В геометрии икосаэдр ( / ˌ aɪ k ɒ s ə ˈ h iː d r ən , - k ə - , - k oʊ -/ or / aɪ ˌ k ɒ s ə ˈ h iː d r ən / [ 1] ) - это многогранник с 20 гранями. Название происходит от древнегреческого εἴκοσι (eikosi) «двадцать» и ἕδρα (hédra) «сидение». Множественное число может быть либо «икосаэдры» ( /- d r ə / ), либо «икосаэдры».
Существует бесконечно много непохожих форм икосаэдров, некоторые из них более симметричны, чем другие. Самым известным является ( выпуклый , незвездчатый ) правильный икосаэдр — одно из платоновых тел , грани которого представляют собой 20 равносторонних треугольников .
Есть два объекта, выпуклый и невыпуклый, которые оба можно назвать правильными икосаэдрами. Каждый из них имеет 30 ребер и 20 граней равностороннего треугольника , по пять сходящихся в каждой из двенадцати вершин. Оба имеют икосаэдрическую симметрию . Термин «правильный икосаэдр» обычно относится к выпуклой разновидности, тогда как невыпуклая форма называется большим икосаэдром .
Выпуклый правильный икосаэдр обычно называют просто правильным икосаэдром , одним из пяти правильных платоновых тел , и он представлен символом Шлефли {3, 5}, содержащим 20 треугольных граней, по 5 граней, встречающихся вокруг каждой вершины.
Его двойственный многогранник представляет собой правильный додекаэдр {5, 3}, имеющий три правильные пятиугольные грани вокруг каждой вершины.
Большой икосаэдр — один из четырех правильных звездных многогранников Кеплера-Пуансо . Его символ Шлефли — {3,5/2}. Как и выпуклая форма, она также имеет 20 равносторонних треугольных граней, но фигура ее вершины представляет собой пентаграмму, а не пятиугольник, что приводит к геометрически пересекающимся граням. Пересечения треугольников не представляют собой новые ребра.
Его двойственный многогранник — это большой звездчатый додекаэдр {5/2, 3}, имеющий три правильные пятиугольные грани звезды вокруг каждой вершины.
Звездчатость — это процесс удлинения граней или ребер многогранника до тех пор, пока они не встретятся и не образуют новый многогранник. Это делается симметрично, чтобы полученная фигура сохранила общую симметрию родительской фигуры.
В своей книге «Пятьдесят девять икосаэдров » Коксетер и др. насчитал 58 таких звездочек правильного икосаэдра.
Многие из них имеют по одной грани в каждой из 20 плоскостей граней и поэтому также являются икосаэдрами. Среди них – великий икосаэдр.
Другие звездчатые имеют более одной грани в каждой плоскости или образуют соединения более простых многогранников. Это не строго икосаэдры, хотя их часто называют таковыми.
Правильный икосаэдр может быть искажен или отмечен как более низкая пиритоэдрическая симметрия, [2] [3] и называется курносым октаэдром , курносым тетратетраэдром , курносым тетраэдром и псевдоикосаэдром . Это можно рассматривать как чередующийся усеченный октаэдр . Если все треугольники равносторонние , симметрию можно также отличить, раскрасив наборы треугольников из 8 и 12 в разные цвета.
Пиритоэдрическая симметрия имеет символ (3*2), [3 + ,4] с порядком 24. Тетраэдральная симметрия имеет символ (332), [3,3] + , с порядком 12. Эти более низкие симметрии допускают геометрические искажения от 20 равносторонние треугольные грани, вместо этого имеющие 8 равносторонних треугольников и 12 конгруэнтных равнобедренных треугольников .
Эти симметрии предлагают диаграммы Кокстера :
исоответственно, каждый из которых представляет более низкую симметрию правильного икосаэдра. 
, (*532), [5,3] икосаэдрическая симметрия порядка 120.
Координаты 12 вершин могут быть определены векторами, определяемыми всеми возможными циклическими перестановками и сменами знаков координат формы (2, 1, 0). Эти координаты представляют собой усеченный октаэдр с удаленными чередующимися вершинами.
Эта конструкция называется курносым тетраэдром в его форме правильного икосаэдра, порожденным теми же операциями, выполняемыми, начиная с вектора ( φ , 1, 0), где φ — золотое сечение . [3]
В икосаэдре Йессена, иногда называемом ортогональным икосаэдром Йессена , 12 равнобедренных граней расположены по-разному, так что фигура невыпуклая и имеет прямые двугранные углы .
Это ножницы, конгруэнтные кубу, а это означает, что его можно разрезать на более мелкие многогранные части, которые можно переставлять, образуя сплошной куб.
Правильный икосаэдр топологически идентичен кубооктаэдру с шестью квадратными гранями, разделенными пополам по диагоналям с пиритоэдрической симметрией. Икосаэдры с пиритоэдрической симметрией составляют бесконечное семейство многогранников, в которое входят кубооктаэдр, правильный икосаэдр, икосаэдр Джессена и октаэдр с двойным покрытием . Между членами этого семейства существуют циклические кинематические преобразования.
Ромбический икосаэдр представляет собой зоноэдр , состоящий из 20 равных ромбов. Его можно получить из ромботриаконтаэдра , удалив 10 средних граней. Несмотря на то, что все грани конгруэнтны, ромбический икосаэдр не является транзитивным по граням .
Общие икосаэдры с симметрией пирамиды и призмы включают:
Некоторые тела Джонсона представляют собой икосаэдры: [4]
