Группа обоев

Классификация двумерного повторяющегося узора

Пример египетского дизайна с обоями группы p4m

Обои — это математический объект, покрывающий всю евклидову плоскость, бесконечно повторяющий мотив, таким образом, что определенные изометрии сохраняют рисунок неизменным . Каждому фону соответствует группа конгруэнтных преобразований, групповой операцией является композиция функций . Таким образом, группа обоев (или группа плоской симметрии , или плоская кристаллографическая группа ) представляет собой математическую классификацию двумерного повторяющегося узора, основанную на симметрии узора. Такие узоры часто встречаются в архитектуре и декоративном искусстве , особенно в текстиле , мозаике , плитке и физических обоях .

Что на этой странице называется шаблоном

Такие  плитки Пифагора   можно рассматривать как обои, поскольку они периодические.

В качестве обоев можно рассматривать любую периодическую  плитку . Говоря более конкретно, мы можем считать обоями плитку, состоящую из одинаковых плиток от края до края, обязательно периодических, и задумать из нее обои, украсив таким же образом каждый элемент плитки и со временем частично или полностью стереть границы между этими плитками. . И наоборот, из каждых обоев мы можем построить такую ​​плитку из одинаковых плиток от края до края, имеющих одинаковый орнамент, причем одинаковые очертания этих плиток не обязательно будут видны на исходных обоях. Такие повторяющиеся границы очерчивают  повторяющуюся  поверхность , добавленную здесь пунктирными линиями.

Таких псевдотайлингов, связанных с данными обоями, существует бесконечное количество. Например, на изображении 1 показаны две модели повторяющихся квадратов в двух разных положениях, у которых есть Другой  повторяющийся квадрат. Мы могли бы бесконечно представить себе такие повторяющиеся квадраты все больше и больше. Для этой плитки Пифагора возможны бесконечные формы повторяющихся зон  в бесконечных позициях на этих обоях. Например, красный цвет в правом нижнем углу изображения 1 позволяет нам перемещать повторяющийся параллелограмм в то или иное положение. Общее на первых двух изображениях: повторяющийся квадрат, концентрический с каждой маленькой квадратной плиткой, их общий центр представляет собой  точечную симметрию обоев. ${\displaystyle {\text{equal areas of }}\,a.}$ ${\displaystyle {\text{area of 5 times}}\,~a.~}$

Между одинаковыми плитками от края до края край не обязательно является  сегментом прямой линии. В верхнем левом углу изображения 3 точка  C  представляет собой вершину повторяющегося псевдоромба с толстыми полосами по всей его поверхности, называемого псевдоромбом из-за концентрического повторяющегося ромба, построенного из него путем удаления части поверхности. куда-нибудь, чтобы добавить его в другое место и сохранить  область без изменений. С помощью того же процесса, что и на изображении 4, повторяющийся правильный шестиугольник, заполненный вертикальными полосами, строится из ромбической повторяющейся зоны . И наоборот, из элементарных геометрических плиток, расположенных от края до края, такой художник, как  М. К. Эшер, создавал привлекательные поверхности, многократно повторяющиеся. На изображении 2  минимальная площадь повторяющейся поверхности без учета цветов, каждая повторяющаяся зона пунктирными линиями состоит из пяти частей в определенном расположении, должна быть либо квадратом, либо шестиугольником  , как в доказательстве теоремы Пифагора . ${\displaystyle {\text{of same area}}\,~a,~}$ ${\displaystyle {\text{of area }}\,~a.~}$ ${\displaystyle a~{\text{ represents}}}$

В данной статье  узор представляет собой повторяющийся параллелограмм минимальной площади в определенном положении на обоях. На изображении 1 показаны два узора в форме параллелограмма (квадрат — это особый параллелограмм). На изображении 3 показаны ромбические узоры — ромб — это особый параллелограмм.

На этой странице все повторяющиеся шаблоны (минимальной площади) построены из двух переводов , которые  генерируют группу всех переводов, относительно которых обои  инвариантны . С круговым символом ⵔ  композиции функций пара любит или  генерирует  группу всех переводов, которые  преобразуют мозаику Пифагора в себя. ${\displaystyle \{T,U\}}$ ${\displaystyle \{\,U,\;T\circ U^{\,-1}\}}$

Считается тем же узором, что и его изображение
в изометрии с сохранением обоев.

Возможные группы, связанные с шаблоном

Обои остаются в целом неизменными при определенных изометриях , начиная с определенных переводов, которые придают обоям повторяющийся характер. Одна из причин, по которой слово остается неизменным при некоторых переводах, заключается в том, что оно охватывает весь план. Ни один математический объект в нашем сознании не приклеен к неподвижной стене! Напротив, наблюдатель или его глаз неподвижен перед трансформацией , которая скользит, вращает или переворачивает обои, в конечном итоге может их исказить, но это будет за пределами нашей темы.

Если изометрия оставляет неизменными данные обои, то обратная изометрия также сохраняет их неизменными, как сдвиг на изображении 1, 3 или 4 или поворот на ± 120 ° вокруг точки, такой как S на изображении 3 или 4. Если у них есть и то, и другое. свойство оставлять обои без изменений, две изометрии, составленные в том или ином порядке, обладают тем же свойством оставлять обои без изменений. Чтобы быть исчерпывающим в отношении понятий группы и подгрупп в функциональной композиции, представленной символом в форме круга ⵔ, вот традиционная истина в математике: все остается самим собой при тождественном преобразовании . Эту тождественную функцию можно назвать переводом нулевого вектора или поворотом на 360°. ${\displaystyle {\mathit {T}}{\text{ or }}{\mathit {T}}^{\,-1}~}$

Скольжение может быть представлено одной или несколькими стрелками, если они параллельны, одинаковой длины и одинакового направления, точно так же обои могут быть представлены либо несколькими узорами, либо только одним узором , рассматриваемым как воображаемая псевдоплитка, повторяющаяся от края до края. ‑edge с бесконечным количеством реплик. На изображении 3 показаны два шаблона с двумя разными содержимыми, а тот, который отмечен темными пунктирными линиями, или одно из изображений под ним представляет те же обои, что и на следующем изображении 4, без учета цветов. Конечно, цвет воспринимается субъективно, тогда как обои — идеальный объект, однако любой цвет можно рассматривать как метку, характеризующую определенные поверхности. Мы можем думать о шестнадцатеричном коде цвета как метке, специфичной для определенных зон. Можно добавить, что о цветах имеет дело известная теорема . ${\displaystyle \,{\text{ rotation }}\,{\mathit {R}}\,{\text{ or }}\,{\mathit {R}}\,^{-1}\;}$

Группы регистрируются в каталоге путем изучения свойств параллелограмма от края до края с его репликами. Например, его диагонали пересекаются в общих серединах, центре и точке симметрии любого параллелограмма, а не обязательно в точке симметрии его содержания. Другой пример: середина полной стороны, общей для двух узоров, является центром нового повторяющегося параллелограмма, образованного двумя вместе, центр, который не обязательно является точкой симметрии содержимого этого двойного параллелограмма. Другая возможная точка симметрии, два узора, симметричные друг другу относительно их общей вершины, вместе образуют новую повторяющуюся поверхность, центр которой не обязательно является точкой симметрии ее содержания.

