Изометрия

Математическое преобразование, сохраняющее расстояние

Композиция двух противоположных изометрий является прямой изометрией. Отражение в линии — это противоположная изометрия, как R ₁ или R ₂ на изображении. Перевод Т — это прямая изометрия: жесткое движение . ^[1]

В математике изометрия (или конгруэнтность , или конгруэнтное преобразование ) — это сохраняющее расстояние преобразование между метрическими пространствами , которое обычно считается биективным . ^[a] Слово изометрия происходит от древнегреческого : ἴσος isos, что означает «равный», и μέτρον Metron, что означает «мера». Если преобразование происходит из метрического пространства в себя, это своего рода геометрическое преобразование, известное как движение .

Введение

Учитывая метрическое пространство (проще говоря, набор и схему назначения расстояний между элементами набора), изометрия — это преобразование, которое отображает элементы в то же или другое метрическое пространство так, что расстояние между элементами изображения в новом метрическом пространстве равно расстоянию между элементами исходного метрического пространства. В двумерном или трехмерном евклидовом пространстве две геометрические фигуры конгруэнтны , если они связаны изометрией; ^[б] изометрия, которая их связывает, представляет собой либо жесткое движение (перенос или вращение), либо смесь жесткого движения и отражения .

Изометрии часто используются в конструкциях, где одно пространство встроено в другое. Например, пополнение метрического пространства включает изометрию из фактормножества пространства последовательностей Коши на. Таким образом, исходное пространство изометрически изоморфно подпространству полного метрического пространства и обычно отождествляется с этим подпространством. Другие конструкции вложения показывают, что каждое метрическое пространство изометрически изоморфно замкнутому подмножеству некоторого нормированного векторного пространства и что каждое полное метрическое пространство изометрически изоморфно замкнутому подмножеству некоторого банахова пространства . ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ M'\ ,}$ ${\displaystyle \ M\ .}$ ${\displaystyle \ M\ }$

Изометрический сюръективный линейный оператор в гильбертовом пространстве называется унитарным оператором .

Определение

Пусть и - метрические пространства с метриками (например, расстояниями) и Карта называется изометрией или картой, сохраняющей расстояние , если для любого из них имеется ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \ Y\ }$ ${\textstyle d_{X}}$ ${\textstyle d_{Y}.}$ ${\textstyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle \ a,b\in X\ }$

${\displaystyle d_{X}(a,b)=d_{Y}\!\left(f(a),f(b)\right).}$^{[4] [с]}

Изометрия автоматически инъективна ; ^[a] в противном случае две различные точки, a и b , могли бы быть отображены в одну и ту же точку, что противоречит тем самым аксиоме совпадения метрики d , т. е. тогда и только тогда, когда . Это доказательство аналогично доказательству того, что упорядоченное вложение между частично упорядоченными множествами инъективно. Ясно, что каждая изометрия метрических пространств является топологическим вложением. ${\displaystyle d(a,b)=0}$ ${\displaystyle a=b}$

Глобальная изометрия , изометрический изоморфизм или конгруэнтное отображение — это биективная изометрия. Как и любая другая биекция, глобальная изометрия имеет обратную функцию . Обратная глобальная изометрия также является глобальной изометрией.

Два метрических пространства X и Y называются изометрическими , если существует биективная изометрия X в Y . Набор биективных изометрий метрического пространства самому себе образует группу относительно композиции функций , называемую группой изометрий .

Существует также более слабое понятие изометрии пути или дуговой изометрии :

Изометрия пути или дуговая изометрия — это карта, которая сохраняет длины кривых ; такое отображение не обязательно является изометрией в смысле сохранения расстояния, и оно не обязательно должно быть биективным или даже инъективным. Этот термин часто сокращают до просто изометрии , поэтому следует позаботиться о том, чтобы определить из контекста, какой тип имеется в виду.

Примеры

• Любое отражение , перенос и вращение являются глобальной изометрией евклидовых пространств . См. также Евклидову группу и Евклидово пространство § Изометрии .
• Карта представляет собой изометрию пути , но не (общую) изометрию. Обратите внимание, что в отличие от изометрии, эта изометрия пути не обязательно должна быть инъективной. ${\displaystyle \ x\mapsto |x|\ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {R} \ }$

Изометрии между нормированными пространствами

Следующая теорема принадлежит Мазуру и Уламу.

Определение : ^[5] Середина двух элементов x и y в векторном пространстве — это вектор1/2( х + у ) .

