Равносторонний треугольник

Форма с тремя равными сторонами

В геометрии равносторонний треугольник — это треугольник , у которого все три стороны имеют одинаковую длину. В знакомой евклидовой геометрии равносторонний треугольник также является равноугольным ; то есть все три внутренних угла также конгруэнтны друг другу и составляют каждый по 60 °. Это также правильный многоугольник , поэтому его еще называют правильным треугольником .

Основные свойства

Равносторонний треугольник. У него равные стороны ( ), равные углы ( ) и равные высоты ( ). ${\displaystyle a=b=c}$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma }$ ${\displaystyle h_{a}=h_{b}=h_{c}}$

Обозначив общую длину сторон равностороннего треугольника как , мы можем определить с помощью теоремы Пифагора , что: ${\displaystyle a}$

• Район ${\displaystyle A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2},}$
• Периметр ${\displaystyle p=3a\,\!}$
• Радиус описанной окружности равен ${\displaystyle R={\frac {a}{\sqrt {3}}}}$
• Радиус вписанной окружности равен или ${\displaystyle r={\frac {\sqrt {3}}{6}}a}$ ${\displaystyle r={\frac {R}{2}}}$
• Геометрический центр треугольника — это центр описанной и вписанной окружностей.
• Высота ( высота ) с любой стороны равна ${\displaystyle h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a}$

Обозначив радиус описанной окружности как R , мы можем определить с помощью тригонометрии , что:

• Площадь треугольника равна ${\displaystyle A={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}R^{2}}$

Многие из этих величин имеют простую связь с высотой («h») каждой вершины с противоположной стороны:

• Район ${\displaystyle A={\frac {h^{2}}{\sqrt {3}}}}$
• Высота центра с каждой стороны, или апофемы , равна ${\displaystyle {\frac {h}{3}}}$
• Радиус окружности, описывающей три вершины, равен ${\displaystyle R={\frac {2h}{3}}}$
• Радиус вписанной окружности равен ${\displaystyle r={\frac {h}{3}}}$

В равностороннем треугольнике высоты, биссектрисы, биссектрисы и медианы каждой стороны совпадают.

Характеристики

Треугольник , стороны которого , , , полупериметр , площадь , эксрадиусы , , (касательные к , , соответственно) и где и являются радиусами описанной и вписанной окружности соответственно, является равносторонним тогда и только тогда, когда любое из утверждений в следующие девять категорий верны. Таким образом, эти свойства уникальны для равносторонних треугольников, и знание того, что любое из них истинно, напрямую подразумевает, что мы имеем равносторонний треугольник. ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle r_{a}}$ ${\displaystyle r_{b}}$ ${\displaystyle r_{c}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$

Стороны

• ${\displaystyle a=b=c}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}={\frac {\sqrt {25Rr-2r^{2}}}{4Rr}}}$^[1]

Полупериметр

• ${\displaystyle s=2R+\left(3{\sqrt {3}}-4\right)r}$^[2] (Бландон)
• ${\displaystyle s^{2}=3r^{2}+12Rr}$^[3]
• ${\displaystyle s^{2}=3{\sqrt {3}}T}$^[4]
• ${\displaystyle s=3{\sqrt {3}}r}$
• ${\displaystyle s={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R}$

Углы

• ${\displaystyle A=B=C=60^{\circ }}$
• ${\displaystyle \cos {A}+\cos {B}+\cos {C}={\frac {3}{2}}}$
• ${\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}\sin {\frac {B}{2}}\sin {\frac {C}{2}}={\frac {1}{8}}}$^[5]

Область

• ${\displaystyle T={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4{\sqrt {3}}}}\quad }$( Вайценбёк )
• ${\displaystyle T={\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{\frac {2}{3}}}$^[4]

Окружной радиус, внутренний радиус и эксрадиус

• ${\displaystyle R=2r}$^[6] (Чаппл-Эйлер)
• ${\displaystyle 9R^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}$^[6]
• ${\displaystyle r={\frac {r_{a}+r_{b}+r_{c}}{9}}}$^[5]
• ${\displaystyle r_{a}=r_{b}=r_{c}}$

Равные чевианцы

Три вида чевиан совпадают и равны для (и только для) равносторонних треугольников: ^[7]

• Все три высоты имеют одинаковую длину.
• Три медианы имеют одинаковую длину.
• Три биссектрисы угла имеют одинаковую длину.

