Гипербола

Плоская кривая: коническое сечение

Гипербола — разомкнутая кривая с двумя ветвями, пересечение плоскости обеими половинами двойного конуса . Плоскость не обязательно должна быть параллельна оси конуса; гипербола в любом случае будет симметричной.

Гипербола (красная): особенности

В математике гипербола ( / h aɪ ˈ p ɜːr b ə l ə / _ ^ⓘ ; пл. гиперболыилигиперболы /- l iː / ^ⓘ ; прил. гиперболический / ˌ h aɪ p ər ˈ b ɒ l ɪ k / ^ⓘ ) — это типгладкой кривой, лежащей в плоскости, определяемый ее геометрическими свойствами илиуравнениями, для которых она является множеством решений. Гипербола состоит из двух частей, называемыхсвязными компонентамиили ветвями, которые являются зеркальными отражениями друг друга и напоминают два бесконечныхлука. Гипербола — один из трёх видовконического сечения, образованный пересечением плоскостиидвойногоконуса. (Другие конические сечения —параболаиэллипс.Окружность— частный случай эллипса.) Если плоскость пересекает обе половины двойного конуса, но не проходит через вершину конусов, то коника — это гипербола. .

Помимо того, что гипербола является коническим сечением, она может возникать как геометрическое место точек, разница расстояний до двух фиксированных фокусов которых постоянна, как кривая, для каждой точки которой лучи, ведущие к двум фиксированным фокусам, отражаются через касательную линию в этой точке. или как решение некоторых двумерных квадратных уравнений , таких как соотношение взаимности ^[1] В практических приложениях гипербола может возникать как путь, по которому следует тень кончика гномона солнечных часов , форма открытой орбиты, такая как скорость небесного объекта, превышающая, среди прочего, скорость убегания ближайшего гравитационного тела или траекторию рассеяния субатомной частицы . ${\displaystyle xy=1.}$

Каждая ветвь гиперболы имеет два плеча, которые становятся более прямыми (меньшая кривизна) по мере удаления от центра гиперболы. Диагонально противоположные рукава, по одному от каждой ветви, в пределе стремятся к общей линии, называемой асимптотой этих двух плеч. Итак, существуют две асимптоты, пересечение которых находится в центре симметрии гиперболы, которую можно рассматривать как зеркальную точку, относительно которой каждая ветвь отражается, образуя другую ветвь. В случае кривой асимптотами являются две оси координат . ^[2] ${\displaystyle y(x)=1/x}$

Гиперболы разделяют многие аналитические свойства эллипсов, такие как эксцентриситет , фокус и директриса . Обычно переписка может осуществляться не более чем с помощью смены знака в каком-то периоде. Многие другие математические объекты берут свое начало от гиперболы, например, гиперболические параболоиды (седловые поверхности), гиперболоиды («мусорные корзины»), гиперболическая геометрия ( знаменитая неевклидова геометрия Лобачевского ), гиперболические функции (sinh, cosh, tanh и т. д.). .) и гировекторные пространства (геометрия, предложенная для использования как в теории относительности , так и в квантовой механике , которая не является евклидовой ).

Этимология и история

Слово «гипербола» происходит от греческого ὑπερβολή , что означает «свергнутый» или «чрезмерный», от которого также происходит английский термин « гипербола» . Гиперболы были открыты Менехмом при исследовании проблемы удвоения куба , но назывались тогда сечениями тупых конусов. ^[3] Считается, что термин «гипербола» был придуман Аполлонием Пергским (ок. 262–ок. 190 до н. э.) в его окончательной работе о конических сечениях , « Кониках» . ^[4] Названия двух других общих конических сечений, эллипса и параболы , происходят от соответствующих греческих слов, означающих «недостаточный» и «примененный»; все три названия заимствованы из более ранней пифагорейской терминологии, которая относилась к сравнению стороны прямоугольников фиксированной площади с заданным отрезком. Прямоугольник может быть «приложен» к сегменту (то есть иметь равную длину), быть короче сегмента или превышать его. ^[5]

Определения

Как место точек

Гипербола: определение по расстояниям точек до двух неподвижных точек (фокусов).

Гипербола: определение с круговой направляющей

Гиперболу можно определить геометрически как набор точек ( место точек ) на евклидовой плоскости:

Гипербола — это набор точек, такой, что для любой точки набора абсолютная разность расстояний до двух фиксированных точек ( фокусов ) постоянна, обычно обозначается : ^[6] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle |PF_{1}|,\,|PF_{2}|}$ ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$ ${\displaystyle 2a,\,a>0}$

$${\displaystyle H=\left\{P:\left|\left|PF_{2}\right|-\left|PF_{1}\right|\right|=2a\right\}.}$$

Середина отрезка, соединяющего фокусы, называется центром гиперболы . ^[7] Линия, проходящая через фокусы, называется большой осью . Он содержит вершины , имеющие расстояние до центра. Расстояние фокусов до центра называется фокусным расстоянием или линейным эксцентриситетом . Фактором является эксцентриситет . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\tfrac {c}{a}}}$ ${\displaystyle e}$

Уравнение можно посмотреть и по-другому (см. схему): Если – окружность со серединой и радиусом , то расстояние точки правой ветви до окружности равно расстоянию до фокуса : ${\displaystyle \left|\left|PF_{2}\right|-\left|PF_{1}\right|\right|=2a}$
${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$

$${\displaystyle |PF_{1}|=|Pc_{2}|.}$$

${\displaystyle c_{2}}$круговой директрисой^{[8] [9]} ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$

Гипербола с уравнением y = A / x

Вращение системы координат для описания прямоугольной гиперболы как графика функции.

Три прямоугольные гиперболы с координатными осями в виде асимптот красного цвета: A = 1; пурпурный: А = 4; синий: А = 9 ${\displaystyle y=A/x}$

Если система координат xy повернута вокруг начала координат на угол и заданы новые координаты , то . Прямоугольная гипербола (полуоси которой равны) имеет новое уравнение . Решение проблемы доходности ${\displaystyle +45^{\circ }}$ ${\displaystyle \xi ,\eta }$ ${\displaystyle x={\tfrac {\xi +\eta }{\sqrt {2}}},\;y={\tfrac {-\xi +\eta }{\sqrt {2}}}}$
${\displaystyle {\tfrac {x^{2}-y^{2}}{a^{2}}}=1}$ ${\displaystyle {\tfrac {2\xi \eta }{a^{2}}}=1}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta ={\tfrac {a^{2}/2}{\xi }}\ .}$

Таким образом, в системе координат xy график функции с уравнением ${\displaystyle f:x\mapsto {\tfrac {A}{x}},\;A>0\;,}$

$${\displaystyle y={\frac {A}{x}}\;,A>0\;,}$$

прямоугольную гиперболуквадранте

• оси координат как асимптоты ,
• линия как главная ось , ${\displaystyle y=x}$
• центр и полуось _ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle a=b={\sqrt {2A}}\;,}$
• вершины _ ${\displaystyle \left({\sqrt {A}},{\sqrt {A}}\right),\left(-{\sqrt {A}},-{\sqrt {A}}\right)\;,}$
• полурасширенная прямая кишка и радиус кривизны в вершинах ${\displaystyle p=a={\sqrt {2A}}\;,}$
• линейный эксцентриситет и эксцентриситет ${\displaystyle c=2{\sqrt {A}}}$ ${\displaystyle e={\sqrt {2}}\;,}$
• касательная в точке ${\displaystyle y=-{\tfrac {A}{x_{0}^{2}}}x+2{\tfrac {A}{x_{0}}}}$ ${\displaystyle (x_{0},A/x_{0})\;.}$

Вращение исходной гиперболы приводит к прямоугольной гиперболе полностью во втором и четвертом квадрантах с теми же асимптотами, центром, полуширотной прямой кишкой, радиусом кривизны в вершинах, линейным эксцентриситетом и эксцентриситетом, что и в случае вращения . , с уравнением ${\displaystyle -45^{\circ }}$ ${\displaystyle +45^{\circ }}$

$${\displaystyle y=-{\frac {A}{x}}\;,~~A>0\;,}$$

• полуоси _ ${\displaystyle a=b={\sqrt {2A}}\;,}$
• линия как главная ось, ${\displaystyle y=-x}$
• вершины _ ${\displaystyle \left(-{\sqrt {A}},{\sqrt {A}}\right),\left({\sqrt {A}},-{\sqrt {A}}\right)\;.}$

