Группа диэдра

Группа симметрии снежинки — D6 _, двугранная симметрия, такая же, как у правильного шестиугольника .

В математике диэдральная группа — это группа симметрий правильного многоугольника , ^[1]^[2], которая включает вращения и отражения . Диэдральные группы являются одними из простейших примеров конечных групп , и они играют важную роль в теории групп и геометрии .

Обозначение для группы диэдра различается в геометрии и абстрактной алгебре . В геометрии D $n или$ Dih $n относится$ к симметриям $n$ -угольника , группы порядка $2 n$ . В абстрактной алгебре D $2 n относится$ к той же группе диэдра. ^[3] В этой статье используется геометрическое соглашение $D n$ .

Определение

Слово «двугранный» происходит от «ди-» и «-hedron». Последнее происходит от греческого слова hédra, что означает «грань геометрического тела». Таким образом, в целом оно относится к двум граням многоугольника.

Элементы

Правильный многоугольник со сторонами имеет различные симметрии: вращательную симметрию и симметрию отражения . Обычно мы берем здесь. Связанные вращения и отражения составляют диэдральную группу . Если нечетно, каждая ось симметрии соединяет середину одной стороны с противоположной вершиной. Если четно, существуют оси симметрии, соединяющие середины противоположных сторон, и оси симметрии, соединяющие противоположные вершины. В любом случае существуют оси симметрии и элементы в группе симметрии. ^[4] Отражение относительно одной оси симметрии с последующим отражением относительно другой оси симметрии дает поворот на удвоенный угол между осями. ^[5] $n$ $2n$ $n$ $n$ $n\geq 3$ $\mathrm {D} _{n}$ $n$ $n$ $n/2$ $n/2$ $n$ $2n$

На следующем рисунке показано воздействие шестнадцати элементов на стоп-сигнал . Здесь первая строка показывает воздействие восьми вращений, а вторая строка показывает воздействие восьми отражений, в каждом случае действующих на стоп-сигнал с ориентацией, показанной вверху слева. $\mathrm {D} _{8}$

Структура группы

Как и в случае с любым геометрическим объектом, композиция двух симметрий правильного многоугольника снова является симметрией этого объекта. С композицией симметрий для получения другой как бинарной операцией, это дает симметриям многоугольника алгебраическую структуру конечной группы . ^[6]

Следующая таблица Кэли показывает эффект композиции в группе D 3 (симметрии равностороннего треугольника ). r ₀ обозначает тождество; r ₁ и r ₂ обозначают повороты против часовой стрелки на 120° и 240° соответственно, а s ₀ , s ₁ и s ₂ обозначают отражения относительно трех линий, показанных на соседнем рисунке.

Например, s ₂ s ₁ = r ₁ , поскольку отражение s ₁ , за которым следует отражение s _{2 ,} приводит к повороту на 120°. Порядок элементов, обозначающих композицию , справа налево, отражая соглашение о том, что элемент действует на выражение справа от него. Операция композиции не является коммутативной . ^[6]

В общем случае группа D _n имеет элементы r ₀ , ..., r _{n −1} и s ₀ , ..., s _{n −1} , состав которых задается следующими формулами:

\mathrm {r} _{i}\,\mathrm {r} _{j}=\mathrm {r} _{i+j},\quad \mathrm {r} _{i}\,\mathrm {s} _{j}=\mathrm {s} _{i+j},\quad \mathrm {s} _{i}\,\mathrm {r} _{j}=\mathrm {s} _{i-j},\quad \mathrm {s} _{i}\,\mathrm {s} _{j}=\mathrm {r} _{i-j}.

Во всех случаях сложение и вычитание индексов следует выполнять с использованием модульной арифметики с модулем n .

Матричное представление

Если мы центрируем правильный многоугольник в начале координат, то элементы диэдральной группы действуют как линейные преобразования плоскости . Это позволяет нам представлять элементы D _n как матрицы , причем композиция является умножением матриц . Это пример (2-мерного) представления группы .

