Центр массы

Уникальная точка, в которой взвешенная относительная позиция распределенной массы равна нулю.

В этой игрушке используется принцип центра масс, чтобы сохранять равновесие при сидении на пальце.

В физике центр масс распределения массы в пространстве (иногда называемый барицентром или точкой баланса ) — это уникальная точка в любой момент времени, где взвешенная относительная позиция распределенной массы равна нулю. Это точка, к которой можно приложить силу, чтобы вызвать линейное ускорение без углового ускорения . Расчеты в механике часто упрощаются, если формулируются относительно центра масс. Это гипотетическая точка, в которой можно предположить, что вся масса объекта сконцентрирована, чтобы визуализировать его движение. Другими словами, центр масс — это частица, эквивалентная данному объекту для применения законов движения Ньютона .

В случае одного твердого тела центр масс фиксирован по отношению к телу, а если тело имеет однородную плотность , то он будет расположен в центроиде . Центр масс может располагаться вне физического тела , как это иногда бывает с полыми предметами или предметами открытой формы, такими как подкова . В случае распределения отдельных тел, например планет Солнечной системы , центр масс может не соответствовать положению какого-либо отдельного члена системы.

Центр масс является полезной отправной точкой для расчетов в механике , в которых используются массы, распределенные в пространстве, такие как линейный и угловой момент планетарных тел и динамика твердого тела . В орбитальной механике уравнения движения планет формулируются как точечные массы , расположенные в центрах масс ( подробнее см. Барицентр (астрономия) ). Система центра масс — это инерциальная система отсчета , в которой центр масс системы покоится относительно начала системы координат .

История

Понятие центра тяжести или веса широко изучалось древнегреческим математиком , физиком и инженером Архимедом Сиракузским . Он работал с упрощенными предположениями о гравитации, которые сводятся к однородному полю, и таким образом пришел к математическим свойствам того, что мы теперь называем центром масс. Архимед показал, что крутящий момент , действующий на рычаг со стороны гирь, покоящихся в различных точках рычага, такой же, каким он был бы, если бы все гири были перемещены в одну точку — их центр масс. В своей работе «О плавающих телах» Архимед продемонстрировал, что ориентация плавающего объекта — это такая, при которой его центр массы оказывается как можно ниже. Он разработал математические методы нахождения центров масс объектов одинаковой плотности различной четко определенной формы. ^[1]

Среди других древних математиков, внесших вклад в теорию центра масс, — Герой Александрийский и Папп Александрийский . В периоды Возрождения и раннего Нового времени работы Гвидо Убальди , Франческо Мауролико , ^[2] Федерико Коммандино , ^[3] Евангелиста Торричелли , Симона Стевина , ^[4] Луки Валерио , ^[5] Жана-Шарля де ла Файля , Поля Гулдина , ^[6] Джон Уоллис , Кристиан Гюйгенс , ^[7] Луи Карре , Пьер Вариньон и Алексис Клеро еще больше расширили эту концепцию. ^[8]

Второй закон Ньютона переформулирован относительно центра масс в первом законе Эйлера . ^[9]

Определение

Центр масс — это уникальная точка в центре распределения массы в пространстве, которая обладает тем свойством, что сумма взвешенных векторов положения относительно этой точки равна нулю. По аналогии со статистикой, центр масс — это среднее расположение распределения массы в пространстве.

Система частиц

В случае системы частиц P _i , i = 1, ...,   n , каждая из которых имеет массу m _i , расположенных в пространстве с координатами r _i , i = 1, ...,  n  , координаты R центр масс удовлетворяет условию

∑ я знак равно 1 п м я ( р я - р ) знак равно 0 . {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R})=\mathbf {0} .}

Решение этого уравнения для R дает формулу

р знак равно ∑ я знак равно 1 п м я р я ∑ я знак равно 1 п м я . {\displaystyle \mathbf {R} = {\sum _{i=1}^{n}m_{i} \mathbf {r} _{i} \over \sum _{i=1}^{n}m_ {я}}.}

Непрерывный объем

Если распределение массы непрерывно с плотностью ρ( r ) внутри твердого тела Q , то интеграл от взвешенных координат положения точек в этом объеме относительно центра масс R по объему V равен нулю, т.е.