Сдвиг гиперболы с уравнением так, чтобы новый центр был , дает новое уравнение ${\displaystyle y={\frac {A}{x}},\ A\neq 0\ ,}$ ${\displaystyle (c_{0},d_{0})}$

$${\displaystyle y={\frac {A}{x-c_{0}}}+d_{0}\;,}$$

${\displaystyle x=c_{0}}$ ${\displaystyle y=d_{0}}$ ${\displaystyle a,b,p,c,e}$

По свойству Directrix

Гипербола: свойство директрисы

Гипербола: определение со свойством направляющей

Две прямые, находящиеся на расстоянии от центра и параллельные малой оси, называются директрисами гиперболы (см. Рисунок). ${\textstyle d={\frac {a^{2}}{c}}}$

Для произвольной точки гиперболы частное расстояния до одного фокуса и соответствующей направляющей (см. схему) равно эксцентриситету: ${\displaystyle P}$

$${\displaystyle {\frac {|PF_{1}|}{|Pl_{1}|}}={\frac {|PF_{2}|}{|Pl_{2}|}}=e={\frac {c}{a}}\,.}$$

${\displaystyle F_{1},l_{1}}$ ${\displaystyle |PF_{1}|^{2}=(x-c)^{2}+y^{2},\ |Pl_{1}|^{2}=\left(x-{\tfrac {a^{2}}{c}}\right)^{2}}$ ${\displaystyle y^{2}={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}$

$${\displaystyle |PF_{1}|^{2}-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}|Pl_{1}|^{2}=0\ .}$$

Карандаш из коник с общей вершиной и общей полуширокой прямой кишкой.

Обратное утверждение также верно и может использоваться для определения гиперболы (аналогично определению параболы):

Для любой точки (фокуса), любой несквозной прямой (директрисы) и любого действительного числа с набором точек (местом точек), для которого частное расстояний до точки и до прямой равно ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e>1}$ ${\displaystyle e}$

$${\displaystyle H=\left\{P\,{\Biggr |}\,{\frac {|PF|}{|Pl|}}=e\right\}}$$

(Выбор дает параболу , а если эллипс .) ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle e<1}$

Доказательство

Пусть и предположим, что это точка на кривой. Директриса имеет уравнение . При , соотношение дает уравнения ${\displaystyle F=(f,0),\ e>0}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle x=-{\tfrac {f}{e}}}$ ${\displaystyle P=(x,y)}$ ${\displaystyle |PF|^{2}=e^{2}|Pl|^{2}}$

${\displaystyle (x-f)^{2}+y^{2}=e^{2}\left(x+{\tfrac {f}{e}}\right)^{2}=(ex+f)^{2}}$и ${\displaystyle x^{2}(e^{2}-1)+2xf(1+e)-y^{2}=0.}$

Замена дает ${\displaystyle p=f(1+e)}$

$${\displaystyle x^{2}(e^{2}-1)+2px-y^{2}=0.}$$

(параболыгиперболы ${\displaystyle e<1}$ ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle e>1}$

Если , ввести новые параметры так, чтобы , и тогда приведенное выше уравнение принимает вид ${\displaystyle e>1}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle e^{2}-1={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}},{\text{ and }}\ p={\tfrac {b^{2}}{a}}}$

$${\displaystyle {\frac {(x+a)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,,}$$

X ${\displaystyle (-a,0)}$ ${\displaystyle a,b}$

Гипербола: построение директрисы

Построение директрисы

Поскольку точка директрисы (см. схему) и фокус обратны относительно окружности, инверсия у окружности (на схеме зеленая). Следовательно, точку можно построить, используя теорему Фалеса (на схеме не показана). Директриса — это перпендикуляр к линии, проходящей через точку . ${\displaystyle c\cdot {\tfrac {a^{2}}{c}}=a^{2}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle l_{1}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle l_{1}}$ ${\displaystyle {\overline {F_{1}F_{2}}}}$ ${\displaystyle E_{1}}$

Альтернативное построение ${\displaystyle E_{1}}$ : Расчет показывает, что точка является пересечением асимптоты с ее перпендикуляром через (см. схему). ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle F_{1}}$

Как плоское сечение конуса

Гипербола (красная): два вида конуса и две сферы Одуванчика d ₁ , d ₂

Пересечение вертикального двойного конуса плоскостью, не проходящей через вершину, с наклоном, большим, чем наклон прямых на конусе, является гиперболой (см. рисунок: красная кривая). Чтобы доказать определяющее свойство гиперболы (см. выше), используются две сферы Одуванчика , которые представляют собой сферы, которые касаются конуса по окружностям , и пересекающую (гиперболу) плоскость в точках и . Выходит: являются фокусами гиперболы. ${\displaystyle d_{1},d_{2}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$

1. Пусть – произвольная точка кривой пересечения. ${\displaystyle P}$
2. Образующая конуса , содержащего окружность в точке , пересекает окружность в точке . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle B}$
3. Отрезки и касаются сферы и, следовательно, имеют одинаковую длину. ${\displaystyle {\overline {PF_{1}}}}$ ${\displaystyle {\overline {PA}}}$ ${\displaystyle d_{1}}$
4. Отрезки и касаются сферы и, следовательно, имеют одинаковую длину. ${\displaystyle {\overline {PF_{2}}}}$ ${\displaystyle {\overline {PB}}}$ ${\displaystyle d_{2}}$
5. Результат: не зависит от точки гиперболы , поскольку независимо от того, где находится точка, она должна находиться на окружностях , , а отрезок прямой должен пересекать вершину. Поэтому при движении точки по красной кривой (гиперболе) отрезок просто вращается вокруг вершины, не меняя своей длины. ${\displaystyle |PF_{1}|-|PF_{2}|=|PA|-|PB|=|AB|}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$

Конструкция штифта и струны

Гипербола: конструкция штифта и струны

Определение гиперболы по ее фокусам и круговым направляющим (см. выше) можно использовать для построения ее дуги с помощью булавок, веревки и линейки: ^[10]

0. Выберите фокусы , вершины и одну из круговых направляющих , например (круг с радиусом ) ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$ ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle 2a}$
1. Линейка закреплена в точке, которая может вращаться вокруг . Точка отмечена на расстоянии . ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle 2a}$
2. Строка с длиной подготовлена. ${\displaystyle |AB|}$
3. Один конец веревки закреплен в точке линейки, другой конец — в точке . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F_{1}}$
4. Возьмите ручку и крепко прижмите веревку к краю линейки.
5. Вращение линейки заставляет перо нарисовать дугу правой ветви гиперболы из-за (см. определение гиперболы по круговым направляющим ). ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle |PF_{1}|=|PB|}$

Штейнеровское поколение гиперболы

Гипербола: поколение Штейнера

Гипербола y = 1/ x : поколение Штейнера

Следующий метод построения отдельных точек гиперболы основан на порождении Штейнера невырожденного конического сечения :

Учитывая два пучка прямых в двух точках (все строки содержат и соответственно) и проективное, но не перспективное отображение на , то точки пересечения соответствующих прямых образуют невырожденное проективное коническое сечение. ${\displaystyle B(U),B(V)}$ ${\displaystyle U,V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle B(U)}$ ${\displaystyle B(V)}$

Для создания точек гиперболы используются карандаши в вершинах . Пусть – точка гиперболы и . Отрезок разделен на n равноотстоящих друг от друга сегментов, и это деление проецируется параллельно диагонали как направление на отрезок (см. Диаграмму). Параллельная проекция является частью проективного отображения между карандашами в точках и необходимо. Точки пересечения любых двух связанных прямых и являются точками однозначно определенной гиперболы. ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$ ${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle A=(a,y_{0}),B=(x_{0},0)}$ ${\displaystyle {\overline {BP}}}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle {\overline {AP}}}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle S_{1}A_{i}}$ ${\displaystyle S_{2}B_{i}}$

Примечания:

• Подразделение можно было бы расширить за пределы точек и получить больше очков, но определение точек пересечения стало бы более неточным. Лучшая идея — расширить уже построенные точки с помощью симметрии (см. анимацию). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
• Поколение Штейнера существует также для эллипсов и парабол.
• Генерацию Штейнера иногда называют методом параллелограмма, потому что вместо вершин можно использовать другие точки, которые начинаются с параллелограмма вместо прямоугольника.

