линия Эйлера

Линия, построенная из треугольника

  Линия Эйлера с центром девятиточечного круга.

  Медианы (пересекаются в центроиде )

  Высоты (пересекаются в ортоцентре )

  Перпендикулярные линии из середин сторон (пересекаются в центре описанной окружности )

В геометрии линия Эйлера , названная в честь Леонарда Эйлера ( / ˈ ɔɪ l ər / ), представляет собой линию , определяемую из любого треугольника , который не является равносторонним . Это центральная линия треугольника, и она проходит через несколько важных точек, определенных из треугольника, включая ортоцентр , центр описанной окружности , центроид , точку Эксетера и центр девятиточечного круга треугольника. ^[1]

Понятие линии Эйлера треугольника распространяется на линию Эйлера других форм, таких как четырехугольник и тетраэдр .

Центры треугольника лежат на линии Эйлера.

Отдельные центры

Эйлер в 1765 году показал, что в любом треугольнике ортоцентр, центр описанной окружности и центроид лежат на одной прямой . ^[2] Это свойство справедливо и для другого центра треугольника , девятиточечного центра , хотя он не был определен во времена Эйлера. В равносторонних треугольниках эти четыре точки совпадают, но в любом другом треугольнике они все отличны друг от друга, и линия Эйлера определяется любыми двумя из них.

Другие примечательные точки, лежащие на линии Эйлера, включают точку де Лонгшана , точку Шиффлера , точку Эксетера и перспективу Госсарда . ^[1] Однако центр инцентра обычно не лежит на линии Эйлера; ^[3] она находится на линии Эйлера только для равнобедренных треугольников , ^[4] для которых линия Эйлера совпадает с осью симметрии треугольника и содержит все центры треугольника.

Касательный треугольник опорного треугольника касается описанной окружности последнего в вершинах опорного треугольника. Центр описанной окружности касательного треугольника лежит на линии Эйлера опорного треугольника. ^{[5] : с. 447} [ ^{6] : с.104, №211, с.242, №346} Центр подобия ортического и касательного треугольников также находится на линии Эйлера. ^{[5] : с. 447  [6] : с. 102}

Доказательства

Векторное доказательство

Пусть будет треугольник. Доказательство того, что центр описанной окружности , центроид и ортоцентр коллинеарны , опирается на свободные векторы . Начнем с формулировки предпосылок. Во-первых, удовлетворяет соотношению ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\vec {GA}}+{\vec {GB}}+{\vec {GC}}=0.}$

Это следует из того, что абсолютные барицентрические координаты равны . Далее, задача Сильвестра ^[7] имеет вид ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\frac {1}{3}}:{\frac {1}{3}}:{\frac {1}{3}}}$

${\displaystyle {\vec {OH}}={\vec {OA}}+{\vec {OB}}+{\vec {OC}}.}$

Теперь, используя сложение векторов, мы получаем, что

${\displaystyle {\vec {GO}}={\vec {GA}}+{\vec {AO}}\,{\mbox{(in triangle }}AGO{\mbox{)}},\,{\vec {GO}}={\vec {GB}}+{\vec {BO}}\,{\mbox{(in triangle }}BGO{\mbox{)}},\,{\vec {GO}}={\vec {GC}}+{\vec {CO}}\,{\mbox{(in triangle }}CGO{\mbox{)}}.}$

Сложив эти три соотношения почленно, мы получим, что

${\displaystyle 3\cdot {\vec {GO}}=\left(\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyc}}}{\vec {GA}}\right)+\left(\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyc}}}{\vec {AO}}\right)=0-\left(\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyc}}}{\vec {OA}}\right)=-{\vec {OH}}.}$

В заключение , и, таким образом, три точки , и (в этом порядке) лежат на одной прямой. ${\displaystyle 3\cdot {\vec {OG}}={\vec {OH}}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

В книге Дёрри ^[7] линия Эйлера и проблема Сильвестра объединены в одно доказательство. Однако большинство доказательств проблемы Сильвестра опираются на фундаментальные свойства свободных векторов независимо от линии Эйлера.