Например, элементы группы D 4 можно представить следующими восемью матрицами:

{\begin{matrix}\mathrm {r} _{0}=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {r} _{1}=\left({\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {r} _{2}=\left({\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {r} _{3}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}\right),\\[1em]\mathrm {s} _{0}=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {s} _{1}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {s} _{2}=\left({\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {s} _{3}=\left({\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}\right).\end{matrix}}

В общем случае матрицы для элементов D _n имеют следующий вид:

{\begin{aligned}\mathrm {r} _{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&-\sin {\frac {2\pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}\ \ {\text{and}}\\[5pt]\mathrm {s} _{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&\sin {\frac {2\pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&-\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}

r _k — матрица поворота , выражающая поворот против часовой стрелки на угол 2 πk / n . s _k — отражение относительно прямой, которая образует угол πk / n с осью x .

Другие определения

$D n$ также может быть определена как группа с представлением

{\begin{aligned}\mathrm {D} _{n}&=\left\langle r,s\mid \operatorname {ord} (r)=n,\operatorname {ord} (s)=2,srs^{-1}=r^{-1}\right\rangle \\&=\left\langle r,s\mid r^{n}=s^{2}=(sr)^{2}=1\right\rangle .\end{aligned}}

Используя отношение , получаем отношение . Отсюда следует, что порождается и . Эта подстановка также показывает, что имеет представление $s^{2}=1$ $r=s\cdot sr$ $\mathrm {D} _{n}$ $s$ $t:=sr$ $\mathrm {D} _{n}$

\mathrm {D} _{n}=\left\langle s,t\mid s^{2}=1,t^{2}=1,(st)^{n}=1\right\rangle .

В частности, $D n$ принадлежит к классу групп Кокстера .

Малые диэдральные группы

$D 1$ изоморфна $Z$ 2 , циклической группе порядка $2$ .

$D 2$ изоморфна K 4 $, четверной$ группе Клейна .

$D 1$ и $D 2$ являются исключительными в том, что:

$D 1$ и $D 2$ — единственные абелевы диэдральные группы. В противном случае $D n$ — неабелева.
$D n$ является подгруппой симметрической группы $S n$ для $n \geq 3.$ Поскольку $2 n > n!$ для $n = 1$ или $n = 2$ , для этих значений $D n$ слишком велико, чтобы быть подгруппой.
Внутренняя группа автоморфизмов $D 2$ тривиальна, тогда как для других четных значений $n$ это $D n / Z 2$ .

Графы циклов диэдральных групп состоят из n -элементного цикла и n 2-элементных циклов. Темная вершина в графах циклов ниже различных диэдральных групп представляет собой единичный элемент, а другие вершины - другие элементы группы. Цикл состоит из последовательных степеней любого из элементов, соединенных с единичным элементом .

Группа диэдра как группа симметрии в 2D и группа вращения в 3D

Примером абстрактной группы $D n$ и распространенным способом ее визуализации является группа изометрий евклидовой плоскости , которая фиксирует начало координат. Эти группы образуют одну из двух серий дискретных точечных групп в двух измерениях . $D n$ состоит из $n$ вращений , кратных $360°/ n$ , вокруг начала координат и отражений относительно $n$ прямых, проходящих через начало координат, образующих углы, кратные $180°/ n$ друг с другом. Это группа симметрии правильного многоугольника с $n$ сторонами (для $n \geq 3$ ; это распространяется на случаи $n = 1$ и $n = 2$ , где у нас есть плоскость с точкой, смещенной соответственно от «центра» «1-угольника» и «2-угольника» или отрезка прямой).

$D n$ генерируется вращением $r$ порядка n и отражением $s$ $порядка$ 2 такими, что

\mathrm {srs} =\mathrm {r} ^{-1}\,

С точки зрения геометрии: в зеркале вращение выглядит как обратное вращение.