Определенная вращательная симметрия возможна только для определенных форм рисунка. Например, на изображении 2 плитку Пифагора иногда называют мозаикой-вертушкой из-за ее вращательной симметрии 90 градусов относительно центра плитки, маленькой или большой, или, конечно, относительно центра любой копии плитки. Кроме того, когда два равносторонних треугольника образуют ромбический узор от края до края, как на изображении 4 или 5 ( будущее изображение 5 ), вращательная симметрия 120 градусов вокруг вершины угла 120°, образованного двумя сторонами узора, является не всегда является точкой симметрии содержимого правильного шестиугольника, образованного тремя узорами, имеющими общую вершину, поскольку он не всегда содержит один и тот же мотив.

Первые примеры групп

Самая простая группа обоев, Группа p 1, применяется, когда нет никакой симметрии, кроме того факта, что рисунок повторяется через равные промежутки времени в двух измерениях, как показано в разделе p1 ниже.

Следующие примеры представляют собой узоры с большим количеством форм симметрии:

• 
  Пример A : Ткань, Таити.
• 
  Пример Б : Орнаментальная живопись, Ниневия , Ассирия.
• 
  Пример C : Расписной фарфор , Китай.

Примеры A и B имеют одну и ту же группу обоев; он называется p4m в обозначении IUCr и *442 в обозначении орбифолда . В примере C есть другая группа обоев, называемая p4g или 4*2. Тот факт, что A и B имеют одну и ту же группу обоев, означает, что они имеют одинаковую симметрию, независимо от деталей дизайна, тогда как C имеет другой набор симметрий, несмотря на любое внешнее сходство.

Количество групп симметрии зависит от количества измерений в узорах. Группы обоев применяются к двумерному случаю, промежуточному по сложности между более простыми группами фриза и трехмерными космическими группами . Незначительные различия могут помещать схожие узоры в разные группы, в то время как узоры, сильно отличающиеся по стилю, цвету, масштабу или ориентации, могут принадлежать к одной и той же группе.

Доказательство того, что существует только 17 различных групп таких плоских симметрий, было впервые проведено Евграфом Федоровым в 1891 году ^[1] , а затем независимо получено Георгием Полиа в 1924 году. ^[2] Доказательство того, что список групп обоев полон, пришло только после того, как был рассмотрен гораздо более сложный случай с космическими группами. Семнадцать возможных групп обоев перечислены ниже в § Семнадцать групп.

Симметрии узоров

Грубо говоря, симметрия узора — это способ преобразования узора так, чтобы после преобразования он выглядел точно так же . Например, трансляционная симметрия присутствует, когда шаблон можно перенести (другими словами, сдвинуть) на некоторое конечное расстояние и выглядеть неизменным. Подумайте о смещении набора вертикальных полос по горизонтали на одну полосу. Схема не меняется. Строго говоря, истинная симметрия существует только в тех узорах, которые точно повторяются и продолжаются бесконечно. Набор, состоящий, скажем, из пяти полос, не обладает трансляционной симметрией — при сдвиге полоса на одном конце «исчезает», а на другом конце «добавляется» новая полоса. Однако на практике классификация применяется к конечным шаблонам, и небольшие недостатки можно игнорировать.

Типы преобразований, которые здесь актуальны, называются изометриями евклидовой плоскости . Например:

• Если сдвинуть пример B на одну единицу вправо так, чтобы каждый квадрат закрывал квадрат, который изначально был соседним с ним, то полученный шаблон будет точно таким же , как исходный шаблон. Этот тип симметрии называется трансляцией . Примеры A и C аналогичны, за исключением того, что наименьшие возможные сдвиги происходят в диагональных направлениях.
• Если повернуть пример B по часовой стрелке на 90° вокруг центра одного из квадратов, снова получится точно такая же картина. Это называется ротацией . Примеры A и C также имеют поворот на 90°, хотя требуется немного больше изобретательности, чтобы найти правильный центр вращения для C.
• Можно также перевернуть пример B по горизонтальной оси, проходящей через середину изображения. Это называется отражением . В примере B также есть отражения по вертикальной оси и по двум диагональным осям. То же самое можно сказать и об А.

Однако пример C отличается . Он имеет отражения только в горизонтальном и вертикальном направлениях, а не по диагональным осям. Если перевернуть диагональную линию, он не получит обратно тот же узор, а исходный узор, сдвинутый на определенное расстояние. Это одна из причин того , что группа обоев A и B отличается от группы обоев C.

Еще одна трансформация — «Скольжение», комбинация отражения и перемещения параллельно линии отражения.

Отражение скольжения наложит друг на друга набор левых и правых следов.

Формальное определение и обсуждение

Математически группа обоев или плоская кристаллографическая группа — это тип топологически дискретной группы изометрий евклидовой плоскости , которая содержит два линейно независимых перевода .

Две такие группы изометрий являются однотипными (одной и той же группы обоев), если они одинаковы с точностью до аффинного преобразования плоскости . Таким образом, например, перемещение плоскости (следовательно, перемещение зеркал и центров вращения) не влияет на группу обоев. То же самое относится и к изменению угла между векторами трансляции, при условии, что оно не добавляет и не удаляет какой-либо симметрии (это только в том случае, если нет зеркал и скользящих отражений , а вращательная симметрия не превышает второго порядка).

В отличие от трехмерного случая , можно эквивалентным образом ограничить аффинные преобразования теми, которые сохраняют ориентацию .

Из теоремы Бибербаха следует, что все группы обоев различны даже как абстрактные группы (в отличие, например, от групп фризов , две из которых изоморфны Z ).

2D-паттерны с двойной трансляционной симметрией можно разделить на категории по типу группы симметрии .

Изометрии евклидовой плоскости

Изометрии евклидовой плоскости делятся на четыре категории ( дополнительную информацию см. в статье Изометрия евклидовой плоскости ).

• Переводы , обозначаемые T _v , где v — вектор в R ² . Это приводит к сдвигу плоскости с применениемвектора смещения v .
• Вращения , обозначаемые R _{c , θ} , где c — точка в плоскости (центр вращения), а θ — угол поворота.
• Отражения , или зеркальные изометрии , обозначаются F _L , где L — линия в R ² . ( F означает «переворот»). Это приводит к отражению плоскости в линии L , называемой осью отражения или соответствующим зеркалом .
• Скользящие отражения , обозначаемые GL _{, d} , где L — линия в R ² _, а d — расстояние. Это комбинация отражения в линии L и переноса вдоль L на расстояние d .

Условие независимых переводов

Условие линейно независимых сдвигов означает, что существуют линейно независимые векторы v и w (в R2 ) такие, что группа содержит как T _v ^, так и T _w .

