Отрезок перпендикуляра, проведенный от стороны треугольника к противоположной вершине
Три высоты треугольника пересекаются в ортоцентре, который для остроугольного треугольника находится внутри треугольника.
В геометрии высота треугольника — это отрезок , проходящий через вершину и перпендикулярный прямой, содержащей сторону , противоположную вершине . Эта линия, содержащая противоположную сторону, называется расширенным основанием высоты. Пересечение расширенного основания и высоты называется подножием высоты . Длина высоты, часто называемая просто «высотой», представляет собой расстояние между расширенным основанием и вершиной. Процесс рисования высоты от вершины до подножия известен как понижение высоты в этой вершине. Это частный случай ортогональной проекции .
Высоты можно использовать при вычислении площади треугольника : половина произведения длины высоты на длину ее основания равна площади треугольника. Таким образом, наибольшая высота перпендикулярна наименьшей стороне треугольника. Высоты также связаны со сторонами треугольника через тригонометрические функции .
В равнобедренном треугольнике (треугольнике с двумя конгруэнтными сторонами) высота, имеющая неравную сторону в качестве основания, будет иметь середину этой стороны в качестве основания. Также высота, имеющая в качестве основания несовпадающую сторону, будет биссектрисой угла при вершине.
Высоту принято обозначать буквой h (как и высота ), к которой часто добавляется название стороны, к которой относится высота.
Высота прямоугольного треугольника от его прямого угла до гипотенузы есть среднее геометрическое длин отрезков, на которые разбита гипотенуза. Используя теорему Пифагора о 3 треугольниках сторон ( p + q , r , s ) , ( r , p , h ) и ( s , h , q ) ,
В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе c , делит гипотенузу на два отрезка длиной p и q . Если мы обозначим длину высоты через h c , мы получим соотношение
В прямоугольном треугольнике высота каждого острого угла совпадает с катетом и пересекает противоположную сторону (основание находится в) вершине прямоугольного угла, которая является ортоцентром.
В остроугольных треугольниках все основания высот лежат на сторонах треугольника (не вытянуты). В тупоугольном треугольнике (с тупым углом ) основание высоты, ведущей к тупоугольной вершине, попадает во внутреннюю часть противоположной стороны, а основания высот, ведущих к остроугольным вершинам, приходятся на противоположную протяженную сторону. , вне треугольника. Это показано на соседней диаграмме: в этом тупоугольном треугольнике высота, опущенная перпендикулярно верхней вершине, имеющей острый угол, пересекает вытянутую горизонтальную сторону снаружи треугольника.
Ортоцентр
Три высоты, пересекающиеся в ортоцентре
Три (возможно, расширенные) высоты пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника , обычно обозначаемой H. [1] [2] Ортоцентр лежит внутри треугольника тогда и только тогда, когда треугольник остроугольный. Если один угол прямой, то ортоцентр совпадает с вершиной под прямым углом. [2]
Пусть A, B, C обозначают вершины, а также углы треугольника, а – длины сторон. Ортоцентр имеет трилинейные координаты [3]
Поскольку все барицентрические координаты положительны для точки внутри треугольника, но по крайней мере одна отрицательна для точки снаружи, а две барицентрические координаты равны нулю для точки вершины, барицентрические координаты, заданные для ортоцентра, показывают, что ортоцентр находится внутри остроугольного треугольника , в прямоугольной вершине прямоугольного треугольника и снаружи тупоугольного треугольника .
Пусть на комплексной плоскости точки A, B, C обозначают числа z A , z B , z C и предположим, что центр описанной окружности треугольника △ ABC расположен в начале координат плоскости. Тогда комплексное число
представлена точкой H , а именно высотой треугольника △ ABC . [4] Отсюда непосредственно можно установить следующие характеристики ортоцентра H посредством свободных векторов :
Первое из предыдущих векторных тождеств также известно как проблема Сильвестра , предложенная Джеймсом Джозефом Сильвестром . [5]
Характеристики
Пусть D, E, F обозначают основания высот из A, B, C соответственно. Затем:
Произведение длин отрезков, на которые ортоцентр делит высоту, одинаково для всех трех высот: [6] [7]
Круг с центром в точке H и радиусом, равным квадратному корню из этой константы, является полярным кругом треугольника . [8]
Сумма отношений по трем высотам расстояния ортоцентра от основания к длине высоты равна 1: [9] (Это свойство и следующее являются приложениями более общего свойства любой внутренней точки и через него прошли три чевиана .)
