Равнобедренный треугольник

Треугольник, у которого хотя бы две стороны равны

В геометрии равнобедренный треугольник ( / aɪ ˈ s ɒ s ə l iː z / ) — это треугольник , у которого две стороны одинаковой длины. Иногда указывается, что он имеет ровно две стороны одинаковой длины, а иногда как имеющий по крайней мере две стороны одинаковой длины, причем последняя версия, таким образом, включает равносторонний треугольник как особый случай . Примеры равнобедренных треугольников включают равнобедренный прямоугольный треугольник , золотой треугольник , грани бипирамид и некоторых каталонских тел .

Математическое изучение равнобедренных треугольников восходит к древнеегипетской математике и вавилонской математике . Равнобедренные треугольники использовались в качестве украшения еще в более ранние времена и часто встречаются в архитектуре и дизайне, например, на фронтонах и фронтонах зданий.

Две равные стороны называются катетами, а третья сторона — основанием треугольника. Остальные размеры треугольника, такие как его высота, площадь и периметр, можно вычислить по простым формулам, исходя из длин катетов и основания. Каждый равнобедренный треугольник имеет ось симметрии, лежащую вдоль биссектрисы его основания. Два угла, лежащие напротив катетов, равны и всегда острые , поэтому классификация треугольника как острого, прямого или тупого зависит только от угла между двумя его катетами.

Терминология, классификация и примеры

Евклид определил равнобедренный треугольник как треугольник, у которого ровно две равные стороны, ^[1] , но современные трактовки предпочитают определять равнобедренные треугольники как имеющие по крайней мере две равные стороны. Разница между этими двумя определениями заключается в том, что современная версия делает равносторонние треугольники (с тремя равными сторонами) частным случаем равнобедренных треугольников. ^[2] Треугольник, который не является равнобедренным (имеющим три неравные стороны), называется разносторонним . ^[3] «Равнобедренный» образован от греческих корней «isos» (равный) и «skelos» (нога). Одно и то же слово используется, например, для равнобедренных трапеций , трапеций с двумя равными сторонами, ^[4] и для равнобедренных множеств , множеств точек, каждые три из которых образуют равнобедренный треугольник. ^[5]

В равнобедренном треугольнике, у которого ровно две равные стороны, равные стороны называются катетами , а третья сторона — основанием . Угол, заключенный между катетами, называется углом при вершине , а углы, одна из сторон которых имеет основание, называются углами при основании . ^[6] Вершина, противоположная основанию, называется вершиной . ^[7] В случае равностороннего треугольника, поскольку все стороны равны, любую сторону можно назвать основанием. ^[8]

Особые равнобедренные треугольники

Каталонские тела с гранями равнобедренного треугольника

Является ли равнобедренный треугольник острым, прямым или тупым, зависит только от угла при его вершине. В евклидовой геометрии углы при основании не могут быть тупыми (более 90°) или прямыми (равными 90°), поскольку их меры в сумме будут составлять не менее 180° — суммы всех углов в любом евклидовом треугольнике. ^[8] Поскольку треугольник является тупым или прямым тогда и только тогда, когда один из его углов тупой или прямой соответственно, равнобедренный треугольник является тупым, прямым или острым тогда и только тогда, когда его угол при вершине соответственно тупой, прямой или острый. ^[7] В книге Эдвина Эбботта « Флатландия» эта классификация форм использовалась как сатира на социальную иерархию : равнобедренные треугольники представляли рабочий класс , причем острые равнобедренные треугольники стояли выше в иерархии, чем правые или тупые равнобедренные треугольники. ^[9]

Помимо равнобедренного прямоугольного треугольника , были изучены несколько других конкретных форм равнобедренных треугольников. К ним относятся треугольник Калаби (треугольник с тремя конгруэнтными вписанными квадратами), ^[10] золотой треугольник и золотой гномон (два равнобедренных треугольника, стороны и основание которых находятся в золотом сечении ), ^[11] треугольник 80-80-20, появляющийся в головоломке Лэнгли «Случайные углы» ^[12] и треугольнике 30-30-120 треугольной мозаики триаки . Пять каталонских тел , триакис-тетраэдр , триакис-октаэдр , тетракис-гексаэдр , пентакис-додекаэдр и триакисикосаэдр , имеют грани равнобедренного треугольника, как и бесконечное множество пирамид ^[8] и бипирамид . ^[13]

