Окружность

Окружность, проходящая через вершины треугольника

В геометрии описанная окружность или описанная окружность треугольника — это окружность , проходящая через все три вершины . Центр этой окружности называется центром описанной окружности треугольника, а его радиус называется радиусом описанной окружности . Центр описанной окружности — это точка пересечения трех серединных перпендикуляров сторон треугольника и центр треугольника .

В более общем смысле, n -сторонний многоугольник , все вершины которого лежат на одной окружности, также называемый описанной окружностью, называется вписанным многоугольником или , в частном случае n = 4 , вписанным четырехугольником . Все прямоугольники , равнобедренные трапеции , правые воздушные змеи и правильные многоугольники являются циклическими, но не каждый многоугольник.

Конструкция линейки и циркуля

Построение описанной окружности треугольника △ ABC и центра описанной окружности Q.

Центр описанной окружности треугольника можно построить , проведя любые два из трех серединных перпендикуляров . Для трех неколлинеарных точек эти две прямые не могут быть параллельны, а центром описанной окружности является точка, в которой они пересекаются. Любая точка биссектрисы равноудалена от двух точек, которые она делит пополам, откуда следует, что эта точка на обеих биссектрисах равноудалена от всех трех вершин треугольника. Радиус описанной окружности — это расстояние от нее до любой из трех вершин.

Альтернативное строительство

Альтернативное построение центра описанной окружности (пересечение ломаных)

Альтернативный метод определения центра описанной окружности состоит в том, чтобы провести любые две линии, каждая из которых отходит от одной из вершин под углом к ​​общей стороне, при этом общий угол отклонения равен 90° минус угол противоположной вершины. (В случае, если противоположный угол тупой, проведение линии под отрицательным углом означает выход за пределы треугольника.)

В прибрежной навигации описанная окружность треугольника иногда используется как способ получения линии положения с помощью секстанта , когда компас недоступен. Горизонтальный угол между двумя ориентирами определяет описанную окружность, на которой находится наблюдатель.

Уравнения окружности

Декартовы координаты

В евклидовой плоскости можно явно дать уравнение описанной окружности через декартовы координаты вершин вписанного треугольника. Предположим, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{x},A_{y})\\\mathbf {B} &=(B_{x},B_{y})\\\mathbf {C} &=(C_{x},C_{y})\end{aligned}}}$

– координаты точек A, B, C . Тогда описанная окружность является геометрическим местом точек на декартовой плоскости, удовлетворяющих уравнениям ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {v} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {A} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {B} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {C} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\end{aligned}}}$

гарантируя, что точки A , B , C , v находятся на одинаковом расстоянии r от общего центра круга. Используя поляризационное тождество , эти уравнения сводятся к условию, что матрица ${\displaystyle \mathbf {u} }$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&-2v_{x}&-2v_{y}&-1\\|\mathbf {A} |^{2}&-2A_{x}&-2A_{y}&-1\\|\mathbf {B} |^{2}&-2B_{x}&-2B_{y}&-1\\|\mathbf {C} |^{2}&-2C_{x}&-2C_{y}&-1\end{bmatrix}}}$

имеет ненулевое ядро . Таким образом, описанную окружность можно альтернативно описать как место нулей определителя этой матрицы:

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&v_{x}&v_{y}&1\\|\mathbf {A} |^{2}&A_{x}&A_{y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{x}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{x}&C_{y}&1\end{bmatrix}}=0.}$

Используя кофакторное разложение , пусть

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{x}&={\frac {1}{2}}\det {\begin{bmatrix}|\mathbf {A} |^{2}&A_{y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{y}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]S_{y}&={\frac {1}{2}}\det {\begin{bmatrix}A_{x}&|\mathbf {A} |^{2}&1\\B_{x}&|\mathbf {B} |^{2}&1\\C_{x}&|\mathbf {C} |^{2}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]a&=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&1\\B_{x}&B_{y}&1\\C_{x}&C_{y}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]b&=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&|\mathbf {A} |^{2}\\B_{x}&B_{y}&|\mathbf {B} |^{2}\\C_{x}&C_{y}&|\mathbf {C} |^{2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