Сумма отношений по трем высотам расстояния ортоцентра от вершины к длине высоты равна 2: [9]
Изогонально сопряженный ортоцентру является центром описанной окружности треугольника. [10]
Четыре точки на плоскости, одна из которых является ортоцентром треугольника, образованного тремя другими, называется ортоцентрической системой или ортоцентрическим четырехугольником.
Связь с окружностями и кониками
Обозначим радиус описанной окружности треугольника через R. Тогда [12] [13]
Кроме того, обозначая r как радиус вписанной окружности треугольника , ra , r b , rc как радиусы его вписанной окружности и снова R как радиус описанной окружности, справедливы следующие соотношения относительно расстояний ортоцентра от вершины: [14]
Если какая-либо высота, например AD , продлена до пересечения описанной окружности в точке P , так что AD является хордой описанной окружности, то основание D делит отрезок HP пополам : [7]
Через ортоцентр проходят директрисы всех парабол , касающихся снаружи одной стороны треугольника и касательных продолжений других сторон. [15]
Ортоцентр H , центроид G , центр описанной окружности O и центр N девятиточечного круга лежат на одной линии, известной как линия Эйлера . [17] Центр девятиточечного круга находится в середине линии Эйлера, между ортоцентром и центром описанной окружности, а расстояние между центроидом и центром описанной окружности составляет половину расстояния между центроидом и ортоцентром: [18]
Ортоцентр находится ближе к центру I , чем к центроиду, а ортоцентр находится дальше, чем центр тяжести от центроида:
Треугольник △ abc (соответственно в тексте △ DEF ) является ортогональным треугольником треугольника △ ABC.
Если треугольник △ ABC косоугольный (не содержит прямого угла), педальный треугольник ортоцентра исходного треугольника называется ортическим треугольником или треугольником высот . То есть основания высот косоугольного треугольника образуют ортогональный треугольник △ DEF . Кроме того, инцентр (центр вписанной окружности) прямоугольного треугольника △ DEF является ортоцентром исходного треугольника △ ABC . [21]
Расширенные стороны ортического треугольника встречаются с противоположными расширенными сторонами его опорного треугольника в трех коллинеарных точках . [22] [23] [21]
В любом остроугольном треугольнике вписанный треугольник с наименьшим периметром является ортогональным треугольником. [24] Это решение проблемы Фаньяно , поставленной в 1775 году. [25] Стороны прямоугольного треугольника параллельны касательным к описанной окружности в вершинах исходного треугольника. [26]
Ортический треугольник остроугольного треугольника дает треугольный путь света. [27]
Касательные линии девятиточечной окружности в серединах сторон △ ABC параллельны сторонам прямоугольного треугольника, образуя треугольник, аналогичный прямоугольному треугольнику. [28]
Ортогональный треугольник тесно связан с касательным треугольником , построенным следующим образом: пусть L A — прямая, касающаяся описанной окружности треугольника △ ABC в вершине A , и определим L B , L C аналогично. Пусть касательный треугольник равен △ A"B"C" , стороны которого являются касательными к треугольнику △ окружности, описанной в вершинах треугольника ABC ; он гомотетичен прямоугольному треугольнику. Центр описанной окружности касательного треугольника и центр подобия треугольника ортический и касательный треугольники лежат на линии Эйлера [20] : стр. 447.
Трилинейные координаты вершин касательного треугольника имеют вид
Подробнее об ортогональном треугольнике смотрите здесь .
Некоторые дополнительные теоремы о высоте
Высота по сторонам
Для любого треугольника со сторонами a, b, c и полупериметром высота стороны a определяется выражением
Это следует из объединения формулы Герона для площади треугольника через стороны с формулой площади, где за сторону а принимается основание , а за высоту — высота из А.
