В математике поле K называется (неархимедовым) локальным полем , если оно полно относительно метрики , индуцированной дискретным нормированием v, и если его поле вычетов k конечно. [1] Эквивалентно, локальное поле — это локально компактное топологическое поле относительно недискретной топологии . [2] Иногда действительные числа R и комплексные числа C (с их стандартной топологией) также определяются как локальные поля; это соглашение, которое мы примем ниже. Учитывая локальное поле, определенная на нем оценка может быть любого из двух типов, каждый из которых соответствует одному из двух основных типов локальных полей: тем, в которых оценка является архимедовой, и тем, в которых она не является архимедовой. В первом случае локальное поле называют архимедовым локальным полем , во втором случае — неархимедовым локальным полем . [3] Локальные поля естественным образом возникают в теории чисел как пополнения глобальных полей . [4]
Хотя архимедовы локальные поля были довольно хорошо известны в математике уже по крайней мере 250 лет, первые примеры неархимедовых локальных полей — поля p -адических чисел для положительного простого целого числа p — были введены Куртом Хензелем в конце 19 век.
Каждое локальное поле изоморфно (как топологическое поле) одному из следующих: [3]
В частности, что важно в теории чисел, классы локальных полей проявляются как пополнения полей алгебраических чисел относительно их дискретного нормирования, соответствующего одному из их максимальных идеалов . В исследовательских работах по современной теории чисел часто рассматривается более общее понятие, требующее только того, чтобы поле вычетов было совершенным и имело положительные характеристики, а не обязательно конечное. [5] В этой статье используется первое определение.
Учитывая такое абсолютное значение в поле K , на K можно определить следующую топологию : для положительного действительного числа m определите подмножество B m поля K следующим образом:
Тогда b+B m составляют базис окрестности b в K .
И наоборот, топологическое поле с недискретной локально компактной топологией имеет абсолютное значение, определяющее его топологию. Его можно построить, используя меру Хаара аддитивной группы поля.
Для неархимедова локального поля F (с абсолютным значением, обозначаемым |·|) важны следующие объекты:
Каждый ненулевой элемент a из F можно записать как a = ϖ n u, где u — единица, а n — уникальное целое число. Нормализованная оценка F — это сюръективная функция v : F → Z ∪ {∞} , определяемая путем отправки ненулевого a в уникальное целое число n , такое что a = ϖ n u с u единицей, и путем перевода 0 в ∞. Если q — мощность поля вычетов, абсолютное значение на F , индуцированное его структурой как локального поля, определяется формулой: [6]
Эквивалентное и очень важное определение неархимедова локального поля состоит в том, что это поле, полное относительно дискретного нормирования и поле вычетов которого конечно.
n- я высшая единичная группа неархимедова локального поля F равна
при n ≥ 1. Группа U (1) называется группой главных единиц , а любой ее элемент называется главной единицей . Полная группа единиц обозначается U (0) .
Высшие группы единиц образуют убывающую фильтрацию группы единиц.
чьи отношения определяются выражением
для n ≥ 1. [7] (Здесь « » означает неканонический изоморфизм.)
Мультипликативная группа ненулевых элементов неархимедова локального поля F изоморфна
где q — порядок поля вычетов, а µ q −1 — группа корней ( q −1)-й степени из единицы (в F ). Ее структура как абелевой группы зависит от ее характеристики :
Эта теория включает изучение типов локальных полей, расширений локальных полей с использованием леммы Гензеля , расширений Галуа локальных полей, групп ветвления групп Галуа локальных полей, поведения отображения нормы на локальных полях, локального гомоморфизма взаимности и теорема существования в локальной теории полей классов , локальное соответствие Ленглендса , теория Ходжа-Тейта (также называемая p -адической теорией Ходжа ), явные формулы для символа Гильберта в локальной теории полей классов, см., например, [9]
Локальное поле иногда называют одномерным локальным полем .
Неархимедово локальное поле можно рассматривать как поле частных пополнения локального кольца одномерной арифметической схемы ранга 1 в ее неособой точке.
Для неотрицательного целого числа n n -мерное локальное поле представляет собой полное поле дискретных оценок, поле вычетов которого является ( n - 1)-мерным локальным полем. [5] В зависимости от определения локального поля нульмерное локальное поле является либо конечным полем (с определением, используемым в этой статье), либо совершенным полем положительной характеристики.
С геометрической точки зрения n -мерные локальные поля с последним конечным полем вычетов естественно сопоставляются с полным флагом подсхем n -мерной арифметической схемы.