Прямоугольный треугольник

Треугольник, содержащий угол 90 градусов

Прямоугольный треугольник △ ABC с прямым углом C , гипотенузой c и катетами a и b ,

Прямоугольный треугольник или прямоугольный треугольник , иногда называемый ортогональным треугольником или прямоугольным треугольником , представляет собой треугольник , в котором две стороны перпендикулярны , образуя прямой угол ( 1 ⁄ поворота или 90 градусов ).

Сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой (сторона на рисунке). Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами (или катетами , в единственном числе: катет ). Сторона может быть идентифицирована как сторона, прилежащая к углу и противоположному (или противоположному ) углу, тогда как сторона - это сторона, прилежащая к углу и противоположному углу. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$

Любой прямоугольный треугольник представляет собой половину прямоугольника , разделенного по диагонали . Когда прямоугольник представляет собой квадрат , его прямоугольная половина равнобедренная , с двумя равными сторонами и двумя равными углами. Если прямоугольник не является квадратом, его прямоугольная половина разносторонняя .

Всякий треугольник, основание которого равно диаметру круга , а вершина лежит на окружности, является прямоугольным треугольником с прямым углом в вершине и гипотенузой в основании; и наоборот, диаметр описанной окружности любого прямоугольного треугольника равен гипотенузе. Это теорема Фалеса .

Катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника удовлетворяют теореме Пифагора : сумма площадей квадратов двух катетов равна площади квадрата на гипотенузе. Если длины всех трех сторон прямоугольного треугольника целые числа, то треугольник называется треугольником Пифагора , а длины его сторон называются тройкой Пифагора . ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$

Отношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника обеспечивают один из способов определения и понимания тригонометрии — изучения метрических отношений между длинами и углами.

Основные свойства

Стороны

Схема доказательства Евклидом теоремы Пифагора: каждый меньший квадрат имеет площадь, равную прямоугольнику соответствующего цвета.

Три стороны прямоугольного треугольника связаны теоремой Пифагора , которую в современных алгебраических обозначениях можно записать

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},}$

где – длина гипотенузы ( сторона, противолежащая прямому углу), а – длины катетов ( оставшихся двух сторон). Тройки Пифагора — это целые числа, удовлетворяющие этому уравнению. Эта теорема была доказана в древности и представляет собой предложение I.47 в « Началах » Евклида : «В прямоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей прямой угол, равен квадратам на сторонах, содержащих прямой угол». ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a,b,c}$

Область

Как и в любом треугольнике, площадь равна половине произведения основания на соответствующую высоту. В прямоугольном треугольнике, если один катет взять за основание, то другой — за высоту, поэтому площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения двух катетов. По формуле площадь равна ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}ab}$

где и - катеты треугольника. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Если вписанная окружность касается гипотенузы в точке, то, учитывая полупериметр, мы имеем и и площадь определяется выражением ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c),}$ ${\displaystyle |PA|=s-a}$ ${\displaystyle |PB|=s-b,}$

${\displaystyle T=|PA|\cdot |PB|=(s-a)(s-b).}$

Эта формула применима только к прямоугольным треугольникам. ^[1]

Высоты

Высота f прямоугольного треугольника

Если из вершины провести высоту под прямым углом к ​​гипотенузе, то треугольник разделится на два меньших треугольника, которые оба подобны оригиналу и, следовательно, подобны друг другу. Из этого:

• Высота до гипотенузы — это среднее геометрическое ( среднее пропорциональное ) двух сегментов гипотенузы. ^{[2] : 243}
• Каждый катет треугольника является средней пропорциональной гипотенузе и отрезку гипотенузы, прилежащему к катету.

В уравнениях

${\displaystyle f^{2}=de,}$(иногда это называют теоремой о высоте прямоугольного треугольника )

${\displaystyle b^{2}=ce,}$

${\displaystyle a^{2}=cd}$

где как показано на схеме. ^[3] Таким образом ${\displaystyle a,b,c,d,e,f}$

${\displaystyle f={\frac {ab}{c}}.}$

При этом высота до гипотенузы связана с катетами прямоугольного треугольника соотношением ^{[4] [5]}

${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.}$

Решения этого уравнения в целых значениях см. здесь . ${\displaystyle a,b,c,f,}$

Высота каждой ноги совпадает с высотой другой ноги. Поскольку они пересекаются в прямоугольной вершине, ортоцентр прямоугольного треугольника — пересечение трех его высот — совпадает с прямоугольной вершиной.