$${\displaystyle \iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {R} \right)dV=0.}$$

Решите это уравнение для координат R , чтобы получить

$${\displaystyle \mathbf {R} ={\frac {1}{M}}\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\mathbf {r} \,dV,}$$

М

Если непрерывное распределение массы имеет однородную плотность , что означает, что ρ постоянно, то центр массы совпадает с центроидом объема. ^[10]

Барицентрические координаты

Координаты R центра масс двухчастичной системы P ₁ и P ₂ с массами m ₁ и m ₂ определяются выражением

$${\displaystyle \mathbf {R} ={{m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}} \over m_{1}+m_{2}}.}$$

Пусть процент общей массы, разделенный между этими двумя частицами , изменяется от 100 % P ₁ и 0 % P ₂ через 50 % P ₁ и 50 % P ₂ до 0 % P ₁ и 100 % P ₂ , тогда центр масс R движется по линии от P ₁ к P ₂ . Проценты массы в каждой точке можно рассматривать как проективные координаты точки R на этой линии и называются барицентрическими координатами . Другой способ интерпретации процесса здесь — механическое уравновешивание моментов относительно произвольной точки. В числителе указан общий момент, который затем уравновешивается эквивалентной полной силой в центре масс. Это можно обобщить до трех и четырех точек для определения проективных координат на плоскости и в пространстве соответственно.

Системы с периодическими граничными условиями

Для частиц в системе с периодическими граничными условиями две частицы могут быть соседями, даже если они находятся на противоположных сторонах системы. Это часто происходит , например, при моделировании молекулярной динамики , когда кластеры образуются в случайных местах, а иногда соседние атомы пересекают периодическую границу. Когда скопление выходит за периодическую границу, наивный расчет центра масс будет неверным. Обобщенный метод расчета центра масс периодических систем заключается в том, чтобы рассматривать каждую координату x , y и/или z так, как если бы она находилась на круге, а не на линии. ^{[11] При расчете берется координата} x каждой частицы и сопоставляется с углом:

$${\displaystyle \theta _{i}={\frac {x_{i}}{x_{\max }}}2\pi }$$

x _maxx ${\displaystyle x_{i}\in [0,x_{\max })}$ ${\displaystyle (\xi _{i},\zeta _{i})}$ ${\displaystyle x_{i}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{i}&=\cos(\theta _{i})\\\zeta _{i}&=\sin(\theta _{i})\end{aligned}}}$$

На плоскости эти координаты лежат на окружности радиуса 1. На основе совокупности значений всех частиц вычисляются средние значения и . ${\displaystyle (\xi ,\zeta )}$ ${\displaystyle \xi _{i}}$ ${\displaystyle \zeta _{i}}$ ${\displaystyle {\overline {\xi }}}$ ${\displaystyle {\overline {\zeta }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\xi }}&={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\xi _{i},\\{\overline {\zeta }}&={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\zeta _{i},\end{aligned}}}$$

М

Эти значения преобразуются обратно в новый угол , из которого можно получить координату x центра масс: ${\displaystyle {\overline {\theta }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\theta }}&=\operatorname {atan2} \left(-{\overline {\zeta }},-{\overline {\xi }}\right)+\pi \\x_{\text{com}}&=x_{\max }{\frac {\overline {\theta }}{2\pi }}\end{aligned}}}$$

Этот процесс можно повторить для всех размеров системы, чтобы определить полный центр масс. Полезность алгоритма заключается в том, что он позволяет математике определить, где находится «лучший» центр масс, вместо того, чтобы гадать или использовать кластерный анализ для «развертывания» кластера, пересекающего периодические границы. Если оба средних значения равны нулю, то не определено. Это правильный результат, потому что он возникает только тогда, когда все частицы расположены на одинаковом расстоянии друг от друга. В этом состоянии их координаты x математически идентичны в периодической системе . ${\displaystyle \left({\overline {\xi }},{\overline {\zeta }}\right)=(0,0)}$ ${\displaystyle {\overline {\theta }}}$

