Унитарный оператор

В функциональном анализе унитарный оператор — это сюръективный ограниченный оператор в гильбертовом пространстве , сохраняющий скалярное произведение . Унитарные операторы обычно считаются действующими в гильбертовом пространстве, но это же понятие служит для определения понятия изоморфизма между гильбертовыми пространствами.

Определение

Определение 1. Унитарный оператор — это ограниченный линейный оператор $U : H \to H$ в гильбертовом пространстве $H$ , удовлетворяющий условию $U * U = UU * = I$ , где $U *$ — сопряженный к $U$ , а $I : H \to H$ — тождество оператор.

Более слабое условие $U * U = I$ определяет изометрию . Другое условие, $UU * = I$ , определяет коизометрию . Таким образом, унитарный оператор — это ограниченный линейный оператор, который является одновременно изометрией и коизометрией ^[1] или, что то же самое, сюръективной изометрией. ^[2]

Эквивалентное определение следующее:

Определение 2. Унитарный оператор — это ограниченный линейный оператор $U : H \to H$ в гильбертовом пространстве $H$ , для которого выполнены следующие условия:

$U$ сюръективен , и
$U$ сохраняет скалярный продукт гильбертова пространства $H$ . Другими словами, для всех векторов $x$ и $y$ в $H$ имеем:
${\ displaystyle \ langle Ux, Uy \ rangle _ {H} = \ langle x, y \ rangle _ {H}.}$

Понятие изоморфизма в категории гильбертовых пространств фиксируется, если в этом определении допускается различие области и диапазона. Изометрии сохраняют последовательности Коши ; следовательно, свойство полноты гильбертовых пространств сохраняется ^[3]

Следующее, казалось бы, более слабое определение также эквивалентно:

Определение 3. Унитарный оператор — это ограниченный линейный оператор $U : H \to H$ в гильбертовом пространстве $H$ , для которого выполнены следующие условия:

диапазон $U$ плотен в $H$ и _
$U$ сохраняет скалярный продукт гильбертова пространства $H$ . Другими словами, для всех векторов $x$ и $y$ в $H$ имеем:
${\ displaystyle \ langle Ux, Uy \ rangle _ {H} = \ langle x, y \ rangle _ {H}.}$

Чтобы убедиться в эквивалентности определений 1 и 3, обратите внимание, что из $U,$ сохраняющего скалярное произведение, следует, что $U$ является изометрией (т. е. ограниченным линейным оператором ). Тот факт, что $U$ имеет плотный диапазон, гарантирует, что он имеет ограниченный обратный $U -1$ . Ясно, что $U -1 = U *$ .

Таким образом, унитарные операторы являются просто автоморфизмами гильбертовых пространств, т. е. они сохраняют структуру (структуру векторного пространства, скалярное произведение и, следовательно, топологию ) пространства, на котором они действуют. Группу всех унитарных операторов из данного гильбертова пространства $H$ в себя иногда называют группой Гильберта $H$ , обозначая $Hilb($ $H$ ) или $U$ $($ $H$ $)$ $.$

Примеры

Тождественная функция тривиально является унитарным оператором.
Вращения в $R 2$ являются простейшим нетривиальным примером унитарных операторов. Вращения не меняют длину вектора или угол между двумя векторами. Этот пример можно расширить до $R 3$ .
В векторном пространстве $C$ комплексных чисел умножение на число с абсолютным значением $1$ , то есть на число вида $e iθ$ для $θ \in R$ , является унитарным оператором. $θ$ называется фазой, и это умножение называется умножением на фазу. Обратите внимание, что значение $θ$ по модулю $2 π$ не влияет на результат умножения, поэтому независимые унитарные операторы на $C$ параметризуются окружностью. Соответствующая группа, которая как множество представляет собой круг, называется $U(1)$ .
В более общем смысле, унитарные матрицы — это в точности унитарные операторы в конечномерных гильбертовых пространствах , поэтому понятие унитарного оператора является обобщением понятия унитарной матрицы. Ортогональные матрицы — это частный случай унитарных матриц, в которых все элементы вещественны. ^[4] Это унитарные операторы $в$ $Rn$ .
Двусторонний сдвиг в пространстве последовательностей $ℓ 2$ , индексированном целыми числами , является унитарным. В общем случае любой оператор в гильбертовом пространстве, действующий перестановкой ортонормированного базиса , унитарен. В конечномерном случае такими операторами являются матрицы перестановок .
Односторонний сдвиг (сдвиг вправо) — это изометрия; ее сопряжение (сдвиг влево) является коизометрией.
Оператор Фурье является унитарным оператором, т.е. оператором, выполняющим преобразование Фурье (с соответствующей нормализацией). Это следует из теоремы Парсеваля .
Унитарные операторы используются в унитарных представлениях .
Квантовые логические вентили являются унитарными операторами. Не все ворота эрмитовые .
Унитарный элемент является обобщением унитарного оператора. В алгебре с единицей элемент $U$ алгебры называется унитарным элементом, если $U * U = UU *= I$ , где $I$ — мультипликативный единичный элемент . ^[5]

Линейность

Требование линейности в определении унитарного оператора можно отбросить без изменения смысла, поскольку его можно вывести из линейности и положительной определенности скалярного произведения :

{\begin{aligned}\|\lambda U(x)-U(\lambda x)\|^{2}&=\langle \lambda U(x)-U(\lambda x),\lambda U(x)-U(\lambda x)\rangle \\&=\|\lambda U(x)\|^{2}+\|U(\lambda x)\|^{2}-\langle U (\lambda x),\lambda U(x)\rangle -\langle \lambda U(x),U(\lambda x)\rangle \\&=|\lambda |^{2}\|U(x) \|^{2}+\|U(\lambda x)\|^{2}-{\overline {\lambda }}\langle U(\lambda x),U(x)\rangle -\lambda \langle U(x),U(\lambda x)\rangle \\&=|\lambda |^{2}\|x\|^{2}+\|\lambda x\|^{2}-{\overline {\lambda }}\langle \lambda x,x\rangle -\lambda \langle x,\lambda x\rangle \\&=0\end{aligned}}

Аналогично вы получаете

\|U(x+y)-(Ux+Uy)\|=0.

Характеристики

Спектр унитарного оператора U $лежит$ на единичной окружности . То есть для любого комплексного числа $λ$ в спектре $| λ | = 1$ . Это можно рассматривать как следствие спектральной теоремы для нормальных операторов . По теореме $U$ унитарно эквивалентно умножению на измеримую по Борелю $f$ на $L 2 (µ)$ для некоторого конечного пространства с мерой $(X, µ)$ . Теперь $UU * = I$ подразумевает $| ж (Икс)| 2 = 1$ , $µ$ -ae Это показывает, что существенный диапазон $f$ , а следовательно, и спектр $U$ , лежит на единичной окружности.
Линейное отображение унитарно, если оно сюръективно и изометрично. (Используйте идентичность поляризации , чтобы показать единственную часть.)

Смотрите также

Антиунитарный - биективное антилинейное отображение между двумя комплексными гильбертовыми пространствами.
Морщинистая дуга
Квантовый логический вентиль - базовая схема в квантовых вычислениях
Унитарная матрица - Комплексная матрица, сопряженное транспонирование которой равно ее обратной.
Унитарное преобразование - эндоморфизм, сохраняющий внутренний продукт

Сноски

^ Халмос 1982, разд. 127, стр. 69
^ Конвей 1990, Предложение I.5.2.
^ Конвей 1990, Определение I.5.1.
^ Роман 2008, с. 238 §10
^ Доран и Белфи 1986, с. 55