В теории групп группа симметрии геометрического объекта — это группа всех преобразований , при которых объект инвариантен , наделенная групповой операцией композиции . Такое преобразование — это обратимое отображение окружающего пространства , которое переводит объект в себя и сохраняет всю соответствующую структуру объекта. Частое обозначение для группы симметрии объекта X — G = Sym( X ).
Для объекта в метрическом пространстве его симметрии образуют подгруппу группы изометрий окружающего пространства. В этой статье в основном рассматриваются группы симметрии в евклидовой геометрии , но эта концепция может быть также изучена для более общих типов геометрической структуры.
Мы считаем, что «объекты», обладающие симметрией, являются геометрическими фигурами, изображениями и узорами, такими как узор обоев . Для симметрии физических объектов можно также взять их физический состав как часть узора. (Узор может быть формально определен как скалярное поле , функция положения со значениями в наборе цветов или веществ; как векторное поле ; или как более общая функция на объекте.) Группа изометрий пространства индуцирует групповое действие на объектах в нем, а группа симметрии Sym( X ) состоит из тех изометрий, которые отображают X в себя ( а также отображают любой дальнейший узор в себя). Мы говорим, что X инвариантен относительно такого отображения, и отображение является симметрией X .
Вышеуказанное иногда называют полной группой симметрии X , чтобы подчеркнуть, что она включает в себя изометрии, меняющие ориентацию (отражения, скользящие отражения и несобственные вращения ), пока эти изометрии отображают этот конкретный X в себя. Подгруппа симметрий, сохраняющих ориентацию (трансляции, вращения и их композиции), называется его собственной группой симметрии . Объект является хиральным , когда у него нет симметрий, меняющих ориентацию , так что его собственная группа симметрии равна его полной группе симметрии.
Любая группа симметрии, элементы которой имеют общую неподвижную точку , что верно, если группа конечна или фигура ограничена, может быть представлена как подгруппа ортогональной группы O( n ), если выбрать начало координат в качестве неподвижной точки. Тогда собственная группа симметрии является подгруппой специальной ортогональной группы SO( n ) и называется группой вращения фигуры.
В дискретной группе симметрии точки, симметричные данной точке, не накапливаются к предельной точке . То есть каждая орбита группы (образы данной точки под всеми элементами группы) образует дискретное множество . Все конечные группы симметрии дискретны.
Дискретные группы симметрии бывают трех типов: (1) конечные точечные группы , которые включают только вращения, отражения, инверсии и ротоинверсии – т. е. конечные подгруппы O( n ); (2) бесконечные решеточные группы , которые включают только трансляции; и (3) бесконечные пространственные группы , содержащие элементы обоих предыдущих типов, а также, возможно, дополнительные преобразования, такие как винтовые смещения и скользящие отражения. Существуют также непрерывные группы симметрии ( группы Ли ), которые содержат вращения на произвольно малые углы или трансляции на произвольно малые расстояния. Примером является O(3) , группа симметрии сферы. Группы симметрии евклидовых объектов могут быть полностью классифицированы как подгруппы евклидовой группы E( n ) (группы изометрий R n ).
Две геометрические фигуры имеют одинаковый тип симметрии , когда их группы симметрии являются сопряженными подгруппами евклидовой группы: то есть, когда подгруппы H 1 , H 2 связаны соотношением H 1 = g −1 H 2 g для некоторого g из E( n ). Например:
В следующих разделах мы рассмотрим только группы изометрий, орбиты которых топологически замкнуты , включая все дискретные и непрерывные группы изометрий. Однако это исключает, например, одномерную группу переносов на рациональное число ; такую незамкнутую фигуру невозможно нарисовать с разумной точностью из-за ее произвольно мелкой детализации.
Группы изометрий в одном измерении:
С точностью до сопряженности дискретные точечные группы в двумерном пространстве представляют собой следующие классы:
C 1 — тривиальная группа , содержащая только операцию тождества, которая имеет место, когда фигура асимметрична, например, буква «F». C 2 — группа симметрии буквы «Z», C 3 — трискелиона , C 4 — свастики , а C 5 , C 6 и т. д. — группы симметрии подобных свастикоподобных фигур с пятью, шестью и т. д. концами вместо четырех.
D 1 — это группа из 2 элементов, содержащая операцию тождества и одно отражение, которое происходит, когда фигура имеет только одну ось двусторонней симметрии , например, буква «А».
D 2 , изоморфная четверной группе Клейна , является группой симметрии неравностороннего прямоугольника. Эта фигура имеет четыре операции симметрии: операцию тождества, одну двукратную ось вращения и две неэквивалентные плоскости зеркала.
D 3 , D 4 и т.д. — группы симметрии правильных многоугольников .
В каждом из этих типов симметрии имеется две степени свободы для центра вращения, а в случае диэдральных групп — еще одна для положений зеркал.