Характеристики

Расстояния между центрами

На линии Эйлера центр тяжести G находится между центром описанной окружности О и ортоцентром Н и находится в два раза дальше от ортоцентра, чем от центра описанной окружности: ^{[6] : с.102}

${\displaystyle GH=2GO;}$

${\displaystyle OH=3GO.}$

Отрезок GH представляет собой диаметр ортоцентроидальной окружности .

Центр N девятиточечного круга лежит вдоль линии Эйлера на полпути между ортоцентром и центром описанной окружности: ^[1]

${\displaystyle ON=NH,\quad OG=2\cdot GN,\quad NH=3GN.}$

Таким образом, линия Эйлера может быть перемещена на числовую линию с центром описанной окружности O в точке 0, центроидом G в точке 2t , центром девяти точек в точке 3t и ортоцентром H в точке 6t для некоторого масштабного коэффициента t .

Кроме того, квадрат расстояния между центроидом и центром описанной окружности вдоль линии Эйлера меньше квадрата радиуса описанной окружности R ² на величину, равную одной девятой суммы квадратов длин сторон a , b и c : ^{[6] : стр.71}

${\displaystyle GO^{2}=R^{2}-{\tfrac {1}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).}$

Кроме того, ^{[6] : с.102}

${\displaystyle OH^{2}=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2});}$

${\displaystyle GH^{2}=4R^{2}-{\tfrac {4}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).}$

Представление

Уравнение

Пусть A , B , C обозначают углы при вершине опорного треугольника, и пусть x  : y  : z — переменная точка в трилинейных координатах ; тогда уравнение для линии Эйлера имеет вид

${\displaystyle \sin(2A)\sin(B-C)x+\sin(2B)\sin(C-A)y+\sin(2C)\sin(A-B)z=0.}$

Уравнение линии Эйлера в барицентрических координатах имеет вид ^[8] ${\displaystyle \alpha :\beta :\gamma }$

${\displaystyle (\tan C-\tan B)\alpha +(\tan A-\tan C)\beta +(\tan B-\tan A)\gamma =0.}$

Параметрическое представление

Другой способ представить линию Эйлера — через параметр t . Начиная с центра описанной окружности (с трилинейными координатами ) и ортоцентра (с трилинейными координатами) каждая точка на линии Эйлера, кроме ортоцентра, задается трилинейными координатами. ${\displaystyle \cos A:\cos B:\cos C}$ ${\displaystyle \sec A:\sec B:\sec C=\cos B\cos C:\cos C\cos A:\cos A\cos B),}$

${\displaystyle \cos A+t\cos B\cos C:\cos B+t\cos C\cos A:\cos C+t\cos A\cos B}$

формируется как линейная комбинация трилинейников этих двух точек для некоторого t .

Например:

• Центр описанной окружности имеет трилинейки, соответствующие значению параметра ${\displaystyle \cos A:\cos B:\cos C,}$ ${\displaystyle t=0.}$
• Центроид имеет трилинейки, соответствующие значению параметра ${\displaystyle \cos A+\cos B\cos C:\cos B+\cos C\cos A:\cos C+\cos A\cos B,}$ ${\displaystyle t=1.}$
• Центр девяти точек имеет трилинейки, соответствующие значению параметра ${\displaystyle \cos A+2\cos B\cos C:\cos B+2\cos C\cos A:\cos C+2\cos A\cos B,}$ ${\displaystyle t=2.}$
• Точка де Лонгшана имеет трилинейки, соответствующие значению параметра ${\displaystyle \cos A-\cos B\cos C:\cos B-\cos C\cos A:\cos C-\cos A\cos B,}$ ${\displaystyle t=-1.}$

Склон

В декартовой системе координат обозначим наклоны сторон треугольника как и и обозначим наклон его линии Эйлера как . Тогда эти наклоны связаны согласно ^{[9] : Лемма 1} ${\displaystyle m_{1},}$ ${\displaystyle m_{2},}$ ${\displaystyle m_{3},}$ ${\displaystyle m_{E}}$

${\displaystyle m_{1}m_{2}+m_{1}m_{3}+m_{1}m_{E}+m_{2}m_{3}+m_{2}m_{E}+m_{3}m_{E}}$

${\displaystyle +3m_{1}m_{2}m_{3}m_{E}+3=0.}$

Таким образом, наклон линии Эйлера (если он конечен) выражается через наклоны сторон как