В терминах комплексных чисел : умножение на и комплексное сопряжение . $e^{2\pi i \over n}$

В матричной форме, установив

\mathrm {r} _{1}={\begin{bmatrix}\cos {2\pi \over n}&-\sin {2\pi \over n}\\[4pt]\sin {2\pi \over n}&\cos {2\pi \over n}\end{bmatrix}}\qquad \mathrm {s} _{0}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}

и определяя и для мы можем записать правила произведения для D _n как $\mathrm {r} _{j}=\mathrm {r} _{1}^{j}$ $\mathrm {s} _{j}=\mathrm {r} _{j}\,\mathrm {s} _{0}$ $j\in \{1,\ldots ,n-1\}$

{\begin{aligned}\mathrm {r} _{j}\,\mathrm {r} _{k}&=\mathrm {r} _{(j+k){\text{ mod }}n}\\\mathrm {r} _{j}\,\mathrm {s} _{k}&=\mathrm {s} _{(j+k){\text{ mod }}n}\\\mathrm {s} _{j}\,\mathrm {r} _{k}&=\mathrm {s} _{(j-k){\text{ mod }}n}\\\mathrm {s} _{j}\,\mathrm {s} _{k}&=\mathrm {r} _{(j-k){\text{ mod }}n}\end{aligned}}

(Сравните вращения и отражения координат .)

Группа диэдра D ₂ образуется поворотом r на 180 градусов и отражением s относительно оси x . Элементы D ₂ могут быть представлены как {e, r, s, rs}, где e — тождественное или нулевое преобразование, а rs — отражение относительно оси y .

Четыре элемента D ₂ (ось x здесь вертикальна)

D ₂ изоморфна четверной группе Клейна .

При n > 2 операции поворота и отражения в общем случае не коммутируют , а D _n не является абелевым ; например, в D 4 поворот на 90 градусов, за которым следует отражение, дает результат, отличный от результата отражения, за которым следует поворот на 90 градусов.

D ₄ неабелев (ось x здесь вертикальна).

Таким образом, помимо их очевидного применения к проблемам симметрии на плоскости, эти группы являются одними из простейших примеров неабелевых групп и как таковые часто возникают как простые контрпримеры к теоремам, которые ограничены абелевыми группами.

2 $n$ элементов $D$ $n$ можно записать как $e$ , $r$ , $r$ $2$ , ... , r n −1 , s , rs , $r$ $2$ $s$ , $...$ , $r$ $n$ $-1$ $s$ $.$ Первые $n$ $перечисленных$ $элементов$ $являются$ вращениями $,$ а оставшиеся $n$ элементов являются отражениями осей (все из которых имеют порядок 2). Произведение двух вращений или двух отражений является вращением; произведение вращения и отражения является отражением.

До сих пор мы считали $D n$ подгруппой O $(2)$ , то есть группой вращений (вокруг начала координат) и отражений (через оси, проходящие через начало координат) плоскости. Однако обозначение $D$ $n$ также используется для подгруппы SO (3), которая также имеет абстрактный тип группы $D$ $n$ : собственную группу симметрии правильного многоугольника, вложенного в трехмерное пространство (если n ≥ 3). Такая фигура может рассматриваться как вырожденное правильное тело с дважды учтенной гранью. Поэтому ее также называют диэдром (греч.: тело с двумя гранями), что объясняет название диэдральная группа (по аналогии с тетраэдрической , октаэдрической и икосаэдрической группами , относящимися к собственным группам симметрии правильного тетраэдра , октаэдра и икосаэдра соответственно).

Примеры двумерной диэдральной симметрии

Симметрия 2D D ₁₆ – Императорская печать Японии, изображающая восьмилепестковую хризантему с шестнадцатью лепестками .
Симметрия 2D D ₆ – Красная Звезда Давида
Симметрия 2D D ₁₂ — Военно-морской гюйс Китайской Республики (Белое солнце)
Симметрия 2D D _{24 –}Ашока Чакра , изображенная на национальном флаге Республики Индия .

Характеристики

Свойства диэдральных групп $D n$ с $n \geq 3$ зависят от того, четно или нечетно $n$ . Например, центр D $n$ состоит только из единицы, если n нечетно, но если n четно, центр состоит из двух элементов, а именно единицы и элемента r $n$ ^/² (с D _n как подгруппой O(2), это инверсия ; поскольку это скалярное умножение на −1, ясно, что оно коммутирует с любым линейным преобразованием).

В случае двумерных изометрий это соответствует добавлению инверсии, дающей вращения и зеркала между существующими.