Вписанные углы для гипербол y = a /( x − b ) + c и 3-точечная форма

Гипербола: теорема о вписанном угле

Гипербола с уравнением однозначно определяется тремя точками с разными координатами x и y . Простой способ определения параметров формы использует теорему о вписанном угле для гипербол: ${\displaystyle y={\tfrac {a}{x-b}}+c,\ a\neq 0}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\;(x_{2},y_{2}),\;(x_{3},y_{3})}$ ${\displaystyle a,b,c}$

Чтобы измерить угол между двумя линиями с помощью уравнений, в этом контексте используется частное ${\displaystyle y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2}\ ,m_{1},m_{2}\neq 0}$

$${\displaystyle {\frac {m_{1}}{m_{2}}}\ .}$$

Аналогично теореме о вписанном угле для окружностей получаем

Теорема о вписанном угле для гипербол ^{[11] [12]}  —  Для четырех точек (см. диаграмму) верно следующее утверждение: ${\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,2,3,4,\ x_{i}\neq x_{k},y_{i}\neq y_{k},i\neq k}$

Четыре точки находятся на гиперболе с уравнением тогда и только тогда, когда углы при и равны в смысле приведенного выше измерения. Это означает, что если ${\displaystyle y={\tfrac {a}{x-b}}+c}$ ${\displaystyle P_{3}}$ ${\displaystyle P_{4}}$

$${\displaystyle {\frac {(y_{4}-y_{1})}{(x_{4}-x_{1})}}{\frac {(x_{4}-x_{2})}{(y_{4}-y_{2})}}={\frac {(y_{3}-y_{1})}{(x_{3}-x_{1})}}{\frac {(x_{3}-x_{2})}{(y_{3}-y_{2})}}}$$

Доказательство можно получить прямым расчетом. Если точки находятся на гиперболе, можно предположить, что уравнение гиперболы равно . ${\displaystyle y=a/x}$

Следствием теоремы о вписанном угле для гипербол является

Трехточечная форма уравнения гиперболы  .  Уравнение гиперболы, определяемое тремя точками, является решением уравнения. ${\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,2,3,\ x_{i}\neq x_{k},y_{i}\neq y_{k},i\neq k}$

$${\displaystyle {\frac {({\color {red}y}-y_{1})}{({\color {green}x}-x_{1})}}{\frac {({\color {green}x}-x_{2})}{({\color {red}y}-y_{2})}}={\frac {(y_{3}-y_{1})}{(x_{3}-x_{1})}}{\frac {(x_{3}-x_{2})}{(y_{3}-y_{2})}}}$$

для . ${\displaystyle {\color {red}y}}$

Как аффинный образ единичной гиперболы x 2 − y 2 = 1

Гипербола как аффинный образ единичной гиперболы

Другое определение гиперболы использует аффинные преобразования :

Любая гипербола является аффинным образом единичной гиперболы с уравнением . ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$

Параметрическое представление

Аффинное преобразование евклидовой плоскости имеет вид , где – регулярная матрица (ее определитель не равен 0), а – произвольный вектор. Если – векторы-столбцы матрицы , единичная гипербола отображается на гиперболу ${\displaystyle {\vec {x}}\to {\vec {f}}_{0}+A{\vec {x}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\pm \cosh(t),\sinh(t)),t\in \mathbb {R} ,}$

$${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{1}\cosh t+{\vec {f}}_{2}\sinh t\ .}$$

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$— центр, точка гиперболы и касательный вектор в этой точке. ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{2}}$

Вершины

В общем случае векторы не перпендикулярны. Это означает, что вообще они не являются вершинами гиперболы. Но укажите направления асимптот. Касательный вектор в точке равен ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{1}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{1}\pm {\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}(t)}$

$${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}\sinh t+{\vec {f}}_{2}\cosh t\ .}$$

${\displaystyle t_{0}}$

$${\displaystyle {\vec {p}}'(t)\cdot \left({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}_{0}\right)=\left({\vec {f}}_{1}\sinh t+{\vec {f}}_{2}\cosh t\right)\cdot \left({\vec {f}}_{1}\cosh t+{\vec {f}}_{2}\sinh t\right)=0}$$

$${\displaystyle \coth(2t_{0})=-{\tfrac {{\vec {f}}_{1}^{\,2}+{\vec {f}}_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}}\ ,}$$

$${\displaystyle t_{0}={\tfrac {1}{4}}\ln {\tfrac {\left({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}\right)^{2}}{\left({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}\right)^{2}}}.}$$

Использовались формулы , , и . ${\displaystyle \cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=\cosh 2x}$ ${\displaystyle 2\sinh x\cosh x=\sinh 2x}$ ${\displaystyle \operatorname {arcoth} x={\tfrac {1}{2}}\ln {\tfrac {x+1}{x-1}}}$

Две вершины гиперболы ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm \left({\vec {f}}_{1}\cosh t_{0}+{\vec {f}}_{2}\sinh t_{0}\right).}$

Неявное представление

Решая параметрическое представление для по правилу Крамера и используя , получаем неявное представление ${\displaystyle \cosh t,\sinh t}$ ${\displaystyle \;\cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t-1=0\;}$

$${\displaystyle \det \left({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2}\right)^{2}-\det \left({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0}\right)^{2}-\det \left({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}\right)^{2}=0.}$$

Гипербола в космосе

Определение гиперболы в этом разделе дает параметрическое представление произвольной гиперболы даже в пространстве, если разрешено быть векторами в пространстве. ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}$

Как аффинный образ гиперболы y = 1/ x

Гипербола как аффинный образ y = 1/ x

Поскольку единичная гипербола аффинно эквивалентна гиперболе , произвольную гиперболу можно рассматривать как аффинный образ (см. предыдущий раздел) гиперболы : ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$ ${\displaystyle y=1/x}$ ${\displaystyle y=1/x\,}$

$${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}},\quad t\neq 0\,.}$$

${\displaystyle M:{\vec {f}}_{0}}$является центром гиперболы, векторы имеют направления асимптот и является точкой гиперболы. Касательный вектор ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}}$

$${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t^{2}}}.}$$

$${\displaystyle {\vec {p}}'(t)\cdot \left({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}_{0}\right)=\left({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t^{2}}}\right)\cdot \left({\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}\right)={\vec {f}}_{1}^{2}t-{\vec {f}}_{2}^{2}{\tfrac {1}{t^{3}}}=0}$$

$${\displaystyle t_{0}=\pm {\sqrt[{4}]{\frac {{\vec {f}}_{2}^{2}}{{\vec {f}}_{1}^{2}}}}.}$$

${\displaystyle \left|{\vec {f}}\!_{1}\right|=\left|{\vec {f}}\!_{2}\right|}$эквивалентно и являются вершинами гиперболы. ${\displaystyle t_{0}=\pm 1}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm ({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2})}$

Следующие свойства гиперболы легко доказываются с использованием представления гиперболы, введенного в этом разделе.

Касательная конструкция

Конструкция касательной: заданы асимптоты и P → касательная

Касательный вектор можно переписать путем факторизации:

$${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\tfrac {1}{t}}\left({\vec {f}}_{1}t-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}\right)\ .}$$

диагональ параллелограмма параллельна касательной в точке гиперболы (см. схему). ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle M:\ {\vec {f}}_{0},\ A={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t,\ B:\ {\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}},\ P:\ {\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}}$ ${\displaystyle P}$

Это свойство позволяет построить касательную в точке гиперболы.

Это свойство гиперболы является аффинной версией 3-точечного вырождения теоремы Паскаля . ^[13]

Площадь серого параллелограмма

Площадь серого параллелограмма на диаграмме выше равна ${\displaystyle MAPB}$

$${\displaystyle {\text{Area}}=\left|\det \left(t{\vec {f}}_{1},{\tfrac {1}{t}}{\vec {f}}_{2}\right)\right|=\left|\det \left({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}\right)\right|=\cdots ={\frac {a^{2}+b^{2}}{4}}}$$

${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,.}$

Точечная конструкция

Построение точки: заданы асимптоты и P _{1 →} P ₂

Для гиперболы с параметрическим представлением (для простоты центр является началом координат) справедливо следующее: ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}}$

Для любых двух точек точки ${\displaystyle P_{1}:\ {\vec {f}}_{1}t_{1}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{1}}},\ P_{2}:\ {\vec {f}}_{1}t_{2}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{2}}}}$

$${\displaystyle A:\ {\vec {a}}={\vec {f}}_{1}t_{1}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{2}}},\ B:\ {\vec {b}}={\vec {f}}_{1}t_{2}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{1}}}}$$

коллинеарны центру гиперболы (см. схему).

Простое доказательство является следствием уравнения . ${\displaystyle {\tfrac {1}{t_{1}}}{\vec {a}}={\tfrac {1}{t_{2}}}{\vec {b}}}$

Это свойство дает возможность построить точки гиперболы, если заданы асимптоты и одна точка.