Формулы

Высота

Для любого равнобедренного треугольника совпадают следующие шесть отрезков :

• высота , отрезок линии от вершины , перпендикулярный основанию, ^[14]
• биссектриса угла от вершины к основанию, ^[14]
• медиана от вершины до середины основания, ^[14]
• серединный перпендикуляр основания внутри треугольника, ^[14]
• сегмент внутри треугольника единственной оси симметрии треугольника, и ^[14]
• отрезок внутри треугольника прямой Эйлера треугольника, за исключением случаев, когда треугольник равносторонний . ^[15]

Их общая длина равна высоте треугольника. Если треугольник имеет равные стороны и длину основания , общие формулы треугольника для длин этих сегментов упрощаются до ^[16] ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle h={\sqrt {a^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}}}.}$

Эту формулу также можно вывести из теоремы Пифагора, используя тот факт, что высота делит основание пополам и делит равнобедренный треугольник на два конгруэнтных прямоугольных треугольника. ^[17]

Линия Эйлера любого треугольника проходит через ортоцентр треугольника (пересечение трех его высот), его центроид (пересечение трех его медиан) и центр описанной окружности (пересечение серединных перпендикуляров трех его сторон, который также является центр описанной окружности, проходящей через три вершины). В равнобедренном треугольнике с ровно двумя равными сторонами эти три точки различны, и все (по симметрии) лежат на оси симметрии треугольника, откуда следует, что линия Эйлера совпадает с осью симметрии. Центр треугольника также лежит на линии Эйлера, чего нельзя сказать о других треугольниках. ^[15] Если в данном треугольнике совпадают любые два угла: биссектриса, медиана или высота, то этот треугольник должен быть равнобедренным. ^[18]

Область

Площадь равнобедренного треугольника можно определить по формуле его высоты и по общей формуле площади треугольника как половины произведения основания на высоту: ^[16] ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T={\frac {b}{4}}{\sqrt {4a^{2}-b^{2}}}.}$

Ту же формулу площади можно вывести из формулы Герона для площади треугольника по трем его сторонам. Однако прямое применение формулы Герона может быть численно нестабильным для равнобедренных треугольников с очень острыми углами из-за почти взаимного равенства между полупериметром и длиной стороны в этих треугольниках. ^[19]

Если известны угол при вершине и длины сторон равнобедренного треугольника, то площадь этого треугольника равна: ^[20] ${\displaystyle (\theta )}$ ${\displaystyle (a)}$

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}a^{2}\sin \theta .}$

Это частный случай общей формулы площади треугольника как половины произведения двух сторон на синус прилежащего угла. ^[21]

Периметр

Периметр равнобедренного треугольника с равными сторонами и основанием равен ^[16] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle p=2a+b.}$

Как и в любом треугольнике, площадь и периметр связаны изопериметрическим неравенством ^[22] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle p^{2}>12{\sqrt {3}}T.}$

Это строгое неравенство для равнобедренных треугольников со сторонами, не равными основанию, и становится равенством для равностороннего треугольника. Площадь, периметр и основание также могут быть связаны друг с другом уравнением ^[23]

${\displaystyle 2pb^{3}-p^{2}b^{2}+16T^{2}=0.}$

Если основание и периметр фиксированы, то эта формула определяет площадь полученного равнобедренного треугольника, которая является максимально возможной среди всех треугольников с одинаковыми основанием и периметром. ^[24] С другой стороны, если площадь и периметр фиксированы, эту формулу можно использовать для восстановления длины основания, но не однозначно: обычно существуют два различных равнобедренных треугольника с заданными площадью и периметром . Когда изопериметрическое неравенство становится равенством, существует только один такой треугольник, который является равносторонним. ^[25] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle p}$

Длина биссектрисы угла

Если две равные стороны имеют длину , а другая сторона имеет длину , то биссектриса внутреннего угла от одной из двух равноугольных вершин удовлетворяет ^[26] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {2ab}{a+b}}>t>{\frac {ab{\sqrt {2}}}{a+b}}}$