${\displaystyle m_{E}=-{\frac {m_{1}m_{2}+m_{1}m_{3}+m_{2}m_{3}+3}{m_{1}+m_{2}+m_{3}+3m_{1}m_{2}m_{3}}}.}$

При этом прямая Эйлера параллельна стороне остроугольного треугольника BC тогда и только тогда, когда ^{[9] : с.173} ${\displaystyle \tan B\tan C=3.}$

Связь с вписанными равносторонними треугольниками

Геометрическое положение центроидов равносторонних треугольников , вписанных в данный треугольник, образовано двумя прямыми, перпендикулярными линии Эйлера данного треугольника. ^{[10] : Коро. 4}

В особых треугольниках

Прямоугольный треугольник

В прямоугольном треугольнике линия Эйлера совпадает с медианой гипотенузы , то есть проходит как через прямоугольную вершину, так и через середину стороны, противоположной этой вершине . Это связано с тем, что ортоцентр прямоугольного треугольника, пересечение его высот , падает на прямоугольную вершину, а центр описанной окружности, пересечение серединных перпендикуляров сторон, падает на середину гипотенузы.

Равнобедренный треугольник

Линия Эйлера равнобедренного треугольника совпадает с осью симметрии . В равнобедренном треугольнике центр центра приходится на линию Эйлера.

Автомедиан треугольник

Линия Эйлера автомедианного треугольника (того, у которого медианы находятся в тех же пропорциях, хотя и в противоположном порядке, что и стороны) перпендикулярна одной из медиан. ^[11]

Системы треугольников с совпадающими прямыми Эйлера

Рассмотрим треугольник ABC с точками Ферма–Торричелли F ₁ и F ₂ . Линии Эйлера 10 треугольников с вершинами, выбранными из A, B, C, F ₁ и F ₂ , совпадают в центроиде треугольника ABC . ^[12]

Линии Эйлера четырех треугольников, образованных ортоцентрической системой (набором из четырех точек, каждая из которых является ортоцентром треугольника с вершинами в трех других точках), совпадают в центре из девяти точек, общем для всех треугольников. ^{[6] : стр. 111}

Обобщения

Четырехугольник

В выпуклом четырехугольнике квазиортоцентр H , «центр тяжести площади» G и квазиокружный центр O лежат в этом порядке на прямой Эйлера, и HG = 2 GO . ^[13]

Тетраэдр

Тетраэдр — трехмерный объект , ограниченный четырьмя треугольными гранями . Семь линий, связанных с тетраэдром, совпадают в его центроиде; шесть его средних плоскостей пересекаются в точке Монжа ; и через все вершины проходит описанная сфера, центром которой является центр описанной окружности. Эти точки определяют «линию Эйлера» тетраэдра, аналогичного треугольнику. Центроид — это середина между точкой Монжа и центром описанной окружности на этой линии. Центр двенадцатиточечной сферы также лежит на линии Эйлера.

Симплициальный многогранник

Симплициальный многогранник — это многогранник, все грани которого являются симплексами (множественное число от «симплекс»). Например, каждый многоугольник является симплициальным многогранником. Линия Эйлера, связанная с таким многогранником, — это линия, определяемая его центроидом и центром массы описанной окружности . Это определение линии Эйлера обобщает приведенные выше. ^[14]

Предположим, что это многоугольник. Линия Эйлера чувствительна к симметрии следующим образом: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle P}$

1. Если имеет линию симметрии отражения , то это либо точка на , либо . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

2. Если имеет центр вращательной симметрии , то . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle E=C}$

3. Если все стороны, кроме одной, имеют одинаковую длину, то ортогонален последней стороне. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle E}$

Связанные конструкции

Парабола Киперта треугольника — это уникальная парабола, которая касается сторон (две из них расширены ) треугольника и имеет линию Эйлера в качестве направляющей . ^{[15] : с. 63}