Цель этого условия — отличить группы обоев от групп фризов , которые обладают трансляцией, но не двумя линейно независимыми, и от двумерных дискретных точечных групп , которые вообще не имеют трансляций. Другими словами, группы обоев представляют собой узоры, которые повторяются в двух разных направлениях, в отличие от групп фризов, которые повторяются только вдоль одной оси.

(Можно обобщить эту ситуацию. Можно, например, изучить дискретные группы изометрий R ⁿ с m линейно независимыми сдвигами, где m — любое целое число в диапазоне 0 ≤  m  ≤  n .)

Условие дискретности

Условие дискретности означает, что существует некоторое положительное действительное число ε такое, что для каждого перевода T _v в группе вектор v имеет длину не менее ε (за исключением, конечно, случая, когда v является нулевым вектором, но независимые сдвиги условие предотвращает это, поскольку любое множество, содержащее нулевой вектор, линейно зависимо по определению и, следовательно, запрещено).

Цель этого условия — обеспечить, чтобы группа имела компактную фундаментальную область или, другими словами, «ячейку» ненулевой конечной площади, повторяющуюся через плоскость. Без этого условия можно было бы, например, иметь группу, содержащую перевод T _x для каждого рационального числа x , что не соответствовало бы никакому разумному шаблону обоев.

Одним из важных и нетривиальных следствий условия дискретности в сочетании с условием независимых сдвигов является то, что группа может содержать вращения только порядка 2, 3, 4 или 6; то есть каждый поворот в группе должен быть поворотом на 180°, 120°, 90° или 60°. Этот факт известен как кристаллографическая ограничительная теорема [ ^3] и может быть обобщен на случаи более высокой размерности.

Обозначения групп обоев

Кристаллографические обозначения

Кристаллография позволяет различать 230 пространственных групп , что намного больше, чем 17 групп обоев, но многие симметрии в группах одинаковы. Таким образом, можно использовать одинаковые обозначения для обоих типов групп: обозначения Карла Германа и Шарля-Виктора Могена . Пример полного названия обоев в стиле Германа-Могена (также называемого обозначением IUCr ) — p31m, состоящее из четырех букв или цифр; более обычным является сокращенное имя, например cmm или pg.

Для групп обоев полное обозначение начинается либо с p , либо с , для примитивной ячейки или ячейки с гранью в центре ; они объяснены ниже. За ним следует цифра n , обозначающая высший порядок вращательной симметрии: 1-кратный (нет), 2-кратный, 3-кратный, 4-кратный или 6-кратный. Следующие два символа обозначают симметрию относительно одной оси трансляции узора, называемой «основной»; если есть зеркало, перпендикулярное оси трансляции, которая является основной (или, если их два, то одно из них). Символы: m , g или 1 для зеркального, скользящего отражения или отсутствия. Ось зеркального или скользящего отражения перпендикулярна главной оси для первой буквы и либо параллельна, либо наклонена на 180°/ n (когда n  > 2) для второй буквы. Многие группы включают в себя и другие симметрии, вытекающие из данных. В краткой записи отсутствуют цифры или буквы m , которые можно вывести, если это не приводит к путанице с другой группой.

Примитивная ячейка — это минимальная область, повторяемая сдвигами решетки. Все группы симметрии обоев, кроме двух, описываются относительно осей примитивных ячеек, координатного базиса с использованием векторов перемещения решетки. В оставшихся двух случаях описание симметрии относится к центрированным ячейкам, которые больше, чем примитивная ячейка, и, следовательно, имеют внутреннее повторение; направление их сторон отличается от направления векторов трансляции, охватывающих примитивную клетку. В обозначениях Германа-Могена для пространственных групп кристаллов используются дополнительные типы ячеек.

Примеры

• p2 ( p 2 ): примитивная ячейка, 2-кратная симметрия вращения, отсутствие зеркал и скользящих отражений.
• p4gm ( p 4 gm ): примитивная ячейка, 4-кратное вращение, скользящее отражение перпендикулярно главной оси, ось зеркала под углом 45 °.
• c2mm ( c 2 мм ): центрированная ячейка, двукратное вращение, оси зеркала перпендикулярны и параллельны главной оси.
• p31m ( p 31 m ): примитивная ячейка, трехкратное вращение, зеркальная ось под углом 60°.

Вот все имена, которые различаются краткими и полными обозначениями.

Остальные имена — p1 , p2 , p3 , p3m1 , p31m , p4 и p6 .

Обозначение орбифолда

Обозначение орбифолда для групп обоев, предлагаемое Джоном Хортоном Конвеем (Conway, 1992) (Conway 2008), основано не на кристаллографии, а на топологии. Можно сложить бесконечную периодическую мозаику плоскости в ее сущность, орбифолд , а затем описать это с помощью нескольких символов.

• Цифра n указывает центр n -кратного вращения, соответствующий точке конуса на орбифолде. По кристаллографической ограничительной теореме n должно быть равно 2, 3, 4 или 6.
• Звездочка * указывает на зеркальную симметрию, соответствующую границе орбифолда. Он взаимодействует с цифрами следующим образом:
  1. Цифры перед * обозначают центры чистого вращения ( циклического ).
  2. Цифры после * обозначают центры вращения с проходящими через них зеркалами, соответствующие «углам» на границе орбифолда ( диэдра ).
• Крест × появляется, когда присутствует скользящее отражение, и указывает на пересечение орбифолда. Чистые зеркала в сочетании с перемещением решетки создают скольжение, но они уже учтены, поэтому не нуждаются в обозначениях.
• Символ «отсутствия симметрии» o стоит отдельно и указывает на то, что существуют только сдвиги решетки без какой-либо другой симметрии. Орбифолд с этим символом представляет собой тор; вообще символ o обозначает ручку орбифолда.

Группа, обозначенная в кристаллографических обозначениях cmm, в обозначениях Конвея будет равна 2*22 . Цифра 2 перед * говорит о том, что существует центр двойного вращения, через который нет зеркала. Сама * говорит, что зеркало есть. Первые 2 после * говорят, что на зеркале имеется центр двукратного вращения. Последние 2 говорят, что на зеркале существует независимый второй центр двукратного вращения, который не является дубликатом первого при симметрии.

Группа, обозначенная pgg, будет равна 22× . Есть два центра чистого двукратного вращения и ось скользящего отражения. Сравните это с pmg, Conway 22* , где в кристаллографических обозначениях упоминается скольжение, но оно подразумевается в других симметриях орбифолда.

Также включено обозначение скобок Кокстера , основанное на отражающих группах Кокстера , и модифицированное добавлением надстрочных индексов плюс, учитывающих вращения, неправильные вращения и переводы.