Это свойство гиперболы является аффинной версией 4-точечного вырождения теоремы Паскаля . ^[14]

Треугольник касательная – асимптоты

Гипербола: касательная-асимптоты-треугольник

Для простоты центр гиперболы может быть началом координат, а векторы иметь одинаковую длину. Если последнее предположение не выполняется, можно сначала применить преобразование параметров (см. Выше), чтобы сделать предположение верным. Следовательно , вершины охватывают малую ось, и получается и . ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle \pm ({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2})}$ ${\displaystyle \pm ({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2})}$ ${\displaystyle |{\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}|=a}$ ${\displaystyle |{\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}|=b}$

Для точек пересечения касательной в точке с асимптотами получаются точки ${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0})={\vec {f}}_{1}t_{0}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{0}}}}$

$${\displaystyle C=2t_{0}{\vec {f}}_{1},\ D={\tfrac {2}{t_{0}}}{\vec {f}}_{2}.}$$

треугольника ${\displaystyle M,C,D}$

$${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}{\Big |}\det \left(2t_{0}{\vec {f}}_{1},{\tfrac {2}{t_{0}}}{\vec {f}}_{2}\right){\Big |}=2{\Big |}\det \left({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}\right){\Big |}}$$

определителей ${\displaystyle \left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle a,b}$

Площадь треугольника не зависит от точки гиперболы : ${\displaystyle MCD}$ ${\displaystyle A=ab.}$

Возвратное движение круга

Возвратно -поступательное движение круга B по кругу C всегда дает коническое сечение , такое как гипербола. Процесс «возвратно-поступательного движения по кругу С » состоит в замене каждой линии и точки геометрической фигуры соответствующими полюсом и полярой соответственно. Полюс линии — это инверсия ее ближайшей точки к окружности C , тогда как поляра точки — наоборот, а именно линия, ближайшая точка которой к C является инверсией точки.

Эксцентриситет конического сечения, полученного возвратно-поступательным движением, представляет собой отношение расстояний между центрами двух окружностей к радиусу r круга возвратно-поступательного движения C. Если B и C представляют собой точки в центрах соответствующих окружностей, то

$${\displaystyle e={\frac {\overline {BC}}{r}}.}$$

Поскольку эксцентриситет гиперболы всегда больше единицы, центр B должен лежать вне возвратно-поступательной окружности C.

Из этого определения следует, что гипербола является одновременно местом расположения полюсов касательных линий к окружности B , а также огибающей полярных линий точек на B. И наоборот, окружность B является огибающей поляр точек гиперболы и местом расположения полюсов касательных к гиперболе. Две касательные линии к B не имеют (конечных) полюсов, поскольку они проходят через центр C круга возвратно-поступательного движения C ; поляры соответствующих точек касания на B являются асимптотами гиперболы. Две ветви гиперболы соответствуют двум частям окружности B , разделенным этими точками касания.

Квадратное уравнение

Гиперболу также можно определить как уравнение второй степени в декартовых координатах на плоскости , ${\displaystyle (x,y)}$

$${\displaystyle A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0,}$$

при условии, что константы и удовлетворяют определяющему условию ${\displaystyle A_{xx},}$ ${\displaystyle A_{xy},}$ ${\displaystyle A_{yy},}$ ${\displaystyle B_{x},}$ ${\displaystyle B_{y},}$ ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle D:={\begin{vmatrix}A_{xx}&A_{xy}\\A_{xy}&A_{yy}\end{vmatrix}}<0.}$$

Этот определитель условно называют дискриминантом конического сечения. ^[15]

Особый случай гиперболы — вырожденная гипербола , состоящая из двух пересекающихся прямых — возникает, когда другой определитель равен нулю:

$${\displaystyle \Delta :={\begin{vmatrix}A_{xx}&A_{xy}&B_{x}\\A_{xy}&A_{yy}&B_{y}\\B_{x}&B_{y}&C\end{vmatrix}}=0.}$$

Этот определитель иногда называют дискриминантом конического сечения. ^[16] ${\displaystyle \Delta }$

Коэффициенты общего уравнения можно получить из известных координат центра малой полуоси большой полуоси и угла поворота (угол от положительной горизонтальной оси к большой оси гиперболы) по формулам: ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle (x_{\circ },y_{\circ })}$ ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{xx}&=-a^{2}\sin ^{2}\theta +b^{2}\cos ^{2}\theta ,&B_{x}&=-A_{xx}x_{\circ }-A_{xy}y_{\circ },\\[1ex]A_{yy}&=-a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta ,&B_{y}&=-A_{xy}x_{\circ }-A_{yy}y_{\circ },\\[1ex]A_{xy}&=\left(a^{2}+b^{2}\right)\sin \theta \cos \theta ,&C&=A_{xx}x_{\circ }^{2}+2A_{xy}x_{\circ }y_{\circ }+A_{yy}y_{\circ }^{2}-a^{2}b^{2}.\end{aligned}}}$$

Эти выражения можно вывести из канонического уравнения

$${\displaystyle {\frac {X^{2}}{a^{2}}}-{\frac {Y^{2}}{b^{2}}}=1}$$

путем перевода и вращения координат : ${\displaystyle (x,y)}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}X&={\phantom {+}}\left(x-x_{\circ }\right)\cos \theta &&+\left(y-y_{\circ }\right)\sin \theta ,\\Y&=-\left(x-x_{\circ }\right)\sin \theta &&+\left(y-y_{\circ }\right)\cos \theta .\end{alignedat}}}$$

Учитывая приведенную выше общую параметризацию гиперболы в декартовых координатах, эксцентриситет можно найти по формуле в разделе Коническое сечение#Эксцентриситет через коэффициенты .

Центр гиперболы можно определить по формулам ${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{c}&=-{\frac {1}{D}}\,{\begin{vmatrix}B_{x}&A_{xy}\\B_{y}&A_{yy}\end{vmatrix}}\,,\\[1ex]y_{c}&=-{\frac {1}{D}}\,{\begin{vmatrix}A_{xx}&B_{x}\\A_{xy}&B_{y}\end{vmatrix}}\,.\end{aligned}}}$$

В терминах новых координат и определяющее уравнение гиперболы можно записать ${\displaystyle \xi =x-x_{c}}$ ${\displaystyle \eta =y-y_{c},}$

$${\displaystyle A_{xx}\xi ^{2}+2A_{xy}\xi \eta +A_{yy}\eta ^{2}+{\frac {\Delta }{D}}=0.}$$

Главные оси гиперболы составляют угол с положительной осью, который определяется выражением ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \tan(2\varphi )={\frac {2A_{xy}}{A_{xx}-A_{yy}}}.}$$

Поворот осей координат так, чтобы -ось совпадала с поперечной осью, приводит уравнение к канонической форме. ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$$

Большая и малая полуоси и определяются уравнениями ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}D}}=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}}},\\[1ex]b^{2}&=-{\frac {\Delta }{\lambda _{2}D}}=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}\lambda _{2}^{2}}},\end{aligned}}}$$

где и – корни квадратного уравнения ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$

$${\displaystyle \lambda ^{2}-\left(A_{xx}+A_{yy}\right)\lambda +D=0.}$$

Для сравнения соответствующее уравнение вырожденной гиперболы (состоящей из двух пересекающихся прямых) имеет вид

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0.}$$

Касательная линия к данной точке гиперболы определяется уравнением ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

$${\displaystyle Ex+Fy+G=0}$$

где и определяются ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}E&=A_{xx}x_{0}+A_{xy}y_{0}+B_{x},\\[1ex]F&=A_{xy}x_{0}+A_{yy}y_{0}+B_{y},\\[1ex]G&=B_{x}x_{0}+B_{y}y_{0}+C.\end{aligned}}}$$

Нормаль к гиперболе в той же точке задается уравнением

$${\displaystyle F(x-x_{0})-E(y-y_{0})=0.}$$

Нормальная линия перпендикулярна касательной, и обе проходят через одну и ту же точку. ${\displaystyle (x_{0},y_{0}).}$

Из уравнения

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\qquad 0<b\leq a,}$$

левый фокус - это , а правый фокус - это эксцентриситет. Обозначим расстояния от точки до левого и правого фокусов как и Для точки на правой ветви ${\displaystyle (-ae,0)}$ ${\displaystyle (ae,0),}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}.}$

$${\displaystyle r_{1}-r_{2}=2a,}$$

и для точки на левой ветви,

$${\displaystyle r_{2}-r_{1}=2a.}$$

Это можно доказать следующим образом:

Если - точка на гиперболе, расстояние до левой фокальной точки равно ${\displaystyle (x,y)}$

$${\displaystyle r_{1}^{2}=(x+ae)^{2}+y^{2}=x^{2}+2xae+a^{2}e^{2}+\left(x^{2}-a^{2}\right)\left(e^{2}-1\right)=(ex+a)^{2}.}$$

До правого фокуса расстояние равно

$${\displaystyle r_{2}^{2}=(x-ae)^{2}+y^{2}=x^{2}-2xae+a^{2}e^{2}+\left(x^{2}-a^{2}\right)\left(e^{2}-1\right)=(ex-a)^{2}.}$$