Центр гравитации

Схема развивающей игрушки, балансирующей на точке: центр масс (С) располагается ниже ее опоры (Р)

Центр тяжести тела — это точка, вокруг которой результирующий крутящий момент сил гравитации исчезает. Если гравитационное поле можно считать однородным, центр масс и центр тяжести будут одинаковыми. Однако для спутников, находящихся на орбите вокруг планеты, в отсутствие других крутящих моментов, приложенных к спутнику, небольшое изменение (градиент) гравитационного поля между ближними и дальними от планеты (более сильная и слабая гравитация соответственно) может привести к к крутящему моменту, который будет стремиться выровнять спутник так, чтобы его длинная ось была вертикальной. В таком случае важно различать центр тяжести и центр масс. Любое горизонтальное смещение между ними приведет к приложению крутящего момента.

Центр масс является фиксированным свойством данного твердого тела (например, без выплесков или сочленений), тогда как центр тяжести может, кроме того, зависеть от его ориентации в неоднородном гравитационном поле. В последнем случае центр тяжести всегда будет расположен несколько ближе к основному притягивающему телу по сравнению с центром масс и, таким образом, будет менять свое положение в интересующем теле при изменении его ориентации.

При изучении динамики самолетов, транспортных средств и судов необходимо определять силы и моменты относительно центра масс. Это верно независимо от того, учитывается ли сама гравитация. Ссылка на центр масс как на центр тяжести - это что-то вроде разговорного выражения, но оно широко используется, и когда эффекты градиента силы тяжести незначительны, центр тяжести и центр масс одинаковы и используются как взаимозаменяемые.

В физике преимущества использования центра масс для моделирования распределения массы можно увидеть, рассмотрев равнодействующую сил гравитации, действующую на сплошное тело. Рассмотрим тело Q объёма V с плотностью ρ ( r ) в каждой точке r объёма. В параллельном гравитационном поле сила f в каждой точке r определяется формулой:

$${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {r} )=-dm\,g\mathbf {\hat {k}} =-\rho (\mathbf {r} )\,dV\,g\mathbf {\hat {k}} ,}$$

dmrg ${\textstyle \mathbf {\hat {k}} }$

Выберите опорную точку R в объеме и вычислите результирующую силу и крутящий момент в этой точке.

F знак равно ∭ Q ж ( р ) d V знак равно ∭ Q ρ ( р ) d V ( - грамм k ^ ) знак равно - M грамм k ^ , {\ displaystyle \ mathbf {F} = \ iiint _ {Q} \ mathbf {f} (\mathbf {r})\,dV=\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r})\,dV\left(-g\mathbf {\hat {k}} \right)=-Mg\ mathbf {\hat {k}} ,}

Т знак равно ∭ Q ( р - р ) × ж ( р ) d V знак равно ∭ Q ( р - р ) × ( - грамм ρ ( р ) d V k ^ ) знак равно ( ∭ Q ρ ( р ) ( р - р ) d V ) × ( - грамм k ^ ) . {\displaystyle \mathbf {T} =\iiint _{Q}(\mathbf {r} -\mathbf {R})\times \mathbf {f} (\mathbf {r})\,dV=\iiint _{ Q}(\mathbf {r} -\mathbf {R})\times \left(-g\rho (\mathbf {r})\,dV\,\mathbf {\hat {k}} \right)=\ left(\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r})\left(\mathbf {r} -\mathbf {R} \right)dV\right)\times \left(-g\mathbf {\hat {k}} \вправо).}

Если точка отсчета R выбрана так, что она является центром масс, то

$${\displaystyle \iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {R} \right)dV=0,}$$

T = 0

Если выбрать центр тяжести в качестве опорной точки для твердого тела, силы тяжести не будут заставлять тело вращаться, а это означает, что вес тела можно считать сосредоточенным в центре масс.