тогда мы имеем где и – предполагая, что три точки не были на одной линии (в противном случае описанная окружность – это та линия, которую также можно рассматривать как обобщенную окружность с S в бесконечности) – давая центр описанной окружности и радиус описанной окружности . Подобный подход позволяет сделать вывод уравнение описанной сферы тетраэдра . ${\displaystyle a|\mathbf {v} |^{2}-2\mathbf {Sv} -b=0}$ ${\displaystyle \mathbf {S} =(S_{x},S_{y}),}$ ${\displaystyle \left|\mathbf {v} -{\tfrac {\mathbf {S} }{a}}\right|^{2}={\tfrac {b}{a}}+{\tfrac {|\mathbf {S} |^{2}}{a^{2}}},}$ ${\displaystyle {\tfrac {\mathbf {S} }{a}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {{\tfrac {b}{a}}+{\tfrac {|\mathbf {S} |^{2}}{a^{2}}}}}.}$

Параметрическое уравнение

Единичный вектор, перпендикулярный плоскости, содержащей круг, определяется выражением

${\displaystyle {\widehat {n}}={\frac {(P_{2}-P_{1})\times (P_{3}-P_{1})}{|(P_{2}-P_{1})\times (P_{3}-P_{1})|}}.}$

Следовательно, учитывая радиус r , центр P _c , точку на окружности P ₀ и единичную нормаль плоскости, содержащей окружность, одно параметрическое уравнение окружности, начинающееся из точки P ₀ и продолжающееся в положительно ориентированной (т.е. правосторонний ) смысл следующий: ${\displaystyle {\widehat {n}},}$ ${\displaystyle {\widehat {n}}}$

${\displaystyle \mathrm {R} (s)=\mathrm {P_{c}} +\cos \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)(P_{0}-P_{c})+\sin \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)\left[{\widehat {n}}\times (P_{0}-P_{c})\right].}$

Трилинейные и барицентрические координаты

Уравнение описанной окружности в трилинейных координатах x  : y  : z имеет вид ^[1] Уравнение описанной окружности в барицентрических координатах x  : y  : z имеет вид ${\displaystyle {\tfrac {a}{x}}+{\tfrac {b}{y}}+{\tfrac {c}{z}}=0.}$ ${\displaystyle {\tfrac {a^{2}}{x}}+{\tfrac {b^{2}}{y}}+{\tfrac {c^{2}}{z}}=0.}$

Изогональное сопряжение описанной окружности - это бесконечная линия, заданная в трилинейных координатах и ​​в барицентрических координатах как ${\displaystyle ax+by+cz=0}$ ${\displaystyle x+y+z=0.}$

Высшие измерения

Кроме того, описанную окружность треугольника, заключенную в d измерениях, можно найти с помощью обобщенного метода. Пусть A , B , C — d -мерные точки, образующие вершины треугольника. Начнем с транспонирования системы, чтобы поместить C в начало координат:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=\mathbf {A} -\mathbf {C} ,\\\mathbf {b} &=\mathbf {B} -\mathbf {C} .\end{aligned}}}$

Тогда радиус описанной окружности r равен

${\displaystyle r={\frac {\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|}}={\frac {\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2\sin \theta }}={\frac {\left\|\mathbf {A} -\mathbf {B} \right\|}{2\sin \theta }},}$

где θ — внутренний угол между a и b . Центр описанной окружности, p ₀ , определяется выражением

${\displaystyle p_{0}={\frac {(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}{2\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}}}+\mathbf {C} .}$

Эта формула работает только в трех измерениях, поскольку векторное произведение не определено в других измерениях, но ее можно обобщить на другие измерения, заменив векторные произведения следующими тождествами:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\times \mathbf {w} &=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} -(\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {u} ,\\\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} ,\\\left\|\mathbf {u} \times \mathbf {v} \right\|^{2}&=\left\|\mathbf {u} \right\|^{2}\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}.\end{aligned}}}$