Теорема ^{[5] [6]}  —  Пусть A  : X → Y — сюръективная изометрия между нормированными пространствами , которая отображает 0 в 0 ( Стефан Банах назвал такие отображения вращениями ) , причем обратите внимание, что A не предполагается линейной изометрией. Тогда A отображает средние точки в средние точки и является линейным как отображение действительных чисел . Если X и Y — комплексные векторные пространства, то A может не быть линейным как отображение над . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Линейная изометрия

Учитывая два нормированных векторных пространства и линейную изометрию, это линейное отображение , сохраняющее нормы: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W,}$ ${\displaystyle A:V\to W}$

${\displaystyle \|Av\|=\|v\|}$

для всех ^[7] Линейные изометрии являются отображениями, сохраняющими расстояние в указанном выше смысле. Они являются глобальными изометриями тогда и только тогда, когда они сюръективны . ${\displaystyle \ v\in V\ .}$

Во внутреннем пространстве продукта приведенное выше определение сводится к

${\displaystyle \langle v,v\rangle =\langle Av,Av\rangle }$

это также означает , что изометрии сохраняют внутренние продукты, поскольку ${\displaystyle v\in V\ ,}$ ${\displaystyle \ A^{\dagger }A=\operatorname {I} _{V}\ .}$

${\displaystyle \langle Au,Av\rangle =\langle u,A^{\dagger }Av\rangle =\langle u,v\rangle \ .}$

Однако линейные изометрии не всегда являются унитарными операторами , поскольку для них дополнительно требуется следующее : ${\displaystyle V=W}$ ${\displaystyle AA^{\dagger }=\operatorname {I} _{V}\ .}$

По теореме Мазура–Улама любая изометрия нормированных векторных пространств над аффинна . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Линейная изометрия также обязательно сохраняет углы, поэтому преобразование линейной изометрии является конформным линейным преобразованием .

Примеры

• Линейное отображение от самого себя является изометрией (для скалярного произведения ) тогда и только тогда, когда его матрица унитарна . ^{[8] [9] [10] [11]} ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Многообразие

Изометрия многообразия — это любое (гладкое) отображение этого многообразия в себя или в другое многообразие, сохраняющее понятие расстояния между точками. Определение изометрии требует понятия метрики на многообразии; многообразие с (положительно определенной) метрикой является римановым многообразием , многообразие с неопределенной метрикой — псевдоримановым многообразием . Таким образом, изометрии изучаются в римановой геометрии .

Локальная изометрия одного ( псевдо- ) риманова многообразия в другое — это отображение, которое возвращает метрический тензор второго многообразия к метрическому тензору первого. Когда такое отображение также является диффеоморфизмом , такое отображение называется изометрией (или изометрическим изоморфизмом ) и дает понятие изоморфизма («идентичности») в категории Rm римановых многообразий.

Определение

Пусть и — два (псевдо)римановых многообразия, и пусть — диффеоморфизм. Тогда называется изометрией (или изометрическим изоморфизмом ), если ${\displaystyle \ R=(M,g)\ }$ ${\displaystyle \ R'=(M',g')\ }$ ${\displaystyle \ f:R\to R'\ }$ ${\displaystyle \ f\ }$

${\displaystyle \ g=f^{*}g',\ }$

где обозначает обратный образ метрического тензора ранга (0, 2) на . Эквивалентно, с точки зрения прямого продвижения , мы имеем это для любых двух векторных полей на (т.е. сечениях касательного расслоения ), ${\displaystyle \ f^{*}g'\ }$ ${\displaystyle \ g'\ }$ ${\displaystyle \ f\ .}$ ${\displaystyle \ f_{*}\ ,}$ ${\displaystyle \ v,w\ }$ ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ \mathrm {T} M\ }$

${\displaystyle \ g(v,w)=g'\left(f_{*}v,f_{*}w\right)\ .}$

Если — локальный диффеоморфизм такой, что тогда называется локальной изометрией . ${\displaystyle \ f\ }$ ${\displaystyle \ g=f^{*}g'\ ,}$ ${\displaystyle f}$

Характеристики

Набор изометрий обычно образует группу — группу изометрий . Когда группа является непрерывной группой , бесконечно малыми генераторами группы являются векторные поля Киллинга .

Теорема Майерса -Стинрода утверждает, что каждая изометрия между двумя связными римановыми многообразиями является гладкой (дифференцируемой). Вторая форма этой теоремы утверждает, что группа изометрий риманова многообразия является группой Ли .

Римановы многообразия , изометрии которых определены в каждой точке, называются симметрическими пространствами .

Обобщения

• Учитывая положительное действительное число ε, ε-изометрия или почти изометрия (также называемая приближением Хаусдорфа ) — это отображение между метрическими пространствами такое, что ${\displaystyle \ f\colon X\to Y\ }$
  1. для одного есть и ${\displaystyle x,x'\in X}$ ${\displaystyle \ |d_{Y}(f(x),f(x'))-d_{X}(x,x')|<\varepsilon \ ,}$
  2. для любой точки существует точка с ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle \ x\in X}$ ${\displaystyle d_{Y}(y,f(x))<\varepsilon \ }$

То есть ε -изометрия сохраняет расстояния с точностью до ε и не оставляет ни одного элемента кодомена дальше, чем на ε , от образа элемента области. Заметим, что ε -изометрии не считаются непрерывными .

• Свойство ограниченной изометрии характеризует почти изометрические матрицы для разреженных векторов.
• Квазиизометрия — еще одно полезное обобщение.
• Можно также определить элемент в абстрактной единичной C*-алгебре как изометрию:

  ${\displaystyle \ a\in {\mathfrak {A}}\ }$является изометрией тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \ a^{*}\cdot a=1\ .}$

Обратите внимание, что, как упоминалось во введении, это не обязательно унитарный элемент, поскольку, как правило, не существует того, что левый инверсный является правым инверсным.