Совпадающие центры треугольников

Центр каждого треугольника равностороннего треугольника совпадает с его центроидом , что означает, что равносторонний треугольник — единственный треугольник, у которого нет линии Эйлера , соединяющей некоторые центры. Для некоторых пар центров треугольников того факта, что они совпадают, достаточно, чтобы треугольник был равносторонним. В частности:

• Треугольник является равносторонним, если любые два из центра описанной окружности , центра , центроида или ортоцентра совпадают. ^{[8] : стр.37}
• Он также является равносторонним, если его центр описанной окружности совпадает с точкой Нагеля или если его центр совпадает с его девятиточечным центром . ^[6]

Шесть треугольников, образованных разделением медианами.

В любом треугольнике три медианы делят треугольник на шесть меньших треугольников.

• Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда любые три меньших треугольника имеют одинаковый периметр или одинаковый радиус. ^{[9] : Теорема 1}
• Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда центры любых трех меньших треугольников находятся на одинаковом расстоянии от центроида. ^{[9] : Следствие 7.}

Точки на плоскости

• Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда для каждой точки плоскости с расстояниями , , и до сторон треугольника и расстояниями , , и до его вершин, ^{[10] : с.178, #235.4} ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$
  $${\displaystyle 4\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}\right)\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}.}$$

Известные теоремы

Наглядное доказательство теоремы Вивиани

1. Показаны ближайшие расстояния от точки P до сторон равностороннего треугольника . ${\displaystyle ABC}$
2. Линии , , и параллельные , и , соответственно, определяют меньшие треугольники , и . ${\displaystyle DE}$ ${\displaystyle FG}$ ${\displaystyle HI}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle CA}$ ${\displaystyle PHE}$ ${\displaystyle PFI}$ ${\displaystyle PDG}$
3. Поскольку эти треугольники равносторонние, их высоты можно повернуть так, чтобы они были вертикальными.
4. Как и в случае с параллелограммом, треугольник можно сдвинуть вверх, чтобы показать, что сумма высот равна высоте треугольника . ${\displaystyle PGCH}$ ${\displaystyle PHE}$ ${\displaystyle ABC}$

Теорема Морли о трисекторах утверждает, что в любом треугольнике три точки пересечения трисекторов соседних углов образуют равносторонний треугольник.

Теорема Наполеона гласит, что если на сторонах любого треугольника, либо полностью наружу, либо полностью внутрь, построить равносторонние треугольники, то центры этих равносторонних треугольников сами образуют равносторонний треугольник.

Версия изопериметрического неравенства для треугольников гласит, что треугольник наибольшей площади среди всех треугольников с данным периметром является равносторонним. ^[11]

Теорема Вивиани утверждает, что для любой внутренней точки равностороннего треугольника с расстояниями , , и от сторон и высоты , ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$

$${\displaystyle d+e+f=h,}$$

^[12] ${\displaystyle P}$

Теорема Помпейю утверждает, что если - произвольная точка в плоскости равностороннего треугольника, но не на его описанной окружности , то существует треугольник со сторонами длин , и . То есть , , и удовлетворяют неравенству треугольника , согласно которому сумма любых двух из них больше третьего. Если находится на описанной окружности, то сумма двух меньших равна самому длинному и треугольник выродился в прямую, этот случай известен как теорема Ван Скутена . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle PA}$ ${\displaystyle PB}$ ${\displaystyle PC}$ ${\displaystyle PA}$ ${\displaystyle PB}$ ${\displaystyle PC}$ ${\displaystyle P}$

Геометрическая конструкция

Построение равностороннего треугольника с помощью циркуля и линейки.