Почему групп ровно семнадцать

Орбифолд можно рассматривать как многоугольник с гранью, краями и вершинами, которые можно развернуть, чтобы сформировать, возможно, бесконечный набор многоугольников, которые замощают либо сферу , либо плоскость, либо гиперболическую плоскость . Когда он замостит плоскость, он даст группу обоев, а когда он замостит сферу или гиперболическую плоскость, он даст либо сферическую группу симметрии , либо группу гиперболической симметрии . Тип пространства, в котором разбиты многоугольники, можно найти, вычислив эйлерову характеристику , χ  =  V  −  E  +  F , где V — количество углов (вершин), E — количество ребер, а F — количество граней. Если эйлерова характеристика положительна, то орбифолд имеет эллиптическую (сферическую) структуру; если он равен нулю, то он имеет параболическую структуру, т.е. группу обоев; а если оно отрицательно, оно будет иметь гиперболическую структуру. Когда перебран полный набор возможных орбифолдов, обнаруживается, что только 17 из них имеют эйлерову характеристику 0.

Когда орбифолд воспроизводится по симметрии, заполняя плоскость, его особенности создают структуру вершин, ребер и граней многоугольника, которая должна соответствовать характеристике Эйлера. Обратив процесс, можно присвоить свойствам орбифолда числа, но дробные, а не целые числа. Поскольку сам орбифолд является фактором полной поверхности по группе симметрии, эйлерова характеристика орбифолда является фактором эйлеровой характеристики поверхности по порядку группы симметрии.

Эйлерова характеристика орбифолда равна 2 минус сумма значений признаков, назначенных следующим образом:

• Цифра n без или перед * считаетсяп  - 1/н.
• Цифра n после * считаетсяп  - 1/2 н.
• И *, и × считаются за 1.
• «Отсутствие симметрии» o считается за 2.

Для группы обоев сумма характеристики должна быть равна нулю; таким образом, сумма признаков должна быть равна 2.

Примеры

• 632:5/6+2/3+1/2= 2
• 3*3:2/3+ 1 +2/6= 2
• 4*2:3/4+ 1 +1/4= 2
• 22×:1/2+1/2+ 1 = 2

Теперь перечисление всех групп обоев становится вопросом арифметики, перечисления всех строк функций со значениями, сумма которых равна 2.

Строки функций с другими суммами не являются ерундой; они подразумевают неплоские мозаики, которые здесь не обсуждаются. (Когда эйлерова характеристика орбифолда отрицательна, мозаика является гиперболической ; когда положительна, сферической или плохой ).

Руководство по распознаванию групп обоев

Чтобы разобраться, какая группа обоев соответствует тому или иному дизайну, можно воспользоваться следующей таблицей. ^[4]

См. также этот обзор с диаграммами.

Семнадцать групп

Каждая из групп в этом разделе имеет две диаграммы структуры ячеек, которые следует интерпретировать следующим образом (важна форма, а не цвет):

На диаграммах справа разные классы эквивалентности элементов симметрии окрашены (и повернуты) по-разному.

Коричневая или желтая область указывает на фундаментальную область , то есть наименьшую повторяющуюся часть узора.

На диаграммах справа показаны ячейки решетки , соответствующие наименьшим сдвигам; те, что слева, иногда показывают большую площадь.

Группа п 1 (о)

Пример и схема для п 1

• Подпись орбифолда: o
• Обозначение Кокстера (прямоугольное): [∞ ⁺ ,2,∞ ⁺ ] или [∞] ⁺ ×[∞] ⁺
• Решетка: косая
• Группа точек: С ₁
• Группа p 1 содержит только переводы; нет вращений, отражений или скользящих отражений.

Примеры группы п 1

• Компьютер создан
• 
  Средневековая стена подгузника
• 
  21 равномерная плитка

Каждый из двух сдвигов (сторон ячейки) может иметь разную длину и образовывать любой угол.

Группа п 2 (2222)

Пример и схема для п 2

• Подпись Орбифолда: 2222
• Обозначение Кокстера (прямоугольное): [∞,2,∞] ⁺
• Решетка: косая
• Группа точек: C ₂
• Группа p 2 содержит четыре центра вращения второго порядка (180°), но не имеет отражений и скользящих отражений.

Примеры группы п 2

• Компьютер создан
• 
  Ткань, Сандвичевы острова ( Гавайи )
• 
  Потолок египетской гробницы
• 
  Проволочный забор , США
• 
  15 одинаковых плиток
• 
  Коврик, на котором стоял египетский царь
• 
  Египетский коврик (деталь)

Групповой вечер (**)

Пример и схема для pm

• Подпись Орбифолда: **
• Обозначение Кокстера: [∞,2,∞ ⁺ ] или [∞ ⁺ ,2,∞]
• Решетка: прямоугольная
• Группа точек: D ₁
• В личке группы нет ротации. У него есть оси отражения, они все параллельны.

Примеры группового вечера

(Первые три имеют вертикальную ось симметрии, а последние два — разную диагональную.)

• 
  Компьютер создан
• 
  Платье фигуры в гробнице в Бибан-эль-Молуке , Египет.
• 
  Египетская гробница , Фивы
• 
  Потолок гробницы в Гурне, Египет . Ось отражения диагональная
• 
  Индийские изделия из металла на Большой выставке 1851 года. Это почти вечер (не считая коротких диагональных линий между мотивами овалов, что составляет р1)
• 
  6 однородная плитка (плита)

Группа стр (××)

Пример и схема для стр.

• Подпись орбифолда: ××
• Обозначение Кокстера: [(∞,2) ⁺ ,∞ ⁺ ] или [∞ ⁺ ,(2,∞) ⁺ ]
• Решетка: прямоугольная
• Группа точек: D ₁
• Группа pg содержит только скользящие отражения, и все их оси параллельны. Никаких вращений и отражений нет.

Примеры групповых стр.

• Компьютер создан
• 
  Коврик с узором «елочка» , на котором стоял египетский царь
• 
  Египетский коврик (деталь)
• 
  Тротуар с узором «елочка» в Зальцбурге . Ось отражения скольжения проходит с северо-востока на юго-запад.
• 
  Одна из раскрасок курносой квадратной черепицы ; линии отражения скольжения расположены в направлении вверху слева/ниже справа; если игнорировать цвета, симметрии гораздо больше, чем просто pg , тогда это p 4 g (см. изображение с одинаково окрашенными треугольниками) ^[5]
• 
  6 одинаковых плиток, состоящих только из пятиугольников

Без деталей внутри зигзагообразных полос коврик получается pmg; с деталями, но без различия между коричневым и черным, это pgg.

Не обращая внимания на волнистые края плитки, тротуар — pgg.

Группа см (*×)

Пример и схема для см

• Подпись орбифолда: *×
• Обозначение Кокстера: [∞ ⁺ ,2 ⁺ ,∞] или [∞,2 ⁺ ,∞ ⁺ ]
• Решетка: ромбическая
• Группа точек: D ₁
• Группа cm не содержит вращений. У него есть оси отражения, все параллельные. Существует по крайней мере одно скользящее отражение, ось которого не является осью отражения; он находится на полпути между двумя соседними параллельными осями отражения.
• Эта группа применяется для симметрично расположенных рядов (т. е. внутри рядов имеется сдвиг на половину расстояния перемещения) идентичных объектов, ось симметрии которых перпендикулярна рядам.

