центроид

Среднее («среднее») положение всех точек фигуры.

Центроид треугольника

В математике и физике центроид , также известный как геометрический центр или центр фигуры , плоской фигуры или объемной фигуры , представляет собой среднее арифметическое положение всех точек на поверхности фигуры. ^{[ необходимо дальнейшее объяснение ]} То же самое определение распространяется на любой объект в многомерном евклидовом пространстве . ^[1] ${\displaystyle n}$

В геометрии часто предполагается равномерная плотность массы , и в этом случае барицентр или центр масс совпадает с центроидом. Неформально это можно понимать как точку, в которой вырез определенной формы (с равномерно распределенной массой) может быть идеально сбалансирован на кончике булавки. ^[2]

В физике, если учитывать изменения силы тяжести , то центр тяжести можно определить как средневзвешенное значение всех точек , взвешенных по их удельному весу .

В географии центр тяжести радиальной проекции области земной поверхности на уровень моря является географическим центром региона .

История

Термин «центроид» появился в чеканке недавнего времени (1814 г.). ^[3] Он используется вместо старых терминов «центр тяжести» и « центр масс », когда необходимо подчеркнуть чисто геометрические аспекты этой точки. Этот термин свойственен английскому языку; французы, например, в большинстве случаев используют « центр тяжести ^{», а другие [ необходимы пояснения ]} используют термины аналогичного значения. ^{[ нужна цитата ]}

Центр тяжести, как следует из названия, — понятие, возникшее в механике, скорее всего, в связи со строительной деятельностью. Неизвестно, когда эта идея впервые появилась, поскольку концепция, вероятно, приходила в голову многим людям индивидуально с небольшими различиями. Тем не менее, центр тяжести фигур широко изучался в древности; Боссут приписывает Архимеду (287–212 гг. До н.э.) то, что он был первым, кто нашел центр тяжести плоских фигур, хотя он никогда не давал ему определения. ^[4] Трактовка Архимедом центроидов твердых тел утеряна. ^[5]

Маловероятно, что Архимед узнал теорему о том, что медианы треугольника встречаются в точке — центре тяжести треугольника, — непосредственно от Евклида , поскольку этого утверждения нет в « Началах» . Первое явное утверждение этого предложения принадлежит Герону Александрийскому (вероятно, первый век нашей эры) и встречается в его «Механике» . Можно попутно добавить, что это положение не стало обычным явлением в учебниках по плоской геометрии вплоть до XIX века. ^{[ нужна цитата ]}

Характеристики

Геометрический центр выпуклого объекта всегда лежит внутри объекта. Невыпуклый объект может иметь центр тяжести, находящийся за пределами самой фигуры. Например, центр тяжести кольца или чаши находится в центральной пустоте объекта.

Если центроид определен, он является фиксированной точкой всех изометрий в своей группе симметрии . В частности, геометрический центр тяжести объекта лежит в пересечении всех его гиперплоскостей симметрии . Центр тяжести многих фигур ( правильный многоугольник , правильный многогранник , цилиндр , прямоугольник , ромб , круг , сфера , эллипс , эллипсоид , суперэллипс , суперэллипсоид и т. д.) можно определить только по этому принципу.

В частности, центр тяжести параллелограмма — это точка встречи двух его диагоналей . Это не относится к другим четырехугольникам .

По той же причине центр тяжести объекта с трансляционной симметрией не определен (или лежит вне окружающего пространства), поскольку сдвиг не имеет фиксированной точки.

Примеры

Центр тяжести треугольника — это пересечение трех медиан треугольника (каждая медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны). ^[6]

Другие свойства центроида треугольника см. ниже.

Определение

Метод отвеса

Центр тяжести плоской пластинки с однородной плотностью , такой как на рисунке (а) ниже, можно определить экспериментально, используя отвес и булавку, чтобы найти совмещенный центр массы тонкого тела однородной плотности, имеющего ту же форму. Тело удерживается штифтом, вставленным в точку вне предполагаемого центроида таким образом, что оно может свободно вращаться вокруг штифта; затем отвес снимают со штифта (рис. b). Положение отвеса отслеживается на поверхности, и процедура повторяется, вставляя штифт в любую другую точку (или несколько точек) от центроида объекта. Единственной точкой пересечения этих линий будет центроид (рисунок в). При условии, что тело имеет одинаковую плотность, все построенные таким образом линии будут включать центр тяжести и все линии будут пересекаться точно в одном и том же месте.