а также

${\displaystyle t<{\frac {4a}{3}};}$

и наоборот, если последнее условие выполнено, существует равнобедренный треугольник, параметризованный и . ^[27] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle t}$

Теорема Штейнера -Лемуса утверждает, что любой треугольник с двумя биссектрисами одинаковой длины является равнобедренным. Он был сформулирован в 1840 году К. Л. Лемусом . Другой ее тезка, Якоб Штайнер , был одним из первых, кто предложил решение. ^[28] Хотя изначально оно было сформулировано только для внутренних биссектрис, оно работает во многих (но не во всех) случаях, когда вместо этого две биссектрисы внешнего угла равны. Равнобедренный треугольник 30-30-120 градусов является граничным случаем для этого варианта теоремы, поскольку он имеет четыре равные биссектрисы (две внутренние и две внешние). ^[29]

Радиусы

Равнобедренный треугольник, показывающий центр описанной окружности (синий), центроид (красный), центр тяжести (зеленый) и ось симметрии (фиолетовый).

Формулы внутреннего радиуса и описанного радиуса равнобедренного треугольника можно вывести из их формул для произвольных треугольников. ^[30] Радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника с длиной стороны , основания и высоты равен: ^[16] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\frac {2ab-b^{2}}{4h}}.}$

Центр круга лежит на оси симметрии треугольника, на этом расстоянии выше основания. Равнобедренный треугольник имеет наибольшую возможную вписанную окружность среди треугольников с одинаковым углом основания и угла при вершине, а также наибольшую площадь и периметр среди треугольников того же класса. ^[31]

Радиус описанной окружности равен: ^[16]

${\displaystyle {\frac {a^{2}}{2h}}.}$

Центр круга лежит на оси симметрии треугольника, на этом расстоянии ниже вершины.

Вписанный квадрат

Для любого равнобедренного треугольника существует единственный квадрат, у которого одна сторона коллинеарна основанию треугольника, а два противоположных угла на его сторонах. Треугольник Калаби — это особый равнобедренный треугольник, свойство которого состоит в том, что два других вписанных квадрата со сторонами, коллинеарными сторонам треугольника, имеют тот же размер, что и основной квадрат. ^[10] Гораздо более старая теорема, сохранившаяся в трудах Героя Александрийского , утверждает, что для равнобедренного треугольника с основанием и высотой длина стороны вписанного квадрата в основание треугольника равна ^[32] ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\frac {bh}{b+h}}.}$

Равнобедренное деление других фигур

Разбиение вписанного пятиугольника на равнобедренные треугольники по радиусам описанной окружности

Для любого целого числа любой треугольник можно разбить на равнобедренные треугольники. ^[33] В прямоугольном треугольнике медиана от гипотенузы (то есть отрезок от середины гипотенузы до прямоугольной вершины) делит прямоугольный треугольник на два равнобедренных треугольника. Это потому, что середина гипотенузы является центром описанной окружности прямоугольного треугольника, а каждый из двух треугольников, созданных перегородкой, имеет два равных радиуса как две его стороны. ^[34] Точно так же остроугольный треугольник можно разделить на три равнобедренных треугольника отрезками от центра описанной окружности, ^[35] но этот метод не работает для тупоугольных треугольников, поскольку центр описанной окружности лежит вне треугольника. ^[30] ${\displaystyle n\geq 4}$ ${\displaystyle n}$

Обобщая разбиение остроугольного треугольника, любой циклический многоугольник , содержащий центр описанной им окружности, можно разбить на равнобедренные треугольники по радиусам этой окружности, проходящим через его вершины. Тот факт, что все радиусы круга имеют одинаковую длину, означает, что все эти треугольники равнобедренные. Это разбиение можно использовать для вывода формулы площади многоугольника как функции длин его сторон, даже для циклических многоугольников, которые не содержат центров описанных окружностей. Эта формула обобщает формулу Герона для треугольников и формулу Брахмагупты для вписанных четырехугольников . ^[36]

Любая диагональ ромба делит его на два равных равнобедренных треугольника. Точно так же одна из двух диагоналей воздушного змея делит его на два равнобедренных треугольника, которые не конгруэнтны, за исключением случаев, когда воздушный змей представляет собой ромб. ^[37]

Приложения

В архитектуре и дизайне

Равнобедренные треугольники обычно появляются в архитектуре в виде фронтонов и фронтонов . В древнегреческой архитектуре и ее более поздних подражаниях использовался тупой равнобедренный треугольник; в готической архитектуре его заменил острый равнобедренный треугольник. ^[8]

В архитектуре Средневековья стала популярна еще одна форма равнобедренного треугольника: египетский равнобедренный треугольник. Это равнобедренный треугольник, который имеет остроту, но меньше, чем равносторонний треугольник; его высота пропорциональна 5/8 его основания. ^[38] Египетский равнобедренный треугольник был снова использован в современной архитектуре голландским архитектором Хендриком Петрусом Берлаге . ^[39]

Детальный вид модифицированной фермы Уоррена с вертикалью.

Ферменные конструкции Уоррена , такие как мосты, обычно располагаются в виде равнобедренных треугольников, хотя иногда для дополнительной прочности включаются и вертикальные балки. ^[40] Поверхности, мозаичные тупыми равнобедренными треугольниками, могут использоваться для формирования развертываемых структур , которые имеют два стабильных состояния: развернутое состояние, в котором поверхность расширяется до цилиндрической колонны, и сложенное состояние, в котором она складывается в более компактную форму призмы, которая можно легче транспортировать. ^[41] Тот же самый узор мозаики лежит в основе выпучивания Йошимуры , узора, образующегося, когда цилиндрические поверхности сжимаются в осевом направлении, ^[42] и фонаря Шварца , примера, используемого в математике, чтобы показать, что площадь гладкой поверхности не всегда может быть точно аппроксимируется многогранниками, сходящимися к поверхности. ^[43]

В графическом дизайне и декоративном искусстве равнобедренные треугольники были частым элементом дизайна в культурах по всему миру, по крайней мере, с раннего неолита ^[44] до наших дней. ^[45] Они являются распространенным элементом дизайна флагов и геральдики , заметно выделяясь с вертикальной основой, например, на флаге Гайаны , или с горизонтальной основой на флаге Сент-Люсии , где они образуют стилизованное изображение горный остров. ^[46]

Они также использовались в рисунках религиозного или мистического значения, например, в Шри Янтре индуистской медитативной практики . ^[47]

В других областях математики

Если кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет три корня, не все из которых являются действительными числами , то при изображении этих корней на комплексной плоскости в виде диаграммы Аргана они образуют вершины равнобедренного треугольника, ось симметрии которого совпадает с горизонтальной (действительной) осью. . Это связано с тем, что комплексные корни являются комплексно-сопряженными и, следовательно, симметричны относительно вещественной оси. ^[48]

В небесной механике задача трех тел изучалась в частном случае, когда три тела образуют равнобедренный треугольник, поскольку предположение о таком расположении тел уменьшает число степеней свободы системы, не сводя его к решен случай точки Лагранжа , когда тела образуют равносторонний треугольник. Первые примеры неограниченных колебаний задачи трех тел были в равнобедренной задаче трех тел. ^[49]

История и заблуждения

Задолго до того, как древнегреческие математики изучали равнобедренные треугольники , специалисты по древнеегипетской математике и вавилонской математике знали, как вычислить их площадь. Задачи этого типа включены в « Московский математический папирус» и «Математический папирус Ринда» . ^[50]

Теорема о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника содержится в предложении I.5 у Евклида. ^[51] Этот результат получил название pons asinorum (ослиный мост) или теоремы о равнобедренном треугольнике. Конкурирующие объяснения этого названия включают теорию, согласно которой это происходит потому, что диаграмма, использованная Евклидом при демонстрации результата, напоминает мост, или потому, что это первый трудный результат Евклида, который отделяет тех, кто может понять геометрию Евклида, от тех, кто может понять геометрию Евклида. кто не может. ^[52]

Хорошо известным заблуждением является ложное доказательство утверждения о том, что все треугольники равнобедренные , впервые опубликованное У. В. Роузом Боллом в 1892 году ^[53] и позже переизданное в посмертной Книге с картинками Льюиса Кэрролла . ^[54] Заблуждение коренится в непризнании Евклидом концепции посредничества и , как следствие, в двусмысленности внутренних и внешних фигур. ^[55]

