В теории групп группа симметрии геометрического объекта — это группа всех преобразований , относительно которых объект инвариантен , наделенная групповой операцией композиции . Такое преобразование представляет собой обратимое отображение окружающего пространства , которое переносит объект в себя и сохраняет всю соответствующую структуру объекта. Частое обозначение группы симметрии объекта X — G = Sym( X ).
Для объекта в метрическом пространстве его симметрии образуют подгруппу группы изометрии окружающего пространства. В этой статье в основном рассматриваются группы симметрии в евклидовой геометрии , но эту концепцию можно также изучить для более общих типов геометрической структуры.
«Объектами», обладающими симметрией, мы считаем геометрические фигуры, изображения и узоры, например рисунок обоев . Для симметрии физических объектов можно также принять их физическую композицию как часть узора. (Формально шаблон может быть определен как скалярное поле , функция положения со значениями в наборе цветов или веществ; как векторное поле ; или как более общая функция объекта.) Группа изометрий пространства вызывает групповое действие на объекты в нем, а группа симметрии Sym( X ) состоит из тех изометрий, которые отображают X в себя (а также отображают в себя любой дальнейший шаблон). Мы говорим, что X инвариантно относительно такого отображения, и что это отображение является симметрией X .
Вышеуказанное иногда называют полной группой симметрии X , чтобы подчеркнуть, что оно включает в себя изометрии, меняющие ориентацию (отражения, скользящие отражения и неправильные вращения ), пока эти изометрии отображают этот конкретный X сам на себя. Подгруппа сохраняющих ориентацию симметрий (переносов, вращений и их композиций) называется собственной группой симметрии . Объект является киральным , если он не имеет симметрий , изменяющих ориентацию, так что его собственная группа симметрии равна его полной группе симметрии.
Любая группа симметрии, элементы которой имеют общую неподвижную точку (что верно, если группа конечна или фигура ограничена), может быть представлена как подгруппа ортогональной группы O ( n ), выбрав начало координат в качестве фиксированной точки. Собственная группа симметрии тогда является подгруппой специальной ортогональной группы SO( n ) и называется группой вращения фигуры.
В дискретной группе симметрии точки, симметричные данной точке, не накапливаются к предельной точке . То есть каждая орбита группы (образы данной точки под всеми элементами группы) образует дискретное множество . Все конечные группы симметрии дискретны.
Дискретные группы симметрии бывают трех типов: (1) конечные точечные группы , которые включают только вращения, отражения, инверсии и ротоинверсии – т.е. конечные подгруппы O( n ); (2) бесконечные решетчатые группы , включающие только сдвиги; и (3) бесконечные пространственные группы , содержащие элементы обоих предыдущих типов, а также, возможно, дополнительные преобразования, такие как винтовые смещения и скользящие отражения. Существуют также непрерывные группы симметрии ( группы Ли ), которые содержат повороты на сколь угодно малые углы или сдвиги на сколь угодно малые расстояния. Примером является O(3) , группа симметрии сферы. Группы симметрии евклидовых объектов можно полностью классифицировать как подгруппы евклидовой группы E( n ) (группы изометрии Rn ).
Две геометрические фигуры имеют один и тот же тип симметрии , когда их группы симметрии являются сопряженными подгруппами евклидовой группы: то есть, когда подгруппы H 1 , H 2 связаны соотношением H 1 = g −1 H 2 g для некоторого g из E( n ). Например:
В следующих разделах мы рассматриваем только группы изометрий, орбиты которых топологически замкнуты , включая все дискретные и непрерывные группы изометрий. Однако это исключает, например, 1D-группу переводов рационального числа ; такую незамкнутую фигуру невозможно нарисовать с достаточной точностью из-за ее сколь угодно мелкой детализации.
Группы изометрии в одном измерении:
Дискретными группами точек в двумерном пространстве с точностью до сопряженности являются следующие классы:
C 1 — тривиальная группа , содержащая только операцию тождества, которая возникает, когда фигура несимметрична, например буква «F». С 2 — группа симметрии буквы «Z», С 3 — трискелиона , С 4 — свастики , а С 5 , С 6 и т. д. — группы симметрии подобных свастикообразных фигур с пятью, шестью, и т. д. вооружения вместо четырех.
D 1 представляет собой группу из двух элементов, содержащую операцию тождества и одиночное отражение, которое происходит, когда фигура имеет только одну ось двусторонней симметрии , например букву «А».
D 2 , изоморфная четверной группе Клейна , является группой симметрии неравностороннего прямоугольника. Эта фигура имеет четыре операции симметрии: операцию тождества, одну ось вращения второго порядка и две неэквивалентные зеркальные плоскости.
D 3 , D 4 и т. д. — группы симметрии правильных многоугольников .
Внутри каждого из этих типов симметрии имеется две степени свободы для центра вращения, а в случае групп диэдра - еще одна для положения зеркал.