Этот метод можно распространить (теоретически) на вогнутые формы, где центр тяжести может лежать вне формы, и практически на твердые тела (опять же, с одинаковой плотностью), где центр тяжести может лежать внутри тела. (Виртуальные) положения отвесов необходимо записывать другими способами, а не путем их рисования вдоль формы.

Метод балансировки

Для выпуклых двумерных фигур центр тяжести можно найти, сбалансировав фигуру по меньшей фигуре, например вершине узкого цилиндра. Центр тяжести находится где-то в пределах контакта между двумя фигурами (и точно в той точке, где фигура будет балансировать на штифте). В принципе, для нахождения центроида с произвольной точностью можно использовать постепенно сужающиеся цилиндры. На практике воздушные потоки делают это невозможным. Однако, отмечая диапазон перекрытия нескольких весов, можно добиться значительного уровня точности.

Из конечного множества точек

Центр тяжести конечного набора точек в есть ^[1] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}+\cdots +\mathbf {x} _{k}}{k}}.}$$

Путем геометрического разложения

Центр тяжести плоской фигуры можно вычислить, разделив ее на конечное число более простых фигур, вычислив центроид и площадь каждой части, а затем вычислив ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n},}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$

$${\displaystyle C_{x}={\frac {\sum _{i}{C_{i}}_{x}A_{i}}{\sum _{i}A_{i}}},\quad C_{y}={\frac {\sum _{i}{C_{i}}_{y}A_{i}}{\sum _{i}A_{i}}}.}$$

Отверстия в фигуре перекрываются между частями или части, выходящие за пределы фигуры, можно обрабатывать с помощью отрицательных площадей. А именно, меры следует принимать с положительными и отрицательными знаками таким образом, чтобы сумма знаков для всех частей, которые заключить данную точку , если принадлежит и в противном случае. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A_{i}.}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle 0}$

Например, фигуру ниже (а) легко разделить на квадрат и треугольник, оба с положительной площадью; и круглое отверстие с отрицательной площадью (b).

Центр тяжести каждой детали можно найти в любом списке центроидов простых форм (c). Тогда центр тяжести фигуры — это средневзвешенное значение трех точек. Горизонтальное положение центроида от левого края рисунка равно

$${\displaystyle x={\frac {5\times 10^{2}+13.33\times {\frac {1}{2}}10^{2}-3\times \pi 2.5^{2}}{10^{2}+{\frac {1}{2}}10^{2}-\pi 2.5^{2}}}\approx 8.5{\text{ units}}.}$$

Та же формула справедлива для любых трехмерных объектов, за исключением того, что каждый должен быть объемом, а не площадью. Это также справедливо для любого подмножества любого измерения с заменой площадей на -мерные меры частей. ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle X_{i},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d},}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle d}$

По интегральной формуле

Центр тяжести подмножества также можно вычислить с помощью интеграла ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle C={\frac {\int xg(x)\,dx}{\int g(x)\,dx}}}$$

где интегралы берутся по всему пространству и являются характеристической функцией подмножества, находящегося внутри и вне его. ^[7] Обратите внимание, что знаменатель — это просто мера множества. Эту формулу нельзя применять, если мера множества равна нулю или любой из интегралов расходится. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$

Другая формула для центроида:

$${\displaystyle C_{k}={\frac {\int zS_{k}(z)\,dz}{\int g(x)\,dx}},}$$

где -я координата и - мера пересечения с гиперплоскостью, определяемой уравнением. Опять же, знаменатель - это просто мера ${\displaystyle C_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S_{k}(z)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{k}=z.}$ ${\displaystyle X.}$

В частности, для плоской фигуры барицентрические координаты равны

$${\displaystyle C_{\mathrm {x} }={\frac {\int xS_{\mathrm {y} }(x)\,dx}{A}},\quad C_{\mathrm {y} }={\frac {\int yS_{\mathrm {x} }(y)\,dy}{A}},}$$

где – площадь фигуры – длина пересечения с вертикальной линией по оси абсцисс и – аналогичная величина для переставленных осей. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S_{y}(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle S_{x}(y)}$

