Автомедиан треугольник

Автомедианный треугольник (черный) с длинами сторон в пропорции 13:17:7, его три медианы (коричневые) и треугольник, аналогичный исходному, стороны которого представляют собой переведенные копии медиан.

В плоской геометрии автомедианный треугольник — это треугольник , в котором длины трех медиан (отрезков линий, соединяющих каждую вершину с серединой противоположной стороны) пропорциональны длинам трех сторон в разном порядке. Три медианы автомедианного треугольника можно переложить , чтобы образовать стороны второго треугольника, аналогичного первому .

Характеристика

Длины сторон автомедианного треугольника удовлетворяют формуле или ее перестановке, аналогично теореме Пифагора, характеризующей прямоугольные треугольники как треугольники, удовлетворяющие формуле . Аналогично, чтобы три числа , , и были сторонами автомедианного треугольника, последовательность трех квадратов длин сторон , , и должна образовывать арифметическую прогрессию . ^[1] ${\displaystyle 2a^{2}=b^{2}+c^{2}}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b^{2}}$ ${\displaystyle a^{2}}$ ${\displaystyle c^{2}}$

Конструкция из прямоугольных треугольников

Если , , и — три стороны прямоугольного треугольника, отсортированные в порядке возрастания размера, и если , то , и — три стороны автомедианного треугольника. Например, из прямоугольного треугольника с длинами сторон 5, 12 и 13 можно таким образом сформировать автомедианный треугольник с длинами сторон 13, 17 и 7. ^[2] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle 2x<z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x+y}$ ${\displaystyle y-x}$

Условие, которое необходимо: если бы оно не выполнялось, то три числа , , и все равно удовлетворяли бы уравнению , характеризующему автомедианные треугольники, но не удовлетворяли бы неравенству треугольника и не могли бы быть использованы для образования сторон треугольника. ${\displaystyle 2x<z}$ ${\displaystyle a=z}$ ${\displaystyle b=x+y}$ ${\displaystyle c=y-x}$ ${\displaystyle 2a^{2}=b^{2}+c^{2}}$

Следовательно, используя формулу Эйлера , которая генерирует примитивные треугольники Пифагора , можно генерировать примитивные целочисленные автомедианные треугольники (т. е. со сторонами, не имеющими общего множителя) как

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=m^{2}+n^{2}\\b&=m^{2}+2mn-n^{2}\\c&=|m^{2}-2mn-n^{2}|\\\end{aligned}}}$$

формуле для медиан ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m+n}$ ${\displaystyle n<m<n{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle m>(2+{\sqrt {3}})n}$ ${\displaystyle t_{a},t_{b},t_{c}}$

$${\displaystyle t_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}},\qquad t_{b}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}}}={\frac {c{\sqrt {3}}}{2}},\qquad t_{c}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}}={\frac {b{\sqrt {3}}}{2}},}$$

${\displaystyle 2a^{2}=b^{2}+c^{2}.}$

Отсюда видно соотношение сходства

$${\displaystyle {\frac {t_{a}}{t_{b}}}={\frac {a}{c}},\qquad {\frac {t_{b}}{t_{c}}}={\frac {c}{b}},\qquad {\frac {t_{c}}{t_{a}}}={\frac {b}{a}}\qquad {\text{and hence}}\qquad t_{a}:t_{b}:t_{c}\quad =\quad a:c:b.}$$

Существует примитивный автомедианный треугольник с целыми сторонами, который не порождается прямоугольным треугольником: а именно, равносторонний треугольник со сторонами единичной длины.

Примеры

Существует 18 примитивных целочисленных автомедианых треугольников, показанных здесь как тройки сторон , с : ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle b\leq 200}$

Например, (26, 34, 14) не является примитивной автомедианой тройкой, поскольку она кратна (13, 17, 7) и не указана выше.

Дополнительные свойства

Если – площадь автомедианного треугольника, по формуле Герона ^[3] ${\displaystyle \Delta (a,b,c)}$ ${\displaystyle \Delta (t_{a},t_{b},t_{c})=(3/4)\Delta (a,b,c).}$

Линия Эйлера автомедианного треугольника перпендикулярна медиане к стороне . ^[2] ${\displaystyle a}$

Если медианы автомедианного треугольника продлены до описанной окружности треугольника, то три точки , в которых расширенные медианы пересекаются с описанной окружностью, образуют равнобедренный треугольник . Треугольники, для которых этот второй треугольник является равнобедренным, являются в точности треугольниками, которые сами являются либо равнобедренными, либо автомедианными. Это свойство автомедианных треугольников контрастирует с теоремой Штейнера-Лемуса , согласно которой единственные треугольники, у которых две биссектрисы имеют одинаковую длину, являются равнобедренными треугольниками. ^[2] ${\displaystyle LMN}$ ${\displaystyle LMN}$