Координаты центра окружности

Декартовы координаты

Декартовы координаты центра описанной окружности : ${\displaystyle U=\left(U_{x},U_{y}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{x}&={\frac {1}{D}}\left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(B_{y}-C_{y})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(C_{y}-A_{y})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(A_{y}-B_{y})\right]\\[5pt]U_{y}&={\frac {1}{D}}\left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(C_{x}-B_{x})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(A_{x}-C_{x})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(B_{x}-A_{x})\right]\end{aligned}}}$

с

${\displaystyle D=2\left[A_{x}(B_{y}-C_{y})+B_{x}(C_{y}-A_{y})+C_{x}(A_{y}-B_{y})\right].\,}$

Без ограничения общности это можно выразить в упрощенном виде после перевода вершины А в начало декартовой системы координат, т. е. когда в этом случае координаты вершин и представляют собой векторы из вершины А' в эти вершины . Обратите внимание, что этот тривиальный перевод возможен для всех треугольников, а центр описанной окружности треугольника △ A'B'C' равен ${\displaystyle A'=A-A=(A'_{x},A'_{y})=(0,0).}$ ${\displaystyle B'=B-A}$ ${\displaystyle C'=C-A}$ ${\displaystyle U'=(U'_{x},U'_{y})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U'_{x}&={\frac {1}{D'}}\left[C'_{y}({B'_{x}}^{2}+{B'_{y}}^{2})-B'_{y}({C'_{x}}^{2}+{C'_{y}}^{2})\right],\\[5pt]U'_{y}&={\frac {1}{D'}}\left[B'_{x}({C'_{x}}^{2}+{C'_{y}}^{2})-C'_{x}({B'_{x}}^{2}+{B'_{y}}^{2})\right]\end{aligned}}}$

с

${\displaystyle D'=2(B'_{x}C'_{y}-B'_{y}C'_{x}).\,}$

Благодаря переносу вершины A в начало координат радиус описанной окружности r можно вычислить как

${\displaystyle r=\|U'\|={\sqrt {{U'_{x}}^{2}+{U'_{y}}^{2}}}}$

а фактический центр окружности △ ABC выглядит следующим образом:

${\displaystyle U=U'+A}$

Трилинейные координаты

Центр описанной окружности имеет трилинейные координаты ^[2]

${\displaystyle \cos \alpha :\cos \beta :\cos \gamma }$

где α, β, γ — углы треугольника.

По длинам сторон a, b, c трилинейные имеют вид ^[3]

${\displaystyle a\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right):b\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right):c\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right).}$

Барицентрические координаты

Центр описанной окружности имеет барицентрические координаты ^[4]

${\displaystyle a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right):\;b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right):\;c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right),\,}$

где a, b, c — длины ребер BC , CA , AB соответственно) треугольника.

Через углы треугольника α, β, γ барицентрические координаты центра описанной окружности равны ^[3]

${\displaystyle \sin 2\alpha :\sin 2\beta :\sin 2\gamma .}$

Вектор окружности центра

Поскольку декартовы координаты любой точки представляют собой средневзвешенное значение координат вершин, а веса представляют собой барицентрические координаты точки, нормированные так, чтобы сумма была равна единице, вектор центра описанной окружности можно записать как

${\displaystyle U={\frac {a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)A+b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)B+c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)C}{a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)+b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)+c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)}}.}$

Здесь U — вектор центра описанной окружности, а A, B, C — векторы вершин. Делитель здесь равен 16 S ² , где S – площадь треугольника. Как говорилось ранее

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=\mathbf {A} -\mathbf {C} ,\\\mathbf {b} &=\mathbf {B} -\mathbf {C} .\end{aligned}}}$

