Группа (математика)

Набор с ассоциативной обратимой операцией

Манипуляции с кубиком Рубика образуют группу «Кубик Рубика» .

В математике группа — это набор с операцией , которая удовлетворяет следующим ограничениям: операция ассоциативна и имеет единичный элемент , и каждый элемент набора имеет обратный элемент .

Многие математические структуры представляют собой группы, наделенные другими свойствами. Например, целые числа с помощью операции сложения образуют бесконечную группу, которая генерируется одним элементом с именем 1 (эти свойства характеризуют целые числа уникальным образом).

Концепция группы была разработана для унифицированной обработки многих математических структур, таких как числа, геометрические фигуры и корни многочленов . Поскольку концепция групп широко распространена во многих областях как внутри, так и за пределами математики, некоторые авторы считают ее центральным организующим принципом современной математики. ^{[1] [2]}

В геометрии группы естественным образом возникают при изучении симметрий и геометрических преобразований : симметрии объекта образуют группу, называемую группой симметрии объекта, а преобразования данного типа образуют общую группу. Группы Ли появляются в группах симметрии в геометрии, а также в Стандартной модели физики элементарных частиц . Группа Пуанкаре — это группа Ли, состоящая из симметрий пространства-времени в специальной теории относительности . Точечные группы описывают симметрию в молекулярной химии .

Понятие группы возникло при изучении полиномиальных уравнений , начиная с Эвариста Галуа в 1830-х годах, который ввел термин группа (французский: groupe ) для группы симметрии корней уравнения , теперь называемой группой Галуа . После вклада других областей, таких как теория чисел и геометрия, понятие группы было обобщено и прочно утвердилось примерно в 1870 году. Современная теория групп — активная математическая дисциплина — изучает группы сами по себе. Чтобы исследовать группы, математики разработали различные понятия, позволяющие разбить группы на более мелкие, более понятные части, такие как подгруппы , факторгруппы и простые группы . В дополнение к их абстрактным свойствам, теоретики групп также изучают различные способы, которыми группа может быть выражена конкретно, как с точки зрения теории представлений (то есть через представления группы ), так и с точки зрения вычислительной теории групп . Была разработана теория конечных групп , кульминацией которой стала классификация конечных простых групп , завершенная в 2004 году. С середины 1980-х годов геометрическая теория групп , изучающая конечно порожденные группы как геометрические объекты, стала активной областью теории групп. .

Определение и иллюстрация

Первый пример: целые числа

Одна из наиболее знакомых групп — это набор целых чисел.

$${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\ldots ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots \}}$$

дополнением^[3]и суммазамыканиябинарная операция ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• Для всех целых чисел и один  имеет . Выражаясь словами, добавление сначала к , а затем добавление результата к дает тот же окончательный результат, что и добавление к сумме и  . Это свойство известно как ассоциативность . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$
• Если любое целое число, то и . Ноль называется единичным элементом сложения, поскольку добавление его к любому целому числу возвращает то же самое целое число. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0+a=a}$ ${\displaystyle a+0=a}$
• Для каждого целого числа существует целое число такое, что и . Целое число называется обратным элементом целого числа и обозначается  . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a+b=0}$ ${\displaystyle b+a=0}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle -a}$

Целые числа вместе с операцией образуют математический объект, принадлежащий к широкому классу, имеющему схожие структурные аспекты. Чтобы правильно понять эти структуры как коллектив, разработано следующее определение. ${\displaystyle +}$

Определение

Аксиомы группы кратки и естественны... Однако за этими аксиомами каким-то образом скрывается чудовищная простая группа , огромный и необычный математический объект, существование которого, по-видимому, основано на многочисленных причудливых совпадениях. Аксиомы групп не дают очевидного намека на существование чего-либо подобного.

Ричард Борчердс , Математики: внешний взгляд на внутренний мир ^[4]

Группа — это непустое множество вместе с бинарной операцией над , здесь обозначенной " ", которая объединяет любые два элемента и из для формирования элемента , обозначаемого , так что выполняются следующие три требования, известные как аксиомы группы : ^{[5] [6] [7] [а]} ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a\cdot b}$

Ассоциативность

Для всех , в , у одного есть . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$

Элемент идентификации

Существует элемент в такой, что для каждого в есть и . ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e\cdot a=a}$ ${\displaystyle a\cdot e=a}$

Такой элемент уникален (см. ниже). Его называют идентификационным элементом (или иногда нейтральным элементом ) группы.

Обратный элемент

Для каждого в существует элемент в такой, что и , где - единичный элемент. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a\cdot b=e}$ ${\displaystyle b\cdot a=e}$ ${\displaystyle e}$

Для каждого элемент уникален (см. ниже); его называют обратным и обычно обозначают . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{-1}}$

Обозначения и терминология

Формально группа — это упорядоченная пара множества и бинарной операции над этим множеством, удовлетворяющая аксиомам группы . Набор называется базовым набором группы, а операция называется групповой операцией или групповым законом .

Таким образом, группа и ее базовое множество представляют собой два разных математических объекта . Чтобы избежать громоздких обозначений, часто злоупотребляют обозначениями , используя один и тот же символ для обозначения обоих. Это также отражает неформальный образ мышления: группа аналогична набору, за исключением того, что она обогащена дополнительной структурой, обеспечиваемой операцией.

Например, рассмотрим набор действительных чисел , в котором есть операции сложения и умножения . Формально — это набор, это группа и это поле . Но принято писать для обозначения любого из этих трех объектов. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Аддитивная группа поля — это группа, базовым множеством которой является сложение , а операция — сложение. Мультипликативная группа поля — это группа , базовым набором которой является набор ненулевых действительных чисел и операцией которой является умножение. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \smallsetminus \{0\}}$

В более общем смысле, говорят об аддитивной группе всякий раз, когда групповая операция обозначается как сложение; в этом случае тождество обычно обозначается , а обратный элемент обозначается . Точно так же говорят о мультипликативной группе всякий раз, когда групповая операция обозначается как умножение; в этом случае тождество обычно обозначается , а обратный элемент обозначается . В мультипликативной группе символ операции обычно полностью опускается, так что операция обозначается сопоставлением, а не . ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -x}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{-1}}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle a\cdot b}$

Определение группы не требует этого для всех элементов и в . Если это дополнительное условие выполнено, то операция называется коммутативной , а группа называется абелевой группой . Общепринято считать, что для абелевой группы можно использовать аддитивную или мультипликативную запись, но для неабелевой группы используется только мультипликативная запись. ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle G}$

Для групп, элементы которых не являются числами, обычно используются несколько других обозначений. Для группы, элементами которой являются функции , операция часто представляет собой композицию функций ; тогда личность может обозначаться id. В более конкретных случаях групп геометрических преобразований , групп симметрии , групп перестановок и групп автоморфизмов этот символ часто опускается, как и для мультипликативных групп. Можно встретить множество других вариантов обозначений. ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle \circ }$

Второй пример: группа симметрии

Две фигуры на плоскости конгруэнтны , если одну можно превратить в другую, используя комбинацию вращений , отражений и перемещений . Любая фигура конгруэнтна сама себе. Однако некоторые фигуры конгруэнтны сами себе более чем в одном отношении, и эти дополнительные конгруэнтности называются симметриями . Квадрат имеет восемь симметрий . Это:

• операция идентификации , оставляющая все без изменений, обозначаемая id;
• повороты квадрата вокруг своего центра на 90°, 180° и 270° по часовой стрелке, обозначаемые , и , соответственно; ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle r_{3}}$
• размышления о горизонтальной и вертикальной средней линии ( и ) или через две диагонали ( и ). ${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$

Эти симметрии являются функциями. Каждый отправляет точку квадрата в соответствующую точку симметрии. Например, отправляет точку на поворот на 90° по часовой стрелке вокруг центра квадрата и отправляет точку на ее отражение через вертикальную среднюю линию квадрата. Соединение двух из этих симметрий дает еще одну симметрию. Эти симметрии определяют группу, называемую группой диэдра четвертой степени, обозначаемой . Базовым набором группы является вышеуказанный набор симметрий, а групповая операция — это композиция функций. ^[8] Две симметрии объединяются путем составления их как функций, то есть применения первой к квадрату, а второй к результату первого применения. Результат выполнения сначала, а затем записывается символически справа налево как («применить симметрию после выполнения симметрии »). Это обычное обозначение композиции функций. ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b\circ a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$

В групповой таблице приведены результаты всех возможных таких композиций. Например, поворот на 270° по часовой стрелке ( ) и последующее отражение по горизонтали ( ) аналогичны отражению по диагонали ( ). Используя приведенные выше символы, выделенные синим цветом в таблице групп: ${\displaystyle r_{3}}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$

$${\displaystyle f_{\mathrm {h} }\circ r_{3}=f_{\mathrm {d} }.}$$

Учитывая этот набор симметрий и описанную операцию, аксиомы группы можно понять следующим образом.

