линия Эйлера

Линия, построенная из треугольника

  Прямая Эйлера с центром в окружности девяти точек

  Медианы (пересекаются в центре тяжести )

  Высоты (пересекаются в ортоцентре )

  Перпендикулярные линии, выходящие из средних точек сторон (пересекаются в центре описанной окружности )

В геометрии прямая Эйлера , названная в честь Леонарда Эйлера ( / ˈ ɔɪ l ər / ), — это линия, определяемая из любого треугольника , который не является равносторонним . Это центральная линия треугольника, и она проходит через несколько важных точек, определяемых из треугольника, включая ортоцентр , центр описанной окружности , центроид , точку Эксетера и центр девятиточечной окружности треугольника. ^[1]

Понятие линии Эйлера треугольника распространяется на линию Эйлера других фигур, таких как четырехугольник и тетраэдр .

Центр треугольника находится на линии Эйлера.

Индивидуальные центры

Эйлер показал в 1765 году, что в любом треугольнике ортоцентр, центр описанной окружности и центроид лежат на одной прямой . ^[2] Это свойство справедливо и для другого центра треугольника , центра девяти точек , хотя во времена Эйлера оно не было определено. В равносторонних треугольниках эти четыре точки совпадают, но в любом другом треугольнике они все отличны друг от друга, и прямая Эйлера определяется любыми двумя из них.

Другие примечательные точки, лежащие на линии Эйлера, включают точку де Лоншана , точку Шиффлера , точку Эксетера и точку перспективы Госсарда . ^[1] Однако инцентр , как правило, не лежит на линии Эйлера; ^[3] он находится на линии Эйлера только для равнобедренных треугольников , ^[4] для которых линия Эйлера совпадает с осью симметрии треугольника и содержит все центры треугольников.

Тангенциальный треугольник референц-треугольника касается описанной окружности последнего в вершинах референц-треугольника. Центр описанной окружности тангенциального треугольника лежит на прямой Эйлера референц-треугольника. ^{[5] : стр. 447  [6] : стр.104, № 211, стр.242, № 346} Центр подобия орто- и тангенциального треугольников также находится на прямой Эйлера. ^{[5] : стр. 447  [6] :} стр ^{. 102}

Доказательства

Вектор доказательства

Пусть будет треугольником. Доказательство того, что центр описанной окружности , центроид и ортоцентр коллинеарны , опирается на свободные векторы . Начнем с формулировки предпосылок. Во-первых, удовлетворяет соотношению ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\vec {GA}}+{\vec {GB}}+{\vec {GC}}=0.}$

Это следует из того, что абсолютные барицентрические координаты равны . Далее, задача Сильвестра ^[7] читается как ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\frac {1}{3}}:{\frac {1}{3}}:{\frac {1}{3}}}$

${\displaystyle {\vec {OH}}={\vec {OA}}+{\vec {OB}}+{\vec {OC}}.}$

Теперь, используя векторное сложение, мы выводим, что

${\displaystyle {\vec {GO}}={\vec {GA}}+{\vec {AO}}\,{\mbox{(in triangle }}AGO{\mbox{)}},\,{\vec {GO}}={\vec {GB}}+{\vec {BO}}\,{\mbox{(in triangle }}BGO{\mbox{)}},\,{\vec {GO}}={\vec {GC}}+{\vec {CO}}\,{\mbox{(in triangle }}CGO{\mbox{)}}.}$

Сложив эти три соотношения, член за членом, получаем, что

${\displaystyle 3\cdot {\vec {GO}}=\left(\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyc}}}{\vec {GA}}\right)+\left(\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyc}}}{\vec {AO}}\right)=0-\left(\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyc}}}{\vec {OA}}\right)=-{\vec {OH}}.}$

В заключение, , и поэтому три точки , и (в этом порядке) лежат на одной прямой. ${\displaystyle 3\cdot {\vec {OG}}={\vec {OH}}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

В книге Дёрри ^[7] линия Эйлера и проблема Сильвестра объединены в одно доказательство. Однако большинство доказательств проблемы Сильвестра опираются на фундаментальные свойства свободных векторов, независимо от линии Эйлера.