Внутренний радиус и описанный радиус

Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами и гипотенузой равен ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.}$

Радиус описанной окружности равен половине длины гипотенузы,

${\displaystyle R={\frac {c}{2}}.}$

Таким образом, сумма радиусов описанной и внутренней радиусов равна половине суммы катетов: ^[6]

${\displaystyle R+r={\frac {a+b}{2}}.}$

Одну из катет можно выразить через внутренний радиус, а другую - как

${\displaystyle a={\frac {2r(b-r)}{b-2r}}.}$

Характеристики

Треугольник со сторонами , полупериметром , высотой площади , противоположной самой длинной стороне, внутренним радиусом окружности , эксрадиусом , касательным соответственно, и медианами является прямоугольным треугольником тогда и только тогда, когда любое из утверждений в следующих шести категориях верно. Таким образом, каждый из них также является свойством любого прямоугольного треугольника. ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle a\leq b<c}$ ${\textstyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle h_{c}}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle r_{a},r_{b},r_{c}}$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle m_{a},m_{b},m_{c}}$

Стороны и полупериметр

• ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\quad ({\text{Pythagorean theorem}})}$
• ${\displaystyle (s-a)(s-b)=s(s-c)}$
• ${\displaystyle s=2R+r.}$^[7]
• ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}.}$^[8]

Углы

• ${\displaystyle A}$и являются взаимодополняющими . ^[9] ${\displaystyle B}$
• ${\displaystyle \cos {A}\cos {B}\cos {C}=0.}$^{[8] [10]}
• ${\displaystyle \sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2.}$^{[8] [10]}
• ${\displaystyle \cos ^{2}{A}+\cos ^{2}{B}+\cos ^{2}{C}=1.}$^[10]
• ${\displaystyle \sin {2A}=\sin {2B}=2\sin {A}\sin {B}.}$

Область

• ${\displaystyle T={\frac {ab}{2}}}$
• ${\displaystyle T=r_{a}r_{b}=rr_{c}}$
• ${\displaystyle T=r(2R+r)}$
• ${\displaystyle T={\frac {(2s-c)^{2}-c^{2}}{4}}=s(s-c)}$
• ${\displaystyle T=|PA|\cdot |PB|,}$где - точка касания вписанной окружности на самой длинной стороне ^[11] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle AB.}$

Внутренний радиус и эксрадиус

• ${\displaystyle r=s-c=(a+b-c)/2}$
• ${\displaystyle r_{a}=s-b=(a-b+c)/2}$
• ${\displaystyle r_{b}=s-a=(-a+b+c)/2}$
• ${\displaystyle r_{c}=s=(a+b+c)/2}$
• ${\displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=a+b+c}$
• ${\displaystyle r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
• ${\displaystyle r={\frac {r_{a}r_{b}}{r_{c}}}.}$^[12]

Высота и медиана

Высота прямоугольного треугольника от его прямого угла до гипотенузы есть среднее геометрическое длин отрезков, на которые разбита гипотенуза. Используя теорему Пифагора о 3 треугольниках сторон ( p  +  q , r , s  ) , ( r , p , h  ) и ( s , h , q  ) ,
${\displaystyle {\begin{aligned}(p+q)^{2}\;\;&=\quad r^{2}\;\;\,+\quad s^{2}\\p^{2}\!\!+\!2pq\!+\!q^{2}&=\overbrace {p^{2}\!\!+\!h^{2}} +\overbrace {h^{2}\!\!+\!q^{2}} \\2pq\quad \;\;\;&=2h^{2}\;\therefore h\!=\!{\sqrt {pq}}\\\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle h_{c}={\frac {ab}{c}}}$
• ${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=6R^{2}.}$^{[6] : Вероятность. 954, с. 26}
• Длина одной медианы равна радиусу описанной окружности .
• Кратчайшая высота (от вершины с наибольшим углом) — это среднее геометрическое отрезков линии, на которые она делит противоположную (самую длинную) сторону. Это теорема о высоте прямоугольного треугольника .