Остальные группы изометрии в двух измерениях с фиксированной точкой:
Неограниченные фигуры могут иметь группы изометрии, включая переводы; это:
С точностью до сопряженности множество трехмерных точечных групп состоит из 7 бесконечных серий и 7 других отдельных групп. В кристаллографии рассматриваются только те точечные группы, которые сохраняют некоторую кристаллическую решетку (поэтому их вращение может иметь только порядок 1, 2, 3, 4 или 6). Это кристаллографическое ограничение бесконечных семейств общих точечных групп приводит к образованию 32 кристаллографических точечных групп (27 отдельных групп из 7 серий и 5 из 7 других отдельных групп).
К непрерывным группам симметрии с неподвижной точкой относятся группы:
Для объектов со скалярной структурой поля цилиндрическая симметрия подразумевает также симметрию вертикального отражения. Однако это неверно для структур векторного поля : например, в цилиндрических координатах относительно некоторой оси векторное поле имеет цилиндрическую симметрию относительно оси всякий раз, когда и имеет эту симметрию (нет зависимости от ); и он обладает отражательной симметрией только тогда, когда .
Для сферической симметрии такого различия нет: любой узорчатый объект имеет плоскости отражательной симметрии.
К непрерывным группам симметрии без фиксированной точки относятся группы с винтовой осью , например бесконечная спираль . См. также подгруппы евклидовой группы .
В более широком контексте группа симметрии может быть любой группой преобразований или группой автоморфизмов . Каждый тип математической структуры имеет обратимые отображения , сохраняющие структуру. И наоборот, указание группы симметрии может определить структуру или, по крайней мере, прояснить значение геометрического соответствия или инвариантности; Это один из способов взглянуть на программу Эрлангена .
Например, объекты в гиперболической неевклидовой геометрии имеют фуксовы группы симметрии , которые являются дискретными подгруппами группы изометрии гиперболической плоскости, сохраняющими гиперболическое, а не евклидово расстояние. (Некоторые из них изображены на рисунках Эшера .) Точно так же группы автоморфизмов конечной геометрии сохраняют семейства множеств точек (дискретных подпространств), а не евклидовы подпространства, расстояния или скалярные произведения. Как и в случае с евклидовыми фигурами, объекты в любом геометрическом пространстве имеют группы симметрии, которые являются подгруппами симметрий окружающего пространства.
Другим примером группы симметрии является комбинаторный граф : симметрия графа — это перестановка вершин, которая переводит ребра в ребра. Любая конечно определенная группа является группой симметрии своего графа Кэли ; свободная группа — это группа симметрии бесконечного графа дерева .
Теорема Кэли утверждает, что любая абстрактная группа является подгруппой перестановок некоторого множества X и поэтому может рассматриваться как группа симметрии X с некоторой дополнительной структурой. Кроме того, многие абстрактные свойства группы (определяемые исключительно с точки зрения групповой операции) можно интерпретировать с точки зрения симметрии.
Например, пусть G = Sym( X ) — конечная группа симметрии фигуры X в евклидовом пространстве , и пусть H ⊂ G — подгруппа. Тогда H можно интерпретировать как группу симметрии X + , « украшенную » версию X. Такое украшение можно соорудить следующим образом. Добавьте к X некоторые узоры, такие как стрелки или цвета, чтобы нарушить всю симметрию, получив фигуру X # с Sym( X # ) = {1}, тривиальной подгруппой; то есть gX # ≠ X # для всех нетривиальных g ∈ G . Теперь мы получаем:
Нормальные подгруппы также могут быть охарактеризованы в этой структуре. Группой симметрии трансляции gX + является сопряженная подгруппа gHg −1 . Таким образом, H является нормальным, когда:
то есть всякий раз, когда украшение X + может быть нарисовано в любой ориентации относительно любой стороны или элемента X и при этом давать ту же самую группу симметрии gHg −1 = H .
В качестве примера рассмотрим группу диэдра G = D 3 = Sym( X ), где X — равносторонний треугольник. Мы можем украсить его стрелкой на одном краю, получив асимметричную фигуру X # . Полагая, что τ ∈ G — отражение ребра со стрелкой, составная фигура X + = X # ∪ τ X # имеет двунаправленную стрелку на этом ребре, а ее группа симметрии равна H = {1, τ}. Эта подгруппа не является нормальной, поскольку gX + может иметь двойную стрелку на другом ребре, что дает другую группу симметрии отражения.
Однако, если H = {1, ρ, ρ 2 } ⊂ D 3 — циклическая подгруппа, порожденная вращением, украшенная фигура X + состоит из 3-цикла стрелок с согласованной ориентацией. Тогда H является нормальным, поскольку рисование такого цикла с любой ориентацией дает одну и ту же группу симметрии H .