Примеры группы см

• Компьютер создан
• 
  Платье Амона из Абу-Симбела , Египет.
• 
  Дадо из Бибан-эль-Молюка , Египет.
• 
  Бронзовый сосуд в Нимруде , Ассирия.
• 
  Перемычки арок , Альгамбра , Испания .
• 
  Софит арки, Альгамбра , Испания
• 
  Персидский гобелен
• 
  Индийские изделия из металла на Большой выставке 1851 года.
• 
  Платье фигуры в гробнице в Бибан-эль-Молуке , Египет.
• 
  6 одинаковых плиток с шестиугольными ячейками
• 
  Текстильный узор: «гусиные лапки»

Группа ПММ (*2222)

Пример и схема для pmm

• Подпись Орбифолда: *2222
• Обозначение Кокстера (прямоугольное): [∞,2,∞] или [∞]×[∞]
• Обозначение Кокстера (квадрат): [4,1 ⁺ ,4] или [1 ⁺ ,4,4,1 ⁺ ]
• Решетка: прямоугольная
• Группа точек: D ₂
• Группа pmm имеет отражения в двух перпендикулярных направлениях и четыре центра вращения второго порядка (180°), расположенные в точках пересечения осей отражения.

Примеры групповых пмм

• 
  2D изображение решетчатого забора , США (в 3D присутствует дополнительная симметрия)
• 
  Шкатулка для мумии хранится в Лувре
• 
  Шкатулка для мумии хранится в Лувре . Был бы тип р 4 м , если бы не несоответствующая расцветка.
• 
  8 одинаковых плиток со всеми плоскостями, не являющимися плитами.

Групповая вечеринка (22*)

Пример и диаграмма для pmg

• Подпись Орбифолда: 22 *
• Обозначение Кокстера: [(∞,2) ⁺ ,∞] или [∞,(2,∞) ⁺ ]
• Решетка: прямоугольная
• Группа точек: D ₂
• Группа pmg имеет два центра вращения второго порядка (180°) и отражения только в одном направлении. Он имеет скользящие отражения, оси которых перпендикулярны осям отражения. Все центры вращения лежат на осях скользящего отражения.

Примеры групповых пмг

• Компьютер создан
• 
  Ткань, Сандвичевы острова ( Гавайи )
• 
  Потолок египетской гробницы
• 
  Укладка напольной плитки в Праге , Чехия
• 
  Чаша из Кермы
• 
  4 одинаковых плитки
• 
  Пятиугольная упаковка

Группа пгг (22×)

Пример и диаграмма для pgg

• Подпись орбифолда: 22 ×
• Обозначение Кокстера (прямоугольное): [((∞,2) ⁺ ,(∞,2) ⁺ )]
• Обозначение Кокстера (квадрат): [4 ⁺ ,4 ⁺ ]
• Решетка: прямоугольная
• Группа точек: D ₂
• Группа pgg содержит два центра вращения второго порядка (180°) и скользящие отражения в двух перпендикулярных направлениях. Центры вращения не расположены на осях скользящего отражения. Отражений нет.

Примеры группы pgg

• Компьютер создан
• 
  Бронзовый сосуд в Нимруде , Ассирия.
• 
  Тротуар в Будапеште , Венгрия
• 
  4 одинаковых мозаики (строго тригексагональные)

Группа смм (2*22)

Пример и схема для смм

• Подпись орбифолда: 2 *22
• Обозначение Кокстера (ромбическое): [∞,2 ⁺ ,∞]
• Обозначение Кокстера (квадрат): [(4,4,2 ⁺ )]
• Решетка: ромбическая
• Группа точек: D ₂
• Группа cmm имеет отражения в двух перпендикулярных направлениях и поворот второго порядка (180°), центр которого не находится на оси отражения. Он также имеет два вращения, центры которых находятся на оси отражения.
• Эту группу часто можно увидеть в повседневной жизни, поскольку наиболее распространенное расположение кирпичей в кирпичном здании ( проточная перевязка ) использует эту группу (см. пример ниже).

Вращательная симметрия второго порядка с центрами вращения в центрах сторон ромба является следствием других свойств.

Шаблон соответствует каждому из следующих действий:

• симметрично расположенные в шахматном порядке ряды одинаковых двоякосимметричных предметов
• шахматный узор из двух чередующихся прямоугольных плиток, каждая из которых сама по себе вдвойне симметрична
• шахматный узор, состоящий из попеременно двухкратно вращательно-симметричной прямоугольной плитки и ее зеркального изображения

Примеры групповых смм

• Компьютер создан
• 
  Вытянутая треугольная плитка
• 
  Кирпичная стена в пригороде с использованием системы непрерывного скрепления , США
• 
  Потолок египетской гробницы . Если не учитывать цвета, это будет p4g.
• 
  Египетский
• 
  Персидский гобелен
• 
  Египетская гробница
• 
  турецкое блюдо
• 
  Компактная упаковка кругов двух размеров.
• 
  Еще одна компактная упаковка кругов двух размеров.
• 
  Еще одна компактная упаковка кругов двух размеров.
• 
  3 одинаковых плитки (Krötenheerdt)

Группа п 4 (442)

Пример и схема для п 4

Клеточная структура для p 4

• Подпись Орбифолда: 442
• Обозначение Кокстера: [4,4] ⁺
• Решетка: квадратная
• Группа точек: C ₄
• Группа p 4 имеет два центра вращения четвертого порядка (90°) и один центр вращения второго порядка (180°). У него нет отражений или скользящих отражений.

Примеры группы п 4

Паттерн p 4 можно рассматривать как повторение строк и столбцов равных квадратных плиток с 4-кратной вращательной симметрией. Также его можно рассматривать как шахматную доску из двух таких плиток, в √ 2 раза меньших и повернутых на 45°.

• Компьютер создан
• 
  Потолок египетской гробницы ; игнорируя цвета, это p 4 , иначе p2
• 
  Потолок египетской гробницы
• 
  Наложенные узоры
• 
  Фриз, Альгамбра , Испания . Требуется тщательный осмотр, чтобы понять, почему нет отражений.
• 
  Венская трость
• 
  Фаянс эпохи Возрождения
• 
  Пифагорейская плитка
• 
  Создано из фотографии
• 
  4 одинаковых плитки

Группа р 4 м (*442)

Пример и схема для р 4 м

Ячеистая структура для р 4 м

• Подпись Орбифолда: *442
• Обозначение Кокстера: [4,4]
• Решетка: квадратная
• Группа очков: D ₄
• Группа p 4 m имеет два центра вращения четвертого порядка (90°) и отражения в четырех различных направлениях (горизонтальном, вертикальном и диагональном). Он имеет дополнительные отражения скольжения, оси которых не являются осями отражения; повороты второго порядка (180°) центрируются на пересечении осей скользящего отражения. Все центры вращения лежат на осях отражения.