Характеристики

Расстояния между центрами

На прямой Эйлера центроид G находится между центром описанной окружности O и ортоцентром H и в два раза дальше от ортоцентра, чем от центра описанной окружности: ^{[6] : стр.102}

${\displaystyle GH=2GO;}$

${\displaystyle OH=3GO.}$

Отрезок GH является диаметром ортоцентроидальной окружности .

Центр N окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера посередине между ортоцентром и центром описанной окружности: ^[1]

${\displaystyle ON=NH,\quad OG=2\cdot GN,\quad NH=3GN.}$

Таким образом, прямую Эйлера можно переместить на числовую прямую с центром описанной окружности O в точке 0, центроидом G в точке 2 t , центром девяти точек в точке 3 t и ортоцентром H в точке 6 t для некоторого масштабного коэффициента t .

Более того, квадрат расстояния между центроидом и центром описанной окружности вдоль прямой Эйлера меньше квадрата радиуса ^{описанной окружности} R2 на величину, равную одной девятой суммы квадратов длин сторон a , b и c : ^{[6] : стр.71}

${\displaystyle GO^{2}=R^{2}-{\tfrac {1}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).}$

Кроме того, ^{[6] : стр.102}

${\displaystyle OH^{2}=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2});}$

${\displaystyle GH^{2}=4R^{2}-{\tfrac {4}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).}$

Представление

Уравнение

Пусть A , B , C обозначают углы при вершинах опорного треугольника, а x  : y  : z — переменная точка в трилинейных координатах ; тогда уравнение для прямой Эйлера будет иметь вид

${\displaystyle \sin(2A)\sin(B-C)x+\sin(2B)\sin(C-A)y+\sin(2C)\sin(A-B)z=0.}$

Уравнение для линии Эйлера в барицентрических координатах имеет вид ^[8] ${\displaystyle \alpha :\beta :\gamma }$

${\displaystyle (\tan C-\tan B)\alpha +(\tan A-\tan C)\beta +(\tan B-\tan A)\gamma =0.}$

Параметрическое представление

Другой способ представления линии Эйлера — через параметр t . Начиная с центра описанной окружности (с трилинейными координатами ) и ортоцентра (с трилинеарными координатами), каждая точка на линии Эйлера, за исключением ортоцентра, задается трилинейными координатами ${\displaystyle \cos A:\cos B:\cos C}$ ${\displaystyle \sec A:\sec B:\sec C=\cos B\cos C:\cos C\cos A:\cos A\cos B),}$

${\displaystyle \cos A+t\cos B\cos C:\cos B+t\cos C\cos A:\cos C+t\cos A\cos B}$

образована как линейная комбинация трилинеек этих двух точек, для некоторого t .

Например:

• Центр описанной окружности имеет трилинейные линии, соответствующие значению параметра ${\displaystyle \cos A:\cos B:\cos C,}$ ${\displaystyle t=0.}$
• Центроид имеет трилинейки, соответствующие значению параметра ${\displaystyle \cos A+\cos B\cos C:\cos B+\cos C\cos A:\cos C+\cos A\cos B,}$ ${\displaystyle t=1.}$
• Девятиточечный центр имеет трилинейки, соответствующие значению параметра ${\displaystyle \cos A+2\cos B\cos C:\cos B+2\cos C\cos A:\cos C+2\cos A\cos B,}$ ${\displaystyle t=2.}$
• Точка де Лоншана имеет трилинейные линии, соответствующие значению параметра ${\displaystyle \cos A-\cos B\cos C:\cos B-\cos C\cos A:\cos C-\cos A\cos B,}$ ${\displaystyle t=-1.}$

Склон

В декартовой системе координат обозначим наклоны сторон треугольника как и , а наклон его прямой Эйлера как . Тогда эти наклоны связаны согласно ^{[9] : Лемма 1} ${\displaystyle m_{1},}$ ${\displaystyle m_{2},}$ ${\displaystyle m_{3},}$ ${\displaystyle m_{E}}$

${\displaystyle m_{1}m_{2}+m_{1}m_{3}+m_{1}m_{E}+m_{2}m_{3}+m_{2}m_{E}+m_{3}m_{E}}$

${\displaystyle +3m_{1}m_{2}m_{3}m_{E}+3=0.}$

Таким образом, наклон линии Эйлера (если он конечен) можно выразить через наклоны сторон следующим образом:

${\displaystyle m_{E}=-{\frac {m_{1}m_{2}+m_{1}m_{3}+m_{2}m_{3}+3}{m_{1}+m_{2}+m_{3}+3m_{1}m_{2}m_{3}}}.}$

Более того, прямая Эйлера параллельна стороне BC остроугольного треугольника тогда и только тогда, когда ^{[9] : стр.173} ${\displaystyle \tan B\tan C=3.}$

Отношение к вписанным равносторонним треугольникам

Геометрическое место центров масс равносторонних треугольников, вписанных в данный треугольник, образовано двумя прямыми, перпендикулярными прямой Эйлера данного треугольника. ^{[10] : Coro. 4}

В особых треугольниках

Прямоугольный треугольник

В прямоугольном треугольнике линия Эйлера совпадает с медианой к гипотенузе , то есть проходит как через прямоугольную вершину, так и через середину стороны, противоположной этой вершине. Это происходит потому, что ортоцентр прямоугольного треугольника, пересечение его высот , приходится на прямоугольную вершину, а его описанный центр, пересечение его перпендикулярных серединных сторон, приходится на середину гипотенузы.

Равнобедренный треугольник

Линия Эйлера равнобедренного треугольника совпадает с осью симметрии . В равнобедренном треугольнике инцентр лежит на линии Эйлера.

Автомедианный треугольник

Линия Эйлера автомедианного треугольника (треугольника, медианы которого находятся в тех же пропорциях, что и стороны, хотя и в обратном порядке) перпендикулярна одной из медиан. ^[11]

Системы треугольников с совпадающими прямыми Эйлера

Рассмотрим треугольник ABC с точками Ферма–Торричелли F ₁ и F _2. Прямые Эйлера 10 треугольников с вершинами, выбранными из A, B, C, F ₁ и F _2, пересекаются в центре тяжести треугольника ABC . ^[12]

Линии Эйлера четырех треугольников, образованных ортоцентрической системой (набор из четырех точек, каждая из которых является ортоцентром треугольника с вершинами в трех других точках), пересекаются в девятиточечном центре, общем для всех треугольников. ^{[6] : стр.111}

Обобщения

Четырехугольник

В выпуклом четырехугольнике квазиортоцентр H , «центроид площади» G и квазиописанный центр O лежат на одной прямой Эйлера в указанном порядке, и HG = 2 GO . ^[13]

Тетраэдр

Тетраэдр — это трехмерный объект, ограниченный четырьмя треугольными гранями . Семь линий, связанных с тетраэдром, пересекаются в его центроиде; его шесть средних плоскостей пересекаются в его точке Монжа ; и существует описанная сфера, проходящая через все вершины, центр которой является центром описанной окружности. Эти точки определяют «прямую Эйлера» тетраэдра, аналогичную таковой треугольника. Центроид — это середина между его точкой Монжа и центром описанной окружности вдоль этой линии. Центр двенадцатиточечной сферы также лежит на прямой Эйлера.

Симплициальный многогранник

Симплициальный многогранник — это многогранник, все грани которого являются симплексами (множественное число от симплекс). Например, каждый многоугольник является симплициальным многогранником. Прямая Эйлера, связанная с таким многогранником, — это линия, определяемая его центроидом и описанным центром масс . Это определение прямой Эйлера обобщает приведенные выше определения. ^[14]

Предположим, что это многоугольник. Прямая Эйлера чувствительна к симметриям следующим образом: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle P}$

1. Если имеет ось симметрии отражения , то является либо точкой , либо точкой . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

2. Если имеет центр вращательной симметрии , то . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle E=C}$

3. Если все стороны, кроме одной, имеют одинаковую длину, то треугольник ортогонален последней стороне. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle E}$

Связанные конструкции

Парабола Киперта треугольника — это уникальная парабола, которая касается сторон (две из которых продолжены ) треугольника и имеет прямую Эйлера в качестве своей направляющей . ^{[15] : стр. 63}