Если – точка на правой ветви гиперболы, то и ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle ex>a}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}&=ex+a,\\r_{2}&=ex-a.\end{aligned}}}$$

Вычитая эти уравнения, получаем

$${\displaystyle r_{1}-r_{2}=2a.}$$

Если – точка на левой ветви гиперболы, то и ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle ex<-a}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}&=-ex-a,\\r_{2}&=-ex+a.\end{aligned}}}$$

Вычитая эти уравнения, получаем

$${\displaystyle r_{2}-r_{1}=2a.}$$

В декартовых координатах

Уравнение

Если вводятся декартовы координаты так, что начало координат является центром гиперболы, а ось x является большой осью, то гипербола называется открывающейся с востока на запад , а

фокусы – это точки , ^[17] ${\displaystyle F_{1}=(c,0),\ F_{2}=(-c,0)}$

вершины есть . _ ^[18] ${\displaystyle V_{1}=(a,0),\ V_{2}=(-a,0)}$

Для произвольной точки расстояние до фокуса равно и до второго фокуса . Следовательно, точка находится на гиперболе, если выполнено следующее условие ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (c,0)}$ ${\textstyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}}$ ${\textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}$ ${\displaystyle (x,y)}$

$${\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=\pm 2a\ .}$$

${\displaystyle b^{2}=c^{2}-a^{2}}$

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ .}$$

Это уравнение называется канонической формой гиперболы, поскольку любую гиперболу, независимо от ее ориентации относительно декартовых осей и независимо от расположения ее центра, можно путем замены переменных привести к этой форме, дав гиперболу, соответствует оригиналу (см. ниже).

Осями симметрии или главными осями являются поперечная ось (содержащая отрезок длиной 2 a с концами в вершинах) и сопряженная ось (содержащая отрезок длиной 2 b , перпендикулярный поперечной оси и со средней точкой в ​​центре гиперболы). . ^[19] В отличие от эллипса, гипербола имеет только две вершины: . Две точки на сопряженных осях не принадлежат гиперболе. ${\displaystyle (a,0),\;(-a,0)}$ ${\displaystyle (0,b),\;(0,-b)}$

Из уравнения следует, что гипербола симметрична относительно обеих координатных осей и, следовательно, симметрична относительно начала координат.

Эксцентриситет

Для гиперболы в указанной выше канонической форме эксцентриситет определяется выражением

$${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}.}$$

Две гиперболы геометрически подобны друг другу – это означает, что они имеют одинаковую форму, так что одну можно преобразовать в другую с помощью жестких движений влево и вправо , вращения , зеркального отображения и масштабирования (увеличения) – тогда и только тогда, когда у них одинаковая эксцентричность.

Асимптоты

Гипербола: полуоси а , б , линейный эксцентриситет с , полуширокая прямая кишка р

Гипербола: 3 объекта

Решение уравнения (выше) гиперболы для доходности ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}.}$$

$${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}x}$$

асимптотами^[20] ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ .}$

С помощью второго рисунка можно увидеть, что

${\displaystyle {\color {blue}{(1)}}}$Перпендикулярное расстояние от фокуса до любой асимптоты равно (малой полуоси). ${\displaystyle b}$

Из нормальной формы Гессе асимптот и уравнения гиперболы получаем: ^[21] ${\displaystyle {\tfrac {bx\pm ay}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}=0}$

${\displaystyle {\color {magenta}{(2)}}}$Произведение расстояний от точки гиперболы до обеих асимптот является константой , которую также можно записать через эксцентриситет e как ${\displaystyle {\tfrac {a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\ ,}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {b}{e}}\right)^{2}.}$

Из уравнения гиперболы (см. выше) можно вывести: ${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}$

${\displaystyle {\color {green}{(3)}}}$Произведение наклонов линий от точки P до двух вершин есть константа ${\displaystyle b^{2}/a^{2}\ .}$

Кроме того, из (2) выше можно показать, что ^[21]

${\displaystyle {\color {red}{(4)}}}$ Произведение расстояний от точки гиперболы до асимптот вдоль прямых, параллельных асимптотам, есть константа ${\displaystyle {\tfrac {a^{2}+b^{2}}{4}}.}$

Полурасширенная прямая кишка

Длина хорды через один из фокусов, перпендикулярную большой оси гиперболы, называется широкой прямой кишкой . Половина ее — полурасширенная прямая кишка . Расчет показывает ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle p={\frac {b^{2}}{a}}.}$$

радиус кривизны ${\displaystyle p}$

Касательная

Самый простой способ определить уравнение касательной в точке — это неявно продифференцировать уравнение гиперболы. Обозначая dy/dx как y′ , это дает ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

$${\displaystyle {\frac {2x}{a^{2}}}-{\frac {2yy'}{b^{2}}}=0\ \Rightarrow \ y'={\frac {x}{y}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\ \Rightarrow \ y={\frac {x_{0}}{y_{0}}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}(x-x_{0})+y_{0}.}$$

${\displaystyle {\tfrac {x_{0}^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

$${\displaystyle {\frac {x_{0}}{a^{2}}}x-{\frac {y_{0}}{b^{2}}}y=1.}$$

Особая касательная отличает гиперболу от других конических сечений. ^[22] Пусть f будет расстоянием от вершины V (как на гиперболе, так и на ее оси, проходящей через два фокуса) до ближайшего фокуса. Тогда расстояние по линии, перпендикулярной этой оси, от этого фокуса до точки P на гиперболе больше 2 f . Касательная к гиперболе в точке P пересекает эту ось в точке Q под углом ∠PQV более 45°.

Прямоугольная гипербола

В случае гипербола называется прямоугольной (или равносторонней ), поскольку ее асимптоты пересекаются под прямым углом. В этом случае линейный эксцентриситет равен , эксцентриситет и полурасширенная прямая кишка . График уравнения представляет собой прямоугольную гиперболу. ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle c={\sqrt {2}}a}$ ${\displaystyle e={\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle p=a}$ ${\displaystyle y=1/x}$

Параметрическое представление с гиперболическим синусом/косинусом

Используя гиперболические функции синуса и косинуса , можно получить параметрическое представление гиперболы , аналогичное параметрическому представлению эллипса: ${\displaystyle \cosh ,\sinh }$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

$${\displaystyle (\pm a\cosh t,b\sinh t),\,t\in \mathbb {R} \ ,}$$

${\displaystyle \cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1.}$

Дополнительные параметрические представления приведены в разделе «Параметрические уравнения» ниже.

Здесь a = b = 1 , что дает единичную гиперболу синего цвета и сопряженную с ней гиперболу зеленого цвета, имеющие одни и те же красные асимптоты.

Сопряженная гипербола

Поменяем местами и получим уравнение сопряженной гиперболы (см. схему): ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}}$ ${\displaystyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}}$

$${\displaystyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1\ ,}$$

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1\ .}$$

Гипербола и ее сопряженная форма могут иметь сопряженные диаметры . В специальной теории относительности такие диаметры могут представлять собой оси времени и пространства, где одна гипербола представляет события на заданном пространственном расстоянии от центра , а другая представляет события на соответствующем временном расстоянии от центра.

В полярных координатах

Гипербола: полярные координаты с полюсом = фокус.

Гипербола: полярные координаты с полюсом = центру.

Анимированный сюжет Гиперболы с использованием ${\displaystyle r={\frac {p}{1-e\cos \theta }}}$

Происхождение в центре внимания

Полярные координаты, используемые чаще всего для гиперболы, определяются относительно декартовой системы координат, начало которой находится в фокусе , а ось X указывает на начало «канонической системы координат», как показано на первой диаграмме.