Бинарная операция : композиция — это бинарная операция. То есть является симметрией для любых двух симметрий и . Например, ${\displaystyle a\circ b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

$${\displaystyle r_{3}\circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {c} },}$$

${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$

Ассоциативность : Аксиома ассоциативности касается составления более чем двух симметрий: начиная с трех элементов , и , существует два возможных способа использования этих трех симметрий в этом порядке для определения симметрии квадрата. Один из этих способов — сначала скомпоновать и в единую симметрию, а затем скомпоновать эту симметрию с помощью . Другой способ — сначала составить и , затем скомпоновать полученную симметрию с помощью . Эти два пути должны всегда давать один и тот же результат, т. е. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c),}$$

${\displaystyle (f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {v} })\circ r_{2}=f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}(f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {v} })\circ r_{2}&=r_{3}\circ r_{2}=r_{1}\\f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})&=f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {h} }=r_{1}.\end{aligned}}}$$

Элемент идентичности : Элемент идентичности является , поскольку он не меняет никакой симметрии , когда он составлен с ним слева или справа. ${\displaystyle \mathrm {id} }$ ${\displaystyle a}$

Обратный элемент : Каждая симметрия имеет обратную: , отражения , , , и вращение на 180° сами по себе инверсны, поскольку выполнение их дважды возвращает квадрат в исходную ориентацию. Вращения и являются обратными друг другу, поскольку поворот на 90°, а затем поворот на 270° (или наоборот) приводит к повороту более чем на 360°, что оставляет квадрат неизменным. Это легко проверить по таблице. ${\displaystyle \mathrm {id} }$ ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle r_{3}}$ ${\displaystyle r_{1}}$

В отличие от группы целых чисел, приведенной выше, где порядок выполнения операции неважен, в , как, например, но , он имеет значение . Другими словами, не является абелевым. ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }\circ r_{1}=f_{\mathrm {c} }}$ ${\displaystyle r_{1}\circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {d} }}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$

История

Современная концепция абстрактной группы развилась на основе нескольких областей математики. ^{[9] [10] [11]} Первоначальной мотивацией для теории групп был поиск решений полиномиальных уравнений степени выше 4. Французский математик 19-го века Эварист Галуа , расширяя предыдущие работы Паоло Руффини и Жозефа-Луи Лагранжа , дал критерий разрешимости того или иного полиномиального уравнения через группу симметрии его корней (решений). Элементы такой группы Галуа соответствуют определенным перестановкам корней. Поначалу идеи Галуа были отвергнуты его современниками и опубликованы лишь посмертно. ^{[12] [13]} Более общие группы перестановок исследовались, в частности, Огюстеном Луи Коши . Книга Артура Кэли « К теории групп в зависимости от символического уравнения» ${\displaystyle \theta ^{n}=1}$ (1854 г.) дает первое абстрактное определение конечной группы . ^[14]

Геометрия была второй областью, в которой группы использовались систематически, особенно группы симметрии как часть Эрлангенской программы Феликса Кляйна 1872 года . ^[15] После того, как появились новые геометрии, такие как гиперболическая и проективная геометрия , Кляйн использовал теорию групп, чтобы организовать их более последовательным образом. Развивая эти идеи, Софус Ли в 1884 году основал исследование групп Ли ^{. [16]}

Третьей областью, внесшей вклад в теорию групп, была теория чисел . Определенные абелевы групповые структуры неявно использовались в теоретико-числовой работе Карла Фридриха Гаусса Disquisitiones Arithmeticae (1798) и более явно Леопольдом Кронекером . ^[17] В 1847 году Эрнст Куммер предпринял первые попытки доказать Великую теорему Ферма , разработав группы, описывающие факторизацию в простые числа . ^[18]

Конвергенция этих различных источников в единую теорию групп началась с « Трактата о подстановках и алгебраических уравнениях» Камиллы Жордана ( 1870). ^[19] Вальтер фон Дейк (1882) ввел идею определения группы посредством образующих и отношений, а также был первым, кто дал аксиоматическое определение «абстрактной группы» в терминологии того времени. ^[20] В 20 веке группы получили широкое признание благодаря новаторским работам Фердинанда Георга Фробениуса и Уильяма Бернсайда , которые работали над теорией представлений конечных групп, модульной теорией представлений Рихарда Брауэра и статьями Иссая Шура . ^[21] Теория групп Ли и, в более общем плане, локально компактных групп изучалась Германом Вейлем , Эли Картаном и многими другими. ^[22] Ее алгебраический аналог, теория алгебраических групп , была сначала сформирована Клодом Шевалле (с конца 1930-х годов), а затем работами Армана Бореля и Жака Титса . ^[23]

Год теории групп в Чикагском университете в 1960–61 годах собрал таких теоретиков групп, как Дэниел Горенштейн , Джон Г. Томпсон и Уолтер Фейт , заложив основу сотрудничества, которое при участии многих других математиков привело к классификации конечных чисел. простые группы , а последний шаг был сделан Ашбахером и Смитом в 2004 году. Этот проект превзошел предыдущие математические начинания по своим размерам, как по длине доказательства , так и по количеству исследователей. Исследования, касающиеся этого доказательства классификации, продолжаются. ^[24] Теория групп остается весьма активной математической отраслью, ^[b] влияющей на многие другие области, как иллюстрируют приведенные ниже примеры.

Элементарные следствия групповых аксиом

Основные факты обо всех группах, которые могут быть получены непосредственно из аксиом групп, обычно относят к элементарной теории групп . ^[25] Например, неоднократное применение аксиомы ассоциативности показывает, что однозначность

$${\displaystyle a\cdot b\cdot c=(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$$

круглые скобки^[26]

Уникальность элемента идентификации

Аксиомы группы подразумевают, что единичный элемент уникален; то есть существует только один единичный элемент: любые два единичных элемента и группы равны, поскольку аксиомы группы предполагают . Поэтому принято говорить об идентичном элементе группы. ^[27] ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle e=e\cdot f=f}$

Уникальность обратных чисел

Аксиомы группы также подразумевают, что инверсия каждого элемента уникальна: пусть элемент группы имеет оба и как инверсии. ( и различны.) Тогда ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=b\cdot e&&{\text{(}}e{\text{ is the identity element)}}\\&=b\cdot (a\cdot c)&&{\text{(}}c{\text{ is an inverse)}}\\&=(b\cdot a)\cdot c&&{\text{(associativity)}}\\&=e\cdot c&&{\text{(}}b{\text{ is an inverse)}}\\&=c&&{\text{(}}e{\text{ is the identity element)}}\end{aligned}}}$

Поэтому принято говорить об обратном элементе. ^[27]

Разделение

Учитывая элементы и группы , существует единственное решение уравнения , а именно . ^{[c] [28]} Отсюда следует, что для каждого из функция , которая отображает каждый , является биекцией ; это называется левым умножением на или левым переводом на ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a\cdot x=b}$ ${\displaystyle a^{-1}\cdot b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\to G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a\cdot x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a.}$

Аналогично, учитывая и , единственным решением является . Для каждого функция , которая отображает каждый, представляет собой биекцию, называемую правым умножением на или правым переводом на ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x\cdot a=b}$ ${\displaystyle b\cdot a^{-1}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G\to G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\cdot a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a.}$

Эквивалентное определение с ослабленными аксиомами

Групповые аксиомы для тождества и инверсий могут быть «ослаблены», чтобы утверждать только существование левой идентичности и левых инверсий . Из этих односторонних аксиом можно доказать, что левое тождество также является правым тождеством, а левое обратное также является правым обратным для одного и того же элемента. Поскольку они определяют точно такие же структуры, что и группы, в совокупности аксиомы не слабее. ^[29]

В частности, предполагая ассоциативность и существование левой идентичности (то есть ) и левого обратного для каждого элемента (то есть ), можно показать, что каждый левый обратный также является правым обратным того же элемента следующим образом. ^[29] Действительно, есть ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e\cdot f=f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}\cdot f=e}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f\cdot f^{-1}&=e\cdot (f\cdot f^{-1})&&{\text{(left identity)}}\\&=((f^{-1})^{-1}\cdot f^{-1})\cdot (f\cdot f^{-1})&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot ((f^{-1}\cdot f)\cdot f^{-1})&&{\text{(associativity)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot (e\cdot f^{-1})&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot f^{-1}&&{\text{(left identity)}}\\&=e&&{\text{(left inverse)}}\end{aligned}}}$

Аналогично, левое тождество также является правым тождеством: ^[29]

${\displaystyle {\begin{aligned}f\cdot e&=f\cdot (f^{-1}\cdot f)&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f\cdot f^{-1})\cdot f&&{\text{(associativity)}}\\&=e\cdot f&&{\text{(right inverse)}}\\&=f&&{\text{(left identity)}}\end{aligned}}}$

Эти доказательства требуют всех трех аксиом (ассоциативности, существования левой единицы и существования левой обратной). Например , для структуры с более свободным определением (например, полугруппы ) левая идентичность не обязательно является правой идентичностью.