Ссылки

1. Кимберлинг, Кларк (1998). «Центры треугольников и центральные треугольники». Congressus Numerantium . 129 : i–xxv, 1–295.
2. Эйлер, Леонард (1767). «Solutio facilis проблематум кворундам геометрическиорум диффициллиморум» [Легкое решение некоторых сложных геометрических задач]. Novi Commentarii Academiae Scientarum Imperialis Petropolitanae . 11 : 103–123. Е325.Перепечатано в Opera Omnia , сер. Я, т. XXVI, стр. 139–157, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, Лозанна, 1953, MR 0061061. Краткое изложение: Дартмутский колледж.
3. Шаттшнайдер, Дорис; Кинг, Джеймс (1997). Геометрия включена: динамическое программное обеспечение в обучении, преподавании и исследованиях. Математическая ассоциация Америки. стр. 3–4. ISBN 978-0883850992.
4. Эдмондс, Аллан Л.; Хаджа, Моваффак; Мартини, Хорст (2008), "Ортоцентрические симплексы и бирегулярность", Результаты по математике , 52 (1–2): 41–50, doi :10.1007/s00025-008-0294-4, MR  2430410, S2CID  121434528, Хорошо известно, что инцентр евклидова треугольника лежит на его прямой Эйлера, соединяющей центроид и центр описанной окружности, тогда и только тогда, когда треугольник равнобедренный..
5. Леверша, Джерри; Смит, GC (ноябрь 2007 г.), «Эйлер и геометрия треугольника», Mathematical Gazette , 91 (522): 436–452, doi :10.1017/S0025557200182087, JSTOR  40378417, S2CID  125341434.
6. Альтшиллер-Корт, Натан, College Geometry , Dover Publications, 2007 (оригинал Barnes & Noble 1952).
7. Dörrie, Heinrich, "100 Great Problems of Elementary Mathematics. Their History and Solution". Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1965, ISBN 0-486-61348-8 , страницы 141 (Прямая Эйлера) и 142 (Задача Сильвестра) 
8. Скотт, JA, «Некоторые примеры использования площадных координат в геометрии треугольника», Mathematical Gazette 83, ноябрь 1999 г., 472-477.
9. Владимир Г. Боскофф, Лоренциу Хоменцовски и Богдан Д. Сучава, «Госсардовский Perspector и проективные последствия», Forum Geometricorum , том 13 (2013), 169–184. [1]
10. Франсиско Хавьер Гарсия Капитан, «Геометрическое место центроидов подобных вписанных треугольников», Forum Geometricorum 16, 2016, 257–267.http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201631.pdf
11. Parry, CF (1991), «Штайнер–Лемус и автомедианный треугольник», The Mathematical Gazette , 75 (472): 151–154, doi :10.2307/3620241, JSTOR  3620241.
12. Белухов, Николай Иванов. «Десять параллельных прямых Эйлера», Forum Geometricorum 9, 2009, стр. 271–274. http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200924index.html
13. Мякишев, Алексей (2006), «О двух замечательных прямых, связанных с четырехугольником» (PDF) , Forum Geometricorum , 6 : 289–295.
14. Табачников, Серж; Цукерман, Эммануэль (май 2014), «Окружной центр масс и обобщенная линия Эйлера», Дискретная и вычислительная геометрия , 51 (4): 815–836, arXiv : 1301.0496 , doi : 10.1007/s00454-014-9597-2, S2CID  12307207.
15. Шимеми, Бенедетто, «Простые соотношения относительно инэллипса Штейнера треугольника», Forum Geometricorum 10, 2010: 55–77.

Внешние ссылки

• Интерактивный апплет, показывающий несколько центров треугольников, лежащих на прямой Эйлера.
• «Линия Эйлера» и «Неевклидов треугольник» в проекте Wolfram Demonstrations
• Девятиточечная коника и обобщение прямой Эйлера, Дальнейшее обобщение прямой Эйлера и Квази-прямая Эйлера четырехугольника и шестиугольника в Очерках динамической геометрии
• Богомольный, Александр , «Высоты и прямая Эйлера» и «Прямая Эйлера и окружность из 9 точек», Cut-the-Knot
• Кимберлинг, Кларк , «Центры треугольников на линии Эйлера», Центры треугольников
• Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine: Станкова, Звезделина (1 февраля 2016 г.), «У треугольников есть волшебная трасса», Numberphile , YouTube
• Вайсштейн, Эрик В. «Линия Эйлера». Математический мир .