, все координаты положительные. Карл Бойер, современный историк математики, поэтому говорит: [25]
Однако греческая геометрическая алгебра не предусматривала отрицательных величин; более того, система координат в каждом случае накладывалась a posteriori на заданную кривую с целью изучения ее свойств... Аполлоний, величайший геометр древности, не смог разработать аналитическую геометрию...
Тем не менее, по мнению Бойера, трактовка кривых Аполлонием в некотором роде похожа на современную трактовку, и его работа, кажется, предвосхищает аналитическую геометрию . [25] Аполлоний занимает своего рода промежуточную нишу между сеточной системой обычных измерений и полностью разработанной декартовой системой координат аналитической геометрии. Читая Аполлония, нужно быть осторожным, чтобы не предполагать современные значения его терминов.
Аполлоний использует «Теорию пропорций», как она изложена в « Началах » Евклида , книги 5 и 6. Разработанная Евдоксом Книдским, эта теория занимает промежуточное положение между чисто графическими методами и современной теорией чисел. Стандартная десятичная система счисления отсутствует, как и стандартная обработка дробей. Однако предложения выражают словами правила манипулирования дробями в арифметике. Хит предлагает, чтобы они заменяли умножение и деление. [26]
Под термином «величина» Евдокс надеялся выйти за рамки чисел к общему смыслу размера, значение которого он сохраняет до сих пор. Что касается фигур Евклида, то чаще всего он подразумевает числа, что было пифагорейским подходом. Пифагор считал, что вселенную можно охарактеризовать с помощью величин, и эта вера стала современной научной догмой. Книга V Евклида начинается с утверждения, что величина (megethos, «размер») должна делиться нацело на единицы (meros, «часть»). Таким образом, величина является кратной единицам. Они не обязательно должны быть стандартными единицами измерения, такими как метры или футы. Одной единицей может быть любой обозначенный отрезок линии.
Далее следует, пожалуй, самое полезное фундаментальное определение, когда-либо придуманное в науке: отношение (греч. logos , что примерно означает «объяснение») — это утверждение относительной величины. При наличии двух величин, скажем, отрезков AB и CD, отношение AB к CD, где CD считается единицей, является числом CD в AB; например, 3 части от 4 или 60 частей на миллион, где ppm все еще использует терминологию «частей». Отношение является основой современной дроби, которая также все еще означает «часть» или «фрагмент», от того же латинского корня, что и fracture. Отношение является основой математического предсказания в логической структуре, называемой «пропорцией» (греч. analogos). Пропорция утверждает, что если два отрезка, AB и CD, имеют такое же отношение, как два других, EF и GH, то AB и CD пропорциональны EF и GH, или, как сказал бы Евклид, AB относится к CD так же, как EF к GH.
Алгебра сводит эту общую концепцию к выражению AB/CD = EF/GH. При наличии любых трех членов можно вычислить четвертый как неизвестный. Переставляя приведенное выше уравнение, получаем AB = (CD/GH)•EF, в котором, выраженное как y = kx, CD/GH известно как «константа пропорциональности». У греков не было особых трудностей с взятием кратных (греч. pollaplasiein), вероятно, путем последовательного сложения.
Аполлоний использует соотношения почти исключительно отрезков и площадей, которые обозначены квадратами и прямоугольниками. Переводчики взяли на себя обязательство использовать обозначение двоеточия, введенное Лейбницем в Acta Eruditorum , 1684. [27] Вот пример из Conics , Book I, на предложение 11:
