Группа изометрии

Группа автоморфизмов метрического пространства или псевдоевклидова пространства

В математике группа изометрий метрического пространства — это набор всех биективных изометрий (то есть биективных, сохраняющих расстояние отображений ) метрического пространства на себя с функциональной композицией как групповой операцией. ^[1] Его идентификационным элементом является тождественная функция . ^[2] Элементы группы изометрий иногда называют движениями пространства.

Каждая группа изометрий метрического пространства является подгруппой изометрий. В большинстве случаев он представляет собой возможный набор симметрий объектов/фигур в пространстве или функций, определенных в пространстве. См. группу симметрии .

Дискретная группа изометрий — это группа изометрий такая, что для каждой точки пространства множество образов точки под изометриями представляет собой дискретное множество .

В псевдоевклидовом пространстве метрика заменяется изотропной квадратичной формой ; преобразования, сохраняющие эту форму, иногда называют «изометриями», и тогда говорят, что совокупность их образует группу изометрий псевдоевклидова пространства.

Примеры

• Группа изометрий подпространства метрического пространства , состоящего из точек разностороннего треугольника, есть тривиальная группа . Аналогичным пространством для равнобедренного треугольника является циклическая группа второго порядка C ₂ . Аналогичным пространством для равностороннего треугольника является D ₃ , группа диэдра порядка 6 .
• Группа изометрий двумерной сферы — это ортогональная группа O(3). ^[3]

• Группа изометрий n -мерного евклидова пространства — это евклидова группа E( n ). ^[4]
• Группа изометрий модели диска Пуанкаре гиперболической плоскости представляет собой проективную специальную унитарную группу PSU(1,1) .
• Группа изометрии полуплоской модели Пуанкаре гиперболической плоскости — PSL(2,R) .
• Группа изометрий пространства Минковского — это группа Пуанкаре . ^[5]

• Римановы симметрические пространства являются важными случаями, когда группа изометрий является группой Ли .

Смотрите также

• Группа точек
• Группы точек в двух измерениях
• Группы точек в трех измерениях
• Неподвижные точки групп изометрий в евклидовом пространстве

Рекомендации

1. Роман, Стивен (2008), Продвинутая линейная алгебра , Тексты для выпускников по математике (Третье изд.), Springer, стр. 2008. 271, ISBN 978-0-387-72828-5.
2. Бураго, Дмитрий; Бураго, Юрий; Иванов, Сергей (2001), Курс метрической геометрии, Аспирантура по математике , вып. 33, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, с. 75, ISBN 0-8218-2129-6, МР  1835418.
3. Бергер, Марсель (1987), Геометрия. II, Universitext, Берлин: Springer-Verlag, с. 281, номер домена : 10.1007/978-3-540-93816-3, ISBN 3-540-17015-4, МР  0882916.
4. Олвер, Питер Дж. (1999), Классическая теория инвариантов, Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 44, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. 44. 53, номер домена : 10.1017/CBO9780511623660, ISBN 0-521-55821-2, МР  1694364.
5. Мюллер-Кирстен, Харальд Дж.В.; Видеманн, Армин (2010), Введение в суперсимметрию, Конспект мировых научных лекций по физике, том. 80 (2-е изд.), Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co. Pte. ООО, с. 22, номер домена : 10.1142/7594, ISBN 978-981-4293-42-6, МР  2681020.