Из ограниченной области

Центр тяжести области, ограниченной графиками непрерывных функций и такой, что на отрезке имеет вид ^{[7] [8]} ${\displaystyle ({\bar {x}},\;{\bar {y}})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f(x)\geq g(x)}$ ${\displaystyle [a,b],}$ ${\displaystyle a\leq x\leq b}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}&={\frac {1}{A}}\int _{a}^{b}x{\bigl (}f(x)-g(x){\bigr )}\,dx,\\[5mu]{\bar {y}}&={\frac {1}{A}}\int _{a}^{b}{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}f(x)+g(x){\bigr )}{\bigl (}f(x)-g(x){\bigr )}\,dx,\end{aligned}}}$$

где площадь региона (задается как ). ^{[9] [10]} ${\displaystyle A}$ ${\textstyle \int _{a}^{b}{\bigl (}f(x)-g(x){\bigr )}dx}$

С интегралом

Интеграл (родственник планиметра ) можно использовать для нахождения центроида объекта неправильной формы с гладкой (или кусочно-гладкой) границей . Используемый математический принцип является частным случаем теоремы Грина . ^[11]

Г-образного объекта

Это метод определения центроида L-образного объекта.

1. Разделите фигуру на два прямоугольника, как показано на рис. 2. Найдите центроиды этих двух прямоугольников, нарисовав диагонали. Нарисуйте линию, соединяющую центроиды. Центр тяжести фигуры должен лежать на этой линии. ${\displaystyle AB.}$
2. Разделите фигуру на два других прямоугольника, как показано на рис. 3. Найдите центроиды этих двух прямоугольников, нарисовав диагонали. Нарисуйте линию, соединяющую центроиды. Центр тяжести L-образной формы должен лежать на этой линии. ${\displaystyle CD.}$
3. Поскольку центр тяжести фигуры должен лежать вдоль , а также вдоль пересечения этих двух линий, точка может лежать внутри или снаружи L-образного объекта. ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle CD,}$ ${\displaystyle O.}$ ${\displaystyle O}$

Из треугольника

Центр тяжести треугольника — это точка пересечения его медиан (линий, соединяющих каждую вершину с серединой противоположной стороны). ^[6] Центроид делит каждую из медиан в соотношении, то есть он расположен на расстоянии от каждой стороны до противоположной вершины (см. рисунки справа). ^{[12] [13]} Его декартовы координаты являются средними координатами трех вершин. То есть, если три вершины есть, а затем центроид (обозначенный здесь, но чаще всего обозначаемый в геометрии треугольника ) равен ${\displaystyle 2:1,}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle L=(x_{L},y_{L}),}$ ${\displaystyle M=(x_{M},y_{M}),}$ ${\displaystyle N=(x_{N},y_{N}),}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle C={\tfrac {1}{3}}(L+M+N)={\bigl (}{\tfrac {1}{3}}(x_{L}+x_{M}+x_{N}),{\tfrac {1}{3}}(y_{L}+y_{M}+y_{N}){\bigr )}.}$$

Таким образом, центроид находится в барицентрических координатах . ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}:{\tfrac {1}{3}}:{\tfrac {1}{3}}}$

В трилинейных координатах центроид может быть выражен любым из этих эквивалентных способов через длины сторон и углы при вершинах : ^[14] ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle L,M,N}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}C&={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=bc:ca:ab=\csc L:\csc M:\csc N\\[6pt]&=\cos L+\cos M\cdot \cos N:\cos M+\cos N\cdot \cos L:\cos N+\cos L\cdot \cos M\\[6pt]&=\sec L+\sec M\cdot \sec N:\sec M+\sec N\cdot \sec L:\sec N+\sec L\cdot \sec M.\end{aligned}}}$$

Центроид также является физическим центром масс, если треугольник сделан из однородного листа материала; или если вся масса сосредоточена в трех вершинах и равномерно распределена между ними. С другой стороны, если масса распределена по периметру треугольника с равномерной линейной плотностью , то центр массы лежит в центре Шпикера ( инцентре медиального треугольника ), который (вообще) не совпадает с геометрическим центр тяжести полного треугольника.

Площадь треугольника равна произведению длины любой стороны, умноженной на расстояние по перпендикуляру от стороны к центру тяжести. ^[15] ${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$

Центр тяжести треугольника лежит на его линии Эйлера между его ортоцентром и центром описанной окружности ровно в два раза ближе к последнему, чем к первому: ^{[16] [17]} ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle O,}$

$${\displaystyle {\overline {CH}}=2{\overline {CO}}.}$$

Кроме того, для инцентра и девятиточечного центра мы имеем ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle N,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {CH}}&=4{\overline {CN}},\\[5pt]{\overline {CO}}&=2{\overline {CN}},\\[5pt]{\overline {IC}}&<{\overline {HC}},\\[5pt]{\overline {IH}}&<{\overline {HC}},\\[5pt]{\overline {IC}}&<{\overline {IO}}.\end{aligned}}}$$

Если – центр тяжести треугольника , то: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ABC,}$

$${\displaystyle ({\text{Area of }}\triangle ABG)=({\text{Area of }}\triangle ACG)=({\text{Area of }}\triangle BCG)={\tfrac {1}{3}}({\text{Area of }}\triangle ABC).}$$

Изогонально сопряженный центр тяжести треугольника является его симмедианой точкой .