Тот же результат можно получить, только предположив существование правого тождества и правого обратного.

Однако только предположение о существовании левой идентичности и правой обратной (или наоборот) недостаточно для определения группы. Например, рассмотрим набор с оператором, удовлетворяющим и . Эта структура имеет левую идентичность (а именно ), и каждый элемент имеет правую инверсию (которая предназначена для обоих элементов). Более того, эта операция ассоциативна (поскольку произведение любого количества элементов всегда равно самому правому элементу этого произведения, независимо от порядка выполнения этих операций). Однако это не группа, поскольку у нее отсутствует правильная идентичность. ${\displaystyle G=\{e,f\}}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle e\cdot e=f\cdot e=e}$ ${\displaystyle e\cdot f=f\cdot f=f}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle (G,\cdot )}$

Базовые концепты

При изучении множеств используются такие понятия, как подмножество , функция и фактор по отношению эквивалентности . При изучении групп вместо этого используются подгруппы , гомоморфизмы и факторгруппы . Это аналоги, учитывающие групповую структуру. ^[д]

Групповые гомоморфизмы

Групповые гомоморфизмы ^[e] — это функции, которые соблюдают структуру группы; их можно использовать для связи двух групп. Гомоморфизмом группы в группу называется такая функция, что ${\displaystyle (G,\cdot )}$ ${\displaystyle (H,*)}$ ${\displaystyle \varphi \colon G\to H}$

${\displaystyle \varphi (a\cdot b)=\varphi (a)*\varphi (b)}$для всех элементов и в . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle G}$

Было бы естественно потребовать также, чтобы соблюдались тождества и обратные значения для всех в . Однако эти дополнительные требования не обязательно включать в определение гомоморфизмов, поскольку они уже вытекают из требования соблюдения групповой операции. ^[30] ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (1_{G})=1_{H}}$ ${\displaystyle \varphi (a^{-1})=\varphi (a)^{-1}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$

Тождественный гомоморфизм группы — это гомоморфизм , который отображает каждый элемент группы в себя. Обратный гомоморфизм гомоморфизма — это гомоморфизм такой , что и , то есть такой, что для всех в и такой, что для всех в . Изоморфизм — это гомоморфизм, имеющий обратный гомоморфизм ; эквивалентно, это биективный гомоморфизм. Группы и называются изоморфными, если существует изоморфизм . В этом случае его можно получить , просто переименовав его элементы в соответствии с функцией ; тогда любое утверждение, истинное для, истинно и для , при условии, что любые конкретные элементы, упомянутые в операторе, также переименовываются. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \iota _{G}\colon G\to G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi \colon G\to H}$ ${\displaystyle \psi \colon H\to G}$ ${\displaystyle \psi \circ \varphi =\iota _{G}}$ ${\displaystyle \varphi \circ \psi =\iota _{H}}$ ${\displaystyle \psi {\bigl (}\varphi (g){\bigr )}=g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi {\bigl (}\psi (h){\bigr )}=h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \varphi \colon G\to H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

Совокупность всех групп вместе с гомоморфизмами между ними образует категорию — категорию групп . ^[31]

Инъективный гомоморфизм канонически факторизуется как изоморфизм, за которым следует включение, для некоторой подгруппы H группы G . Инъективные гомоморфизмы — это мономорфизмы в категории групп. ${\displaystyle \phi \colon G'\to G}$ ${\displaystyle G'\;{\stackrel {\sim }{\to }}\;H\hookrightarrow G}$

Подгруппы

Неформально подгруппа — это группа , содержащаяся в более крупной : она имеет подмножество элементов с той же операцией. ^[32] Конкретно, это означает, что единичный элемент должен содержаться в , и всякий раз, когда и оба находятся в , то то же самое относится и к , поэтому элементы , оснащенные групповой операцией над ограниченной , действительно образуют группу. В этом случае отображение включения является гомоморфизмом. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h_{1}}$ ${\displaystyle h_{2}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h_{1}\cdot h_{2}}$ ${\displaystyle h_{1}^{-1}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\to G}$

В примере симметрии квадрата идентичность и вращения составляют подгруппу , выделенную красным в таблице групп примера: любые два составленных вращения по-прежнему являются вращением, и вращение может быть отменено (т. е. является обратным к) дополнительные повороты на 270° для 90°, 180° для 180° и 90° для 270°. Проверка подгруппы обеспечивает необходимое и достаточное условие для того, чтобы непустое подмножество H группы G было подгруппой: достаточно проверить это для всех элементов и в . Знание подгрупп группы важно для понимания группы в целом. ^[ф] ${\displaystyle R=\{\mathrm {id} ,r_{1},r_{2},r_{3}\}}$ ${\displaystyle g^{-1}\cdot h\in H}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle H}$

Учитывая любое подмножество группы , подгруппа, порожденная состоит из всех произведений элементов и их обратных. Это наименьшая подгруппа, содержащая . ^[33] В примере симметрии квадрата подгруппа порождается и состоит из этих двух элементов, единичного элемента и элемента . Опять же, это подгруппа, потому что объединение любых двух из этих четырех элементов или их обратных (которые в данном конкретном случае являются теми же самыми элементами) дает элемент этой подгруппы. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$ ${\displaystyle \mathrm {id} }$ ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {v} }\cdot r_{2}}$

Рядовые

Во многих ситуациях желательно считать два элемента группы одинаковыми, если они отличаются элементом данной подгруппы. Например, в группе симметрии квадрата, как только происходит какое-либо отражение, одни только вращения не могут вернуть квадрат в исходное положение, поэтому можно думать об отраженных положениях квадрата как об эквивалентных друг другу и неэквивалентных. на неотраженные позиции; операции вращения не имеют отношения к вопросу о том, было ли выполнено отражение. Для формализации этого понимания используются классы смежности: подгруппа определяет левый и правый классы смежности, которые можно рассматривать как переводы произвольным элементом группы . В символических терминах левый и правый смежные классы , содержащие элемент , равны ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle gH=\{g\cdot h\mid h\in H\}}$и соответственно. ^[34] ${\displaystyle Hg=\{h\cdot g\mid h\in H\}}$

Левые классы любой подгруппы образуют разбиение ; то есть объединение всех левых смежных классов равно , а два левых смежных класса либо равны, либо имеют пустое пересечение . ^[35] Первый случай происходит именно тогда , когда , т. е. когда два элемента отличаются на элемент . Аналогичные соображения применимы и к правым классам . Левые смежные классы могут совпадать, а могут и не совпадать с правыми смежными классами. Если они есть (то есть если все удовлетворяют ), то говорят, что это нормальная подгруппа . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g_{1}H=g_{2}H}$ ${\displaystyle g_{1}^{-1}\cdot g_{2}\in H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle gH=Hg}$ ${\displaystyle H}$

В группе симметрий квадрата с ее подгруппой вращений левые смежные классы либо равны , если является элементом самого себя, либо в противном случае равны (выделены зеленым в таблице групп ). Подгруппа является нормальной, потому что и аналогично для остальных элементов группы. (Фактически, в случае все классы, порожденные отражениями, равны: .) ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle gR}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle U=f_{\mathrm {c} }R=\{f_{\mathrm {c} },f_{\mathrm {d} },f_{\mathrm {v} },f_{\mathrm {h} }\}}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {c} }R=U=Rf_{\mathrm {c} }}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }R=f_{\mathrm {v} }R=f_{\mathrm {d} }R=f_{\mathrm {c} }R}$

Факторные группы

Предположим, что это нормальная подгруппа группы и ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle G/N=\{gN\mid g\in G\}}$$

^[36]факторгруппойфакторгруппойсвойством ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle G\to G/N}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle gN}$ ${\displaystyle gN}$ ${\displaystyle hN}$ ${\displaystyle (gh)N}$ ${\displaystyle eN=N}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle gN}$ ${\displaystyle (gN)^{-1}=\left(g^{-1}\right)N}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$

Элементами факторгруппы являются и . Групповая операция над частным представлена ​​в таблице. Например, . И подгруппа , и фактор абелевы, но это не так. Иногда группу можно восстановить из подгруппы и фактора (плюс некоторых дополнительных данных) с помощью построения полупрямого произведения ; это пример. ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}/R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle U=f_{\mathrm {v} }R}$ ${\displaystyle U\cdot U=f_{\mathrm {v} }R\cdot f_{\mathrm {v} }R=(f_{\mathrm {v} }\cdot f_{\mathrm {v} })R=R}$ ${\displaystyle R=\{\mathrm {id} ,r_{1},r_{2},r_{3}\}}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}/R}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$

Первая теорема об изоморфизме подразумевает, что любой сюръективный гомоморфизм канонически факторизуется как факторгомоморфизм, за которым следует изоморфизм: . Сюръективные гомоморфизмы — это эпиморфизмы в категории групп. ${\displaystyle \phi \colon G\to H}$ ${\displaystyle G\to G/\ker \phi \;{\stackrel {\sim }{\to }}\;H}$

Презентации

Каждая группа во многих отношениях изоморфна фактору свободной группы .