Теоремы об радиусе
Рассмотрим произвольный треугольник со сторонами a, b, c и соответствующими высотами h a , h b , h c . Высоты и радиус вписанной окружности r связаны соотношением [29] : Лемма 1
Теорема об описанном радиусе
Обозначая высоту одной стороны треугольника как h a , двух других сторон как b и c , а радиус описанной окружности треугольника (радиус описанной окружности треугольника) как R , высота определяется выражением [30]
Внутренняя точка
Если p1 , p2 , p3 — расстояния по перпендикулярам от любой точки P до сторон , а h1 , h2 , h3 — высоты до соответствующих сторон, то [ 31 ]
Теорема о площади
Обозначая высоты любого треугольника со сторон a , b, c соответственно как ha , hb , hc и обозначая полусумму обратных высот, как мы имеем [32]
Общая точка на высоте
Если E — любая точка на высоте AD любого треугольника △ ABC , то [33] : 77–78.
Теорема о том, что три высоты треугольника совпадают (в ортоцентре), прямо не сформулирована в сохранившихся греческих математических текстах, но используется в Книге лемм (предложение 5), приписываемой Архимеду (3 век до н. э.), со ссылкой на « комментарий к трактату о прямоугольных треугольниках», произведение не сохранилось. О нем упоминал и Папп ( Математический сборник , VII, 62; ок. 340). [36] Теорема была сформулирована и явно доказана ан-Насави в его (11 веке) комментарии к Книге лемм и приписана аль-Кухи ( 10 век ). [37]
Это доказательство на арабском языке было переведено как часть латинского издания Книги лемм (начало 17 века) , но не было широко известно в Европе, поэтому теорема была доказана еще несколько раз в 17–19 веках. Самуэль Маруа доказал это в своей «Геометрии» (1619 г.), а Исаак Ньютон доказал это в неоконченном трактате «Геометрия кривых линий» ( ок. 1680 г.). [36] Позже Уильям Чаппл доказал это в 1749 году. [38]
Особенно элегантное доказательство принадлежит Франсуа-Жозефу Сервуа (1804 г.) и независимо Карлу Фридриху Гауссу (1810 г.): проведите линию, параллельную каждой стороне треугольника, через противоположную точку и сформируйте новый треугольник из пересечений этих трех линий. . Тогда исходный треугольник является медиальным треугольником нового треугольника, а высоты исходного треугольника являются серединными перпендикулярами нового треугольника и, следовательно, совпадают (в центре описанной окружности нового треугольника). [39]
^ Энциклопедия центров треугольников Кларка Кимберлинга «Энциклопедия центров треугольников». Архивировано из оригинала 19 апреля 2012 г. Проверено 19 апреля 2012 г.
^ Андрееску, Титу; Андрика, Дорин, «Комплексные числа от А до...Я». Биркхойзер, Бостон, 2006 г., ISBN 978-0-8176-4326-3 , стр. 90, Предложение 3.
^ Дорри, Генрих, «100 великих задач элементарной математики. Их история и решение». Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1965, ISBN 0-486-61348-8 , стр. 142.
^ Джонсон 2007, с. 163, статья 255
^ ab ""Ортоцентр треугольника"". Архивировано из оригинала 5 июля 2012 г. Проверено 4 мая 2012 г.
^ Джонсон 2007, с. 176, статья 278
^ аб Панапои, Ронначай, «Некоторые свойства ортоцентра треугольника», Университет Джорджии .
^ Смарт 1998, с. 182
^ Вайсштейн, Эрик В. «Изотомное сопряжение» Из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/IsotomicConjugate.html
^ Вайсштейн, Эрик В. «Ортоцентр». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram.
^ Альтшиллер-Суд 2007, с. 102
^ Белл, Эми, «Теорема Хансена о прямоугольном треугольнике, ее обращение и обобщение», Forum Geometricorum 6, 2006, 335–342.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Парабола Киперта». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/KiepertParabola.html
^ Вайсштейн, Эрик В. «Джерабек Гипербола». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/JerabekHyperbola.html
^ Береле и Голдман 2001, с. 123
^ Береле и Голдман 2001, стр. 124-126.
