Медиана (геометрия)

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Медианы треугольника и центр тяжести .

В геометрии медиана треугольника — это отрезок , соединяющий вершину с серединой противоположной стороны и делящий эту сторону пополам . Каждый треугольник имеет ровно три медианы, по одной от каждой вершины, и все они пересекаются друг с другом в центроиде треугольника . В случае равнобедренных и равносторонних треугольников медиана делит пополам любой угол при вершине, две смежные стороны которого равны по длине. Понятие медианы распространяется и на тетраэдры .

Отношение к центру масс

Каждая медиана треугольника проходит через центр тяжести треугольника , который является центром масс бесконечно тонкого объекта однородной плотности, совпадающего с треугольником. ^[1] Таким образом, объект будет балансировать в точке пересечения медиан. Центроид находится в два раза ближе вдоль любой медианы к стороне, где медиана пересекается, чем к вершине, из которой она исходит.

Равновеликое деление

Каждая медиана делит площадь треугольника пополам; отсюда и название, и, следовательно, треугольный объект с одинаковой плотностью будет балансировать на любой медиане. (Любые другие линии, которые делят площадь треугольника на две равные части, не проходят через центр тяжести.) ^{[2] [3]} Три медианы делят треугольник на шесть меньших треугольников равной площади .

Доказательство равновеликой собственности

Рассмотрим треугольник АВС . Пусть D будет серединой , E будет серединой , F будет серединой , а O будет центроидом (чаще всего обозначаемым G ). ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ ${\displaystyle {\overline {AC}}}$

По определению, . Таким образом и , где представляет собой площадь треугольника  ; это справедливо, потому что в каждом случае два треугольника имеют основания одинаковой длины и имеют общую высоту от (расширенного) основания, а площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. ${\displaystyle AD=DB,AF=FC,BE=EC}$ ${\displaystyle [ADO]=[BDO],[AFO]=[CFO],[BEO]=[CEO],}$ ${\displaystyle [ABE]=[ACE]}$ ${\displaystyle [ABC]}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$

У нас есть:

${\displaystyle [ABO]=[ABE]-[BEO]}$

${\displaystyle [ACO]=[ACE]-[CEO]}$

Таким образом, и ${\displaystyle [ABO]=[ACO]}$ ${\displaystyle [ADO]=[DBO],[ADO]={\frac {1}{2}}[ABO]}$

Поскольку , следовательно, . Используя тот же метод, можно показать, что . ${\displaystyle [AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]}$ ${\displaystyle [AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]}$ ${\displaystyle [AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]=[BEO]=[CEO]}$

Три равных треугольника

В 2014 году Ли Саллоуз обнаружил следующую теорему: ^[4]

Медианы любого треугольника делят его на шесть равных по площади меньших треугольников, как показано на рисунке выше, где три соседние пары треугольников встречаются в средних точках D, E и F. Если два треугольника в каждой такой паре повернуты вокруг своей общей средней точки до тех пор, пока они не встречаются так, чтобы иметь общую сторону, то три новых треугольника, образованные объединением каждой пары, конгруэнтны.

Формулы, включающие длины медиан

Длины медиан можно получить из теоремы Аполлония как:

$${\displaystyle m_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}}$$

$${\displaystyle m_{b}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}}}}$$

$${\displaystyle m_{c}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}}}$$

${\displaystyle a,b,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle m_{a},m_{b},}$ ${\displaystyle m_{c}}$

Эти формулы подразумевают соотношения:^[5]

$${\displaystyle a={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{a}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-4m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{c}^{2}}}}$$

$${\displaystyle b={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{c}^{2}}}}$$

$${\displaystyle c={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{c}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+a^{2})-4m_{c}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{a}^{2}}}.}$$

Другие объекты недвижимости

Пусть ABC — треугольник, пусть G — его центр тяжести и пусть D , E и F — середины BC , CA и AB соответственно. Для любой точки P плоскости ABC тогда ^[6]

$${\displaystyle PA+PB+PC\leq 2(PD+PE+PF)+3PG.}$$

Центроид делит каждую медиану на части в соотношении 2:1, причем центроид находится в два раза ближе к середине стороны, чем к противоположной вершине.