• В псевдоевклидовом пространстве термин изометрия означает линейную биекцию, сохраняющую величину. См. также Квадратичные пространства .

Смотрите также

• Теорема Бекмана – Куорлза
• Конформное отображение  - математическая функция, сохраняющая углы.
• Второе двойственное банахово пространство как изометрический изоморфизм
• Изометрия евклидовой плоскости
• Плоский (геометрия)
• Группа гомеоморфизмов
• Инволюция
• Группа изометрии
• Движение (геометрия)
• Теорема Майерса – Стинрода
• 3D-изометрии, оставляющие начало координат фиксированным
• Частичная изометрия
• Масштабирование (геометрия)
• Полуопределенное вложение
• Космическая группа
• Симметрия в математике

Сноски

1. «Нам будет удобно использовать слово « преобразование» в специальном смысле взаимно-однозначного соответствия между всеми точками на плоскости (или в пространстве), то есть правило связывания пар точек с понимание того, что каждая пара имеет первый член P и второй член P' и что каждая точка встречается как первый член только одной пары, а также как второй член только одной пары... ${\displaystyle \ P\to P'\ }$
   В частности, изометрия (или «конгруэнтное преобразование», или «конгруэнтность») — это преобразование, сохраняющее длину…» — Коксетер (1969), стр. 29 ^[2]

2. 3.11. Любые два равных треугольника связаны единственной изометрией. - Коксетер (1969) с. 39 ^[3]

3. Пусть T — преобразование (возможно, многозначное) из ( ) в себя. Пусть будет расстоянием между точками p и q изображения , и пусть Tp , Tq будут любыми изображениями точек p и q соответственно. Если существует длина a > 0 такая, что всякий раз, когда , то T является евклидовым преобразованием на самого себя. ^[4]
   ${\displaystyle E^{n}}$ ${\displaystyle 2\leq n<\infty }$
   ${\displaystyle d(p,q)}$ ${\displaystyle E^{n}}$
   ${\displaystyle d(Tp,Tq)=a}$ ${\displaystyle d(p,q)=a}$ ${\displaystyle E^{n}}$

Рекомендации

1. Коксетер 1969, с. 46

   3.51. Любая прямая изометрия представляет собой либо сдвиг, либо поворот. Любая противоположная изометрия является либо отражением, либо скользящим отражением.

2. Коксетер 1969, с. 29
3. Коксетер 1969, с. 39
4. Бекман, Ф.С.; Куорлз, Д.А. младший (1953). «Об изометриях евклидовых пространств» (PDF) . Труды Американского математического общества . 4 (5): 810–815. дои : 10.2307/2032415 . JSTOR  2032415. МР  0058193.
5. Narici & Beckenstein 2011, стр. 275–339.
6. Виланский 2013, стр. 21–26.
7. Томсен, Джеспер Фанч (2017). Линейная алгебра [ Линейная алгебра ]. Кафедра математики (на датском языке). Орхус: Орхусский университет. п. 125.
8. Роуэйс, ST; Саул, ЛК (2000). «Нелинейное уменьшение размерности путем локально линейного встраивания». Наука . 290 (5500): 2323–2326. CiteSeerX 10.1.1.111.3313 . дои : 10.1126/science.290.5500.2323. ПМИД  11125150. 
9. Саул, Лоуренс К.; Роуэйс, Сэм Т. (июнь 2003 г.). «Думай глобально, подходи локально: обучение нелинейных многообразий без учителя». Журнал исследований машинного обучения . 4 (июнь): 119–155. Квадратичная оптимизация (стр. 135) такая, что ${\displaystyle \ \mathbf {M} =(I-W)^{\top }(I-W)\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {M} \equiv YY^{\top }\ }$
10. Чжан, Чжэньюэ; Чжа, Хунъюань (2004). «Основные многообразия и нелинейное уменьшение размеров посредством выравнивания локального касательного пространства». Журнал SIAM по научным вычислениям . 26 (1): 313–338. CiteSeerX 10.1.1.211.9957 . дои : 10.1137/s1064827502419154. 
11. Чжан, Чжэньюэ; Ван, Цзин (2006). «MLLE: модифицированное локально линейное встраивание с использованием нескольких весов». В Шёлкопфе, Б.; Платт, Дж.; Хоффман, Т. (ред.). Достижения в области нейронных систем обработки информации . NIPS 2006. Слушания NeurIPS. Том. 19. стр. 1593–1600. ISBN 9781622760381. Он может получить идеальное вложение, если MLLE применяется к точкам данных, выбранным из изометрического многообразия.

Библиография

• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. ОСЛК  21163277.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. ОСЛК  849801114.
• Коксетер, HSM (1969). Введение в геометрию, второе издание . Уайли . ISBN 9780471504580.
• Ли, Джеффри М. (2009). Многообразия и дифференциальная геометрия. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4815-9.