Линейный и угловой момент

Линейный и угловой момент совокупности частиц можно упростить, измерив положение и скорость частиц относительно центра масс. Пусть система частиц P _i , i = 1, ..., n масс m _i расположена в координатах r _i со скоростями v _i . Выберите опорную точку R и вычислите векторы относительного положения и скорости,

$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}=(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {R} ,\quad \mathbf {v} _{i}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {v} .}$$

Полный линейный момент и угловой момент системы равны

п знак равно d d т ( ∑ я знак равно 1 п м я ( р я - р ) ) + ( ∑ я знак равно 1 п м я ) v , {\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ frac {d} {dt}} \ left (\ sum _ {i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_ {i}\right)\mathbf {v} ,}

L знак равно ∑ я знак равно 1 п м я ( р я - р ) × d d т ( р ​​я - р ) + ( ∑ я знак равно 1 п м я ) [ р × d d т ( р ​​я - р ) + ( р я - р ) × v ] + ( ∑ я знак равно 1 п м я ) р × v {\ displaystyle \ mathbf {L} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {R}) \ times {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R})+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right) \left[\mathbf {R} \times {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+(\mathbf {r} _{i}-\ mathbf {R} )\times \mathbf {v} \right]+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {R} \times \mathbf {v} }

Если R выбран в качестве центра масс, эти уравнения упрощаются до

$${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} ,\quad \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {R} \times \mathbf {v} }$$

mpL

Закон сохранения импульса предсказывает, что для любой системы, на которую не действуют внешние силы, импульс системы останется постоянным, а это означает, что центр масс будет двигаться с постоянной скоростью. Это справедливо для всех систем с классическими внутренними силами, включая магнитные поля, электрические поля, химические реакции и так далее. Более формально это справедливо для любых внутренних сил, которые сокращаются в соответствии с Третьим законом Ньютона . ^[12]

Определение

Метод отвеса

Экспериментальное определение центра масс тела использует силы тяжести, действующие на тело, и основано на том, что центр масс совпадает с центром тяжести в параллельном поле силы тяжести вблизи земной поверхности.

Центр масс тела с осью симметрии и постоянной плотностью должен лежать на этой оси. Таким образом, центр масс круглого цилиндра постоянной плотности располагается на оси цилиндра. Точно так же центр масс сферически-симметричного тела постоянной плотности находится в центре сферы. В общем, для любой симметрии тела его центр масс будет фиксированной точкой этой симметрии. ^[13]

В двух измерениях

Экспериментальный метод определения центра масс состоит в подвешивании объекта в двух местах и ​​опущении отвесов из точек подвеса. Пересечение двух линий – это центр масс. ^[14]

Форма объекта может быть уже определена математически, но использовать известную формулу может быть слишком сложно. В этом случае можно разделить сложную форму на более простые и элементарные формы, центры масс которых легко найти. Если общую массу и центр масс можно определить для каждой области, то центр масс целого представляет собой средневзвешенное значение центров. ^[15] Этот метод может работать даже для объектов с дырками, которые можно рассматривать как отрицательные массы. ^[16]

Прямое развитие планиметра, известное как интеграф или целочисленный счетчик, можно использовать для определения положения центроида или центра масс неправильной двумерной формы. Этот метод можно применить к фигурам с неровными, гладкими или сложными границами, где другие методы слишком сложны. Судостроители регулярно использовали его для сравнения необходимого водоизмещения и центра плавучести корабля и обеспечения его предотвращения опрокидывания. ^{[17] [18]}

В трех измерениях

Экспериментальный метод определения трехмерных координат центра масс начинается с поддержки объекта в трех точках и измерения сил F ₁ , F ₂ и F ₃ , которые сопротивляются весу объекта ( - единичный вектор в вертикальном направлении). Пусть r ₁ , r ₂ и r ₃ - координаты положения опорных точек, тогда координаты R центра масс удовлетворяют условию, что результирующий крутящий момент равен нулю, ${\displaystyle \mathbf {W} =-W\mathbf {\hat {k}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$

$${\displaystyle \mathbf {T} =(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{1}+(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{2}+(\mathbf {r} _{3}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{3}=0,}$$

$${\displaystyle \mathbf {R} \times \left(-W\mathbf {\hat {k}} \right)=\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\mathbf {r} _{3}\times \mathbf {F} _{3}.}$$

Это уравнение дает координаты центра масс R * в горизонтальной плоскости как:

$${\displaystyle \mathbf {R} ^{*}=-{\frac {1}{W}}\mathbf {\hat {k}} \times (\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\mathbf {r} _{3}\times \mathbf {F} _{3}).}$$