Любая из трех медиан, проходящих через центр тяжести, делит площадь треугольника пополам. Это не относится к другим линиям, проходящим через центр тяжести; Наибольшее отклонение от деления равной площади происходит, когда линия, проходящая через центр тяжести, параллельна стороне треугольника, образуя меньший треугольник и трапецию ; в этом случае площадь трапеции равна площади исходного треугольника. ^[18] ${\displaystyle {\tfrac {5}{9}}}$

Позвольте быть любой точкой в ​​плоскости треугольника с вершинами и центроидом . Тогда сумма квадратов расстояний от трех вершин превышает сумму квадратов расстояний центроида от вершин в три раза квадрат расстояния между и : ^{[19 ]} ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A,B,C}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}=GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}+3PG^{2}.}$$

Сумма квадратов сторон треугольника равна трехкратной сумме квадратов расстояний центроида от вершин: ^[19]

$${\displaystyle AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=3(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}).}$$

Центр тяжести треугольника — это точка, которая максимизирует произведение направленных расстояний точки от боковых линий треугольника. ^[20]

Пусть – треугольник, пусть – его центроид, и пусть – середины отрезков соответственно. Для любой точки плоскости ^[21] ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle D,E,F}$ ${\displaystyle BC,CA,AB,}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle ABC,}$

$${\displaystyle PA+PB+PC\leq 2(PD+PE+PF)+3PG.}$$

Из многоугольника

Центроидом несамопересекающегося замкнутого многоугольника , определенного вершинами , является точка ^[22], где ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\;}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\;\ldots ,\;}$ ${\displaystyle (x_{n-1},y_{n-1}),}$ ${\displaystyle (C_{x},C_{y}),}$

$${\displaystyle C_{\mathrm {x} }={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}),}$$

и

$${\displaystyle C_{\mathrm {y} }={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}),}$$

и где - площадь многоугольника со знаком, ^[22] как описано формулой шнурка : ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}).}$$

В этих формулах предполагается, что вершины пронумерованы в порядке их появления по периметру многоугольника; кроме того, предполагается, что вершина такая же, как и в последнем случае, значение должно округляться до (если точки пронумерованы по часовой стрелке, площадь, вычисленная, как указано выше, будет отрицательной; однако координаты центроида будут правильными даже в Это дело.) ${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),}$ ${\displaystyle i+1}$ ${\displaystyle i=0.}$ ${\displaystyle A,}$

Из конуса или пирамиды

Центр тяжести конуса или пирамиды расположен на отрезке, соединяющем вершину с центроидом основания. Для сплошного конуса или пирамиды центр тяжести — это расстояние от основания до вершины. Для конуса или пирамиды, представляющей собой всего лишь оболочку (полую) без основания, центр тяжести — это расстояние от базовой плоскости до вершины. ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$

О тетраэдре и n -мерном симплексе

Тетраэдр — это объект в трехмерном пространстве, имеющий четыре грани в виде треугольников . Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противоположной грани, называется медианой , а отрезок, соединяющий середины двух противоположных ребер, — бимедианой . Следовательно, существует четыре медианы и три бимедианы. Все эти семь сегментов линий встречаются в центре тяжести тетраэдра. ^[23] Медианы делятся на центроид в соотношении: Центроид тетраэдра — это середина между его точкой Монжа и центром описанной окружности (центром описанной сферы). Эти три точки определяют линию Эйлера тетраэдра, аналогичную линии Эйлера треугольника. ${\displaystyle 3:1.}$

Эти результаты обобщаются на любой -мерный симплекс следующим образом. Если набор вершин симплекса затем рассматривает вершины как векторы , центроид равен ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {v_{0},\ldots ,v_{n}},}$

$${\displaystyle C={\frac {1}{n+1}}\sum _{i=0}^{n}v_{i}.}$$

Геометрический центр тяжести совпадает с центром масс, если массы равномерно распределены по всему симплексу или сосредоточены в вершинах как равные массы. ${\displaystyle n+1}$