Например, группа диэдра генерируется поворотом вправо и отражением в вертикальной линии (каждый элемент является конечным произведением их копий и их обратных). Следовательно, существует сюръективный гомоморфизм φ свободной группы с двумя образующими на посылку в и в . Элементы в называются отношениями ; примеры включают . Фактически оказывается, что это наименьшая нормальная подгруппа, содержащая эти три элемента; иными словами, все отношения являются следствием этих трех. Фактор свободной группы по этой нормальной подгруппе обозначается . Это называется представлением генераторов и отношений, поскольку первая теорема об изоморфизме для φ дает изоморфизм . ^[37] ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle \langle r,f\rangle }$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle \ker \phi }$ ${\displaystyle r^{4},f^{2},(r\cdot f)^{2}}$ ${\displaystyle \ker \phi }$ ${\displaystyle \langle r,f\rangle }$ ${\displaystyle \langle r,f\mid r^{4}=f^{2}=(r\cdot f)^{2}=1\rangle }$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle \langle r,f\mid r^{4}=f^{2}=(r\cdot f)^{2}=1\rangle \to \mathrm {D} _{4}}$

Представление группы может быть использовано для построения графа Кэли , графического изображения дискретной группы . ^[38]

Примеры и приложения

Периодический рисунок обоев порождает группу обоев .

Примеров и применений групп имеется множество. Отправной точкой является группа целых чисел со сложением в качестве групповой операции, представленная выше. Если вместо сложения рассматривать умножение, то получаются мультипликативные группы . Эти группы являются предшественниками важных конструкций абстрактной алгебры . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Группы также применяются во многих других математических областях. Математические объекты часто исследуют путем сопоставления им групп и изучения свойств соответствующих групп. Например, Анри Пуанкаре основал то, что сейчас называется алгебраической топологией , введя фундаментальную группу . ^[39] Благодаря этой связи топологические свойства , такие как близость и непрерывность, переводятся в свойства групп. ^[г]

Основная группа плоскости минус точка (жирный шрифт) состоит из петель вокруг недостающей точки. Эта группа изоморфна сложенным целым числам.

Элементами фундаментальной группы топологического пространства являются классы эквивалентности петель, где петли считаются эквивалентными, если одну можно плавно деформировать в другую, а групповая операция - это «конкатенация» (отслеживание одной петли, а затем другой). Например, как показано на рисунке, если топологическое пространство представляет собой плоскость с удаленной одной точкой, то петли, которые не охватывают недостающую точку (синяя), могут плавно сжиматься до одной точки и являются единичным элементом фундаментальной точки. группа. Цикл, который оборачивает пропущенные точки времени, не может быть деформирован в цикл, который оборачивает времена (с ), потому что цикл не может быть плавно деформирован через отверстие, поэтому каждый класс циклов характеризуется номером обмотки вокруг недостающей точки. Полученная группа изоморфна суммируемым целым числам. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m\neq k}$

В более поздних приложениях влияние также было обращено вспять, чтобы мотивировать геометрические конструкции теоретико-групповым фоном. ^[h] Аналогичным образом, геометрическая теория групп использует геометрические концепции, например, при изучении гиперболических групп . ^[40] Другие отрасли, критически применяющие группы, включают алгебраическую геометрию и теорию чисел. ^[41]

Помимо вышеупомянутых теоретических приложений, существует множество практических приложений групп. Криптография основана на сочетании подхода абстрактной теории групп с алгоритмическими знаниями, полученными в вычислительной теории групп , особенно при реализации для конечных групп. ^[42] Приложения теории групп не ограничиваются математикой; Такие науки, как физика , химия и информатика, извлекают выгоду из этой концепции.

Числа

Многие системы счисления, такие как целые и рациональные числа , имеют естественно заданную групповую структуру. В некоторых случаях, например, в случае с рациональными числами, операции сложения и умножения приводят к групповым структурам. Такие системы счисления являются предшественниками более общих алгебраических структур, известных как кольца и поля. Другие абстрактные алгебраические понятия, такие как модули , векторные пространства и алгебры, также образуют группы.

Целые числа

Группа сложенных целых чисел, обозначенная , была описана выше. Целые числа, в которых вместо сложения используется операция умножения, не образуют группу. Аксиомы ассоциативности и тождественности выполняются, но обратных не существует: например, является целым числом, но единственным решением уравнения в этом случае является , которое является рациональным числом, но не целым. Следовательно, не каждый элемент имеет (мультипликативный) обратный. ^[я] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \left(\mathbb {Z} ,+\right)}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {Z} ,\cdot \right)}$ ${\displaystyle a=2}$ ${\displaystyle a\cdot b=1}$ ${\displaystyle b={\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Рациональное мышление

Стремление к существованию мультипликативных обратных наводит на мысль рассматривать дроби

$${\displaystyle {\frac {a}{b}}.}$$

Дроби целых чисел (с ненулевым значением) известны как рациональные числа . ^[j] Множество всех таких несократимых дробей обычно обозначается . Все еще существует небольшое препятствие для того , чтобы рациональные числа с умножением были группой: поскольку ноль не имеет мультипликативного обратного (т. е. не существует такого, что ), все равно не является группой. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,\cdot \right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\cdot 0=1}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,\cdot \right)}$

Однако набор всех ненулевых рациональных чисел образует абелеву группу при умножении, также обозначаемую . ^[k] Аксиомы ассоциативности и единичного элемента следуют из свойств целых чисел. Требование замыкания остается в силе после удаления нуля, поскольку произведение двух ненулевых рациональных чисел никогда не равно нулю. Наконец, обратный элемент равен , поэтому аксиома обратного элемента удовлетворена. ${\displaystyle \mathbb {Q} \smallsetminus \left\{0\right\}=\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q\neq 0\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\times }}$ ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle b/a}$

Рациональные числа (включая ноль) также образуют группу при сложении. Переплетение операций сложения и умножения дает более сложные структуры, называемые кольцами и – если возможно деление на величину, отличную от нуля, например, in – поля, которые занимают центральное положение в абстрактной алгебре. Таким образом, аргументы теории групп лежат в основе некоторых частей теории этих сущностей. ^[л] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Модульная арифметика

Часы на часах образуют группу, в которой используется сложение по модулю  12. Здесь 9 + 4 ≡ 1 .

Модульная арифметика для модуля определяет эквивалентность любых двух элементов , которые отличаются кратностью , что обозначается . Каждое целое число эквивалентно одному из целых чисел от до , а операции модульной арифметики изменяют обычную арифметику, заменяя результат любой операции ее эквивалентным представителем . Модульное сложение, определенное таким образом для целых чисел от до , образует группу, обозначаемую как или , с единичным элементом и обратным элементом . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{n}}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n-a}$ ${\displaystyle a}$

Знакомый пример — добавление часов на циферблате , где в качестве представителя идентичности выбрано 12, а не 0. Если часовая стрелка включена и показывает расширенные часы, она окажется на , как показано на рисунке. Это выражается в высказывании, что соответствует «по модулю » или, выражаясь символами, ${\displaystyle 9}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 9+4}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 12}$

$${\displaystyle 9+4\equiv 1{\pmod {12}}.}$$

Для любого простого числа существует также мультипликативная группа целых чисел по модулю . ^[43] Его элементы могут быть представлены как . Групповая операция умножения по модулю заменяет обычное произведение его представителем, остатком от деления на . Например, для четыре элемента группы могут быть представлены как . В этой группе , потому что обычный продукт эквивалентен : при делении на него получается остаток . Простота гарантирует, что обычное произведение двух представителей не делится на и , следовательно, что модульное произведение не равно нулю. ^[m] Единичный элемент представлен , а ассоциативность следует из соответствующего свойства целых чисел. Наконец, аксиома обратного элемента требует, чтобы для данного целого числа, не делящегося на , существовало такое целое число, что ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p-1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=5}$ ${\displaystyle 1,2,3,4}$ ${\displaystyle 4\cdot 4\equiv 1{\bmod {5}}}$ ${\displaystyle 16}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle b}$

$${\displaystyle a\cdot b\equiv 1{\pmod {p}},}$$

тождество Безунаибольший общий делитель равен . ^[44]как^[45]криптографии с открытым ключом^[н] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a\cdot b-1}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \gcd(a,p)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p=5}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 3\cdot 2=6\equiv 1{\bmod {5}}}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {Q} \smallsetminus \left\{0\right\},\cdot \right)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$