Центр масс лежит на вертикальной линии L , определяемой формулой

$${\displaystyle \mathbf {L} (t)=\mathbf {R} ^{*}+t\mathbf {\hat {k}} .}$$

Трехмерные координаты центра масс определяются путем проведения этого эксперимента дважды, когда объект расположен так, что эти силы измеряются в двух разных горизонтальных плоскостях, проходящих через объект. Центром масс будет пересечение двух линий L ₁ и L ₂ , полученных в результате двух экспериментов.

Приложения

Инженерные проекты

Автомобильные приложения

Инженеры стараются спроектировать спортивный автомобиль так, чтобы его центр масс был опущен, чтобы автомобиль лучше управлялся , то есть сохранял сцепление с дорогой при выполнении относительно крутых поворотов.

Характерный низкий профиль американского военного «Хамви» был разработан отчасти для того, чтобы позволить ему наклоняться дальше, чем более высокие автомобили, не переворачиваясь , гарантируя, что его низкий центр масс останется над пространством, ограниченным четырьмя колесами, даже под углами, далекими от горизонтали .

Воздухоплавание

Центр масс — важная точка самолета , которая существенно влияет на устойчивость самолета. Чтобы самолет был достаточно устойчивым и безопасным в полете, центр масс должен находиться в определенных пределах. Если центр масс находится впереди переднего предела , самолет будет менее маневренным, возможно, до такой степени, что он не сможет развернуться при взлете или развернуться при приземлении. ^[19] Если центр масс находится за задней границей, самолет будет более маневренным, но при этом менее устойчивым и, возможно, настолько нестабильным, что полет будет невозможен. Моментное плечо руля высоты также будет уменьшено, что затруднит выход из состояния сваливания . ^[20]

У вертолетов в режиме зависания центр масс всегда находится прямо под головкой несущего винта . При полете вперед центр масс будет перемещаться вперед, чтобы уравновесить отрицательный крутящий момент по тангажу, создаваемый циклическим управлением для движения вертолета вперед; следовательно, крейсерский вертолет летит «носом вниз» в горизонтальном полете. ^[21]

Астрономия

Два тела, вращающиеся вокруг своего барицентра (красный крест)

Центр масс играет важную роль в астрономии и астрофизике, где его обычно называют барицентром . Барицентр — это точка между двумя объектами, где они уравновешивают друг друга; это центр масс, где два или более небесных тел вращаются вокруг друг друга. Когда луна вращается вокруг планеты или планета вращается вокруг звезды , оба тела фактически вращаются вокруг точки, которая находится вдали от центра основного (большого) тела. ^[22] Например, Луна вращается не вокруг точного центра Земли , а вокруг точки на линии между центром Земли и Луной, примерно на 1710 км (1062 мили) ниже поверхности Земли, где их баланс соответствующих масс. Это точка, вокруг которой вращаются Земля и Луна, путешествуя вокруг Солнца . Если массы более похожи, например, Плутона и Харона , барицентр окажется вне обоих тел.

Такелаж и безопасность

Знание местоположения центра тяжести при монтаже имеет решающее значение, поскольку неправильное определение может привести к серьезной травме или смерти. Центр тяжести, находящийся на точке подъема или выше нее, скорее всего, приведет к опрокидыванию. В общем, чем дальше центр тяжести ниже точки выбора, тем безопаснее подъем. Следует учитывать и другие факторы, такие как смещение грузов, сила груза и масса, расстояние между точками выбора и количество точек выбора. В частности, при выборе точек подъема очень важно расположить центр тяжести в центре и значительно ниже точек подъема. ^[23]

Движение тела

В кинезиологии и биомеханике центр масс является важным параметром, который помогает людям понять свое человеческое передвижение. Обычно центр массы человека определяется одним из двух методов: метод реакционной доски представляет собой статический анализ, в котором человек лежит на этом инструменте и использует его уравнение статического равновесия для определения своего центра массы; метод сегментации основан на математическом решении, основанном на физическом принципе , согласно которому сумма крутящих моментов отдельных секций тела относительно заданной оси должна равняться крутящему моменту всей системы, составляющей тело, измеренному относительно той же оси. ^[24]

Оптимизация

Метод центра тяжести — это метод выпуклой оптимизации, который использует центр тяжести допустимой области.