Примечания

1. Хит (1956), с. 187, Определение 20.
2. Шталь (2003), с. 37.
3. Усискин и Гриффин (2008), с. 4.
4. Усискин и Гриффин (2008), с. 41.
5. Ионин (2009).
6. Джейкобс (1974), с. 144.
7. Готчау, Хаверкорт и Мацке (2018).
8. Ларднер (1840), с. 46.
9. Барнс (2012).
10. Конвей и Гай (1996).
11. Леб (1992).
12. Лэнгли (1922).
13. Монтролл (2009).
14. Адамар (2008), с. 23.
15. Гуинанд (1984).
16. Harris & Stöcker (1998), с. 78.
17. Сальвадори и Райт (1998).
18. Адамар (2008), Упражнение 5, с. 29.
19. Кахан (2014).
20. Янг (2011), с. 298.
21. Янг (2011), с. 398.
22. Альсина и Нельсен (2009), с. 71.
23. Балоглу и Хелфготт (2008), Уравнение (1).
24. Викельгрен (2012).
25. Балоглу и Хелфготт (2008), Теорема 2.
26. Арсланагич.
27. Оксман (2005).
28. Гилберт и МакДоннелл (1963).
29. Конвей и Рыба (2014).
30. Harris & Stöcker (1998), стр. 75.
31. Альсина и Нельсен (2009), с. 67.
32. Гандз (1940).
33. Лорд (1982). См. также Адамар (2008, упражнение 340, стр. 270).
34. Посаментье и Леманн (2012), с. 24.
35. Бездек и Бистрички (2015).
36. Роббинс (1995).
37. Усискин и Гриффин (2008), с. 51.
38. Лаведан (1947).
39. Падован (2002).
40. Кетчум (1920).
41. Пеллегрино (2002).
42. Ёсимура (1955).
43. Шварц (1890).
44. Уошберн (1984).
45. Джакуэй (1922).
46. Смит (2014).
47. Болтон, Никол и Маклауд (1977).
48. Барделл (2016).
49. Диаку и Холмс (1999).
50. Хойруп (2008). Хотя «многие из ранних египтологов» считали, что египтяне пользовались неточной формулой площади, равной половине произведения основания на сторону, Василий Васильевич Струве отстаивал точку зрения, что они использовали правильную формулу — половину произведения основания на высоту. (Кладжетт, 1989). Этот вопрос основан на переводе одного из слов в папирусе Ринда, и если это слово переведено как высота (или, точнее, как отношение высоты к основанию), формула верна (Gunn & Peet 1929, стр. 173–174). ).
51. Хит (1956), с. 251.
52. Венема (2006), с. 89.
53. Болл и Коксетер (1987).
54. Кэрролл (1899). См. также Уилсон (2008).
55. Шпехт и др. (2015).