Окружность и вписанность

• Треугольник можно вписать в полукруг , одна сторона которого совпадает со всем диаметром ( теорема Фалеса ).
• Центр описанной окружности — это середина самой длинной стороны.
• Самая длинная сторона равна диаметру описанной окружности ${\displaystyle (c=2R).}$
• Описанная окружность касается девятиточечной окружности . ^[8]
• Ортоцентр лежит на описанной окружности. ^[6]
• Расстояние между инцентром и ортоцентром равно . ^[6] ${\displaystyle {\sqrt {2}}r}$

Тригонометрические соотношения

Тригонометрические функции острых углов можно определить как отношения сторон прямоугольного треугольника. Для данного угла можно построить прямоугольный треугольник с этим углом, а стороны обозначить противоположные, прилежащие и гипотенузу относительно этого угла в соответствии с определениями, приведенными выше. Эти отношения сторон не зависят от конкретного выбранного прямоугольного треугольника, а только от данного угла, так как все построенные таким образом треугольники подобны . Если для данного угла α противоположная сторона, прилежащая сторона и гипотенуза обозначены и соответственно, то тригонометрические функции имеют вид ${\displaystyle O,}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle H,}$

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {O}{H}},\,\cos \alpha ={\frac {A}{H}},\,\tan \alpha ={\frac {O}{A}},\,\sec \alpha ={\frac {H}{A}},\,\cot \alpha ={\frac {A}{O}},\,\csc \alpha ={\frac {H}{O}}.}$

Для выражения гиперболических функций как отношения сторон прямоугольного треугольника см. гиперболический треугольник гиперболического сектора .

Специальные прямоугольные треугольники

Значения тригонометрических функций можно точно оценить для определенных углов, используя прямоугольные треугольники со специальными углами. К ним относятся треугольник 30-60-90, который можно использовать для вычисления тригонометрических функций для любого кратного, и равнобедренный прямоугольный треугольник или треугольник 45-45-90, который можно использовать для вычисления тригонометрических функций для любого кратного ${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\pi ,}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi .}$

Треугольник Кеплера

Пусть и — среднее гармоническое , среднее геометрическое и среднее арифметическое двух положительных чисел , и если у прямоугольного треугольника есть катеты и гипотенуза, то ^[13] ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a>b.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A,}$

${\displaystyle {\frac {A}{H}}={\frac {A^{2}}{G^{2}}}={\frac {G^{2}}{H^{2}}}=\phi ,\qquad {\frac {a}{b}}=\phi ^{3},}$

где золотое сечение . Поскольку стороны этого прямоугольного треугольника находятся в геометрической прогрессии , это треугольник Кеплера . ${\displaystyle \phi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}{\bigr )}}$

Теорема Фалеса

Медиана прямого угла треугольника

Теорема Фалеса утверждает, что если - диаметр круга и - любая другая точка на круге, то это прямоугольный треугольник с прямым углом. Обратное утверждение гласит, что гипотенуза прямоугольного треугольника - это диаметр описанной вокруг него окружности . Как следствие, центр описанной окружности находится в середине диаметра, поэтому медиана, проходящая через прямоугольную вершину, представляет собой радиус, а описанный радиус равен половине длины гипотенузы. ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle A.}$

медианы

Для медиан прямоугольного треугольника справедливы следующие формулы :

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}={\frac {5}{4}}c^{2}.}$

Медиана гипотенузы прямоугольного треугольника делит треугольник на два равнобедренных треугольника, поскольку медиана равна половине гипотенузы.

Медианы и от ног удовлетворяют ^{[6] : с.136, #3110} ${\displaystyle m_{a}}$ ${\displaystyle m_{b}}$

${\displaystyle 4c^{4}+9a^{2}b^{2}=16m_{a}^{2}m_{b}^{2}.}$

линия Эйлера

В прямоугольном треугольнике линия Эйлера содержит медиану гипотенузы, то есть проходит как через прямоугольную вершину, так и через середину стороны, противоположной этой вершине. Это связано с тем, что ортоцентр прямоугольного треугольника, пересечение его высот, падает на прямоугольную вершину, а центр описанной окружности, пересечение серединных перпендикуляров сторон , падает на середину гипотенузы.