Это соответствует прямой сетке строк и столбцов равных квадратов с четырьмя осями отражения. Также это соответствует шахматному расположению двух таких квадратов.

Примеры группы п 4 м

Примеры отображаются с наименьшими перемещениями по горизонтали и вертикали (как на схеме):

• Компьютер создан
• 
  Квадратная плитка
• 
  Квадратная плитка Тетракис ; не обращая внимания на цвета, это п 4 м , иначе смм
• 
  Усеченная квадратная плитка (также игнорируя цвет, с меньшим переводом)
• 
  Орнаментальная живопись, Ниневия , Ассирия.
• 
  Ливневая канализация , США
• 
  Чехол для египетской мумии
• 
  Персидская глазурованная плитка
• 
  Компактная упаковка кругов двух размеров.
• 
  4 одинаковых мозаики (Krötenheerdt)

Примеры, отображаемые с наименьшей диагональю перевода:

• 
  шахматная доска
• 
  Ткань, Отахейт ( Таити )
• 
  Египетская гробница
• 
  Кафедральный собор Буржа
• 
  Блюдо из Турции , османского периода .

Группа п 4 г (4*2)

Пример и схема для п 4 г

Структура клетки для р 4 г

• Подпись Орбифолда: 4 *2
• Обозначение Кокстера: [4 ⁺ ,4]
• Решетка: квадратная
• Группа очков: D ₄
• Группа p 4 g имеет два центра вращения четвертого порядка (90°), которые являются зеркальным отражением друг друга, но имеет отражения только в двух направлениях, перпендикулярных. Существуют повороты второго порядка (180°), центры которых расположены на пересечении осей отражения. Он имеет оси скользящего отражения, параллельные осям отражения, между ними, а также под углом 45° к ним.

Узор p 4 g можно рассматривать как шахматный узор, состоящий из копий квадратной плитки с 4-кратной вращательной симметрией и ее зеркального отображения. В качестве альтернативы его можно рассматривать (путем смещения половины плитки) как шахматную доску копий горизонтально и вертикально симметричной плитки и ее версии, повернутой на 90 °. Обратите внимание, что ни то, ни другое не относится к простой шахматной доске из черных и белых плиток, это группа p4m (с диагональными ячейками перевода).

Примеры группы п 4 г

• 
  Линолеум в ванной , США
• 
  Расписной фарфор , Китай.
• 
  Экран от мух, США
• 
  Живопись, Китай
• 
  одна из раскрасок курносой квадратной мозаики (см. также стр. )
• 
  4 равномерная мозаика ( фрактализация курносой квадратной мозаики)

Группа п 3 (333)

Пример и схема для п 3

Клеточная структура для p 3

• Подпись Орбифолда: 333
• Обозначение Кокстера: [(3,3,3)] ⁺ или [3 ^[3] ] ⁺
• Решетка: шестиугольная
• Группа баллов: C ₃
• Группа р 3 имеет три различных центра вращения третьего порядка (120°), но не имеет отражений и скользящих отражений.

Представьте себе мозаику плоскости равносторонними треугольниками одинакового размера, стороны которых соответствуют наименьшим перемещениям. Тогда половина треугольников будет в одной ориентации, а другая половина перевернута. Эта группа обоев соответствует случаю, когда все треугольники одной ориентации равны, при этом оба типа имеют вращательную симметрию третьего порядка, но они не равны, не являются зеркальным отражением друг друга и не оба симметричны (если они равны). это p 6 , если они являются зеркальным отражением друг друга, то это p 31 m , если они оба симметричны, то это p 3 m 1 ; если применимы два из трех, то и третий, и это p 6 m ). Для данного изображения возможны три таких мозаики, каждая с центрами вращения в качестве вершин, т.е. для любой мозаики возможны два смещения. Что касается изображения: вершинами могут быть красные, синие или зеленые треугольники.

Аналогично, представьте себе мозаику плоскости правильными шестиугольниками со сторонами, равными наименьшему расстоянию перемещения, деленному на √ 3 . Тогда эта группа обоев соответствует случаю, когда все шестиугольники равны (и в одной ориентации) и имеют вращательную симметрию третьего порядка, при этом они не имеют зеркальной симметрии (если они имеют вращательную симметрию шестого порядка, то это p 6 , если они симметричны относительно главных диагоналей, то это p 31 m , если они симметричны относительно прямых, перпендикулярных сторонам, то это p 3 m 1 , если применимы два из трех, то и третье, это p 6 m ). Для данного изображения возможны три таких мозаики, каждая из которых имеет одну треть центров вращения как центры шестиугольников. Что касается изображения: центрами шестиугольников могут быть красные, синие или зеленые треугольники.

Примеры группы п 3

• Компьютер создан
• 
  Курносая трехгексагональная мозаика (игнорируя цвета: стр. 6 ); векторы перемещения повернуты немного вправо по сравнению с направлениями в основной гексагональной решетке изображения.
• 
  Уличный тротуар в Закопане , Польша
• 
  Облицовка стен в Альгамбре , Испания (и всей стены ); игнорируя все цвета, это p 3 (игнорируя только цвета звезд, это p1)
• 
  6 одинаковых мозаик, каждая точка вращения окружена тройным кластером

Группа п 3 м 1 (*333)

Пример и схема для п 3 м 1

Структура ячейки для р 3 м 1

• Подпись Орбифолда: *333
• Обозначение Кокстера: [(3,3,3)] или [3 ^[3] ]
• Решетка: шестиугольная
• Группа очков: D ₃
• Группа p 3 m 1 имеет три различных центра вращения третьего порядка (120°). Он имеет отражения на трех сторонах равностороннего треугольника. Центр каждого вращения лежит на оси отражения. Существуют дополнительные скользящие отражения в трех различных направлениях, оси которых расположены посередине между соседними параллельными осями отражения.

Как и в случае с p3 , представьте себе мозаику плоскости равносторонними треугольниками одинакового размера со сторонами, соответствующими наименьшим перемещениям. Тогда половина треугольников будет в одной ориентации, а другая половина перевернута. Эта группа обоев соответствует случаю, когда все треугольники одной ориентации равны, при этом оба типа имеют вращательную симметрию третьего порядка, и оба симметричны, но они не равны и не являются зеркальным отражением друг друга. Для данного изображения возможны три таких мозаики, каждая из которых имеет центры вращения в качестве вершин. Что касается изображения: вершинами могут быть красные, синие или зеленые треугольники.