Циклические группы

Комплексные корни шестой степени из единицы образуют циклическую группу. является примитивным элементом, но это не так, потому что нечетные степени не являются степенью . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z^{2}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z^{2}}$

Циклическая группа — это группа, все элементы которой являются степенями определенного элемента . ^[46] В мультипликативной записи элементами группы являются ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle \dots ,a^{-3},a^{-2},a^{-1},a^{0},a,a^{2},a^{3},\dots ,}$$

^[o]примитивным элементом ${\displaystyle a^{2}}$ ${\displaystyle a\cdot a}$ ${\displaystyle a^{-3}}$ ${\displaystyle a^{-1}\cdot a^{-1}\cdot a^{-1}=(a\cdot a\cdot a)^{-1}}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle \dots ,(-a)+(-a),-a,0,a,a+a,\dots .}$$

В введенных выше группах элемент примитивен, поэтому эти группы циклические. Действительно, каждый элемент выражается в виде суммы, все члены которой равны . Любая циклическая группа с элементами изоморфна этой группе. Вторым примером циклических групп является группа комплексных корней из единицы , заданная комплексными числами, удовлетворяющими . Эти числа можно представить как вершины правильного прямоугольника, как показано синим цветом на изображении . Групповая операция — умножение комплексных чисел. На рисунке умножение на соответствует повороту против часовой стрелки на 60°. ^[47] Из теории поля группа является циклической для простых чисел : например, если , является генератором, поскольку , , , и . ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z^{n}=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=6}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=5}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 3^{1}=3}$ ${\displaystyle 3^{2}=9\equiv 4}$ ${\displaystyle 3^{3}\equiv 2}$ ${\displaystyle 3^{4}\equiv 1}$

Некоторые циклические группы имеют бесконечное число элементов. В этих группах для каждого ненулевого элемента все степени различны; несмотря на название «циклическая группа», силы элементов не цикличны. Бесконечная циклическая группа изоморфна группе целых чисел при добавлении, введенной выше. ^[48] ​​Поскольку оба этих прототипа абелевы, то и все циклические группы являются абелевыми. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$

Исследование конечно порожденных абелевых групп вполне зрело, включая фундаментальную теорему о конечно порожденных абелевых группах ; и, отражая такое положение дел, многие понятия, связанные с группой, такие как центр и коммутатор , описывают степень, в которой данная группа не является абелевой. ^[49]

Группы симметрии

Группа треугольников (2,3,7), гиперболическая группа отражений, действует на этом разбиении гиперболической плоскости [ ^50]

Группы симметрии — это группы, состоящие из симметрий данных математических объектов, в основном геометрических объектов, таких как группа симметрии квадрата, приведенная в качестве вводного примера выше, хотя они также возникают в алгебре, например, симметрии между корнями полиномиальных уравнений, рассматриваемых в Теория Галуа (см. ниже). ^[51] Концептуально теорию групп можно рассматривать как исследование симметрии. ^[p] Симметрии в математике значительно упрощают изучение геометрических или аналитических объектов. Говорят, что группа действует на другой математический объект X , если каждый элемент группы может быть связан с некоторой операцией над X и композиция этих операций подчиняется групповому закону. Например, элемент группы треугольников (2,3,7) действует на треугольное замощение гиперболической плоскости , переставляя треугольники. ^[50] При групповом действии групповой шаблон соединяется со структурой объекта, на который воздействуют.

В химии точечные группы описывают молекулярную симметрию , а пространственные группы описывают кристаллическую симметрию в кристаллографии . Эти симметрии лежат в основе химического и физического поведения этих систем, а теория групп позволяет упростить квантовомеханический анализ этих свойств. ^[52] Например, теория групп используется, чтобы показать, что оптические переходы между определенными квантовыми уровнями не могут происходить просто из-за симметрии участвующих состояний. ^[53]

Теория групп помогает предсказать изменения физических свойств, которые происходят, когда материал претерпевает фазовый переход , например, из кубической кристаллической формы в тетраэдрическую. Примером могут служить сегнетоэлектрики , у которых переход из параэлектрического состояния в сегнетоэлектрическое состояние происходит при температуре Кюри и связан с переходом от высокосимметричного параэлектрического состояния к сегнетоэлектрическому состоянию с более низкой симметрией, сопровождаемому так называемой мягкой фононной модой . , колебательная мода решетки, которая при переходе переходит к нулевой частоте. ^[54]

Такое спонтанное нарушение симметрии нашло дальнейшее применение в физике элементарных частиц, где его появление связано с появлением голдстоуновских бозонов . ^[55]

Группы конечной симметрии, такие как группы Матье , используются в теории кодирования , которая, в свою очередь, применяется для исправления ошибок передаваемых данных, а также в проигрывателях компакт-дисков . ^[59] Другим применением является дифференциальная теория Галуа , которая характеризует функции, имеющие первообразные заданной формы, давая теоретико-групповые критерии того, когда решения некоторых дифференциальных уравнений ведут себя хорошо. ^[q] Геометрические свойства, которые остаются устойчивыми при действиях групп, исследуются в (геометрической) теории инвариантов . ^[60]

Общая линейная группа и теория представлений

Два вектора (левая иллюстрация), умноженные на матрицы (средняя и правая иллюстрации). Средний рисунок представляет поворот по часовой стрелке на 90°, а самый правый — растягивает координату в 2 раза. ${\displaystyle x}$

Группы матриц состоят из матриц вместе с умножением матриц . Общая линейная группа состоит из всех обратимых матриц с вещественными элементами. ^[61] Его подгруппы называются матричными группами или линейными группами . Упомянутый выше пример группы диэдра можно рассматривать как (очень маленькую) матричную группу. Другая важная группа матриц — специальная ортогональная группа . Он описывает все возможные вращения в измерениях. Матрицы вращения этой группы используются в компьютерной графике . ^[62] ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ ${\displaystyle n}$

Теория представлений является одновременно применением концепции группы и важна для более глубокого понимания групп. ^{[63] [64]} Он изучает группу по ее групповым действиям на других пространствах. Широкий класс представлений групп — это линейные представления, в которых группа действует в векторном пространстве, таком как трехмерное евклидово пространство . Представление группы в -мерном вещественном векторном пространстве — это просто групповой гомоморфизм группы в общую линейную группу. Таким образом, групповая операция, которая может быть задана абстрактно, преобразуется в умножение матриц, что делает ее доступной для явных вычислений. ^[р] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$

Групповое действие дает дополнительные средства для изучения объекта, на который воздействуют. ^[s] С другой стороны, он также дает информацию о группе. Представления групп являются организующим принципом в теории конечных групп, групп Ли, алгебраических групп и топологических групп , особенно (локально) компактных групп . ^{[63] [65]}

Группы Галуа

Группы Галуа были разработаны для решения полиномиальных уравнений путем учета их особенностей симметрии. ^{[66] [67]} Например, решения квадратного уравнения имеют вид ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$

$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$$

уравнений кубическойнестепени 5^[68]разрешимостькорни,^[69] ${\displaystyle \pm }$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle -}$

Современная теория Галуа обобщает вышеупомянутый тип групп Галуа, переходя к теории поля и рассматривая расширения полей , образуемые как поле расщепления многочлена. Эта теория устанавливает — посредством фундаментальной теоремы теории Галуа — точную связь между полями и группами, еще раз подчеркивая повсеместное распространение групп в математике. ^[70]

Конечные группы

Группа называется конечной , если она имеет конечное число элементов . Количество элементов называется порядком группы. ^[71] Важным классом являются симметрические группы , группы перестановок объектов. Например, симметричная группа из 3 букв — это группа всех возможных перестановок объектов. Три буквы ABC можно переупорядочить в ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA, образуя в общей сложности 6 элементов ( факториал из 3). Групповая операция представляет собой композицию этих переупорядочений, а элемент идентификации — это операция переупорядочения, которая оставляет порядок неизменным. Этот класс является фундаментальным, поскольку любая конечная группа может быть выражена как подгруппа симметрической группы для подходящего целого числа , согласно теореме Кэли . Параллельно группе симметрий квадрата, указанной выше, также можно интерпретировать как группу симметрий равностороннего треугольника . ${\displaystyle \mathrm {S} _{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{3}}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{3}}$

Порядок элемента в группе — это наименьшее положительное целое число такое, что , где представляет ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a^{n}=e}$ ${\displaystyle a^{n}}$

$${\displaystyle \underbrace {a\cdots a} _{n{\text{ factors}}},}$$

${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle a^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$

Более сложные методы подсчета, например, подсчет смежных классов, дают более точные утверждения о конечных группах: Теорема Лагранжа утверждает, что для конечной группы порядок любой конечной подгруппы делит порядок . Теоремы Силова дают частичное обратное. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

Группа диэдра симметрий квадрата — это конечная группа порядка 8. В этой группе порядок равен 4, как и порядок подгруппы , которую порождает этот элемент. Порядок элементов отражения и т. д. равен 2. Оба порядка делят 8, как и предсказывает теорема Лагранжа. Группы умножения по простому модулю имеют порядок . ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p-1}$

Конечные абелевы группы

Любая конечная абелева группа изоморфна произведению конечных циклических групп; это утверждение является частью фундаментальной теоремы о конечно порожденных абелевых группах .

