.jpg/1280px-Street_Musicians_at_the_Door_-_Jacob_Octhtervelt_(edit).jpg)
Мозаика Пифагора или мозаика из двух квадратов — это мозаика евклидовой плоскости квадратами двух разных размеров, при которой каждый квадрат соприкасается с четырьмя квадратами другого размера на своих четырех сторонах. На ней основаны многие доказательства теоремы Пифагора , [2] объясняющие ее название. [1] Обычно используется в качестве рисунка для напольной плитки . Когда он используется для этого, он также известен как узор «классики» [3] или узор «вертушка» [4] , но его не следует путать с математической мозаикой «вертушка» , несвязанной узором. [5]
Эта мозаика имеет четырехстороннюю вращательную симметрию вокруг каждого квадрата. Когда отношение длин сторон двух квадратов является иррациональным числом, таким как золотое сечение , его поперечные сечения образуют апериодические последовательности с рекурсивной структурой, аналогичной слову Фибоначчи . Также изучались обобщения этого разбиения на три измерения.
Плитка Пифагора — это уникальная мозаика из квадратов двух разных размеров, которая является одновременно односторонней (никакие два квадрата не имеют общей стороны) и равнопереходной (каждые два квадрата одинакового размера могут быть отображены друг в друга за счет симметрии мозаики). [6]
Топологически замощение Пифагора имеет ту же структуру, что и замощение усеченных квадратов квадратами и правильными восьмиугольниками . [7] Меньшие квадраты в мозаике Пифагора соседствуют с четырьмя большими плитками, как и квадраты в мозаике усеченных квадратов, в то время как большие квадраты в мозаике Пифагора соседствуют с восемью соседями, которые чередуются между большими и маленькими, точно так же, как восьмиугольники в усеченной квадратной мозаике. Однако эти две мозаики имеют разные наборы симметрий, потому что усеченная квадратная мозаика симметрична относительно зеркальных отражений, а мозаика Пифагора — нет. Математически это можно объяснить, сказав, что усеченная квадратная плитка имеет двугранную симметрию вокруг центра каждой плитки, в то время как плитка Пифагора имеет меньший циклический набор симметрий вокруг соответствующих точек, что придает ей симметрию p4 . [8] Это киральный паттерн, а это означает, что его невозможно наложить поверх зеркального изображения, используя только сдвиги и вращения.
Равномерное замощение — это замощение, в котором каждая плитка представляет собой правильный многоугольник и в котором каждая вершина может быть отображена в любую другую вершину за счет симметрии замощения. Обычно однородные плитки дополнительно должны иметь плитки, соответствующие от края до края, но если это требование смягчить, то появится восемь дополнительных однородных плиток. Четыре образованы из бесконечных полосок квадратов или равносторонних треугольников, а три — из равносторонних треугольников и правильных шестиугольников. Оставшаяся часть — это мозаика Пифагора. [9]
Эта мозаика называется мозаикой Пифагора, потому что она использовалась в качестве основы доказательства теоремы Пифагора исламскими математиками девятого века Аль-Найризи и Сабитом ибн Куррой , а также британским математиком-любителем XIX века Генри Перигалом . [1] [10] [11] [12] Если стороны двух квадратов, образующих мозаику, представляют собой числа a и b , то ближайшее расстояние между соответствующими точками на конгруэнтных квадратах равно c , где c — длина гипотенузы . прямоугольного треугольника , имеющего стороны a и b . [13] Например, на рисунке слева два квадрата в мозаике Пифагора имеют длину сторон 5 и 12 единиц, а длина стороны плиток в накладывающейся квадратной мозаике равна 13, исходя из тройки Пифагора ( 5,12,13).
Накладывая квадратную сетку со стороной c на плитку Пифагора, ее можно использовать для создания пятичастного разреза двух неравных квадратов со сторонами a и b в один квадрат со стороной c , показывая, что два меньших квадрата имеют той же площади, что и больший. Аналогичным образом, наложение двух плиток Пифагора может быть использовано для создания разделения двух неравных квадратов на шесть частей на два разных неравных квадрата. [10]
Хотя мозаика Пифагора сама по себе является периодической (она имеет квадратную решетку трансляционной симметрии), ее сечения можно использовать для генерации одномерных апериодических последовательностей. [14]
В «конструкции Клотца» для апериодических последовательностей (Klotz — это немецкое слово, обозначающее блок) формируется мозаика Пифагора из двух квадратов, размеры которых выбраны так, чтобы соотношение длин двух сторон было иррациональным числом x . Затем выбирается линия, параллельная сторонам квадратов, и формируется последовательность двоичных значений из размеров квадратов, пересекаемых линией: 0 соответствует пересечению большого квадрата, а 1 соответствует пересечению большого квадрата. небольшой квадрат. В этой последовательности относительная пропорция нулей и единиц будет находиться в соотношении x :1. Этой пропорции нельзя достичь с помощью периодической последовательности нулей и единиц, поскольку она иррациональна, поэтому последовательность апериодична. [14]
Если в качестве золотого сечения выбрано x , то последовательность нулей и единиц, сгенерированная таким способом, имеет ту же рекурсивную структуру, что и слово Фибоначчи : ее можно разбить на подстроки вида «01» и «0» (то есть не являются двумя последовательными), и если эти две подстроки последовательно заменить более короткими строками «0» и «1», то получится другая строка с той же структурой. [14]
Согласно гипотезе Келлера , любое замощение плоскости конгруэнтными квадратами должно включать два квадрата, соприкасающихся ребром с ребром. [15] Ни один из квадратов в мозаике Пифагора не пересекается от края до края, [6] но этот факт не нарушает гипотезу Келлера, поскольку плитки имеют разные размеры, поэтому не все они конгруэнтны друг другу.
Разбиение Пифагора можно обобщить до трехмерного разбиения евклидова пространства кубами двух разных размеров, которое также является односторонним и равнопереходным. Аттила Бёльскеи называет это трехмерное замощение заполнением Роджерса . Он предполагает, что в любом измерении больше трех снова существует уникальный односторонний и равнотранзитивный способ разбиения пространства на гиперкубы двух разных размеров. [16]
Бёрнс и Ригби нашли несколько прототипов , в том числе снежинку Коха , которые можно использовать для мозаики плоскости, только используя копии прототипа в двух или более разных размерах. [17] В более ранней статье Данцера, Грюнбаума и Шепарда приводится еще один пример: выпуклый пятиугольник, который замостит плоскость только при объединении двух размеров. [18] Хотя в мозаике Пифагора используются квадраты двух разных размеров, квадрат не обладает тем же свойством, что и эти прототипы, состоящие только в мозаике по подобию, потому что также можно замостить плоскость, используя только квадраты одного размера.
Раннее структурное применение пифагорейской плитки появляется в работах Леонардо да Винчи , который рассматривал ее среди нескольких других потенциальных образцов для балок пола . [19] Эта плитка также долгое время использовалась декоративно, для напольной плитки или других подобных узоров, как можно увидеть, например, на картине Якоба Охтервельта «Уличные музыканты у дверей » (1665). [1] Было высказано предположение, что вид подобной плитки во дворце Поликрата , возможно, послужил источником вдохновения для Пифагора для его теоремы. [13]