Примеры группы п 3 м 1

• 
  Треугольная плитка (без учета цветов: стр 6 м )
• 
  Шестиугольная плитка (без учета цветов: стр 6 м )
• 
  Усеченная шестиугольная плитка (без учета цветов: стр 6 м )
• 
  Персидская глазурованная плитка (без учета цветов: р 6 м )
• 
  Персидский орнамент
• 
  Картина, Китай (см. детальное изображение)
• 
  6 одинаковых мозаик (самая маленькая содержит 3 разных 3-кластера)

Группа п 31 м (3*3)

Пример и схема для р 31 м

Ячеистая структура для р 31 м

• Подпись Орбифолда: 3 *3
• Обозначение Кокстера: [6,3 ⁺ ]
• Решетка: шестиугольная
• Группа очков: D ₃
• Группа p 31 m имеет три различных центра вращения третьего порядка (120°), два из которых являются зеркальным отражением друг друга. Он имеет отражения в трех различных направлениях. У него есть хотя бы одно вращение, центр которого не лежит на оси отражения. Существуют дополнительные скользящие отражения в трех различных направлениях, оси которых расположены посередине между соседними параллельными осями отражения.

Как и в случае с p 3 и p 3 m 1 , представьте себе мозаику плоскости равносторонними треугольниками одинакового размера со сторонами, соответствующими наименьшим перемещениям. Тогда половина треугольников будет в одной ориентации, а другая половина перевернута. Эта группа обоев соответствует случаю, когда все треугольники одной ориентации равны, при этом оба типа имеют вращательную симметрию третьего порядка и являются зеркальным отражением друг друга, но сами не симметричны и не равны. Для данного изображения возможна только одна такая тесселяция. Что касается изображения: вершины должны быть красными, а не синими треугольниками.

Примеры группы п 31 м

• 
  Персидская глазурованная плитка
• 
  Расписной фарфор , Китай.
• 
  Живопись, Китай
• 
  Компактная упаковка кругов двух размеров.
• 
  4 одинаковых плитки

Группа п 6 (632)

Пример и схема для п 6

Клеточная структура для p 6

• Подпись Орбифолда: 632
• Обозначение Кокстера: [6,3] ⁺
• Решетка: шестиугольная
• Группа точек: C ₆
• Группа р 6 имеет один центр вращения шестого порядка (60°); два центра вращения третьего порядка (120°), являющиеся изображениями друг друга при повороте на 60°; и три центра вращения второго порядка (180°), которые также являются изображениями друг друга при повороте на 60°. У него нет отражений или скользящих отражений.

Узор с такой симметрией можно рассматривать как мозаику плоскости с равными треугольными плитками с симметрией C 3 или, что то же самое, как мозаику плоскости с равными шестиугольными плитками с симметрией C ₆ (при этом края плиток не обязательно составляют часть образца).

Примеры группы п 6

• Компьютер создан
• 
  Правильные многоугольники
• 
  Обшивка стен, Альгамбра , Испания
• 
  Персидский орнамент
• 
  Пятиугольная плитка Floret
• 
  7 равномерных мозаик с горизонтальным сдвигом и сдвигом на 60°.

Группа р 6 м (*632)

Пример и схема для р 6 м

Ячеистая структура для р 6 м

• Подпись Орбифолда: *632
• Обозначение Кокстера: [6,3]
• Решетка: шестиугольная
• Группа очков: D ₆
• Группа p 6 m имеет один центр вращения шестого порядка (60°); у него есть два центра вращения третьего порядка, которые различаются только поворотом на 60 ° (или, что то же самое, 180 °), и три центра вращения второго порядка, которые различаются только поворотом на 60 °. Он также имеет отражения в шести различных направлениях. Существуют дополнительные скользящие отражения в шести различных направлениях, оси которых расположены посередине между соседними параллельными осями отражения.

Узор с такой симметрией можно рассматривать как мозаику плоскости с равными треугольными плитками с симметрией D 3 или, что то же самое, как мозаику плоскости с равными шестиугольными плитками с симметрией D ₆ (при этом края плиток не обязательно составляют часть образца). Таким образом, простейшими примерами являются треугольная решетка с соединительными линиями или без них, а также шестиугольная мозаика с одним цветом для очертания шестиугольников и одним цветом для фона.

Примеры группы п 6 м

• Компьютер создан
• 
  Трехгексагональная плитка
• 
  Небольшая ромбо-гексагональная плитка
• 
  Большая ромбо-гексагональная мозаика
• 
  Персидская глазурованная плитка
• 
  Бронзовый сосуд в Нимруде , Ассирия.
• 
  Византийский мраморный тротуар, Рим
• 
  Расписной фарфор , Китай.
• 
  Расписной фарфор , Китай.
• 
  Компактная упаковка кругов двух размеров.
• 
  Еще одна компактная упаковка кругов двух размеров.
• 
  7 одинаковых плиток
• 
  Царское платье, Хорсабад , Ассирия ; это почти п 6 м (без учета внутренних частей цветков, которые составляют смм)

Типы решеток

Существует пять типов решеток или решеток Браве , соответствующих пяти возможным группам обоев самой решетки. Группа обоев рисунка с этой решеткой трансляционной симметрии не может иметь больше, но может иметь меньшую симметрию, чем сама решетка.

• В пяти случаях вращательной симметрии третьего или шестого порядка элементарная ячейка состоит из двух равносторонних треугольников (шестиугольная решетка, сама p6m ) . Они образуют ромб с углами 60° и 120°.
• В трех случаях вращательной симметрии четвертого порядка ячейка представляет собой квадрат (квадратная решетка, сама p 4 m ).
• В пяти случаях отражения или скользящего отражения, но не в обоих случаях, ячейка представляет собой прямоугольник (прямоугольная решетка, сама pmm ). Ее также можно интерпретировать как центрированную ромбическую решетку. Особые случаи: квадрат.
• В двух случаях отражения в сочетании со скользящим отражением ячейка представляет собой ромб (ромбическая решетка, сама смм ). Ее также можно интерпретировать как центрированную прямоугольную решетку. Особые случаи: квадратная, шестиугольная элементарная ячейка.
• В случае только вращательной симметрии второго порядка и в случае отсутствия какой-либо другой симметрии, кроме поступательной, ячейка вообще представляет собой параллелограмм (параллелограмматическая или наклонная решетка, сама по себе p 2 ). Особые случаи: прямоугольник, квадрат, ромб, шестиугольная элементарная ячейка.

Группы симметрии

Фактическую группу симметрии следует отличать от группы обоев. Группы обоев представляют собой наборы групп симметрии. Таких наборов 17, но для каждого набора существует бесконечно много групп симметрии, в смысле собственно групп изометрий. Они зависят, помимо группы обоев, от ряда параметров векторов перемещения, ориентации и положения осей отражения и центров вращения.

Число степеней свободы равно:

• 6 для п 2
• 5 для пмм , пмг , пгг и смм.
• 4 в остальном.

Однако внутри каждой группы обоев все группы симметрии алгебраически изоморфны.

Некоторые изоморфизмы групп симметрии:

• р 1 : З ²
• пм : Z × D ∞
• пмм : D _∞ × D _∞ .