Любая группа простого порядка изоморфна циклической группе (следствие теоремы Лагранжа ). Любая группа порядка абелева, изоморфна или . Но существуют неабелевы группы порядка ; Примером является группа диэдра приведенного выше порядка . ^[72] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{p}}$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{p^{2}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{p}\times \mathrm {Z} _{p}}$ ${\displaystyle p^{3}}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle 2^{3}}$

Простые группы

Когда в группе есть нормальная подгруппа, отличная от и , вопросы о иногда можно свести к вопросам об и . Нетривиальная группа называется простой , если она не имеет такой нормальной подгруппы. Конечные простые группы относятся к конечным группам так же, как простые числа относятся к положительным целым числам: они служат строительными блоками в смысле, уточненном теоремой Джордана-Гёльдера . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N}$

Классификация конечных простых групп

Системы компьютерной алгебры использовались для перечисления всех групп порядка до 2000 . ^[t] Но классификация всех конечных групп — это проблема, которая считается слишком сложной, чтобы ее можно было решить.

Классификация всех конечных простых групп стала крупным достижением современной теории групп. Существует несколько бесконечных семейств таких групп, а также 26 « спорадических групп », не принадлежащих ни одному из семейств. Самая крупная спорадическая группа называется группой монстров . Чудовищные самогонные гипотезы, доказанные Ричардом Борчердсом , связывают группу монстров с определенными модулярными функциями . ^[73]

Разрыв между классификацией простых групп и классификацией всех групп лежит в проблеме расширения . ^[74]

Группы с дополнительной структурой

Эквивалентное определение группы состоит из замены части аксиом группы «существует» операциями, результатом которых является элемент, который должен существовать. Итак, группа — это набор, оснащенный бинарной операцией (групповая операция), унарной операцией (которая обеспечивает обратную операцию) и нулевой операцией , которая не имеет операнда и приводит к единичному элементу. В остальном аксиомы группы точно такие же. Этот вариант определения избегает кванторов существования и используется при групповых вычислениях и для компьютерных доказательств . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\times G\rightarrow G}$ ${\displaystyle G\rightarrow G}$

Этот способ определения групп допускает такие обобщения, как понятие группового объекта в категории. Короче говоря, это объект с морфизмами , имитирующими аксиомы группы. ^[75]

Топологические группы

Единичная окружность на комплексной плоскости при комплексном умножении является группой Ли и, следовательно, топологической группой. Он топологический, поскольку комплексное умножение и деление непрерывны. Это многообразие и, следовательно, группа Ли, потому что каждая маленькая часть , такая как красная дуга на рисунке, выглядит как часть реальной линии (показана внизу).

Некоторые топологические пространства могут быть наделены групповым законом. Чтобы групповой закон и топология хорошо переплетались, групповые операции должны быть непрерывными функциями; неформально и не должны сильно различаться, если и различаются лишь незначительно. Такие группы называются топологическими группами и являются групповыми объектами в категории топологических пространств . ^[76] Наиболее простыми примерами являются группа действительных чисел при сложении и группа ненулевых действительных чисел при умножении. Подобные примеры можно составить из любого другого топологического поля , например поля комплексных чисел или поля p -адических чисел . Эти примеры локально компактны , поэтому имеют меры Хаара и могут быть изучены с помощью гармонического анализа . Другие локально компактные топологические группы включают группу точек алгебраической группы над локальным полем или кольцом аделей ; они являются основой теории чисел. ^[77] Группы Галуа бесконечных расширений алгебраических полей снабжены топологией Крулла , которая играет роль в бесконечной теории Галуа . ^[78] Обобщением, используемым в алгебраической геометрии, является этальная фундаментальная группа . ^[79] ${\displaystyle g\cdot h}$ ${\displaystyle g^{-1}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$

Группы лжи

Группа Ли — это группа, которая также имеет структуру дифференцируемого многообразия ; неформально это означает, что локально оно выглядит как евклидово пространство некоторой фиксированной размерности. ^[80] Опять же, определение требует, чтобы дополнительная структура, в данном случае структура многообразия, была совместима: умножение и обратные отображения должны быть гладкими .

Стандартным примером является введенная выше общая линейная группа: это открытое подмножество пространства всех -матриц , поскольку оно задается неравенством ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \det(A)\neq 0,}$$

^[81] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Группы Ли имеют фундаментальное значение в современной физике: теорема Нётер связывает непрерывные симметрии с сохраняющимися величинами . ^[82] Вращение , как и перемещение в пространстве и времени , являются основными симметриями законов механики . Например, их можно использовать для построения простых моделей — наложение, скажем, осевой симметрии на ситуацию обычно приводит к значительному упрощению уравнений, которые необходимо решить, чтобы обеспечить физическое описание. ^[u] Другим примером является группа преобразований Лоренца , которые связывают измерения времени и скорости двух наблюдателей, движущихся относительно друг друга. Их можно вывести чисто теоретико-групповым способом, выражая преобразования как вращательную симметрию пространства Минковского . Последнее служит — в отсутствие значительной гравитации — моделью пространства-времени в специальной теории относительности . ^[83] Полная группа симметрии пространства Минковского, т. е. включая трансляции, известна как группа Пуанкаре . Согласно вышеизложенному, оно играет ключевую роль в специальной теории относительности и, как следствие, в квантовых теориях поля . ^[84] Симметрии, меняющиеся в зависимости от местоположения, занимают центральное место в современном описании физических взаимодействий с помощью калибровочной теории . Важным примером калибровочной теории является Стандартная модель , которая описывает три из четырех известных фундаментальных сил и классифицирует все известные элементарные частицы . ^[85]

Обобщения

Более общие структуры можно определить, ослабив некоторые аксиомы, определяющие группу. ^{[31] [86] [87]} В таблице приведен список нескольких структур, обобщающих группы.

Например, если исключить требование, чтобы каждый элемент имел обратный, полученная алгебраическая структура называется моноидом . Натуральные числа (включая ноль) при сложении образуют моноид, как и ненулевые целые числа при умножении . Присоединение обратных элементов всех элементов моноида дает группу , и аналогичным образом присоединение обратных к любому (абелеву) моноиду M дает группу, известную как группа Гротендика M . ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} \smallsetminus \{0\},\cdot )}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} \smallsetminus \{0\},\cdot )}$ ${\displaystyle (\mathbb {Q} \smallsetminus \{0\},\cdot )}$

Группу можно рассматривать как небольшую категорию с одним объектом x , в которой каждый морфизм является изоморфизмом: для такой категории множество является группой; и наоборот, учитывая группу G , можно построить небольшую категорию с одним объектом x , в котором . В более общем смысле, группоид — это любая небольшая категория, в которой каждый морфизм является изоморфизмом. В группоиде набор всех морфизмов в категории обычно не является группой, поскольку композиция определена лишь частично: fg определяется только тогда, когда источник f соответствует цели g . Группоиды возникают в топологии (например, фундаментальный группоид ) и в теории стопок . ${\displaystyle \operatorname {Hom} (x,x)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (x,x)\simeq G}$

Наконец, можно обобщить любую из этих концепций, заменив бинарную операцию n -арной операцией (т. е. операцией, принимающей n аргументов для некоторого неотрицательного целого числа n ). При правильном обобщении аксиом группы это дает понятие n -арной группы . ^[88]