Рекомендации

1. Кимберлинг, Кларк (1998). «Центры треугольников и центральные треугольники». Конгресс Нумерантиум . 129 : я – xxv, 1–295.
2. Эйлер, Леонард (1767). «Solutio facilis проблематум кворундам геометрическиорум диффициллиморум» [Легкое решение некоторых сложных геометрических задач]. Novi Commentarii Academiae Scientarum Imperialis Petropolitanae . 11 : 103–123. Е325.Перепечатано в Opera Omnia , сер. Я, т. XXVI, стр. 139–157, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, Лозанна, 1953, MR 0061061. Краткое изложение: Дартмутский колледж.
3. Шатшнайдер, Дорис; Кинг, Джеймс (1997). Геометрия включена: динамическое программное обеспечение в обучении, преподавании и исследованиях. Математическая ассоциация Америки. стр. 3–4. ISBN 978-0883850992.
4. Эдмондс, Аллан Л.; Хаджа, Моваффак; Мартини, Хорст (2008), «Ортоцентрические симплексы и бирегулярность», Результаты по математике , 52 (1–2): 41–50, doi : 10.1007/s00025-008-0294-4, MR  2430410, S2CID  121434528, Это хорошо Известно, что центр евклидова треугольника лежит на его прямой Эйлера, соединяющей центр тяжести и центр описанной окружности тогда и только тогда, когда треугольник равнобедренный..
5. Леверша, Джерри; Смит, GC (ноябрь 2007 г.), «Эйлер и геометрия треугольника», Mathematical Gazette , 91 (522): 436–452, doi : 10.1017/S0025557200182087, JSTOR  40378417, S2CID  125341434.
6. Альтшиллер-Корт, Натан, Геометрия колледжа , Dover Publications, 2007 (оригинал Barnes & Noble, 1952).
7. Дорри, Генрих, «100 великих задач элементарной математики. Их история и решение». Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1965, ISBN 0-486-61348-8 , страницы 141 (Прямая линия Эйлера) и 142 (Проблема Сильвестра) 
8. Скотт, Дж. А., «Некоторые примеры использования площадных координат в геометрии треугольника», Mathematical Gazette 83, ноябрь 1999 г., 472-477.
9. Владимир Г. Боскофф, Лаурентийу Хоментковски и Богдан Д. Сучава, «Перспектор Госсарда и проективные последствия», Forum Geometricorum , Том 13 (2013), 169–184. [1]
10. Франсиско Хавьер Гарц ıa Capita ́n, «Место центроидов подобных вписанных треугольников», Forum Geometricorum 16, 2016, 257–267. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201631.pdf
11. Парри, CF (1991), «Штайнер-Лемус и автомедианный треугольник», The Mathematical Gazette , 75 (472): 151–154, doi : 10.2307/3620241, JSTOR  3620241.
12. Белухов, Николай Иванов. «Десять одновременных линий Эйлера», Forum Geometricorum 9, 2009, стр. 271–274. http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200924index.html
13. Мякишев, Алексей (2006), «О двух замечательных прямых, относящихся к четырехугольнику» (PDF) , Forum Geometricorum , 6 : 289–295.
14. Табачников, Серж; Цукерман, Эммануэль (май 2014 г.), «Окружность центра массы и обобщенная линия Эйлера», Дискретная и вычислительная геометрия , 51 (4): 815–836 , arXiv : 1301.0496 , doi : 10.1007/s00454-014-9597-2, S2CID  12307207.
15. Сцимеми, Бенедетто, «Простые соотношения относительно эллипса Штейнера треугольника», Forum Geometricorum 10, 2010: 55–77.

Внешние ссылки

• Интерактивный апплет, показывающий несколько центров треугольников, лежащих на линии Эйлера.
• «Линия Эйлера» и «Континуум неевклидова треугольника» в демонстрационном проекте Вольфрама
• Девятиточечная коническая и обобщенная линия Эйлера, дальнейшее обобщение линии Эйлера и квазиэйлерова линия четырехугольника и шестиугольника в эскизах динамической геометрии.
• Богомольный, Александр , «Высоты и линия Эйлера» и «Линия Эйлера и 9-точечная окружность», « Разрезать узел».
• Кимберлинг, Кларк , «Центры треугольника на линии Эйлера», Центры треугольников
• Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine: Станкова, Звезделина (1 февраля 2016 г.), «У треугольников есть волшебное шоссе», Numberphile , YouTube.
• Вайсштейн, Эрик В. «Линия Эйлера». Математический мир .