В этом случае угол называется истинной аномалией . ${\displaystyle \varphi }$

Относительно этой системы координат имеем

$${\displaystyle r={\frac {p}{1\mp e\cos \varphi }},\quad p={\frac {b^{2}}{a}}}$$

и

$${\displaystyle -\arccos \left(-{\frac {1}{e}}\right)<\varphi <\arccos \left(-{\frac {1}{e}}\right).}$$

Начало в центре

В полярных координатах относительно «канонической системы координат» (см. вторую диаграмму) получается следующее:

$${\displaystyle r={\frac {b}{\sqrt {e^{2}\cos ^{2}\varphi -1}}}.\,}$$

Для правой ветви гиперболы диапазон значений равен ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle -\arccos \left({\frac {1}{e}}\right)<\varphi <\arccos \left({\frac {1}{e}}\right).}$$

Параметрические уравнения

Гипербола с уравнением может быть описана несколькими параметрическими уравнениями: ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

1. Через гиперболические тригонометрические функции
   $${\displaystyle {\begin{cases}x=\pm a\cosh t,\\y=b\sinh t,\end{cases}}\qquad t\in \mathbb {R} .}$$
2. Как рациональное представление
   $${\displaystyle {\begin{cases}x=\pm a{\dfrac {t^{2}+1}{2t}},\\[1ex]y=b{\dfrac {t^{2}-1}{2t}},\end{cases}}\qquad t>0}$$
3. Через круговые тригонометрические функции
   $${\displaystyle {\begin{cases}x={\frac {a}{\cos t}}=a\sec t,\\y=\pm b\tan t,\end{cases}}\qquad 0\leq t<2\pi ,\ t\neq {\frac {\pi }{2}},\ t\neq {\frac {3}{2}}\pi .}$$
4. С наклоном касательной в качестве параметра:
   Параметрическое представление, использующее наклон касательной в точке гиперболы, можно получить аналогично случаю эллипса: заменить в случае эллипса на и использовать формулы для гиперболических функций . Получаешь ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle b^{2}}$ ${\displaystyle -b^{2}}$
   $${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)=\left(-{\frac {ma^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}-b^{2}}}}},{\frac {-b^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}-b^{2}}}}}\right),\quad |m|>b/a.}$$
   Здесь — верхняя и нижняя половины гиперболы. Точки с вертикальными касательными (вершины ) не покрываются представлением. ${\displaystyle {\vec {c}}_{-}}$ ${\displaystyle {\vec {c}}_{+}}$ ${\displaystyle (\pm a,0)}$
   Уравнение касательной в точке имеет вид ${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)}$
   $${\displaystyle y=mx\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}-b^{2}}}.}$$
   Это описание тангенсов гиперболы является важным инструментом для определения ортоптики гиперболы .

Гиперболические функции

Луч, проходящий через единичную гиперболу в точке , где удвоенная площадь между лучом, гиперболой и -осью. Для точек гиперболы ниже оси площадь считается отрицательной. ${\displaystyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1}$ ${\displaystyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Точно так же, как тригонометрические функции определяются в терминах единичной окружности , так и гиперболические функции определяются в терминах единичной гиперболы , как показано на этой диаграмме. В единичном круге угол (в радианах) равен удвоенной площади кругового сектора , на который опирается этот угол. Аналогичный гиперболический угол также определяется как удвоенная площадь гиперболического сектора .

Пусть будет удвоенная площадь между осью и лучом, проходящим через начало координат, пересекающим единичную гиперболу, и определим как координаты точки пересечения. Тогда площадь гиперболического сектора равна площади треугольника минус изогнутая область за вершиной в точке : ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle (x,y)=(\cosh a,\sinh a)=(x,{\sqrt {x^{2}-1}})}$ ${\displaystyle (1,0)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a}{2}}&={\frac {xy}{2}}-\int _{1}^{x}{\sqrt {t^{2}-1}}\,dt\\[1ex]&={\frac {1}{2}}\left(x{\sqrt {x^{2}-1}}\right)-{\frac {1}{2}}\left(x{\sqrt {x^{2}-1}}-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\right),\end{aligned}}}$$

гиперболического косинуса площади

$${\displaystyle a=\operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right).}$$

${\displaystyle x}$

$${\displaystyle x=\cosh a={\frac {e^{a}+e^{-a}}{2}}.}$$

${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$

$${\displaystyle y=\sinh a={\sqrt {\cosh ^{2}a-1}}={\frac {e^{a}-e^{-a}}{2}},}$$

гиперболический синус площади

$${\displaystyle a=\operatorname {arsinh} y=\ln \left(y+{\sqrt {y^{2}+1}}\right).}$$

$${\displaystyle \operatorname {tanh} a={\frac {\sinh a}{\cosh a}}={\frac {e^{2a}-1}{e^{2a}+1}}.}$$

Характеристики

Свойство отражения

Гипербола: касательная делит линии, проходящие через фокусы, пополам.

Касательная в точке делит угол между линиями пополам. Это называется оптическим свойством или свойством отражения гиперболы. ^[23] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\overline {PF_{1}}},{\overline {PF_{2}}}.}$

Доказательство

Пусть – точка на линии с расстоянием до фокуса (см. схему, – большая полуось гиперболы). Линия — это биссектриса угла между линиями . Чтобы доказать, что это касательная линия в точке , нужно проверить, что любая точка на прямой , отличная от, не может находиться на гиперболе. Следовательно, имеет только общую точку с гиперболой и, следовательно, является касательной в точке . Из диаграммы и неравенства треугольника видно, что оно выполнено, что означает: . Но если – точка гиперболы, то разница должна составлять . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\overline {PF_{2}}}}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle {\overline {PF_{1}}},{\overline {PF_{2}}}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$
${\displaystyle |QF_{2}|<|LF_{2}|+|QL|=2a+|QF_{1}|}$ ${\displaystyle |QF_{2}|-|QF_{1}|<2a}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle 2a}$

Середины параллельных хорд

Гипербола: середины параллельных хорд лежат на прямой.

Гипербола: середина хорды является серединой соответствующей хорды асимптот.

Середины параллельных хорд гиперболы лежат на прямой, проходящей через центр (см. схему).

Точки любой хорды могут лежать на разных ветвях гиперболы.

Доказательство свойства средних точек лучше всего проводить для гиперболы . Поскольку любая гипербола является аффинным образом гиперболы (см. раздел ниже), а аффинное преобразование сохраняет параллельность и средние точки отрезков прямой, это свойство верно для всех гипербол: для двух точек гиперболы ${\displaystyle y=1/x}$ ${\displaystyle y=1/x}$
${\displaystyle P=\left(x_{1},{\tfrac {1}{x_{1}}}\right),\ Q=\left(x_{2},{\tfrac {1}{x_{2}}}\right)}$ ${\displaystyle y=1/x}$

середина аккорда это ${\displaystyle M=\left({\tfrac {x_{1}+x_{2}}{2}},\cdots \right)=\cdots ={\tfrac {x_{1}+x_{2}}{2}}\;\left(1,{\tfrac {1}{x_{1}x_{2}}}\right)\ ;}$

наклон хорды ${\displaystyle {\frac {{\tfrac {1}{x_{2}}}-{\tfrac {1}{x_{1}}}}{x_{2}-x_{1}}}=\cdots =-{\tfrac {1}{x_{1}x_{2}}}\ .}$

Для параллельных хорд наклон постоянен, а середины параллельных хорд лежат на прямой ${\displaystyle y={\tfrac {1}{x_{1}x_{2}}}\;x\ .}$

Следствие: для любой пары точек хорды существует косое отражение с осью (набором неподвижных точек), проходящей через центр гиперболы, которое меняет местами точки и оставляет гиперболу (в целом) неподвижной. Косое отражение — это обобщение обычного отражения через линию , где все пары «точка-изображение» находятся на линии, перпендикулярной . ${\displaystyle P,Q}$ ${\displaystyle P,Q}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

Поскольку косое отражение оставляет гиперболу неподвижной, пара асимптот также остается фиксированной. Следовательно, середина хорды также делит соответствующий отрезок между асимптотами пополам. Это значит, что . Это свойство можно использовать для построения дальнейших точек гиперболы, если заданы точка и асимптоты. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle PQ}$ ${\displaystyle {\overline {P}}\,{\overline {Q}}}$ ${\displaystyle |P{\overline {P}}|=|Q{\overline {Q}}|}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

Если хорда вырождается в касательную , то точка касания делит отрезок между асимптотами на две половины.

Ортогональные касательные - ортоптические

Гипербола с ортоптическими (пурпурными)

Для гиперболы точки пересечения ортогональных касательных лежат на окружности . Эта окружность называется ортоптикой данной гиперболы. ${\textstyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\,a>b}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}-b^{2}}$

Касательные могут принадлежать точкам на разных ветвях гиперболы.

В случае отсутствия пар ортогональных касательных. ${\displaystyle a\leq b}$

Полюсно-полярное соотношение для гиперболы

Гипербола: полюсно-полярное соотношение

Любую гиперболу можно описать в подходящей системе координат уравнением . Уравнение касательной в точке гиперболы: Если позволить точке быть произвольной точкой, отличной от начала координат, то ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle {\tfrac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\tfrac {y_{0}y}{b^{2}}}=1.}$ ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0})}$

точка отображается на линии , а не через центр гиперболы. ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0})\neq (0,0)}$ ${\displaystyle {\frac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1}$

Это отношение между точками и линиями является биекцией .