Рекомендации

• Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2009), Когда меньше значит больше: Визуализация основных неравенств , Математические объяснения Дольчиани, том. 36, Математическая ассоциация Америки, Вашингтон, округ Колумбия, ISBN 978-0-88385-342-9, МР  2498836
• Арсланагич, Шефкет, «Задача η 44», Неравенства, предложенные в Crux Mathematicorum (PDF) , стр. 151
• Болл, У. В. Роуз ; Коксетер, HSM (1987) [1892], Математические развлечения и очерки (13-е изд.), Дувр, сноска, стр. 77, ISBN 0-486-25357-0
• Балоглу, Джордж; Хелфготт, Мишель (2008), «Углы, площадь и периметр, заключенные в куб» (PDF) , Forum Geometricorum , 8 : 13–25, MR  2373294
• Барделл, Николас С. (2016), «Кубические полиномы с действительными или комплексными коэффициентами: полная картина» (PDF) , Australian Senior Mathematics Journal , 30 (2): 5–26
• Барнс, Джон (2012), Gems of Geometry (2-е, иллюстрированное издание), Springer, стр. 27, ISBN 9783642309649
• Бездек, Андраш; Бистрички, Тед (2015), «Нахождение триангуляции равного диаметра в многоугольниках», Beiträge zur Algebra und Geometry , 56 (2): 541–549, doi : 10.1007/s13366-014-0206-6, MR  3391189, S2CID  123507725
• Болтон, Николас Дж; Никол, Д.; Маклауд, Г. (март 1977 г.), «Геометрия Шри-янтры», Religion , 7 (1): 66–85, doi : 10.1016/0048-721x(77)90008-2
• Кэрролл, Льюис (1899), Коллингвуд, Стюарт Доджсон (редактор), Книга с картинками Льюиса Кэрролла, Лондон: Т. Фишер Анвин, стр. 264–266.
• Кладжетт, Маршалл (1989), Древнеегипетская наука: древнеегипетская математика , Американское философское общество, сноска 68, стр. 195–197, ISBN 9780871692320
• Конвей, Дж. Х. ; Гай, Р.К. (1996), «Треугольник Калаби», Книга чисел , Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 206
• Конвей, Джон ; Рыба, Алекс (июль 2014 г.), «Теорема Штейнера-Лемуса о биссектрисе», The Mathematical Gazette , 98 (542): 193–203, doi : 10.1017/s0025557200001236, S2CID  124753764
• Диаку, Флорин; Холмс, Филип (1999), Небесные встречи: истоки хаоса и стабильности, Принстонская научная библиотека, Princeton University Press, стр. 122, ISBN 9780691005454
• Гандз, Соломон (1940), «Исследования по вавилонской математике. III. Изопериметрические проблемы и происхождение квадратных уравнений», Isis , 32 : 101–115 (1947), doi : 10.1086/347645, MR  0017683, S2CID  120267556. См., в частности, стр. 111.
• Гилберт, Г.; Макдоннелл, Д. (1963), «Теорема Штейнера-Лемуса», Classroom Notes, American Mathematical Monthly , 70 (1): 79–80, doi : 10.2307/2312796, JSTOR  2312796, MR  1531983
• Готшау, Маринус; Хаверкорт, Герман; Мацке, Килиан (2018), «Рептилии и кривые, заполняющие пространство для остроугольных треугольников», Discrete & Computational Geometry , 60 (1): 170–199, arXiv : 1603.01382 , doi : 10.1007/s00454-017-9953-0, S2CID  14477196
• Гуинанд, Эндрю П. (1984), «Линии Эйлера, трикасательные центры и их треугольники», American Mathematical Monthly , 91 (5): 290–300, doi : 10.2307/2322671, JSTOR  2322671, MR  0740243
• Ганн, Баттискомб; Пит, Т. Эрик (май 1929 г.), «Четыре геометрические задачи из Московского математического папируса», Журнал египетской археологии , 15 (1): 167–185, doi : 10.1177/030751332901500130, JSTOR  3854111, S2CID  192278129
• Адамар, Жак (2008), Уроки геометрии: плоская геометрия , перевод Сола, Марка, Американское математическое общество, ISBN 9780821843673
• Харрис, Джон В.; Штекер, Хорст (1998), Справочник по математике и информатике, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4612-5317-4, ISBN 0-387-94746-9, МР  1621531
• Хит, Томас Л. (1956) [1925], Тринадцать книг элементов Евклида, том. 1 (2-е изд.), Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 0-486-60088-2
• Хойруп, Йенс (2008), «Геометрия в Месопотамии и Египте», Энциклопедия истории науки, технологий и медицины в незападных культурах , Springer Нидерланды, стр. 1019–1023, Bibcode : 2008ehst.book.... .S, doi :10.1007/978-1-4020-4425-0_8619
• Ионин, Юрий Я. (2009), «Равнобедренные множества», Электронный журнал комбинаторики , 16 (1): R141:1–R141:24, doi : 10.37236/230 , MR  2577309