Равносторонний треугольник легко построить с помощью линейки и циркуля , поскольку 3 — простое число Ферма . Нарисуйте прямую линию, поместите острие циркуля на один конец линии и проведите дугу от этой точки к другой точке отрезка линии. Повторите то же самое с другой стороной линии. Наконец, соедините точку пересечения двух дуг с каждым концом отрезка.

Альтернативный метод — нарисовать круг радиусом , поместить точку компаса на круг и нарисовать еще один круг того же радиуса. Две окружности пересекутся в двух точках. Равносторонний треугольник можно построить, взяв два центра окружностей и любую из точек пересечения. ${\displaystyle r}$

В обоих методах побочным продуктом является образование vesica piscis .

Доказательство того, что получившаяся фигура представляет собой равносторонний треугольник, является первым утверждением в первой книге « Начал » Евклида .

Вывод формулы площади

Формулу площади через длину стороны можно вывести непосредственно с помощью теоремы Пифагора или с помощью тригонометрии. ${\displaystyle A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}$ ${\displaystyle a}$

Используя теорему Пифагора

Площадь треугольника равна половине произведения одной стороны на высоту этой стороны: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle h}$

$${\displaystyle A={\frac {1}{2}}ah.}$$

Равносторонний треугольник со стороной 2 имеет высоту √ 3 , так как синус 60 ° равен √ 3/2 .

Катеты любого прямоугольного треугольника, образованные высотой равностороннего треугольника, составляют половину основания , а гипотенуза — сторона равностороннего треугольника. Высоту равностороннего треугольника можно найти по теореме Пифагора. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right)^{2}+h^{2}=a^{2}}$$

$${\displaystyle h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a.}$$

Подстановка в формулу площади дает формулу площади равностороннего треугольника: ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}ah}$

$${\displaystyle A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}.}$$

Использование тригонометрии

Используя тригонометрию , площадь треугольника с любыми двумя сторонами и и углом между ними равна ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\sin C.}$$

Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°, поэтому

$${\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\sin 60^{\circ }.}$$

Синус 60° равен . Таким образом ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}}$

$${\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\times {\frac {\sqrt {3}}{2}}={\frac {\sqrt {3}}{4}}ab={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}$$

Другие объекты недвижимости

Равносторонний треугольник — наиболее симметричный треугольник, имеющий 3 линии отражения и вращательную симметрию порядка 3 относительно своего центра, группа симметрии которого — группа диэдра порядка 6 , . Равносторонний треугольник с целыми сторонами — единственный треугольник с целыми сторонами и тремя рациональными углами, измеренными в градусах. ^[13] Это единственный остроугольный треугольник, похожий на свой прямоугольный треугольник (с вершинами в основании высот ) , ^{[14] : с. 19} и единственный треугольник, эллипс Штейнера которого представляет собой круг (точнее, вписанную окружность). Треугольник наибольшей площади из всех, вписанных в данную окружность, является равносторонним, и треугольник наименьшей площади из всех, описанных вокруг данной окружности, также является равносторонним. ^[15] Это единственный правильный многоугольник, не считая квадрата , который можно вписать внутрь любого другого правильного многоугольника. ${\displaystyle \mathrm {D} _{3}}$

Согласно неравенству Эйлера , равносторонний треугольник имеет наименьшее отношение радиуса описанной окружности к внутреннему радиусу любого треугольника, с ^{[16] : стр.198.} ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle {\frac {R}{r}}=2.}$$

Учитывая точку внутри равностороннего треугольника, отношение суммы ее расстояний от вершин к сумме ее расстояний от сторон больше или равно 2, равенство сохраняется, когда является центроидом. Ни в одном другом треугольнике нет точки, для которой это отношение было бы столь же мало, как 2. ^[17] Это неравенство Эрдеша – Морделла ; более сильным его вариантом является неравенство Барроу , которое заменяет перпендикулярные расстояния к сторонам расстояниями от до точек, где биссектрисы , , и пересекают стороны ( , , и являются вершинами) . Существует множество других неравенств треугольника , которые выполняются с равенством тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \angle APB}$ ${\displaystyle \angle BPC}$ ${\displaystyle \angle CPA}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