Кроме того, предположим, что это автомедианный треугольник, вершина которого противоположна стороне . Пусть будет точкой пересечения трех медиан , и пусть будет одной из расширенных медиан , лежащей на описанной окружности . Тогда это параллелограмм , два треугольника и на которые он может быть разделен подобны , является средней точкой , а линия Эйлера треугольника является серединным перпендикуляром . ^[2] ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle AL}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle BGCL}$ ${\displaystyle BGL}$ ${\displaystyle CLG}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle AL}$ ${\displaystyle AL}$

При генерации примитивного автомедианного треугольника из примитивной пифагоровой тройки с использованием евклидовых параметров тогда и следует, что . Поскольку непримитивные автомедианные треугольники кратны своим примитивам, неравенства сторон применимы ко всем целочисленным автомедианным треугольникам. Равенство имеет место только для тривиальных равносторонних треугольников. Кроме того, поскольку всегда нечетно, все стороны должны быть нечетными. Этот факт позволяет автомедианным тройкам иметь стороны и периметр только простых чисел. Например, (13, 17, 7) имеет периметр 37. ${\displaystyle m,n}$ ${\displaystyle m>n}$ ${\displaystyle b\geq a\geq c}$ ${\displaystyle m+n}$ ${\displaystyle a,b,c}$

Поскольку в примитивном автомедианом треугольнике сторона представляет собой сумму двух квадратов и равна гипотенузе порождающей примитивной пифагоровой тройки, она делится только на простые числа, конгруэнтные 1 (по модулю 4). Следовательно, должно быть конгруэнтно 1 (по модулю 4). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

Точно так же, поскольку стороны связаны соотношением , каждая из сторон и в примитивном автомедиане представляет собой разницу между удвоенным квадратом и квадратом. Они также являются суммой и разностью катетов примитивной пифагорейской тройки. Это ограничивает и возможность делиться только на простые числа, конгруэнтные ±1 (по модулю 8). Следовательно, и должно быть конгруэнтно ±1 (по модулю 8). ^[4] ${\displaystyle 2a^{2}=b^{2}+c^{2}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

История

Изучение целочисленных квадратов в арифметической прогрессии имеет долгую историю, восходящую к Диофанту и Фибоначчи ; оно тесно связано с конгруа — числами, которые могут быть разностями квадратов в такой прогрессии. ^[1] Однако связь между этой проблемой и автомедианными треугольниками возникла гораздо позже. Проблема характеристики автомедианных треугольников была поставлена ​​в конце 19 века в « Education Times» (на французском языке) Жозефом Жаном Батистом Нойбергом и решена там с помощью формулы Уильяма Джона Гринстрита . ^[5] ${\displaystyle 2a^{2}=b^{2}+c^{2}}$

Особые случаи

Если не считать тривиальных случаев равносторонних треугольников, треугольник с длинами сторон 17, 13 и 7 является наименьшим (по площади или периметру) автомедианом треугольником с целыми длинами сторон. ^[2]

Существует только один автомедианный прямоугольный треугольник, треугольник с длинами сторон, пропорциональными 1, квадратным корнем из 2 и квадратным корнем из 3 . ^[2] Этот треугольник является вторым треугольником в спирали Теодора . Это единственный прямоугольный треугольник, в котором две медианы перпендикулярны друг другу. ^[2]

Смотрите также

• срединный треугольник
• Целочисленный треугольник
• Треугольник Кеплера — прямоугольный треугольник, в котором квадраты длин ребер образуют геометрическую, а не арифметическую прогрессию.

Рекомендации

1. Диксон, Леонард Юджин (1919), «Три квадрата в арифметической прогрессии x2 + z2 = 2y2», История теории чисел , тома 2–3 , Американское математическое общество, стр. 435–440, ISBN 978-0-8218-1935-7.
2. Парри, CF (1991), «Штайнер-Лемус и автомедианный треугольник», The Mathematical Gazette , 75 (472): 151–154, JSTOR  3620241.
3. Бени, Арпад, «Формула типа Герона для треугольника», Mathematical Gazette 87, июль 2003 г., 324–326.
4. Слоан, Нью-Джерси (редактор), «Последовательность A001132», Интернет -энциклопедия целочисленных последовательностей , Фонд OEIS
5. «Проблема 12705», Математические вопросы и решения из «Educational Times», том I, Ф. Ходжсон, 1902, стр. 77–78.. Первоначально опубликовано в Educational Times 71 (1899), стр. 56

Внешние ссылки

• Автомедианные треугольники и магические квадраты Математические страницы К. С. Брауна