Смотрите также

• Физический портал

• Барицентр
• Плавучесть
• Центр удара
• Центр давления (механика жидкости)
• Центр давления (земное передвижение)
• центроид
• Окружность центра массы
• Ожидаемое значение
• Геометрия массовой точки
• Метацентрическая высота
• Центр рулона
• Распределение веса

Примечания

1. Шор 2008, стр. 9–11.
2. Барон 2004, стр. 91–94.
3. Барон 2004, стр. 94–96.
4. Барон 2004, стр. 96–101.
5. Барон 2004, стр. 101–106.
6. Манкосу 1999, стр. 56–61.
7. Эрлихсон, Х. (1996). «Открытие Христианом Гюйгенсом формулы центра колебаний». Американский журнал физики . 64 (5): 571–574. Бибкод : 1996AmJPh..64..571E. дои : 10.1119/1.18156. ISSN  0002-9505.
8. Уолтон 1855, с. 2.
9. Битти 2006, с. 29.
10. Леви 2009, с. 85.
11. Бай и Брин 2008.
12. Клеппнер и Коленков 1973, с. 117.
13. Лекции Фейнмана по физике Том. Я Ч. 19: Центр масс; Момент инерции
14. Клеппнер и Коленков 1973, стр. 119–120.
15. Фейнман, Лейтон и Сэндс, 1963, стр. 19.1–19.2.
16. Хэмилл 2009, стр. 20–21.
17. «Теория и конструкция британского судостроения». Амос Лоури Эйр . п. 3 . Проверено 20 августа 2012 г.
18. Сангвин 2006, с. 7.
19. Федеральное управление гражданской авиации 2007, с. 1.4.
20. Федеральное управление гражданской авиации 2007, с. 1.3.
21. «Аэродинамика вертолета» (PDF) . п. 82. Архивировано из оригинала (PDF) 24 марта 2012 г. Проверено 23 ноября 2013 г.
22. Мюррей и Дермотт 1999, стр. 45–47.
23. «Техник по разрушению конструкций: Модуль 4 — Подъем и такелаж» (PDF) . FEMA.gov . Проверено 27 ноября 2019 г.
24. Винт 2003, стр. 1–11.