Декартовы координаты из перекрестных и скалярных произведений

В евклидовом пространстве существует единственная _{окружность ,} проходящая через любые три неколлинеарные точки P1 , P2 , P3 _. Используя декартовы координаты для представления этих точек в виде пространственных векторов , можно использовать скалярное произведение и векторное произведение для расчета радиуса и центра круга. Позволять

${\displaystyle \mathrm {P_{1}} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{bmatrix}},\mathrm {P_{2}} ={\begin{bmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{bmatrix}},\mathrm {P_{3}} ={\begin{bmatrix}x_{3}\\y_{3}\\z_{3}\end{bmatrix}}}$

Тогда радиус круга определяется выражением

${\displaystyle \mathrm {r} ={\frac {\left|P_{1}-P_{2}\right|\left|P_{2}-P_{3}\right|\left|P_{3}-P_{1}\right|}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|}}}$

Центр круга задается линейной комбинацией

${\displaystyle \mathrm {P_{c}} =\alpha \,P_{1}+\beta \,P_{2}+\gamma \,P_{3}}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha ={\frac {\left|P_{2}-P_{3}\right|^{2}\left(P_{1}-P_{2}\right)\cdot \left(P_{1}-P_{3}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\\\beta ={\frac {\left|P_{1}-P_{3}\right|^{2}\left(P_{2}-P_{1}\right)\cdot \left(P_{2}-P_{3}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\\\gamma ={\frac {\left|P_{1}-P_{2}\right|^{2}\left(P_{3}-P_{1}\right)\cdot \left(P_{3}-P_{2}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\end{aligned}}}$

Расположение относительно треугольника

Положение центра описанной окружности зависит от типа треугольника:

• Для остроугольного треугольника (все углы меньше прямого) центр описанной окружности всегда лежит внутри треугольника.
• В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности всегда лежит в середине гипотенузы . Это одна из форм теоремы Фалеса .
• Для тупоугольного треугольника (треугольника, у которого один угол больше прямого) центр описанной окружности всегда лежит вне треугольника.

Эти особенности местоположения можно увидеть, рассмотрев приведенные выше трилинейные или барицентрические координаты центра описанной окружности: все три координаты положительны для любой внутренней точки, по крайней мере одна координата отрицательна для любой внешней точки, одна координата равна нулю и две положительны для невершинная точка на стороне треугольника.

Углы

Углы, которые описанная окружность образует со сторонами треугольника, совпадают с углами встречи сторон. Сторона, противолежащая углу α, пересекает окружность дважды: по одному разу на каждом конце; в каждом случае под углом α (аналогично для двух других углов). Это связано с теоремой о альтернативном сегменте , которая гласит, что угол между касательной и хордой равен углу в альтернативном сегменте.

Центр треугольника лежит на описанной окружности

В этом разделе углы при вершинах обозначены A, B, C , а все координаты являются трилинейными :

• Точка Штейнера : невершинная точка пересечения описанной окружности с эллипсом Штейнера.

${\displaystyle {\frac {bc}{b^{2}-c^{2}}}:{\frac {ca}{c^{2}-a^{2}}}:{\frac {ab}{a^{2}-b^{2}}}}$

( Эллипс Штейнера с центром = центроид ( ABC ) — это эллипс наименьшей площади, который проходит через A, B, C. Уравнение для этого эллипса: .) ${\displaystyle {\tfrac {1}{ax}}+{\tfrac {1}{by}}+{\tfrac {1}{cz}}=0}$

• Точка Тарри : антипод точки Штейнера.

${\displaystyle \sec(A+\omega ):\sec(B+\omega ):\sec(C+\omega )}$

• Фокус параболы Киперта :

${\displaystyle \csc(B-C):\csc(C-A):\csc(A-B).}$

Другие объекты недвижимости

Диаметр описанной окружности, называемый диаметром описанной окружности и равный удвоенному радиусу описанной окружности , можно вычислить как длину любой стороны треугольника, деленную на синус противоположного угла :

${\displaystyle {\text{diameter}}={\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}.}$

Вследствие закона синусов не имеет значения, какая сторона и противолежащий угол взяты: результат будет тот же.