Для любой точки плоскости с расстояниями , , и от вершин , , и соответственно ^[18] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle 3\left(p^{4}+q^{4}+t^{4}+a^{4}\right)=\left(p^{2}+q^{2}+t^{2}+a^{2}\right)^{2}.}$$

Для любой точки плоскости с расстояниями , и от вершин ^[19] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle p^{2}+q^{2}+t^{2}=3\left(R^{2}+L^{2}\right),}$$

$${\displaystyle p^{4}+q^{4}+t^{4}=3\left[\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+2R^{2}L^{2}\right],}$$

${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle P}$

Для любой точки вписанной окружности равностороннего треугольника с расстояниями , и от вершин ^[20] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle 4\left(p^{2}+q^{2}+t^{2}\right)=5a^{2},}$$

$${\displaystyle 16\left(p^{4}+q^{4}+t^{4}\right)=11a^{4}.}$$

Для любой точки на малой дуге описанной окружности с расстояниями , , и от , , и соответственно ^[12] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle p=q+t,}$$

$${\displaystyle q^{2}+qt+t^{2}=a^{2}.}$$

При этом, если точка на стороне разбивается на отрезки и имеющие длину и имеющую длину , то ^{[12] : 172} ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle PA}$ ${\displaystyle PD}$ ${\displaystyle DA}$ ${\displaystyle DA}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle PD}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle z={\frac {t^{2}+tq+q^{2}}{t+q}},}$$

${\textstyle {\tfrac {t^{3}-q^{3}}{t^{2}-q^{2}}}}$ ${\displaystyle t\neq q}$

$${\displaystyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{t}}={\frac {1}{y}},}$$

оптическим уравнением

Для равностороннего треугольника:

• Отношение его площади к площади вписанного круга является наибольшим из всех треугольников. ^{[21] : Теорема 4.1.} ${\displaystyle {\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$

• Отношение его площади к квадрату его периметра больше, чем у любого неравностороннего треугольника. ^[11] ${\displaystyle {\frac {1}{12{\sqrt {3}}}},}$

• Если отрезок разбивает равносторонний треугольник на две области с равными периметрами и площадями и , то ^{[10] : с.151, #J26} ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$

$${\displaystyle {\frac {7}{9}}\leq {\frac {A_{1}}{A_{2}}}\leq {\frac {9}{7}}.}$$

Если треугольник помещен в комплексную плоскость с комплексными вершинами , , и , то для любого невещественного кубического корня из 1 треугольник равносторонний тогда и только тогда, когда ^{[22] : Лемма 2} ${\displaystyle z_{1}}$ ${\displaystyle z_{2}}$ ${\displaystyle z_{3}}$ ${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle z_{1}+\omega z_{2}+\omega ^{2}z_{3}=0.}$$

Мозаика равностороннего треугольника заполняет плоскость.

Примечательно, что равносторонний треугольник замостил двумерное пространство шестью треугольниками, сходящимися в вершине, чья двойная мозаика представляет собой шестиугольную мозаику . 3.12 ² , 3.4.6.4 , (3.6) ² , 3 ² .4.3.4 и 3 ⁴ .6 — все полуправильные мозаики, построенные из равносторонних треугольников. ^[23]

Правильный тетраэдр состоит из четырех равносторонних треугольников.

В трех измерениях равносторонние треугольники образуют грани правильных и однородных многогранников . Три из пяти Платоновых тел состоят из равносторонних треугольников: тетраэдра , октаэдра и икосаэдра . ^{[24] : с.238} В частности, трёхмерным аналогом треугольника можно считать тетраэдр, имеющий четыре равносторонних треугольника вместо граней . Все Платоновы тела могут вписывать тетраэдры, а также быть вписанными внутрь тетраэдров. Равносторонние треугольники также образуют однородные антипризмы , а также однородные звездные антипризмы в трехмерном пространстве. В случае антипризм две (незеркальные) параллельные копии правильных многоугольников соединены чередующимися полосами равносторонних треугольников. ^[25] В частности, для звездных антипризм существуют прогрессивные и ретроградные (перекрещенные) решения, которые соединяют зеркальные и незеркальные параллельные звездчатые многоугольники . ^{[26] [27]} Платонов октаэдр также является треугольной антипризмой , которая является первым истинным членом бесконечного семейства антипризм (тетраэдр, как двуугольная антипризма, иногда считается первым). ^{[24] : стр. 240} ${\displaystyle 2n}$