Рекомендации

• Азимов, Исаак (1988) [1966], Понимание физики , Barnes & Noble Books, ISBN 978-0-88029-251-1
• Бай, Линге; Брин, Дэвид (2008). «Расчет центра масс в неограниченной двумерной среде». Журнал графики, графических процессоров и игровых инструментов . 13 (4): 53–60. дои : 10.1080/2151237X.2008.10129266. S2CID  40807367.
• Барон, Маргарет Э. (2004) [1969], Истоки исчисления бесконечно малых , Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-49544-6
• Битти, Миллард Ф. (2006), Принципы инженерной механики, Том 2: Динамика - анализ движения , Математические концепции и методы в науке и технике, том. 33, Спрингер, ISBN 978-0-387-23704-6
• Де Сильва, Кларенс В. (2002), Справочник по вибрации и ударам , CRC Press, ISBN 978-0-8493-1580-0
• Федеральное управление гражданской авиации (2007 г.), Справочник по весу и балансировке самолетов (PDF) , Типография правительства США , заархивировано из оригинала (PDF) 19 октября 2011 г. , получено 23 октября 2011 г.
• Фейнман, Ричард ; Лейтон, Роберт Б .; Сэндс, Мэтью (1963), Фейнмановские лекции по физике , том. 1 (шестое издание, издание февраля 1977 г.), Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0-201-02010-6
• Фраучи, Стивен С .; Оленик, Ричард П.; Апостол, Том М .; Гудштейн, Дэвид Л. (1986), Механическая Вселенная: механика и тепло, расширенное издание , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-30432-0
• Джамбаттиста, Алан; Ричардсон, Бетти Маккарти; Ричардсон, Роберт Коулман (2007), Колледж физики, том. 1 (2-е изд.), Высшее образование Макгроу-Хилла, ISBN 978-0-07-110608-5
• Гольдштейн, Герберт ; Пул, Чарльз; Сафко, Джон (2001), Классическая механика (3-е изд.), Аддисон Уэсли, ISBN 978-0-201-65702-9
• Гольдштейн, Герберт ; Пул, Чарльз; Сафко, Джон (2002), Классическая механика (3-е изд.), Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0-201-65702-9
• Гудман, Лоуренс Э.; Уорнер, Уильям Х. (2001) [1964], Статика , Дувр, ISBN 978-0-486-42005-9
• Хэмилл, Патрик (2009), Промежуточная динамика , Jones & Bartlett Learning, ISBN 978-0-7637-5728-1
• Чон, И.Г.; Роджерс, Б.Г. (1995), Инженерная механика: статика , Издательство Saunders College Publishing, ISBN 978-0-03-026309-5
• Клеппнер, Дэниел ; Коленкоу, Роберт (1973), Введение в механику (2-е изд.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-035048-9
• Леви, Марк (2009), Математическая механика: использование физических рассуждений для решения проблем, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-14020-9
• Манкосу, Паоло (1999), Философия математики и математическая практика в семнадцатом веке , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-513244-1
• Милликен, Роберт Эндрюс (1902), Механика, молекулярная физика и тепло: двенадцатинедельный курс колледжа , Чикаго: Скотт, Форесман и компания , получено 25 мая 2011 г.
• Мюррей, Карл; Дермотт, Стэнли (1999), Динамика Солнечной системы , Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-57295-8
• О'Доннелл, Питер Дж. (2015), Основная динамика и относительность , CRC Press, ISBN 978-1-466-58839-4
• Поллард, Дэвид Д.; Флетчер, Раймонд К. (2005), Основы структурной геологии , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-83927-3
• Пител, Эндрю; Киусалас, Яан (2010), Инженерная механика: статика , том. 1 (3-е изд.), Cengage Learning, ISBN 978-0-495-29559-4
• Розен, Джо; Готард, Лиза Куинн (2009), Энциклопедия физических наук , Издательство информационной базы, ISBN 978-0-8160-7011-4
• Сангвин, Кристофер Дж. (2006), «Определение центра масс механическими средствами» (PDF) , Journal of the Oughtred Society , 15 (2), заархивировано из оригинала (PDF) 05 октября 2011 г. , получено в 2011 г. -10-23
• Сервей, Раймонд А.; Джуэтт, Джон В. (2006), Принципы физики: текст, основанный на исчислении , том. 1 (4-е изд.), Thomson Learning, Bibcode : 2006ppcb.book.....J, ISBN 978-0-534-49143-7
• Ширли, Джеймс Х.; Фэрбридж, Родс Уитмор (1997), Энциклопедия планетарных наук , Springer, ISBN 978-0-412-06951-2
• Шор, Стивен Н. (2008), Силы в физике: историческая перспектива , Greenwood Press, ISBN 978-0-313-33303-3
• Саймон, Кейт Р. (1971), Механика (3-е изд.), Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0-201-07392-8
• Типлер, Пол А.; Моска, Джин (2004), Физика для ученых и инженеров , том. 1A (5-е изд.), WH Freeman and Company, ISBN 978-0-7167-0900-8
• Ван Пелт, Майкл (2005), Космический туризм: приключения на околоземной орбите и за ее пределами , Springer, ISBN 978-0-387-40213-0
• Винт, Питер (2003), «ЛАБОРАТОРИЯ: Центр масс (центр тяжести) человеческого тела» (PDF) , KIN 335 - Биомеханика , получено 18 октября 2013 г.
• Уолтон, Уильям (1855 г.), Сборник задач по иллюстрации принципов теоретической механики (2-е изд.), Deighton, Bell & Co.

Внешние ссылки

• Движение центра масс показывает, что движение центра масс объекта в свободном падении такое же, как движение точечного объекта.
• Барицентр Солнечной системы: моделирование, показывающее влияние каждой планеты на барицентр Солнечной системы.