Диаметр описанной окружности также можно выразить как

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{diameter}}&{}={\frac {abc}{2\cdot {\text{area}}}}={\frac {|AB||BC||CA|}{2|\Delta ABC|}}\\[5pt]&{}={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\[5pt]&{}={\frac {2abc}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}\end{aligned}}}$

где a, b, c — длины сторон треугольника, — полупериметр. Выражение выше представляет собой площадь треугольника по формуле Герона . ^[5] Тригонометрические выражения для диаметра описанной окружности включают ^[6] ${\displaystyle s={\tfrac {a+b+c}{2}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$

${\displaystyle {\text{diameter}}={\sqrt {\frac {2\cdot {\text{area}}}{\sin A\sin B\sin C}}}.}$

Окружность из девяти точек треугольника имеет половину диаметра описанной окружности.

В любом треугольнике центр описанной окружности всегда коллинеарен центроиду и ортоцентру . Линия, проходящая через все из них, называется линией Эйлера .

Изогональное сопряжение центра описанной окружности является ортоцентром .

Полезная минимальная ограничивающая окружность из трех точек определяется либо описанной окружностью (где три точки находятся на минимальной ограничивающей окружности), либо двумя точками самой длинной стороны треугольника (где две точки определяют диаметр окружности). Часто путают минимальный ограничивающий круг с описанной окружностью.

Описанная окружность трех коллинеарных точек — это линия, на которой лежат три точки, часто называемая окружностью бесконечного радиуса . Почти коллинеарные точки часто приводят к численной нестабильности при вычислении описанной окружности.

Окружности треугольников тесно связаны с триангуляцией Делоне набора точек .

По теореме Эйлера в геометрии расстояние между центром описанной окружности O и центром I равно

${\displaystyle {\overline {OI}}={\sqrt {R(R-2r)}},}$

где r — радиус вписанной окружности, а R — радиус описанной окружности; следовательно, радиус описанной окружности как минимум в два раза больше внутреннего радиуса ( неравенство треугольника Эйлера ), с равенством только в равностороннем случае. ^{[7] [8]}

Расстояние между O и ортоцентром H равно ^{[9] [10]}

${\displaystyle {\overline {OH}}={\sqrt {R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C}}={\sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}.}$

Для центроида G и девятиточечного центра N имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {IG}}&<{\overline {IO}},\\2{\overline {IN}}&<{\overline {IO}},\\{\overline {OI}}^{2}&=2R\cdot {\overline {IN}}.\end{aligned}}}$

Произведение радиуса вписанной окружности и радиуса описанной окружности треугольника со сторонами a, b, c равно ^[11]

${\displaystyle rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.}$

С радиусом описанной окружности R , сторонами a, b, c и медианами m _a , m _b , m _c мы имеем ^[12]

${\displaystyle {\begin{aligned}3{\sqrt {3}}R&\geq a+b+c\\[5pt]9R^{2}&\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}\\[5pt]{\frac {27}{4}}R^{2}&\geq m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}.\end{aligned}}}$

Если медиана m , высота h и внутренняя биссектриса t исходят из одной и той же вершины треугольника с радиусом описанной окружности R , то ^[13]

${\displaystyle 4R^{2}h^{2}(t^{2}-h^{2})=t^{4}(m^{2}-h^{2}).}$

Теорема Карно утверждает, что сумма расстояний от центра описанной окружности до трех сторон равна сумме радиуса описанной окружности и внутреннего радиуса . ^[14] Здесь длина сегмента считается отрицательной тогда и только тогда, когда сегмент полностью лежит за пределами треугольника.