Для n, дважды нечетного числа, абстрактная группа $D n$ изоморфна прямому произведению $D n$ / $2$ и $Z 2$ . В общем случае, если m делит n , то $D n$ имеет n / m подгрупп типа $D m$ и одну подгруппу _m . Следовательно, общее число подгрупп $D$ $n$ ( n ≥ 1) равно d ( n ) + σ ( n ), где d ( n ) — число положительных делителей n , а σ ( n ) — сумма положительных делителей n . См. список малых групп для случаев n ≤ 8. $\mathbb {Z}$

Диэдральная группа порядка 8 (D ₄ ) является наименьшим примером группы, которая не является T-группой . Любая из ее двух подгрупп Клейна четверной группы (которые нормальны в D ₄ ) имеет в качестве нормальной подгруппы подгруппы порядка 2, порожденные отражением (флипом) в D ₄ , но эти подгруппы не нормальны в D ₄ .

Классы сопряженности отражений

Все отражения сопряжены друг с другом, когда n нечетно, но они попадают в два класса сопряженности, если n четно. Если мы подумаем об изометриях правильного n -угольника: для нечетного n в группе есть вращения между каждой парой зеркал, в то время как для четного n только половина зеркал может быть достигнута из одного с помощью этих вращений. Геометрически в нечетном многоугольнике каждая ось симметрии проходит через вершину и сторону, в то время как в четном многоугольнике есть два набора осей, каждый из которых соответствует классу сопряженности: те, которые проходят через две вершины, и те, которые проходят через две стороны.

С алгебраической точки зрения это пример сопряженной теоремы Силова (для нечетного n ): для нечетного n каждое отражение вместе с единицей образуют подгруппу порядка 2, которая является силовской 2-подгруппой ( 2 = 2 ¹ — максимальная степень числа 2, делящая 2 n = 2[2 k + 1] ), тогда как для четного n эти подгруппы порядка 2 не являются силовскими подгруппами, поскольку 4 (большая степень числа 2) делит порядок группы.

Для четного n вместо этого имеется внешний автоморфизм, меняющий местами два типа отражений (точнее, класс внешних автоморфизмов, которые все сопряжены внутренним автоморфизмом).

Группа автоморфизмов

Группа автоморфизмов D $n$ изоморфна голоморфу / n , т. е. Hol( / n ) = { ax + b | ( a , n ) = 1} и имеет порядок nϕ ( n ), где ϕ — функция Эйлера , число k в $1$ , ..., n − 1, взаимно простое с n . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$

Его можно понять в терминах генераторов отражения и элементарного поворота (поворот на k (2π / n ) , где k взаимно просто с n ); то, какие автоморфизмы являются внутренними, а какие внешними, зависит от четности n .

При нечетном n диэдральная группа не имеет центра, поэтому любой элемент определяет нетривиальный внутренний автоморфизм; при четном n поворот на 180° (отражение относительно начала координат) является нетривиальным элементом центра.
Таким образом, при нечетном n внутренняя группа автоморфизмов имеет порядок 2n , а при четном n (кроме n = 2 ) внутренняя группа автоморфизмов имеет порядок n .
При нечетном n все отражения сопряжены; при четном n они делятся на два класса (через две вершины и через две грани), связанных внешним автоморфизмом, который можно представить поворотом на π / n (половина минимального поворота).
Вращения являются нормальной подгруппой; сопряжение отражением изменяет знак (направление) вращения, но в остальном оставляет их неизменными. Таким образом, автоморфизмы, которые умножают углы на k (взаимно простое с n ), являются внешними, если только k = ±1 .

Примеры групп автоморфизмов

$D 9$ имеет 18 внутренних автоморфизмов . Как двумерная группа изометрий D ₉ , группа имеет зеркала с интервалом 20°. 18 внутренних автоморфизмов обеспечивают поворот зеркал на угол, кратный 20°, и отражения. Как группа изометрий все это автоморфизмы. Как абстрактная группа, в дополнение к ним, есть 36 внешних автоморфизмов ; например, умножение углов поворота на 2.