• Джейкобс, Гарольд Р. (1974), Геометрия , WH Freeman and Co., ISBN 0-7167-0456-0
• Джакуэй, Бернард К. (1922), Принципы внутреннего оформления, Macmillan, стр. 48
• Кахан, В. (4 сентября 2014 г.), «Неправильный расчет площади и углов игольчатого треугольника» (PDF) , конспект лекций для вводных занятий по численному анализу , Калифорнийский университет, Беркли
• Кетчам, Майло Смит (1920), Проектирование автомобильных мостов из стали, дерева и бетона , Нью-Йорк: McGraw-Hill, стр. 107
• Лэнгли, Э.М. (1922), «Проблема 644», The Mathematical Gazette , 11 : 173.
• Ларднер, Дионисий (1840), Трактат о геометрии и ее применении в искусстве, The Cabinet Cyclopædia, Лондон
• Лаведан, Пьер (1947), Французская архитектура, Penguin Books, стр. 44
• Леб, Артур (1992), Концепции и изображения: визуальная математика, Бостон: Birkhäuser Boston, стр. 180, ISBN 0-8176-3620-Х
• Лорд, Нью-Джерси (июнь 1982 г.), «66.16 равнобедренных подразделений треугольников», The Mathematical Gazette , 66 (436): 136–137, doi : 10.2307/3617750, JSTOR  3617750, S2CID  125411311
• Монтролл, Джон (2009), Дизайн многогранников оригами , А.К. Питерс, стр. 6, ISBN 9781439871065
• Оксман, Виктор (2005), «О существовании треугольников с заданными длинами одной стороны, противоположной стороны и одной смежной биссектрисы» (PDF) , Forum Geometricorum , 5 : 21–22, MR  2141652
• Падован, Ричард (2002), На пути к универсальности: Ле Корбюзье, Мис и Де Стейл, Psychology Press, стр. 128, ISBN 9780415259620
• Пеллегрино, С. (2002), Развертываемые конструкции, Международный центр механических наук CISM, том. 412, Спрингер, стр. 99–100, ISBN. 9783211836859
• Посаментье, Альфред С .; Леманн, Ингмар (2012), «Тайны треугольников: математическое путешествие» , Амхерст, Нью-Йорк: Prometheus Books, стр. 387, ISBN 978-1-61614-587-3, МР  2963520
• Роббинс, Дэвид П. (1995), «Площади многоугольников, вписанных в круг», American Mathematical Monthly , 102 (6): 523–530, doi : 10.2307/2974766, JSTOR  2974766, MR  1336638
• Сальвадори, Марио; Райт, Джозеф П. (1998), Математические игры для средней школы: задачи и развитие навыков для учащихся всех уровней, Chicago Review Press, стр. 70–71, ISBN 9781569767276
• Шварц, HA (1890), Gesammelte Mathematische Abhandlungen von HA Schwarz , Verlag von Julius Springer, стр. 309–311
• Смит, Уитни (26 июня 2014 г.), «Флаг Сент-Люсии», Британская энциклопедия , получено 12 сентября 2018 г.
• Спехт, Эдвард Джон; Джонс, Гарольд Трейнер; Калкинс, Кейт Г.; Роудс, Дональд Х. (2015), Евклидова геометрия и ее подгеометрии, Springer, Cham, стр. 64, номер домена : 10.1007/978-3-319-23775-6, ISBN 978-3-319-23774-9, МР  3445044
• Шталь, Саул (2003), Геометрия от Евклида до узлов , Прентис-Холл, ISBN 0-13-032927-4
• Усиськин, Залман ; Гриффин, Дженнифер (2008), Классификация четырехугольников: исследование определения , Исследования в области математического образования, Издательство Information Age, ISBN 9781607526001
• Венема, Джерард А. (2006), Основы геометрии , Прентис-Холл, ISBN 0-13-143700-3
• Уошберн, Дороти К. (июль 1984 г.), «Исследование красного цвета на кремовом и кремового на красном орнаменте на керамике раннего неолита из Неа Никомедея», American Journal of Archeology , 88 (3): 305–324, doi : 10.2307/ 504554, JSTOR  504554, S2CID  191374019
• Викельгрен, Уэйн А. (2012), Как решать математические задачи, Dover Books on Mathematics, Courier Corporation, стр. 222–224, ISBN 9780486152684.
• Уилсон, Робин (2008), Льюис Кэрролл в стране чисел: его фантастическая математическая логическая жизнь, агония в восьми приступах , Penguin Books, стр. 169–170, ISBN 978-0-14-101610-8, МР  2455534
• Ёсимура, Ёсимару (июль 1955 г.), О механизме выпучивания круглой цилиндрической оболочки при осевом сжатии, Технический меморандум 1390, Национальный консультативный комитет по аэронавтике
• Янг, Синтия Ю. (2011), Тригонометрия, John Wiley & Sons, ISBN 9780470648025

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Равнобедренный треугольник», MathWorld