Оставшиеся группы изометрий в двух измерениях с фиксированной точкой:
Неограниченные фигуры могут иметь группы изометрии, включая переносы; это:
С точностью до сопряженности множество трехмерных точечных групп состоит из 7 бесконечных серий и 7 других индивидуальных групп. В кристаллографии рассматриваются только те точечные группы, которые сохраняют некоторую кристаллическую решетку (поэтому их вращения могут иметь только порядок 1, 2, 3, 4 или 6). Это кристаллографическое ограничение бесконечных семейств общих точечных групп приводит к 32 кристаллографическим точечным группам (27 индивидуальных групп из 7 серий и 5 из 7 других индивидов).
К непрерывным группам симметрии с неподвижной точкой относятся:
Для объектов со скалярными моделями поля цилиндрическая симметрия подразумевает также вертикальную симметрию отражения. Однако это неверно для моделей векторного поля : например, в цилиндрических координатах относительно некоторой оси векторное поле имеет цилиндрическую симметрию относительно оси всякий раз, когда и имеют эту симметрию (независимость от ); и оно имеет отражательную симметрию только когда .
Для сферической симметрии такого различия нет: любой узорчатый объект имеет плоскости симметрии отражения.
Непрерывные группы симметрии без неподвижной точки включают группы с винтовой осью , такие как бесконечная спираль . См. также подгруппы группы Евклида .
В более широком контексте группа симметрии может быть любым видом группы преобразований или группой автоморфизмов . Каждый тип математической структуры имеет обратимые отображения , которые сохраняют структуру. И наоборот, указание группы симметрии может определить структуру или, по крайней мере, прояснить значение геометрической конгруэнтности или инвариантности; это один из способов взглянуть на программу Эрлангена .
Например, объекты в гиперболической неевклидовой геометрии имеют фуксовы группы симметрии , которые являются дискретными подгруппами группы изометрий гиперболической плоскости, сохраняя гиперболическое, а не евклидово расстояние. (Некоторые из них изображены на рисунках Эшера .) Аналогично, группы автоморфизмов конечных геометрий сохраняют семейства точечных множеств (дискретные подпространства), а не евклидовы подпространства, расстояния или скалярные произведения. Так же, как и для евклидовых фигур, объекты в любом геометрическом пространстве имеют группы симметрии, которые являются подгруппами симметрий окружающего пространства.
Другим примером группы симметрии является группа комбинаторного графа : симметрия графа — это перестановка вершин, которая переводит ребра в ребра. Любая конечно представленная группа — это группа симметрии ее графа Кэли ; свободная группа — это группа симметрии бесконечного древовидного графа .
Теорема Кэли утверждает, что любая абстрактная группа является подгруппой перестановок некоторого множества X , и поэтому может рассматриваться как группа симметрии X с некоторой дополнительной структурой. Кроме того, многие абстрактные особенности группы (определенные исключительно в терминах групповой операции) могут быть интерпретированы в терминах симметрии.
Например, пусть G = Sym( X ) — конечная группа симметрии фигуры X в евклидовом пространстве , и пусть H ⊂ G — подгруппа. Тогда H можно интерпретировать как группу симметрии X + , «украшенную» версию X . Такое украшение можно построить следующим образом. Добавьте некоторые шаблоны, такие как стрелки или цвета, к X , чтобы нарушить всю симметрию, получив фигуру X # с Sym( X # ) = {1}, тривиальной подгруппой; то есть gX # ≠ X # для всех нетривиальных g ∈ G . Теперь мы получаем:
Нормальные подгруппы также могут быть охарактеризованы в этой структуре. Группа симметрии трансляции gX + является сопряженной подгруппой gHg −1 . Таким образом, H является нормальной, когда:
то есть всякий раз, когда декор X + может быть нарисован в любой ориентации относительно любой стороны или особенности X и при этом будет получена та же самая группа симметрии gHg −1 = H.
В качестве примера рассмотрим диэдральную группу G = D 3 = Sym( X ), где X — равносторонний треугольник. Мы можем украсить его стрелкой на одном ребре, получив асимметричную фигуру X # . Положим τ ∈ G отражением стрелочного ребра, составная фигура X + = X # ∪ τ X # имеет двунаправленную стрелку на этом ребре, а ее группа симметрии — H = {1, τ}. Эта подгруппа не является нормальной, поскольку gX + может иметь двунаправленную стрелку на другом ребре, что дает другую группу симметрии отражения.
Однако, если H = {1, ρ, ρ 2 } ⊂ D 3 будет циклической подгруппой, порожденной поворотом, то декорированная фигура X + состоит из 3-цикла стрелок с постоянной ориентацией. Тогда H является нормальной, поскольку рисование такого цикла с любой ориентацией дает одну и ту же группу симметрии H .