$D 10$ имеет 10 внутренних автоморфизмов. Как двумерная группа изометрий D ₁₀ , группа имеет зеркала с интервалом 18°. 10 внутренних автоморфизмов обеспечивают поворот зеркал на угол, кратный 36°, и отражения. Как группа изометрий есть еще 10 автоморфизмов; они сопряжены изометриями вне группы, поворачивая зеркала на 18° относительно внутренних автоморфизмов. Как абстрактная группа есть в дополнение к этим 10 внутренним и 10 внешним автоморфизмам, еще 20 внешних автоморфизмов; например, умножение поворотов на 3.

Сравните значения 6 и 4 для функции Эйлера , мультипликативной группы целых чисел по модулю n для n = 9 и 10 соответственно. Это утраивает и удваивает количество автоморфизмов по сравнению с двумя автоморфизмами как изометриями (сохраняя порядок вращений тем же или меняя его на обратный).

Единственными значениями n , для которых φ ( n ) = 2, являются 3, 4 и 6, и, следовательно, существуют только три диэдральные группы, которые изоморфны своим собственным группам автоморфизмов, а именно $D 3$ (порядок 6), $D 4$ (порядок 8) и $D 6$ (порядок 12). ^[7]^[8]^[9]

Группа внутренних автоморфизмов

Внутренняя группа автоморфизмов $D n$ изоморфна: ^[10]

$D n,$ если n нечетное;
$D n / Z 2 ,$ если $n$ четное (для $n = 2$ , $D 2 / Z 2 = 1$ ).

Обобщения

Существует несколько важных обобщений диэдральных групп:

Бесконечная диэдральная группа — бесконечная группа с алгебраической структурой, аналогичной конечным диэдральным группам. Ее можно рассматривать как группу симметрий целых чисел .
Ортогональная группа O(2), т. е. группа симметрии окружности , также обладает свойствами, аналогичными свойствам диэдральных групп.
Семейство обобщенных диэдральных групп включает в себя оба приведенных выше примера, а также многие другие группы.
Квазидиэдральные группы — это семейство конечных групп со свойствами, аналогичными свойствам диэдральных групп.

Смотрите также

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Диэдральные группы» .

Ссылки

^ Вайсштейн, Эрик В. «Диэдральная группа». MathWorld .
^ Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-43334-9.
^ "Dihedral Groups: Notation". Math Images Project . Архивировано из оригинала 20.03.2016 . Получено 11.06.2016 .
^ Кэмерон, Питер Джефсон (1998), Введение в алгебру, Oxford University Press, стр. 95, ISBN 9780198501954
^ Тот, Габор (2006), Взгляд на алгебру и геометрию, тексты для бакалавров по математике (2-е изд.), Springer, стр. 98, ISBN 9780387224558
^ ab Lovett, Stephen (2015), Абстрактная алгебра: структуры и приложения, CRC Press, стр. 71, ISBN 9781482248913
^ Хамфрис, Джон Ф. (1996). Курс теории групп. Oxford University Press. стр. 195. ISBN 9780198534594.
^ Педерсен, Джон. «Группы малого порядка». Кафедра математики, Университет Южной Флориды.
^ Sommer-Simpson, Jasha (2 ноября 2013 г.). "Группы автоморфизмов для полупрямых произведений циклических групп" (PDF) . стр. 13. Архивировано (PDF) из оригинала 2016-08-06. Следствие 7.3. Aut(D _n ) = D _n тогда и только тогда, когда φ ( n ) = 2
^ Миллер, GA (сентябрь 1942). «Автоморфизмы диэдральных групп». Proc Natl Acad Sci USA . 28 (9): 368–71. Bibcode : 1942PNAS...28..368M. doi : 10.1073/pnas.28.9.368 . PMC 1078492. PMID 16588559.

Внешние ссылки

Диэдральная группа n порядка 2n Шона Дадзика, Wolfram Demonstrations Project .
Группа диэдра в Groupprops
Вайсштейн, Эрик В. «Диэдральная группа». MathWorld .
Вайсштейн, Эрик В. "Диэдральная группа D3". MathWorld .
Вайсштейн, Эрик В. "Диэдральная группа D4". MathWorld .
Вайсштейн, Эрик В. "Диэдральная группа D5". MathWorld .
Дэвис, Деклан. "Диэдральная группа D6". MathWorld .
Диэдральные группы на GroupNames