^ Мари-Николь Гра, «Расстояния между центром описанной окружности треугольника касания и классическими центрами», Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html
^ Аб Смит, Джефф, и Леверша, Джерри, «Эйлер и геометрия треугольника», Mathematical Gazette 91, ноябрь 2007 г., 436–452.
^ AB Уильям Х. Баркер, Роджер Хоу (2007). «§ VI.2: Классические совпадения». Непрерывная симметрия: от Евклида до Клейна . Американское математическое общество. п. 292. ИСБН978-0-8218-3900-3.См. также: Следствие 5.5, с. 318.
^ Джонсон 2007, с. 199, статья 315
^ Альтшиллер-Суд 2007, с. 165
^ Джонсон 2007, с. 168, статья 264
^ Береле и Голдман 2001, стр. 120-122.
^ Джонсон 2007, с. 172, раздел 270с
^ Брайант В. и Брэдли Х., «Треугольные световые маршруты», Mathematical Gazette 82, июль 1998 г., 298–299.
^ Кей, Дэвид К. (1993), Геометрия колледжа / подход к открытиям , HarperCollins, стр. 6, ISBN0-06-500006-4
^ Дорин Андрика и Дэн Штефан Маринеску. «Новые интерполяционные неравенства для Эйлера R ≥ 2r». Forum Geometricorum , Том 17 (2017), стр. 149–156. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201719.pdf
^ Джонсон 2007, с. 71, статья 101а
^ Джонсон 2007, с. 74, раздел 103в
^ Митчелл, Дуглас В., «Формула типа Герона для обратной площади треугольника», Mathematical Gazette 89, ноябрь 2005 г., 494.
^ Альфред С. Посаментье и Чарльз Т. Салкинд, «Сложные проблемы геометрии» , Dover Publishing Co., второе исправленное издание, 1996 г.
^ Воулс, Роджер, «Целочисленные решения» , Mathematical Gazette 83, июль 1999 г., 269–271.
^ Ричиник, Дженнифер, «Перевернутая теорема Пифагора», Mathematical Gazette 92, июль 2008 г., 313–317.
^ аб Ньютон, Исаак (1971). «3.1 «Геометрия кривых линий»» . В Уайтсайде, Дерек Томас (ред.). Математические статьи Исаака Ньютона . Том. 4. Издательство Кембриджского университета. стр. 454–455.Обратите внимание на сноски Уайтсайда 90–92, стр. 454–456.
^ Хаджа, Моваффак; Мартини, Хорст (2013). «Совпадение высот треугольника» (PDF) . Математический семестр . 60 (2): 249–260. doi : 10.1007/s00591-013-0123-z. Хогендейк, Ян П. (2008). «Две красивые геометрические теоремы Абу Сала Кухи в голландском переводе 17 века». Тарикх-е Эльм: Иранский журнал истории науки . 6 :1–36.
^ Дэвис, Томас Стивенс (1850). «XXIV. Геометрия и геометры» (PDF) . Философский журнал . 3. 37 (249): 198–212. дои : 10.1080/14786445008646583.Сноска на стр. 207–208. Цитируется Богомольным Александром (2010). «Возможно, первое доказательство совпадения высот». Разрезать узел . Проверено 17 ноября 2019 г.
^ Сервуа, Франсуа-Жозеф (1804). Solutions peu connues de différens problèmes de Géométrie-pratique [ Малоизвестные решения различных практических задач по геометрии ] (на французском языке). Дьявол, Мец и Курсье. п. 15. Гаусс, Карл Фридрих (1810). «Зусятце». Геометрия дер Стеллунг . Карно, Лазар (на немецком языке). Перевод Шумахера.переиздано в книге Гаусса, Карла Фридриха (1873 г.). «Зусятце». Верке . Том. 4. Геттингенская академия наук. п. 396. См. Маккей, Джон Стерджен (1883). «Треугольник и шесть вписанных в него кругов §5. Ортоцентр». Труды Эдинбургского математического общества . 1 : 60–96. дои : 10.1017/S0013091500036762 .