Обратная функция отображает

линия на точку и ${\displaystyle y=mx+d,\ d\neq 0}$ ${\displaystyle \left(-{\frac {ma^{2}}{d}},-{\frac {b^{2}}{d}}\right)}$

линия на точку ${\displaystyle x=c,\ c\neq 0}$ ${\displaystyle \left({\frac {a^{2}}{c}},0\right)\ .}$

Такое отношение между точками и линиями, порожденное коникой, называется полюсно-полярным отношением или просто полярностью . Полюс – это точка, поляра – линия. См. Полюс и поляр .

Расчетом проверяются следующие свойства полюсно-полярного отношения гиперболы:

• Для точки (полюса) на гиперболе полярой является касательная в этой точке (см. схему: ). ${\displaystyle P_{1},\ p_{1}}$
• Для полюса вне гиперболы точки пересечения его поляры с гиперболой являются точками касания двух проходящих касательных (см. диаграмму: ). ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P_{2},\ p_{2},\ P_{3},\ p_{3}}$
• Для точки внутри гиперболы поляра не имеет общей точки с гиперболой. (см. схему: ). ${\displaystyle P_{4},\ p_{4}}$

Примечания:

1. Точка пересечения двух поляр (например: ) — это полюс линии, проходящей через их полюса (здесь: ). ${\displaystyle p_{2},p_{3}}$ ${\displaystyle P_{2},P_{3}}$
2. Фокусы и соответственно и директрисы и соответственно принадлежат парам полюса и поляра. ${\displaystyle (c,0),}$ ${\displaystyle (-c,0)}$ ${\displaystyle x={\tfrac {a^{2}}{c}}}$ ${\displaystyle x=-{\tfrac {a^{2}}{c}}}$

Полюсно-полярные отношения существуют также для эллипсов и парабол.

Другие объекты недвижимости

• Следующие элементы являются параллельными : (1) окружность, проходящая через фокусы гиперболы и с центром в центре гиперболы; (2) любая из прямых, касающихся гиперболы в вершинах; и (3) любая из асимптот гиперболы. ^{[24] [25]}
• Следующие элементы также являются параллельными: (1) круг с центром в центре гиперболы и проходящий через вершины гиперболы; (2) любая директриса; и (3) любая из асимптот. ^[25]

Длина дуги

Длина дуги гиперболы не имеет элементарного выражения . Верхняя половина гиперболы может быть параметризована как

$${\displaystyle y=b{\sqrt {{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-1}}.}$$

Тогда интеграл, дающий длину дуги от до , можно вычислить как: ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$

$${\displaystyle s=b\int _{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{1}}{a}}}^{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{2}}{a}}}{\sqrt {1+\left(1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)\sinh ^{2}v}}\,\mathrm {d} v.}$$

После использования замены это также можно представить с помощью неполного эллиптического интеграла второго рода с параметром : ${\displaystyle z=iv}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle m=k^{2}}$

$${\displaystyle s=ib{\Biggr [}E\left(iv\,{\Biggr |}\,1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right){\Biggr ]}_{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{2}}{a}}}^{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{1}}{a}}}.}$$

Используя только действительные числа, это становится ^[26]

$${\displaystyle s=b\left[F\left(\operatorname {gd} v\,{\Biggr |}-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)-E\left(\operatorname {gd} v\,{\Biggr |}-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)+{\sqrt {1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\tanh ^{2}v}}\,\sinh v\right]_{\operatorname {arcosh} {\tfrac {x_{1}}{a}}}^{\operatorname {arcosh} {\tfrac {x_{2}}{a}}}}$$

где – неполный эллиптический интеграл первого рода с параметром , – функция Гудермана . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle m=k^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {gd} v=\arctan \sinh v}$

Производные кривые

Синусоидальные спирали ( r ⁿ = –1 ⁿ cos( nθ ), θ = π /2 ) в полярных координатах и ​​их эквиваленты в прямоугольных координатах :

  n = −2 : равносторонняя гипербола

  n = −1 : линия

  n = −1/2 : Парабола

  n = 1/2 : Кардиоида

  n = 1 : Круг

  n = 2 : лемниската Бернулли.

Путем обращения из гиперболы можно получить еще несколько кривых , так называемые обратные кривые гиперболы. Если центр инверсии выбран в качестве собственного центра гиперболы, обратная кривая является лемнискатой Бернулли ; лемниската также представляет собой оболочку кругов с центром в прямоугольной гиперболе и проходящую через начало координат. Если центр инверсии выбран в фокусе или вершине гиперболы, полученные обратные кривые представляют собой лимасон или строфоид соответственно .

Эллиптические координаты

Семейство софокусных гипербол является основой системы эллиптических координат в двух измерениях. Эти гиперболы описываются уравнением

$${\displaystyle \left({\frac {x}{c\cos \theta }}\right)^{2}-\left({\frac {y}{c\sin \theta }}\right)^{2}=1}$$

где фокусы расположены на расстоянии c от начала координат по оси x , и где θ - угол асимптот с осью x . Каждая гипербола в этом семействе ортогональна каждому эллипсу, имеющему одинаковые фокусы. Эту ортогональность можно показать с помощью конформного отображения декартовой системы координат w = z + 1/ z , где z = x + iy — исходные декартовы координаты, а w = u + iv — координаты после преобразования.

Другие ортогональные двумерные системы координат, включающие гиперболы, могут быть получены с помощью других конформных отображений. Например, отображение w = z ² преобразует декартову систему координат в два семейства ортогональных гипербол.

Анализ конического сечения гиперболического вида кругов

Центральная проекция кругов на сферу: центр O проекции находится внутри сферы, плоскость изображения красная.
В качестве изображений кругов получаются круг (пурпурный), эллипсы, гиперболы и линии. Особый случай параболы в этом примере не проявляется.
(Если бы центр О находился на сфере, все изображения кругов были бы кругами или линиями; см. стереографическую проекцию ).

Помимо обеспечения единообразного описания кругов, эллипсов, парабол и гипербол, конические сечения также можно понимать как естественную модель геометрии перспективы в том случае, когда просматриваемая сцена состоит из кругов или, в более общем смысле, эллипса. Зрителем обычно является камера или человеческий глаз, а изображение сцены — это центральная проекция на плоскость изображения, то есть все проекционные лучи проходят через фиксированную точку O , центр. Плоскость линзы — это плоскость, параллельная плоскости изображения линзы O.

Изображение круга c есть

1. круг , если круг c находится в особом положении, например параллельно плоскости изображения и др. (см. стереографическую проекцию),
2. эллипс , если c не имеет общей точки с плоскостью линзы,
3. парабола , если с имеет одну общую точку с плоскостью линзы и
4. гипербола , если c имеет две общие точки с плоскостью линзы.

(Особые положения, в которых плоскость окружности содержит точку O , опущены.)

Эти результаты можно понять, если признать, что процесс проецирования можно рассматривать в два этапа: 1) круг c и точка O образуют конус, который 2) разрезается плоскостью изображения для создания изображения.

Гиперболу можно увидеть всякий раз, когда замечаешь часть круга, пересекаемую плоскостью линзы. Неспособность видеть большую часть ветвей видимой ветви в сочетании с полным отсутствием второй ветви делает практически невозможным для зрительной системы человека распознавание связи с гиперболами.

Приложения

Гиперболы как линии склонения на солнечных часах.

Зона контакта ударной волны горизонтального сверхзвукового самолета с ровной землей (желтая) является частью гиперболы, поскольку земля пересекает конус параллельно ее оси.

Солнечные часы

Гиперболы можно увидеть на многих солнечных часах . В любой день солнце вращается по кругу на небесной сфере , и его лучи, попадая в точку солнечных часов, очерчивают конус света. Пересечение этого конуса с горизонтальной плоскостью земли образует коническое сечение. В большинстве населенных широт и в большинстве времен года это коническое сечение представляет собой гиперболу. На практике тень кончика шеста в течение суток очерчивает на земле гиперболу (этот путь называется линией склонения ). Форма этой гиперболы меняется в зависимости от географической широты и времени года, поскольку эти факторы влияют на конус солнечных лучей относительно горизонта. Собрание таких гипербол в течение целого года в заданном месте греки называли пелекинон , так как он напоминает двулезвийный топор.

Мультилатерация

Гипербола — это основа решения задач мультилатерации , задачи определения местоположения точки по разностям ее расстояний до заданных точек — или, что то же самое, по разнице времен прихода синхронизированных сигналов между точкой и заданными точками. Подобные проблемы важны в судоходстве, особенно на воде; корабль может определить свое положение по разнице во времени прибытия сигналов от передатчиков LORAN или GPS . И наоборот, самонаводящийся маяк или любой передатчик можно определить путем сравнения времени прибытия его сигналов на две отдельные приемные станции; такие методы могут использоваться для отслеживания объектов и людей. В частности, множество возможных положений точки, которая имеет разницу расстояний 2 a от двух заданных точек, представляет собой гиперболу с расстоянием между вершинами 2 a , фокусами которой являются две заданные точки.