Если в треугольнике есть две отдельные окружности в качестве описанной и вписанной окружности , то существует бесконечное количество других треугольников с той же самой описанной и вписанной окружностью, причем любая точка описанной окружности является вершиной. (Это случай поризма Понселе при n = 3 ). Необходимым и достаточным условием существования таких треугольников является указанное выше равенство ^[15] ${\displaystyle {\overline {OI}}={\sqrt {R(R-2r)}}.}$

Циклические полигоны

Циклические четырехугольники

Совокупность точек, лежащих на одной окружности, называется конциклической , а многоугольник, вершины которого лежат на одной окружности, — циклическим многоугольником . Каждый треугольник является вписанным, но многоугольники с числом сторон более трех, как правило, таковыми не являются.

Циклические многоугольники, особенно четырехсторонние циклические четырехугольники , обладают различными особыми свойствами. В частности, противоположные углы вписанного четырёхугольника являются дополнительными углами (в сумме они составляют 180° или π радиан).

Смотрите также

• Окружность центра массы
• Циркумгон
• Описанная сфера
• Циркумцевиев треугольник
• Вписанный круг
• Теорема Кошницы
• Теорема Лестера
• Центр треугольника

Рекомендации

1. Уитворт, Уильям Аллен (1866). Трилинейные координаты и другие методы современной аналитической геометрии двух измерений. Дейтон, Белл и Ко. с. 199.
2. Уитворт (1866), с. 19.
3. Кимберлинг, Кларк. «Часть I: Введение и центры X (1) – X (1000)». Энциклопедия центров треугольников .Центр описанной окружности указан в разделе X(3).
4. Вайсштейн, Эрик В. «Барицентрические координаты». Математический мир .
5. Коксетер, HSM (1969). "Глава 1". Введение в геометрию . Уайли. стр. 12–13. ISBN 0-471-50458-0.
6. Дорри, Генрих (1965). 100 великих задач элементарной математики . Дувр. п. 379.
7. Нельсон, Роджер, «Неравенство треугольника Эйлера посредством доказательства без слов», Mathematics Magazine 81 (1), февраль 2008 г., 58-61.
8. Свртан, Драгутин; Вельян, Дарко (2012). «Неевклидовы версии некоторых классических неравенств треугольника». Форум Геометрикорум . 12 : 197–209.См., в частности, стр. 198.
9. Гра, Мари-Николь (2014). «Расстояния между центром описанной окружности треугольника касания и классическими центрами». Форум Геометрикорум . 14 : 51–61.
10. Смит, GC; Леверша, Джерри (ноябрь 2007 г.). «Эйлер и геометрия треугольника». Математический вестник . 91 (522): 436–452. дои : 10.1017/S0025557200182087. JSTOR  40378417. S2CID  125341434.См., в частности, стр. 449.
11. Джонсон, Роджер А. (1929). Современная геометрия: элементарный трактат о геометрии треугольника и круга . Houghton Mifflin Co. p. 189, № 298(д). hdl : 2027/wu.89043163211.Переиздано Dover Publications под названием Advanced Euclidean Geometry , 1960 и 2007 гг.
12. Посаментье, Альфред С.; Леманн, Ингмар (2012). Тайны треугольников . Книги Прометея. стр. 289–290.
13. Альтшиллер Корт, Натан (1952). Геометрия колледжа: введение в современную геометрию треугольника и круга (2-е изд.). Барнс и Ноубл. п. 122, №96.Перепечатано Dover Publications, 2007 г.
14. Суд Альтшиллера (1952), с. 83.
15. Джонсон (1929), с. 188.

Внешние ссылки

• Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника на Mathalino.com
• Полуправильные углы и боковые прямоугольники: соответствующие обобщения прямоугольников и ромбов в эскизах динамической геометрии, интерактивный эскиз динамической геометрии.

Математический мир

• Вайсштейн, Эрик В. «Окружность». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Циклический многоугольник». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Окружность эллипса Штайнера». Математический мир .

Интерактивный

• Описанная окружность и центр описанной окружности треугольника С интерактивной анимацией
• Интерактивный Java-апплет для центра окружности