Полушария

Центр тяжести твердого полушария (т.е. половина сплошного шара) делит отрезок, соединяющий центр сферы с полюсом полушария, в соотношении (т.е. лежит на пути от центра к полюсу). Центр тяжести полого полушария (т.е. половина полой сферы) делит отрезок линии, соединяющий центр сферы с полюсом полусферы, пополам. ${\displaystyle 3:5}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{8}}}$

Смотрите также

• Чебышев центр
• Круговое среднее
• Фреше означает
• ${\displaystyle k}$-средний алгоритм
• Список центроидов
• Медоид
• Теорема Паппа о центроиде
• Спектральный центроид
• Центр треугольника

Примечания

1. Проттер и Морри (1970, стр. 520)
2. Проттер и Морри (1970, стр. 521)
3. Философские труды Лондонского королевского общества в Google Книгах.
4. Суд, Натан Альтшиллер (1960). «Заметки о центроиде». Учитель математики . 53 (1): 33–35. дои : 10.5951/MT.53.1.0033. JSTOR  27956057.
5. Норр, В. (1978). «Утраченный трактат Архимеда о центрах тяжести твердых тел». Математический интеллект . 1 (2): 102–109. дои : 10.1007/BF03023072. ISSN  0343-6993. S2CID  122021219.
6. Альтшиллер-Корт (1925, стр. 66)
7. Проттер и Морри (1970, стр. 526)
8. Проттер и Морри (1970, стр. 527)
9. Проттер и Морри (1970, стр. 528)
10. Ларсон (1998, стр. 458–460)
11. Сангвин
12. Альтшиллер-Корт (1925, стр. 65)
13. Кей (1969, стр. 184)
14. Энциклопедия треугольников Кларка Кимберлинга «Энциклопедия центров треугольников». Архивировано из оригинала 19 апреля 2012 г. Проверено 2 июня 2012 г.
15. Джонсон (2007, стр. 173)
16. Альтшиллер-Корт (1925, стр. 101)
17. Кей (1969, стр. 18, 189, 225–226)
18. Боттомли, Генри. «Медианы и биссектрисы треугольника» . Проверено 27 сентября 2013 г.
19. Альтшиллер-Корт (1925, стр. 70–71)
20. Кимберлинг, Кларк (201). «Трилинейные неравенства расстояний для симмедианной точки, центроида и других центров треугольника». Форум Геометрикорум . 10 : 135–139.
21. Джеральд А. Эдгар, Дэниел Х. Уллман и Дуглас Б. Уэст (2018) Проблемы и решения, The American Mathematical Monthly, 125: 1, 81-89, DOI: 10.1080/00029890.2018.1397465
22. Бурк (1997)
23. Люнг, Кам-тим; и Суен, Сук-нам; «Векторы, матрицы и геометрия», Hong Kong University Press, 1994, стр. 53–54.

Рекомендации

• Альтшиллер-Корт, Натан (1925), Геометрия колледжа: введение в современную геометрию треугольника и круга (2-е изд.), Нью-Йорк: Barnes & Noble , LCCN  52013504
• Бурк, Пол (июль 1997 г.). «Вычисление площади и центроида многоугольника».
• Джонсон, Роджер А. (2007), Расширенная евклидова геометрия , Дувр
• Кей, Дэвид К. (1969), Геометрия колледжа , Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон , LCCN  69012075
• Ларсон, Роланд Э.; Хостетлер, Роберт П.; Эдвардс, Брюс Х. (1998), Исчисление одной переменной (6-е изд.), Houghton Mifflin Company
• Проттер, Мюррей Х.; Морри, Чарльз Б. младший (1970), Колледжское исчисление с аналитической геометрией (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , LCCN  76087042
• Сангвин, CJ, Определение местоположения центра масс механическими средствами (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 13 ноября 2013 г.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Геометрический центроид». Математический мир .
• Энциклопедия центров треугольников Кларка Кимберлинга. Центроид индексируется как X(2).
• Характеристическое свойство центроида при разрезании узла
• Интерактивная анимация, показывающая центроид треугольника и построение центроида с помощью циркуля и линейки.
• Экспериментальный поиск медиан и центроида треугольника в Dynamic Geometry Sketches, интерактивном эскизе динамической геометрии с использованием гравитационного симулятора Золушки.