Единица (теория колец)

В математике элемент с мультипликативным обратным

В алгебре единица или обратимый элемент [a] кольца является ^{обратимым} элементом умножения кольца . То есть элемент u кольца R является единицей, если существует v в R такой, что

$${\displaystyle vu=uv=1,}$$

1мультипликативное тождествоvмультипликативным обратным элементом^{[1] [2]}Rгруппу R ^×группой единицгруппойR^[b]R ^∗U( R )E( R )Einheit

Реже термин « единица» иногда используется для обозначения элемента 1 кольца в таких выражениях, как кольцо с единицей или единичное кольцо , а также единичная матрица . Из-за этой двусмысленности 1 чаще называют «единством» или «идентичностью» кольца, а фразы «кольцо с единицей» или «кольцо с идентичностью» могут использоваться, чтобы подчеркнуть, что вместо этого рассматривается кольцо. кольца . _

Примеры

Мультипликативное тождество 1 и его аддитивное обратное -1 всегда являются единицами. В более общем смысле, любой корень из единицы в кольце R является единицей: если r ⁿ = 1 , то r ^{n −1} является мультипликативным обратным к r . В ненулевом кольце элемент не является единицей, поэтому R ^× не замкнуто относительно сложения. Ненулевое кольцо R , в котором каждый ненулевой элемент является единицей (т. е. R ^× = R ∖ {0} ), называется телом (или телом). Коммутативное тело называется полем . Например, группа единиц поля действительных чисел R — это R ∖ {0} .

Целочисленное кольцо

В кольце целых чисел Z единственными единицами являются 1 и −1 .

В кольце Z / n Z целых чисел по модулю n единицами являются классы сравнения (mod n ) , представленные целыми числами, взаимно простыми с n . Они составляют мультипликативную группу целых чисел по модулю n .

Кольцо целых чисел числового поля

В кольце Z [ √ 3 ] , полученном присоединением квадратичного целого числа √ 3 к Z , имеем (2 + √ 3 )(2 − √ 3 ) = 1 , поэтому 2 + √ 3 является единицей, как и его степени , поэтому Z [ √ 3 ] имеет бесконечно много единиц.

В более общем смысле, для кольца целых чисел R в числовом поле F теорема Дирихле о единице утверждает, что R × ^{изоморфно} группе

$${\displaystyle \mathbf {Z} ^{n}\times \mu _{R}}$$

Rn – ранг ${\displaystyle \mu _{R}}$

$${\displaystyle n=r_{1}+r_{2}-1,}$$

F ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$

Это восстанавливает пример Z [ √ 3 ] : единичная группа (кольца целых чисел) действительного квадратичного поля бесконечна ранга 1, поскольку . ${\displaystyle r_{1}=2,r_{2}=0}$

Полиномы и степенные ряды

Для коммутативного кольца R единицами кольца полиномов R [ x ] являются многочлены

$${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}}$$

a ₀R ,N^[4]RдоменомуменьшеннымR [ x ]Rкольца степенных рядов ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle a_{i}^{N}=0}$ ${\displaystyle R[[x]]}$

$${\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}}$$

₀ являетсяR^[5]

Матричные кольца

Единичной группой кольца Mn ( R ) матриц размера _n ×  n  над кольцом R является группа GLn ₍ R ) обратимых матриц . Для коммутативного кольца R элемент A из Mn ( R ) обратим тогда и только тогда, когда _{определитель} A обратим в R. В этом случае A ⁻¹ может быть задана явно через сопряженную матрицу .

В общем

Для элементов x и y в кольце R , если обратимо, то обратимо и с обратным ; ^{В [6]} эту формулу можно угадать, но не доказать, с помощью следующего вычисления в кольце некоммутативных степенных рядов: ${\displaystyle 1-xy}$ ${\displaystyle 1-yx}$ ${\displaystyle 1+y(1-xy)^{-1}x}$

$${\displaystyle (1-yx)^{-1}=\sum _{n\geq 0}(yx)^{n}=1+y\left(\sum _{n\geq 0}(xy)^{n}\right)x=1+y(1-xy)^{-1}x.}$$

личность Хуа

Группа юнитов

Коммутативное кольцо называется локальным, если R ∖ R ^× — максимальный идеал .