Смотрите также

• Математический портал

• Список тем теории групп

Примечания

1. Некоторые авторы включают дополнительную аксиому, называемую замыканием при операции " ", что означает, что это элемент foreach и in . Это условие включается требованием, чтобы " " была бинарной операцией над . См. Ланг 2002. ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle a\cdot b}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle G}$
2. В базе данных математических публикаций MathSciNet перечислено 1779 исследовательских работ по теории групп и ее обобщениям, написанных только в 2020 году. См. MathSciNet 2021.
3. Обычно избегают использования обозначений дробей, если они не являются абелевыми, из-за двусмысленности того, означает ли это или .) ${\displaystyle {\tfrac {b}{a}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a^{-1}\cdot b}$ ${\displaystyle b\cdot a^{-1}}$
4. См., например, Ланг 2002, Ланг 2005, Херштейн 1996 и Херштейн 1975.
5. Слово гомоморфизм происходит от греческого ὁμός — тот же и μορφή — структура. См. Шварцман 1994, с. 108.
6. Однако группа не определяется ее решеткой подгрупп. См. Сузуки 1951 года.
7. Пример см. в теореме Зейферта – Ван Кампена .
8. Примером являются групповые когомологии группы, которые равны сингулярным когомологиям ее классифицирующего пространства , см. Weibel 1994, §8.2.
9. Элементы, у которых есть мультипликативные инверсии, называются единицами , см. Lang 2002, p. 84, §II.1.
10. Переход от целых чисел к рациональным путем включения дробей обобщается полем дробей .
11. То же самое верно для любого поля F вместо . См. Ланг 2005, с. 86, §III.1. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
12. Например, конечная подгруппа мультипликативной группы поля обязательно циклическая. См. Ланг 2002, Теорема IV.1.9. Другими примерами этого принципа являются понятия кручения модуля и простых алгебр .
13. Указанное свойство является возможным определением простых чисел. См. Основной элемент .
14. Например, протокол Диффи-Хеллмана использует дискретный логарифм . См. Gollmann 2011, §15.3.2.
15. Аддитивным обозначением элементов циклической группы будет , где находится в . ${\displaystyle t\cdot a}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
16. Более строго, каждая группа является группой симметрии некоторого графа ; см. теорему Фрухта , Frucht 1939.
17. Точнее, рассматривается действие монодромии на векторное пространство решений дифференциальных уравнений. См. Куга 1993, стр. 105–113.
18. Это имело решающее значение, например, для классификации конечных простых групп. См. Ашбахер, 2004.
19. См., например, лемму Шура о влиянии группового действия на простые модули . Более сложный пример — действие абсолютной группы Галуа на этальных когомологиях .
20. С точностью до изоморфизма до 2000 года существует около 49 миллиардов групп порядка. См. Besche, Eick & O'Brien 2001.
21. См. пример метрики Шварцшильда , где симметрия значительно снижает сложность физических систем.

Цитаты

1. Херштейн 1975, с. 26, §2.
2. Холл 1967, с. 1, §1.1: «Идея группы пронизывает всю математику, как чистую , так и прикладную ».
3. Ланг 2005, с. 360, Приложение. 2.
4. Кук 2009, с. 24.
5. Артин 2018, с. 40, §2.2.
6. Ланг 2002, с. 3, I.§1 и с. 7, I.§2.
7. Ланг 2005, с. 16, II.§1.
8. Херштейн 1975, с. 54, §2.6.
9. Вуссинг 2007.
10. Кляйнер 1986.
11. Смит 1906.
12. Галуа 1908.
13. Кляйнер 1986, с. 202.
14. Кэли 1889.
15. Вуссинг 2007, §III.2.
16. Ложь 1973.
17. Кляйнер 1986, с. 204.
18. Вуссинг 2007, §I.3.4.
19. Иордания 1870.
20. фон Дейк 1882.
21. Кертис 2003.
22. Макки 1976.
23. Борель 2001.
24. Соломон 2018.
25. Ледерманн 1953, стр. 4–5, §1.2.
26. Ледерманн 1973, с. 3, §I.1.
27. Ланг 2005, с. 17, §II.1.
28. Артин 2018, с. 40.
29. Lang 2002, стр. 7, §I.2.
30. Ланг 2005, с. 34, §II.3.
31. Мак Лейн 1998.
32. Ланг 2005, с. 19, §II.1.
33. Ледерманн 1973, с. 39, §II.12.
34. Ланг 2005, с. 41, §II.4.
35. Ланг 2002, с. 12, §I.2.
36. Ланг 2005, с. 45, §II.4.
37. Ланг 2002, с. 9, §I.2.
38. Магнус, Каррасс и Солитар 2004, стр. 56–67, §1.6.
39. Хэтчер 2002, с. 30, глава I.
40. Коорнарт, Дельзант и Пападопулос 1990.
41. Например, группы классов и группы Пикара ; см. Neukirch 1999, в частности §§I.12 и I.13.
42. Сересс 1997.
43. Ланг 2005, Глава VII.
44. Розен 2000, с. 54, (теорема 2.1).
45. Ланг 2005, с. 292, §VIII.1.
46. Ланг 2005, с. 22, §II.1.
47. Ланг 2005, с. 26, §II.2.
48. Ланг 2005, с. 22, §II.1 (пример 11).
49. Ланг 2002, стр. 26, 29, §I.5.
50. Эллис 2019.
51. Вейль 1952.
52. Конвей и др. 2001. См. также Бишоп 1993.
53. Вейль 1950, стр. 197–202.
54. Голубь 2003.
55. Зи 2010, с. 228.
56. Ченси и О'Брайен, 2021, стр. 15, 16.
57. Саймонс 2003, §4.2.1.
58. Элиэль, Вилен и Мандер 1994, стр. 82.
59. Валлийский 1989.
60. Мамфорд, Фогарти и Кирван 1994.
61. Лей 2003.
62. Койперс 1999.
63. Фултон и Харрис 1991.
64. Серр 1977.
65. Рудин 1990.
66. Робинсон 1996, с. viii.
67. Артин 1998.
68. Lang 2002, Глава VI (конкретные примеры см., в частности, на стр. 273).
69. Ланг 2002, с. 292, (теорема VI.7.2).
70. Стюарт 2015, §12.1.
71. Курцвейл и Штельмахер 2004, стр. 3.
72. Артин 2018, Предложение 6.4.3. См. также Ланг 2002, с. 77 для аналогичных результатов.
73. Ронан 2007.
74. Ашбахер 2004, с. 737.
75. Аводи 2010, §4.1.
76. Хусейн 1966.
77. Нойкирх 1999.
78. Шац 1972.
79. Милн 1980.
80. Уорнер 1983.
81. Борель 1991.
82. Гольдштейн 1980.
83. Вайнберг 1972.
84. Набер 2003.
85. Зи 2010.
86. Денеке и Висмат 2002.
87. Романовска и Смит 2002.
88. Дудек 2001.

Рекомендации

Общие ссылки

• Артин, Майкл (2018), Алгебра , Прентис Холл , ISBN 978-0-13-468960-9Глава 2 содержит изложение понятий, рассматриваемых в этой статье, на уровне бакалавриата.
• Кук, Мариана Р. (2009), Математики: внешний взгляд на внутренний мир , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-13951-7
• Холл, Г.Г. (1967), Прикладная теория групп , American Elsevier Publishing Co., Inc., Нью-Йорк, MR  0219593, элементарное введение.
• Херштейн, Израиль Натан (1996), Абстрактная алгебра (3-е изд.), Аппер-Седл-Ривер, Нью-Джерси: Prentice Hall Inc., ISBN 978-0-13-374562-7, МР  1375019.
• Херштейн, Израиль Натан (1975), Темы алгебры (2-е изд.), Лексингтон, Массачусетс: Xerox College Publishing, MR  0356988.
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-95385-4, МР  1878556
• Ланг, Серж (2005), Бакалавр алгебры (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-22025-3.
• Ледерманн, Уолтер (1953), Введение в теорию конечных групп , Оливер и Бойд, Эдинбург и Лондон, MR  0054593.
• Ледерманн, Уолтер (1973), Введение в теорию групп , Нью-Йорк: Barnes and Noble, OCLC  795613..
• Робинсон, Дерек Джон Скотт (1996), Курс теории групп , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6.