Для любого треугольника со сторонами и медианами ^[7] ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle m_{a},m_{b},m_{c},}$

$${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}(a+b+c)<m_{a}+m_{b}+m_{c}<a+b+c\quad {\text{ and }}\quad {\tfrac {3}{4}}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}.}$$

Медианы сторон длин и перпендикулярны тогда и только тогда, когда [ ^8] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=5c^{2}.}$

Медианы прямоугольного треугольника с гипотенузой удовлетворяют ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}.}$

Площадь любого треугольника T можно выразить через его медианы следующим образом . Если их полусумму обозначить то ^[9] ${\displaystyle m_{a},m_{b}}$ ${\displaystyle m_{c}}$ ${\displaystyle \left(m_{a}+m_{b}+m_{c}\right)/2}$ ${\displaystyle \sigma }$

$${\displaystyle T={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma \left(\sigma -m_{a}\right)\left(\sigma -m_{b}\right)\left(\sigma -m_{c}\right)}}.}$$

Тетраэдр

медианы тетраэдра

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {|AS|}{|SS_{BCD}|}}={\frac {|BS|}{|SS_{ACD}|}}={\frac {|CS|}{|SS_{ABD}|}}\\=&{\frac {|DS|}{|SS_{ABC}|}}={\frac {3}{1}}\end{aligned}}}$

Тетраэдр — трехмерный объект , имеющий четыре треугольные грани . Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центром тяжести противоположной грани, называется медианой тетраэдра . Есть четыре медианы, и все они совпадают в центроиде тетраэдра. ^[10] Как и в двумерном случае, центр тяжести тетраэдра является центром масс . Однако в отличие от двумерного случая центроид делит медианы не в соотношении 2:1, а в соотношении 3:1 ( теорема Коммандино ).

Смотрите также

• Биссектриса угла
• Высота (треугольник)
• Автомедиан треугольник

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. (2010). CRC Краткая математическая энциклопедия, второе издание . ЦРК Пресс. стр. 375–377. ISBN 9781420035223.
2. Боттомли, Генри. «Медианы и биссектрисы треугольника». Архивировано из оригинала 10 мая 2019 г. Проверено 27 сентября 2013 г.
3. Данн, Дж. А., и Претти, Дж. Э., «Разделение треугольника пополам», Mathematical Gazette 56, май 1972 г., 105–108. DOI 10.2307/3615256. Архивировано 5 апреля 2023 г. в Wayback Machine.
4. Саллоуз, Ли, «Теорема о треугольнике, архивированная 7 апреля 2016 г. в Wayback Machine » , Mathematics Magazine , Vol. 87, № 5 (декабрь 2014 г.), с. 381
5. Депланш, Ю. (1996). Формулы Диччио. Медианы треугольника. Эдунса. п. 22. ISBN 978-84-7747-119-6. Проверено 24 апреля 2011 г.
6. Задача 12015, American Mathematical Monthly, том 125, январь 2018 г., DOI: 10.1080/00029890.2018.1397465
7. Посаментье, Альфред С. и Салкинд, Чарльз Т., Сложные проблемы геометрии , Дувр, 1996: стр. 86–87.
8. Боскофф, Хоментковски и Сучава (2009), Математический вестник , примечание 93.15.
9. Бени, Арпад, «Формула типа Герона для треугольника», Mathematical Gazette 87, июль 2003 г., 324–326.
10. Люнг, Кам-тим; и Суен, Сук-нам; «Векторы, матрицы и геометрия», Hong Kong University Press, 1994, стр. 53–54.

Внешние ссылки

• Медианы в развязке
• Площадь срединного треугольника в момент разрезания узла
• Медианы треугольника С интерактивной анимацией
• Анимированная демонстрация построения медианы треугольника с помощью циркуля и линейки
• Вайсштейн, Эрик В. «Медиана треугольника». Математический мир .