Зависимость групп обоев от преобразований

• Группа обоев узора инвариантна относительно изометрий и равномерного масштабирования ( преобразований подобия ).
• Трансляционная симметрия сохраняется при произвольных биективных аффинных преобразованиях .
• То же самое касается вращательной симметрии второго порядка; это также означает, что центры 4- и 6-кратного вращения сохраняют по крайней мере 2-кратную вращательную симметрию.
• Отражение в линии и скользящее отражение сохраняются при расширении/сжатии вдоль или перпендикулярно оси отражения и скользящего отражения. Он меняет p 6 m , p 4 g и p 3 m 1 на смm , p 3 m 1 на см и p 4 m , в зависимости от направления расширения/сжатия, на пмм или смм . Особенность узора из симметрично расположенных в шахматном порядке рядов точек заключается в том, что он может путем расширения/сжатия преобразовываться из p 6 m в p 4 m .

Обратите внимание, что когда преобразование уменьшает симметрию, преобразование того же типа (обратное), очевидно, для некоторых шаблонов увеличивает симметрию. Такое особое свойство узора (например, расширение в одном направлении создает узор с 4-кратной симметрией) не считается формой дополнительной симметрии.

Изменение цветов не влияет на группу обоев, если любые две точки, которые имели одинаковый цвет до изменения, также имеют одинаковый цвет после изменения, а любые две точки, которые имели разные цвета до изменения, также имеют разные цвета после изменения. .

Если первое применимо, но не второе, например, при преобразовании цветного изображения в черно-белое, то симметрия сохраняется, но может увеличиваться, так что группа обоев может измениться.

Веб-демо и программное обеспечение

Несколько программных графических инструментов позволят вам создавать 2D-узоры с использованием групп симметрии обоев. Обычно вы можете редактировать исходную плитку, и ее копии во всем узоре обновляются автоматически.

• MadPattern, бесплатный набор шаблонов Adobe Illustrator, поддерживающий 17 групп обоев.
• Tess, условно-бесплатная программа тесселяции для нескольких платформ, поддерживает все группы обоев, фризов и розеток, а также мозаику Хеша.
• Wallpaper Symmetry — это бесплатный онлайн-инструмент для рисования на JavaScript, поддерживающий 17 групп. На главной странице есть объяснение групп обоев, а также инструменты рисования и пояснения для других групп планарной симметрии .
• TALES GAME, бесплатное программное обеспечение, разработанное для образовательных целей и включающее функцию тесселяции.
• Kali. Архивировано 16 декабря 2018 г. в Wayback Machine , онлайн- апплете Java- редактора графической симметрии (по умолчанию не поддерживается в браузерах).
• Kali. Архивировано 21 ноября 2020 г. на Wayback Machine . Kali можно бесплатно загрузить для Windows и Mac Classic.
• Inkscape , бесплатный редактор векторной графики , поддерживает все 17 групп, а также произвольные масштабы, сдвиги, повороты и изменения цвета для каждой строки или каждого столбца, при необходимости рандомизированные до заданной степени. (См. [1])
• SymmetryWorks — коммерческий плагин для Adobe Illustrator , поддерживает все 17 групп.
• EscherSketch — это бесплатный онлайн-инструмент для рисования на JavaScript, поддерживающий 17 групп.
• Repper — это коммерческий онлайн-инструмент для рисования, поддерживающий 17 групп и ряд непериодических мозаик.

Смотрите также

• Список плоских групп симметрии (краткое содержание этой страницы)
• Апериодическое замощение
• Кристаллография
• Группа слоев
• Математика и искусство
• MC Эшер
• Группа точек
• Группы симметрии в одном измерении
• Тесселяция

Примечания

1. Е. Федоров (1891) "Симметрия на плоскости" ( Simmetrija na ploskosti , Симметрия в плоскости), Записки Императорского С.-Петербургского минералогического общества ( Записки Императорского Санкт-Петербургского Минералогического Общества , Труды Императорского Санкт-Петербургского Минералогического Общества) , серия 2, 28  : 345–390 (на русском языке).
2. Полиа, Джордж (ноябрь 1924 г.). «Über die Analogie der Kristallsymmetrie in der Ebene» [Об аналоге кристаллической симметрии на плоскости]. Zeitschrift für Kristallographie (на немецком языке). 60 (1–6): 278–282. дои :10.1524/zkri.1924.60.1.278. S2CID  102174323.
3. Кларрайх, Эрика (5 марта 2013 г.). «Как сделать невозможные обои». Журнал Кванта . Проверено 7 апреля 2021 г.
4. Радаелли, Пауло Г. Симметрия в кристаллографии . Издательство Оксфордского университета.
5. Если рассматривать квадраты как фон, то можно увидеть простой узор из рядов ромбов.

Рекомендации

• Грамматика орнамента (1856 г.) Оуэна Джонса . Многие изображения в этой статье взяты из этой книги; он содержит гораздо больше.
• Джон Х. Конвей (1992). «Орбифолдное обозначение для поверхностных групп». В: М.В. Либек и Дж. Саксл (ред.), Группы, комбинаторика и геометрия , Труды Даремского симпозиума LMS, 5–15 июля, Дарем, Великобритания, 1990; Лондонская математика. Соц. Конспект лекций Серия 165 . Издательство Кембриджского университета, Кембридж. стр. 438–447.
• Джон Х. Конвей , Хайди Бургель и Хаим Гудман-Штраус (2008): Симметрии вещей . Вустер Массачусетс: АК Питерс. ISBN 1-56881-220-5 . 
• Бранко Грюнбаум и Г.К. Шепард (1987): Плитки и узоры . Нью-Йорк: Фриман. ISBN 0-7167-1193-1 . 
• Дизайн узоров, Льюис Ф. Дэй

Внешние ссылки

• Международные таблицы по кристаллографии, том A: Симметрия пространственных групп, Международный союз кристаллографии.
• 17 плоских групп симметрии Дэвида Э. Джойса
• Знакомство с узорами обоев Хаима Гудмана-Штрауса и Хайди Бургель
• Описание Сильвио Леви
• Пример мозаики для каждой группы с динамическими демонстрациями свойств.
• Обзор с примером мозаики для каждой группы, автор Брайан Сандерсон.
• Escher Web Sketch, Java-апплет с интерактивными инструментами для рисования во всех 17 группах симметрии плоскостей.
• Burak, Java-апплет для рисования групп симметрии. Архивировано 18 февраля 2009 г. в Wayback Machine.
• Приложение JavaScript для рисования узоров обоев
• Круговой узор на римских мозаиках в Греции
• Семнадцать видов узоров обоев. Архивировано 12 октября 2017 г. на Wayback Machine. 17 симметрий, встречающихся в традиционных японских узорах.
• Балоглу, Джордж (2002). «Элементарная, чисто геометрическая классификация 17 плоских кристаллографических групп (образцов обоев)». Архивировано из оригинала 07 августа 2018 г. Проверено 22 июля 2018 г.