Путь, по которому движется частица

Путь, по которому движется любая частица в классической задаче Кеплера, представляет собой коническое сечение . В частности, если полная энергия E частицы больше нуля (т. е. если частица несвязана), путь такой частицы представляет собой гиперболу. Это свойство полезно при изучении атомных и субатомных сил путем рассеяния частиц высокой энергии; например, эксперимент Резерфорда продемонстрировал существование атомного ядра , исследуя рассеяние альфа-частиц на атомах золота . Если короткодействующие ядерные взаимодействия игнорируются, атомное ядро ​​и альфа-частица взаимодействуют только посредством отталкивающей кулоновской силы , которая удовлетворяет требованию закона обратных квадратов для задачи Кеплера.

Уравнение Кортевега – де Фриза

Гиперболическая триг-функция появляется как одно из решений уравнения Кортевега – де Фриза , которое описывает движение солитонной волны в канале. ${\displaystyle \operatorname {sech} \,x}$

Угловая трисекция

Трисекция угла (AOB) с использованием гиперболы с эксцентриситетом 2 (желтая кривая)

Как впервые показал Аполлоний Пергский , гиперболу можно использовать для разделения любого угла пополам — это хорошо изученная задача геометрии. Учитывая угол, сначала нарисуйте круг с центром в его вершине O , который пересекает стороны угла в точках A и B. Затем нарисуйте отрезок с конечными точками A и B и его серединный перпендикуляр . Постройте гиперболу с эксцентриситетом e = 2 с направляющей и B в качестве фокуса. Пусть P — пересечение (верхнее) гиперболы с окружностью. Угол POB делит угол AOB на три части . ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$

Чтобы доказать это, отразим отрезок OP о прямой , получившей точку P' как образ P . Отрезок AP' имеет ту же длину, что и сегмент BP, из-за отражения, а сегмент PP' имеет ту же длину, что и сегмент BP , из-за эксцентриситета гиперболы. Поскольку OA , OP' , OP и OB являются радиусами одной и той же окружности (и, следовательно, имеют одинаковую длину), треугольники OAP' , OPP' и OPB конгруэнтны. Следовательно, угол был разделен на три части, поскольку 3× POB = AOB . ^[27] ${\displaystyle \ell }$

Граница эффективного портфеля

В теории портфеля местоположение эффективных портфелей средней дисперсии (так называемая эффективная граница) представляет собой верхнюю половину ветви гиперболы, открывающейся на восток, нарисованной со стандартным отклонением доходности портфеля, нанесенным горизонтально, и его ожидаемым значением, нанесенным вертикально; согласно этой теории, все рациональные инвесторы выберут портфель, характеризующийся некоторой точкой в ​​этом локусе.

Биохимия

В биохимии и фармакологии уравнение Хилла и уравнение Хилла-Лэнгмюра соответственно описывают биологические реакции и образование комплексов белок-лиганд в зависимости от концентрации лиганда. Обе они представляют собой прямоугольные гиперболы.

Гиперболы как плоские сечения квадрик

Гиперболы представляют собой плоские сечения следующих квадрик :

• Эллиптический конус
• Гиперболический цилиндр
• Гиперболический параболоид
• Гиперболоид одного листа
• Гиперболоид из двух листов

• 
  Эллиптический конус
• 
  Гиперболический цилиндр
• 
  Гиперболический параболоид
• 
  Гиперболоид одного листа
• 
  Гиперболоид из двух листов

Смотрите также

Другие конические сечения

• Круг
• Эллипс
• Парабола
• Вырожденная коническая

Другие связанные темы

• Эллиптические координаты — ортогональная система координат, основанная на семействах эллипсов и гипербол.
• Гиперболический рост
• Гиперболическое уравнение в частных производных
• Гиперболический сектор
• Гиперболоидная структура
• Гиперболическая траектория
• Гиперболоид
• Мультилатерация
• Вращение осей
• Перевод осей
• Единичная гипербола

Примечания

1. Окли (1944, стр. 17)
2. Окли (1944, стр. 17)
3. Хит, сэр Томас Литтл (1896), «Глава I. Открытие конических сечений. Менехм», Аполлоний Пергский: Трактат о конических сечениях с введениями, включая эссе по ранней истории на эту тему, Cambridge University Press, стр. xvii –ххх.
4. Бойер, Карл Б.; Мерцбах, Ута К. (2011), История математики, Wiley, стр. 73, ISBN 9780470630563Именно Аполлоний (возможно, следуя предложению Архимеда) ввёл в связи с этими кривыми названия «эллипс» и «гипербола».
5. Ивс, Ховард (1963), Обзор геометрии (том первый) , Аллин и Бэкон, стр. 30–31.
6. Проттер и Морри (1970, стр. 308–310)
7. Проттер и Морри (1970, стр. 310)
8. Апостол, Том М.; Мнацаканян, Мамикон А. (2012), Новые горизонты геометрии , Математические экспозиции Дольчиани № 47, Математическая ассоциация Америки, стр. 251, ISBN 978-0-88385-354-2
9. Немецкий термин для обозначения этого круга - Leitkreis , что можно перевести как «Директорский круг», но в английской литературе этот термин имеет другое значение (см. « Директорский круг »).
10. Франс ван Скутен : Mathematische Oeffeningen , Лейден, 1659, стр. 327
11. Э. Хартманн: Конспект лекции «Геометрия плоского круга», введение в плоскости Мёбиуса, Лагерра и Минковского, с. 93
12. В. Бенц: Vorlesungen über Geomerie der Algebren , Springer (1973)
13. Конспект лекции «Геометрия плоского круга, введение в плоскости Мебиуса, Лагерра и Минковского», S. 33, (PDF; 757 КБ)
14. Конспект лекций «Геометрия плоского круга», введение в плоскости Мебиуса, Лагерра и Минковского, S. 32, (PDF; 757 КБ)
15. Фанчи, Джон Р. (2006). Повышение квалификации по математике для ученых и инженеров. Джон Уайли и сыновья. Раздел 3.2, стр. 44–45. ISBN 0-471-75715-2.
16. Корн, Гранино А; Корн, Тереза ​​М. (2000). Математический справочник для ученых и инженеров: определения, теоремы и формулы для справки и обзора (второе изд.). Дувр Пабл. п. 40.
17. Проттер и Морри (1970, стр. 310)
18. Проттер и Морри (1970, стр. 310)
19. Проттер и Морри (1970, стр. 310)
20. Проттер и Морри (1970, стр. APP-29 – APP-30)
21. Митчелл, Дуглас В., «Свойство гипербол и их асимптот», Mathematical Gazette 96, июль 2012 г., 299–301.
22. Дж. В. Даунс, Практические конические сечения , Dover Publ., 2003 (оригинал 1993): стр. 26.
23. Коффман, RT; Огилви, CS (1963), «Свойство коников отражать», Mathematics Magazine , 36 (1): 11–12, doi : 10.2307/2688124
    Фландерс, Харли (1968), «Оптические свойства коников», American Mathematical Monthly , 75 (4): 399, doi : 10.2307/2313439

    Брозинский, Майкл К. (1984), «Свойство эллипса и гиперболы отражать», College Mathematics Journal , 15 (2): 140–42, doi : 10.2307/2686519

24. "Гипербола". Mathafou.free.fr . Архивировано из оригинала 4 марта 2016 года . Проверено 26 августа 2018 г.
25. «Свойства гиперболы». Архивировано из оригинала 02 февраля 2017 г. Проверено 22 июня 2011 г.
26. Карлсон, Британская Колумбия (2010), «Эллиптические интегралы», в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, МР  2723248.
27. Эта конструкция принадлежит Паппу Александрийскому (около 300 г. н. э.), а доказательство взято у Казаринова (1970, стр. 62).

Рекомендации

• Казаринов, Николас Д. (1970), Правитель и раунд, Бостон: Приндл, Вебер и Шмидт, ISBN 0-87150-113-9
• Окли, Колорадо, доктор философии. (1944), Очерк исчисления , Нью-Йорк: Barnes & Noble.{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Проттер, Мюррей Х.; Морри, Чарльз Б. младший (1970), Колледжское исчисление с аналитической геометрией (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , LCCN  76087042

Внешние ссылки

• «Гипербола», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вывод Аполлонием гиперболы при конвергенции
• Франс ван Скутен: Mathematische Oeffeningen, 1659 г.
• Вайсштейн, Эрик В. «Гипербола». Математический мир .