В качестве обобщения равносторонний треугольник принадлежит бесконечному семейству -симплексов с . ^[28] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=2}$

В культуре и обществе

Равносторонние треугольники часто встречаются в искусственных конструкциях:

• Форма встречается в современной архитектуре, например, в поперечном разрезе Арки Ворот . ^[29]
• Его применение в флагах и геральдике включает флаг Никарагуа ^[30] и флаг Филиппин . ^[31]
• Это форма различных дорожных знаков , в том числе знака «Уступи дорогу» . ^[32]

Смотрите также

• Почти равносторонний геронов треугольник
• Равнобедренный треугольник
• Тройной сюжет
• Трилинейные координаты

Рекомендации

1. Бенце, Михай; У, Хуэй-Хуа; Ву, Шан-Хе (2008). «Эквивалентная форма фундаментального неравенства треугольника и ее приложения» (PDF) . Журнал неравенств в чистой и прикладной математике . 10 (1): 1–6 (статья № 16). ISSN  1443-5756. МР  2491926. S2CID  115305257. Збл  1163.26316.
2. Доспинеску, Г.; Ласку, М.; Похоата, К.; Летива, М. (2008). «Элементарное доказательство неравенства Бландона» (PDF) . Журнал неравенств в чистой и прикладной математике . 9 (4): 1-3 (Документ № 100). ISSN  1443-5756. S2CID  123965364. Збл  1162.51305.
3. Бландон, WJ (1963). «О некоторых полиномах, связанных с треугольником». Журнал «Математика» . Тейлор и Фрэнсис . 36 (4): 247–248. дои : 10.2307/2687913. JSTOR  2687913. S2CID  124726536. Збл  0116.12902.
4. Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2009). Когда меньше значит больше. Визуализация основных неравенств. Математические изложения Дольчиани. Том. 36. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки . стр. 71, 155. doi : 10.5948/upo9781614442028. ISBN 978-0-88385-342-9. МР  2498836. OCLC  775429168. S2CID  117769827. Збл  1163.00008.
5. Похоата, Космин (2010). «Новое доказательство неравенства Эйлера вписанного радиуса — описанного радиуса» (PDF) . Газета Математика Серия Б (3): 121–123. S2CID  124244932.
6. Андрееску, Титу; Андрика, Дориан (2006). Комплексные числа от А до... Я (1-е изд.). Бостон, Массачусетс: Биркхойзер . стр. 70, 113–115. дои : 10.1007/0-8176-4449-0. ISBN 978-0-8176-4449-9. OCLC  871539199. S2CID  118951675.
7. Оуэн, Байер; Феликс, Лазебник; Дейдра, Смельцер (2010). Методы евклидовой геометрии . Ресурсы для классных комнат. Том. 37. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки . стр. 36, 39. doi :10.5860/choice.48-3331. ISBN 9780883857632. OCLC  501976971. S2CID  118179744.
8. Ю, Пол (1998). «Заметки по евклидовой геометрии» (PDF) . Атлантический университет Флориды, факультет математических наук (конспекты курса).
9. Церин, Звонко (2004). «Треугольники вершина-середина-центроид» (PDF) . Форум Геометрикорум . 4 : 97–109.
10. «Неравенства, предложенные в «Crux Mathematicorum»» (PDF) .
11. Чакерян, Г.Д. «Искаженный взгляд на геометрию». Ч. 7 по «Математическим сливам» (Р. Хонсбергер, редактор). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, 1979: 147.
12. Посаментье, Альфред С.; Салкинд, Чарльз Т. (1996). Сложные задачи по геометрии . Дувр Пабл.
13. Конвей, Дж. Х., и Гай, Р. К., «Единственный рациональный треугольник», в « Книге чисел» , 1996, Springer-Verlag, стр. 201 и 228–239.