Неравенства

В любом прямоугольном треугольнике диаметр вписанной окружности меньше половины гипотенузы, а тем более меньше или равен разу гипотенузы ^{[14] : с.281} ${\displaystyle ({\sqrt {2}}-1).}$

В прямоугольном треугольнике с катетами и гипотенузой ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle c,}$

${\displaystyle c\geq {\frac {\sqrt {2}}{2}}(a+b)}$

с равенством только в равнобедренном случае. ^{[14] : стр.282, стр.358.}

Если обозначена высота от гипотенузы, то ${\displaystyle h_{c},}$

${\displaystyle h_{c}\leq {\frac {\sqrt {2}}{4}}(a+b)}$

с равенством только в равнобедренном случае. ^{[14] : стр.282}

Другие объекты недвижимости

Если отрезки длин и исходящие из вершины делят гипотенузу на отрезки длины пополам , то ^{[2] : стр. 216–217} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}c,}$

${\displaystyle p^{2}+q^{2}=5\left({\frac {c}{3}}\right)^{2}.}$

Прямоугольный треугольник — единственный треугольник, в котором два, а не один или три различных вписанных квадрата. ^[15]

Даны любые два положительных числа и Пусть и — стороны двух вписанных квадратов в прямоугольный треугольник с гипотенузой . Тогда ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle h>k.}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle c.}$

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}+{\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{k^{2}}}.}$

Эти стороны и радиус вписанной окружности связаны аналогичной формулой: ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}=-{\frac {1}{c}}+{\frac {1}{h}}+{\frac {1}{k}}.}$

Периметр прямоугольного треугольника равен сумме радиусов вписанной и трех вписанных окружностей :

${\displaystyle a+b+c=r+r_{a}+r_{b}+r_{c}.}$

Смотрите также

• Остроугольные и тупоугольные треугольники (косоугольные треугольники)
• Спираль Теодора

Рекомендации

1. Ди Доменико, Анджело С., «Свойство треугольников, включающее площадь», Mathematical Gazette 87, июль 2003 г., стр. 323–324.
2. Posamentier, Альфред С. и Салкинд, Чарльз Т. Сложные проблемы в геометрии , Дувр, 1996.
3. Вентворт с. 156
4. Воулс, Роджер, «Целочисленные решения» , Mathematical Gazette 83, июль 1999 г., 269–271. ${\displaystyle a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}}$
5. Ричиник, Дженнифер, «Перевернутая теорема Пифагора», Mathematical Gazette 92, июль 2008 г., 313–317.
6. Неравенства, предложенные в « Crux Mathematicorum » , [1].
7. «Треугольник правый тогда и только тогда, когда s = 2R + r, Искусство решения проблем, 2011». Архивировано из оригинала 28 апреля 2014 г. Проверено 2 января 2012 г.
8. Андрееску, Титу и Андрика, Дориан, «Комплексные числа от А до... Я», Биркхойзер, 2006, стр. 109–110.
9. «Свойства прямоугольных треугольников». Архивировано из оригинала 31 декабря 2011 г. Проверено 15 февраля 2012 г.
10. CTK Wiki Math, вариант теоремы Пифагора , 2011, [2] Архивировано 5 августа 2013 г. в Wayback Machine .
11. Дарваси, Дьюла (март 2005 г.), «Обращение свойства прямоугольных треугольников», The Mathematical Gazette , 89 (514): 72–76, doi : 10.1017/S0025557200176806 , S2CID  125992270.
12. Белл, Эми (2006), «Теорема Хансена о прямоугольном треугольнике, ее обращение и обобщение» (PDF) , Forum Geometricorum , 6 : 335–342, заархивировано (PDF) из оригинала 25 июля 2008 г.
13. Ди Доменико, А., «Золотое сечение - прямоугольный треугольник - и арифметические, геометрические и гармонические средние», Mathematical Gazette 89, июль 2005 г., 261. Также Митчелл, Дуглас В., «Обратная связь о 89,41», том 90, март 2006 г., 153–154.
14. Посаментье, Альфред С. и Леманн, Ингмар. Тайны треугольников . Книги Прометея, 2012.
15. Бэйли, Герберт и ДеТемпл, Дуэйн, «Квадраты, вписанные в углы и треугольники», Mathematics Magazine 71 (4), 1998, 278–284.

• Вайсштейн, Эрик В. «Прямоугольный треугольник». Математический мир .
• Вентворт, Джорджия (1895 г.). Учебник геометрии. Джинн и Ко.

Внешние ссылки

• Калькулятор прямоугольных треугольников. Архивировано 30 сентября 2017 г. на Wayback Machine.
• Расширенный калькулятор прямоугольного треугольника