Специальные ссылки

• Артин, Эмиль (1998), Теория Галуа , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-62342-9.
• Ашбахер, Майкл (2004), «Состояние классификации конечных простых групп» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 51 (7): 736–740..
• Аводи, Стив (2010), Теория категорий , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-958736-0
• Белер, Флориан; Викледер, Матиас С.; Кристоферс, Йенс (2014), «Бифенил и бимезитилтетрасульфоновая кислота – новые линкерные молекулы для координационных полимеров», Arkivoc , 2015 (2): 64–75, doi : 10.3998/ark.5550190.p008.911 , hdl : 2027/spo .5550190.p008.911
• Берсукер, Исаак (2006), Эффект Яна – Теллера, Cambridge University Press, ISBN 0-521-82212-2.
• Беше, Ганс Ульрих; Эйк, Беттина; О'Брайен, Э.А. (2001), «Группы порядка не более 2000», Электронные объявления об исследованиях Американского математического общества , 7 : 1–4, doi : 10.1090/S1079-6762-01-00087-7 , MR  1826989.
• Бишоп, Дэвид Х.Л. (1993), Теория групп и химия , Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 978-0-486-67355-4.
• Борель, Арманд (1991), Линейные алгебраические группы , Тексты для аспирантов по математике, том. 126 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97370-8, МР  1102012.
• Картер, Роджер В. (1989), Простые группы типа лжи , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50683-6.
• Ченси, CC; О'Брайен, MCM (2021), Эффект Яна-Теллера в C60 и других икосаэдрических комплексах , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-22534-0
• Конвей, Джон Хортон ; Дельгадо Фридрихс, Олаф; Хьюсон, Дэниел Х.; Терстон, Уильям П. (2001), «О трехмерных пространственных группах», Beiträge zur Algebra und Geometrie , 42 (2): 475–507, arXiv : math.MG/9911185 , MR  1865535.
• Коорнарт, М.; Дельзант, Т.; Пападопулос, А. (1990), Géométrie et théorie des groupes [Геометрия и теория групп] , Конспекты лекций по математике (на французском языке), vol. 1441, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-52977-4, МР  1075994.
• Денеке, Клаус; Висмат, Шелли Л. (2002), Универсальная алгебра и приложения в теоретической информатике , Лондон: CRC Press , ISBN 978-1-58488-254-1.
• Дав, Мартин Т. (2003), Структура и динамика: атомарный взгляд на материалы , Oxford University Press, стр. 265, ISBN 0-19-850678-3.
• Дудек, Веслав А. (2001), «О некоторых старых и новых проблемах в n-арных группах» (PDF) , Квазигруппы и родственные системы , 8 : 15–36, MR  1876783.
• Элиэль, Эрнест; Вилен, Сэмюэл; Мандер, Льюис (1994), Стереохимия органических соединений , Wiley, ISBN 978-0-471-01670-0
• Эллис, Грэм (2019), «6.4 группы треугольников», Приглашение к вычислительной гомотопии , Oxford University Press, стр. 441–444, doi : 10.1093/oso/9780198832973.001.0001, ISBN 978-0-19-883298-0, МР  3971587.
• Фрухт, Р. (1939), «Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe [Построение графов с заданной группой]», Compositio Mathematica (на немецком языке), 6 : 239–50, заархивировано из оригинала 1 декабря 2008 г..
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991), Теория представлений: первый курс , Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике , том. 129, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-97495-8, МР  1153249
• Гольдштейн, Герберт (1980), Классическая механика (2-е изд.), Ридинг, Массачусетс: Addison-Wesley Publishing, стр. 588–596, ISBN 0-201-02918-9.
• Голлманн, Дитер (2011), Компьютерная безопасность (2-е изд.), Западный Суссекс, Англия: John Wiley & Sons, Ltd., ISBN 978-0-470-74115-3
• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология, издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-79540-1.
• Хусейн, Такдир (1966), Введение в топологические группы , Филадельфия: WB Saunders Company, ISBN 978-0-89874-193-3
• Ян, Х .; Теллер, Э. (1937), «Стабильность многоатомных молекул в вырожденных электронных состояниях. I. Орбитальное вырождение», Proceedings of the Royal Society A , 161 (905): 220–235, Бибкод : 1937RSPSA.161..220J, doi : 10.1098/rspa.1937.0142.
• Койперс, Джек Б. (1999), Кватернионы и последовательности вращения: учебник по применению к орбитам, аэрокосмической отрасли и виртуальной реальности , Princeton University Press , Bibcode : 1999qrsp.book.....K, ISBN 978-0-691-05872-6, МР  1670862.
• Куга, Мичио (1993), Мечта Галуа: теория групп и дифференциальные уравнения , Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-3688-3, МР  1199112.
• Курцвейл, Ганс; Штелмахер, Бернд (2004), Теория конечных групп , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-40510-0, МР  2014408.
• Лэй, Дэвид (2003), Линейная алгебра и ее приложения , Аддисон-Уэсли , ISBN 978-0-201-70970-4.
• Мак Лейн, Сондерс (1998), Категории для работающего математика (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98403-2.
• Магнус, Вильгельм ; Каррасс, Авраам; Солитар, Дональд (2004) [1966], Комбинаторная теория групп: представления групп с точки зрения генераторов и отношений, Курьер, ISBN 978-0-486-43830-6
• MathSciNet (2021), Список рецензируемых на MathSciNet статей по «Теории групп и ее обобщениям» (код MSC 20), опубликованных в 2020 году , получено 14 мая 2021 года.
• Михлер, Герхард (2006), Теория конечных простых групп , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-86625-5.
• Милн, Джеймс С. (1980), Этальные когомологии, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08238-7
• Мамфорд, Дэвид ; Фогарти, Дж.; Кирван, Ф. (1994), Геометрическая теория инвариантов , том. 34 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56963-3, МР  1304906.
• Набер, Грегори Л. (2003), Геометрия пространства-времени Минковского , Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 978-0-486-43235-9, МР  2044239.
• Нойкирх, Юрген (1999), Алгебраическая теория чисел , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften , vol. 322, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8, МР  1697859, Збл  0956.11021
• Романовска, AB ; Смит, JDH (2002), Modes , World Scientific , ISBN 978-981-02-4942-7.
• Ронан, Марк (2007), Симметрия и чудовище: история одного из величайших поисков математики , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-280723-6.
• Розен, Кеннет Х. (2000), Элементарная теория чисел и ее приложения (4-е изд.), Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0-201-87073-2, МР  1739433.
• Рудин, Уолтер (1990), Анализ Фурье групп , Wiley Classics, Wiley-Blackwell, ISBN 0-471-52364-Х.
• Сересс, Акос (1997), «Введение в теорию вычислительных групп» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 44 (6): 671–679, MR  1452069.
• Серр, Жан-Пьер (1977), Линейные представления конечных групп , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90190-9, МР  0450380.
• Шварцман, Стивен (1994), Слова математики: этимологический словарь математических терминов, используемых на английском языке , Математическая ассоциация Америки, ISBN 978-0-88385-511-9.
• Шац, Стивен С. (1972), Проконечные группы, арифметика и геометрия , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08017-8, МР  0347778
• Саймонс, Джек (2003), Введение в теоретическую химию , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-53047-7
• Соломон, Рональд (2018), «Классификация конечных простых групп: отчет о ходе работы», Уведомления AMS , 65 (6): 1, doi : 10.1090/noti1689
• Стюарт, Ян (2015), Теория Галуа (4-е изд.), CRC Press, ISBN 978-1-4822-4582-0
• Судзуки, Мичио (1951), «О решетке подгрупп конечных групп», Труды Американского математического общества , 70 (2): 345–371, doi : 10.2307/1990375 , JSTOR  1990375.
• Уорнер, Франк (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90894-6.
• Вейбель, Чарльз А. (1994), Введение в гомологическую алгебру , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 38, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-55987-4, МР  1269324, OCLC  36131259
• Вайнберг, Стивен (1972), Гравитация и космология, Нью-Йорк: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-92567-5.
• Уэлш, Доминик (1989), Коды и криптография , Оксфорд: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853287-3.
• Вейль, Герман (1952), Симметрия , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-02374-8.
• Зи, А. (2010), Квантовая теория поля в двух словах (второе изд.), Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-14034-6, OCLC  768477138

Исторические справки

• Борель, Арманд (2001), Очерки истории групп Ли и алгебраических групп , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0288-5
• Кэли, Артур (1889), Сборник математических статей Артура Кэли, том. II (1851–1860), Издательство Кембриджского университета.
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Развитие теории групп», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Кертис, Чарльз В. (2003), Пионеры теории представлений: Фробениус, Бернсайд, Шур и Брауэр , История математики, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-2677-5.
• фон Дейк, Вальтер (1882), «Gruppentheoretische Studien (Теоретико-групповые исследования)», Mathematische Annalen (на немецком языке), 20 (1): 1–44, doi : 10.1007/BF01443322, S2CID  179178038, заархивировано из оригинала в 2014 г. -02-22.
• Галуа, Эварист (1908), Таннери, Жюль (редактор), Manuscrits de Évariste Galois [Рукописи Эвариста Галуа] (на французском языке), Париж: Готье-Виллар(Работа Галуа была впервые опубликована Жозефом Лиувиллем в 1843 году).
• Джордан, Камилла (1870), Traité des substitutions et des équations algébriques [Исследование замен и алгебраических уравнений] (на французском языке), Париж: Готье-Виллар.
• Кляйнер, Израиль (1986), «Эволюция теории групп: краткий обзор», Mathematics Magazine , 59 (4): 195–215, doi : 10.2307/2690312, JSTOR  2690312, MR  0863090.
• Ложь, Софус (1973), Gesammelte Abhandlungen. Группа 1 [Сборник статей. Том 1] (на немецком языке), Нью-Йорк: Johnson Reprint Corp., MR  0392459..
• Макки, Джордж Уайтлоу (1976), Теория представлений унитарных групп , University of Chicago Press , MR  0396826
• Смит, Дэвид Юджин (1906), История современной математики, Математические монографии, № 1.
• Вейль, Герман (1950) [1931], Теория групп и квантовая механика , перевод Робертсона, HP, Дувр, ISBN 978-0-486-60269-1.
• Вуссинг, Ханс (2007), Генезис концепции абстрактной группы: вклад в историю происхождения абстрактной теории групп , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-45868-7.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Группа», MathWorld