14. Леон Банкофф и Джек Гарфанкел, «Семиугольный треугольник», Mathematics Magazine 46 (1), январь 1973 г., 7–19,
15. Дорри, Генрих (1965). 100 великих задач элементарной математики . Дувр Пабл. стр. 379–380.
16. Свртан, Драгутин; Вельян, Дарко (2012). «Неевклидовы версии некоторых классических неравенств треугольника» (PDF) . Форум Геометрикорум . 12 : 197–209.
17. Ли, Ходжу (2001). «Еще одно доказательство теоремы Эрдеша – Морделла» (PDF) . Форум Геометрикорум . 1 :7–8.
18. Гарднер, Мартин, «Элегантные треугольники», в книге «Математический цирк» , 1979, стр. 65.
19. Месхишвили, Мамука (2021). «Циклические средние значения правильных многоугольных расстояний» (PDF) . Международный журнал геометрии . 10 :58–65.
20. Де, Притвиджит (2008). «Любопытные свойства описанной и вписанной окружности равностороннего треугольника» (PDF) . Математический спектр . 41 (1): 32–35.
21. Минда, Д.; Фелпс, С. (2008). «Треугольники, эллипсы и кубические многочлены». Американский математический ежемесячник . 115 (октябрь): 679–689. дои : 10.1080/00029890.2008.11920581. JSTOR  27642581. S2CID  15049234.
22. Дао, Тхань Оай (2015). «Равносторонние треугольники и перспективы Киперта в комплексных числах» (PDF) . Форум Геометрикорум . 15 : 105–114.
23. Грюнбаум, Бранко ; Шепард, Джеффри (ноябрь 1977 г.). «Замощения правильными многоугольниками» (PDF) . Журнал «Математика» . Тейлор и Фрэнсис, Ltd. 50 (5): 231–234. дои : 10.2307/2689529. JSTOR  2689529. MR  1567647. S2CID  123776612. Zbl  0385.51006.
24. Джонсон, Норман В. (2018). Геометрии и преобразования (1-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета . стр. xv, 1–438. дои : 10.1017/9781316216477. ISBN 978-1107103405. S2CID  125948074. Збл  1396.51001.
25. Кромвель, Питер Т. (1997). «Глава 2: Архимедовы тела» . Многогранники (1-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п. 85. ИСБН 978-0521664059. МР  1458063. OCLC  41212721. Збл  0888.52012.
26. Клитцинг, Ричард. «n-антипризма с номером обмотки d». Многогранники и их матрицы инцидентности . Bendwavy.org (Антон Шервуд) . Проверено 9 марта 2023 г.
27. Уэбб, Роберт. «Многогранный словарь Стеллы». Стелла . Проверено 9 марта 2023 г.
28. HSM Коксетер (1948). Правильные многогранники (1-е изд.). Лондон: Methuen & Co. LTD. стр. 120–121. OCLC  4766401. Збл  0031.06502.
29. Пелконен, Эева-Лийза; Альбрехт, Дональд, ред. (2006). Ээро Сааринен: Формируя будущее. Издательство Йельского университета. стр. 160, 224, 226. ISBN. 978-0972488129.
30. Уайт, Стивен Ф.; Кальдерон, Эстела (2008). Культура и обычаи Никарагуа . Гринвуд Пресс. п. 3. ISBN 978-0313339943.
31. Гильермо, Артемио Р. (2012). Исторический словарь Филиппин. Пугало Пресс. п. 161. ИСБН 978-0810872462.
32. Райли, Майкл В.; Кокран, Дэвид Дж.; Баллард, Джон Л. (декабрь 1982 г.). «Исследование предпочтительных форм предупреждающих надписей». Человеческий фактор: Журнал Общества человеческого фактора и эргономики . 24 (6): 737–742. дои : 10.1177/001872088202400610. S2CID  109362577.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Равносторонний треугольник». Математический мир .