Оказывается, если R ∖ R ^× — идеал, то он обязательно является максимальным идеалом , а R локальным , поскольку максимальный идеал не пересекается с R ^× .

Если R — конечное поле , то R ^× — циклическая группа порядка | р | − 1 .

Каждый гомоморфизм колец f  : R → S индуцирует гомоморфизм группы R ^× → S ^× , поскольку f отображает единицы в единицы. Фактически формирование единичной группы определяет функтор из категории колец в категорию групп . Этот функтор имеет левый сопряженный элемент , который представляет собой конструкцию целого группового кольца . ^[7]

Групповая схема изоморфна мультипликативной групповой схеме над любой базой, поэтому для любого коммутативного кольца R группы и канонически изоморфны U ( R ) . Заметим, что функтор (т. е. R ↦ U ( R ) ) представим в смысле: для коммутативных колец R (это, например, следует из упомянутого выше отношения сопряжения с конструкцией группового кольца). Явно это означает, что существует естественная биекция между множеством гомоморфизмов колец и множеством единичных элементов R (напротив, представляет собой аддитивную группу , функтор забывания из категории коммутативных колец в категорию абелевых групп). ${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}(R)}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}(R)}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}(R)\simeq \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} [t,t^{-1}],R)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]\to R}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [t]}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$

Ассоциированность

Предположим, что R коммутативен. Элементы r и s из R называютсяассоциировать, если существует единицаuвRтакая, что r = us ; тогда напиши r ~ s . В любом кольце ассоциированы парыаддитивныхобратныхэлементов^[c ] x и− x . Например, 6 и −6 ассоциированы в Z . В общем,~являетсяотношением эквивалентностинаR.

Связанность также можно описать в терминах действия R × ^на R посредством умножения : два элемента R являются ассоциированными, если они находятся на одной и той же R ^× -орбите .

В области целостности множество ассоциатов данного ненулевого элемента имеет ту же мощность , что и R ^× .

Отношение эквивалентности ~ можно рассматривать как любое из полугрупповых отношений Грина , специализирующихся на мультипликативной полугруппе коммутативного кольца R .

Смотрите также

• S-единицы
• Локализация кольца и модуля

Примечания

1. В случае колец использование «обратимого элемента» воспринимается как само собой разумеющееся, относящееся к умножению, поскольку все элементы кольца обратимы для сложения.
2. Обозначение R ^× , введенное Андре Вейлем , обычно используется в теории чисел , где часто возникают группы единиц. ^[3] Символ × напоминает, что групповая операция — это умножение. Кроме того, верхний индекс × не часто используется в других контекстах, тогда как верхний индекс * часто обозначает двойное число.
3. x и − x не обязательно различны. Например, в кольце целых чисел по модулю 6 имеем 3 = −3 , хотя 1 ≠ −1 .

Цитаты

1. Даммит и Фут, 2004 г.
2. Ланг 2002
3. Вейль 1974 г.
4. Уоткинс 2007, Теорема 11.1.
5. Уоткинс 2007, Теорема 12.1.
6. Джейкобсон 2009, §2.2 Упражнение 4
7. Кон 2003, §2.2. Упражнение 10.

Источники

• Кон, Пол М. (2003). Дальнейшая алгебра и приложения (Пересмотренное издание «Алгебры», 2-е изд.). Лондон: Springer-Verlag . ISBN 1-85233-667-6. Збл  1006.00001.
• Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN 0-471-43334-9.
• Джейкобсон, Натан (2009). Основная алгебра 1 (2-е изд.). Дувр. ISBN 978-0-486-47189-1.
• Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Спрингер . ISBN 0-387-95385-Х.
• Уоткинс, Джон Дж. (2007), Темы коммутативной теории колец , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12748-4, МР  2330411
• Вейль, Андре (1974). Основная теория чисел . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 144 (3-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 978-3-540-58655-5.