В математике квазидиэдральные группы , также называемые полудиэдральными группами , представляют собой определенные неабелевы группы порядка степени 2. Для каждого натурального числа n , большего или равного 4, существует ровно четыре класса изоморфизма не-абелевых групп. абелевы группы порядка 2 n , которые имеют циклическую подгруппу индекса 2. Две из них хорошо известны: обобщенная группа кватернионов и группа диэдра . Одну из оставшихся двух групп часто считают особенно важной, поскольку она является примером 2-группы максимального класса нильпотентности . В тексте Бертрама Юпперта Endliche Gruppen эта группа называется «Quasidiedergruppe». В тексте Дэниела Горенштейна « Конечные группы» эта группа называется «полудиэдральной группой». Даммит и Фут называют ее «квазидиэдрической группой»; мы принимаем это имя в этой статье. Все дают одну и ту же презентацию для этой группы:
Другая неабелева 2-группа с циклической подгруппой индекса 2 ни в одном тексте не имеет специального имени, а называется просто G или M m (2). Когда эта группа имеет порядок 16, Даммит и Фут называют эту группу «модульной группой порядка 16», поскольку ее решетка подгрупп является модулярной . В данной статье эта группа будет называться модулярной максимально-циклической группой порядка . Его презентация:
Обе эти группы и группа диэдра являются полупрямыми произведениями циклической группы < r > порядка 2 n −1 с циклической группой < s > порядка 2. Такое неабелевое полупрямое произведение однозначно определяется элементом порядка 2 в группе единиц кольца и таких элементов ровно три: , , и , соответствующие группе диэдра, квазидиэдра и модулярной максимально-циклической группе.
Обобщенная группа кватернионов, группа диэдра и группа квазидиэдра порядка 2 n имеют класс нильпотентности n - 1 и являются единственными классами изоморфизма групп порядка 2 n с классом нильпотентности n - 1. Группы порядка p n и класс нильпотентности n - 1 положили начало классификации всех p -групп через кокласс . Модулярная максимально-циклическая группа порядка 2 n всегда имеет класс нильпотентности 2. Это делает модульную максимально-циклическую группу менее интересной, поскольку большинство групп порядка p n для больших n имеют класс нильпотентности 2 и их трудно понять напрямую.
Обобщенный кватернион, диэдр и квазидиэдральная группа — единственные 2-группы, производная подгруппа которых имеет индекс 4. Теорема Альперина–Брауэра–Горенштейна классифицирует простые группы и в некоторой степени конечные группы с квазидиэдральными силовскими 2-подгруппами. .
Силовские 2-подгруппы следующих групп являются квазидиэдральными:
