В теории групп , теме абстрактной алгебры , группы Матье — это пять спорадических простых групп M11 , M12 , M22 , M23 и M24 , введенных Матье (1861, 1873 ) . Это кратно транзитивные группы перестановок из 11, 12, 22, 23 или 24 объектов. Это первые обнаруженные спорадические группы.
Иногда обозначения М 8 , М 9 , М 10 , М 20 и М 21 используются для родственных групп (действующих на множествах из 8, 9, 10, 20 и 21 точки соответственно), а именно стабилизаторов точек в более крупные группы. Хотя это не спорадические простые группы, они являются подгруппами более крупных групп и могут использоваться для создания более крупных групп. Джон Конвей показал, что эту последовательность можно расширить и вверх, получив группоид Матье M 13 , действующий на 13 точек. M 21 проста, но не является спорадической группой, поскольку изоморфна PSL (3,4).
Матье (1861, стр. 271) ввел группу М 12 как часть исследования кратно транзитивных групп подстановок и кратко упомянул (на стр. 274) группу М 24 , указав ее порядок. В Матье (1873) он дал дополнительные подробности, включая явные порождающие наборы для своих групп, но из его аргументов было нелегко увидеть, что создаваемые группы являются не просто чередующимися группами , и в течение нескольких лет существование его групп было спорным. Миллер (1898) даже опубликовал статью, ошибочно утверждая, что доказал, что M 24 не существует, хотя вскоре после этого в (Miller 1900) он указал, что его доказательство неверно, и дал доказательство того, что группы Матье просты. Витт (1938а, 1938б) окончательно снял сомнения в существовании этих групп, построив их как последовательные транзитивные расширения групп подстановок, а также группы автоморфизмов систем Штейнера .
После групп Матье новых спорадических групп обнаружено не было до 1965 г., когда была открыта группа J 1 .
Матье был заинтересован в поиске кратно транзитивных групп перестановок, которые сейчас будут определены. Для натурального числа k группа перестановок G , действующая на n точках, является k -транзитивной , если даны два набора точек a 1 , ... a k и b 1 , ... b k со свойством, что все a i различны и все b i различны, существует групповой элемент g в G , который отображает a i в b i для каждого i между 1 и k . Такая группа называется точно k -транзитивной, если элемент g единственен (т.е. действие на k -наборах регулярно , а не просто транзитивно).
M 24 5-транзитивна, а M 12 резко 5-транзитивна, при этом остальные группы Матье (простые или нет) являются подгруппами, соответствующими стабилизаторам m точек, и соответственно меньшей транзитивности ( M 23 4-транзитивна и т. д. .). Это единственные две 5-транзитивные группы, которые не являются ни симметричными , ни знакопеременными группами (Cameron 1992, стр. 139).
Единственными 4-транзитивными группами являются симметрические группы S k для k не менее 4, знакопеременные группы A k для k не менее 6 и группы Матье M 24 , M 23 , M 12 и M 11 . (Cameron 1999, стр. 110) Полное доказательство требует классификации конечных простых групп , но некоторые частные случаи известны гораздо дольше.
Классический результат Джордана состоит в том, что симметрические и знакопеременные группы (степени k и k + 2 соответственно), а также M 12 и M 11 являются единственными точно k -транзитивными группами подстановок для k не ниже 4.
Важными примерами кратно транзитивных групп являются 2-транзитивные группы и группы Цассенхауза . Группы Цассенхауза, в частности, включают проективную общую линейную группу проективной прямой над конечным полем PGL(2, F q ), которая является точно 3-транзитивной (см. перекрестное отношение ) на элементах.
Группы Матье могут быть построены различными способами.
M 12 имеет простую подгруппу порядка 660, максимальную подгруппу. Эта подгруппа изоморфна проективной специальной линейной группе PSL 2 ( F 11 ) над полем из 11 элементов . Если −1 записано как a , а бесконечность — как b , два стандартных генератора: (0123456789a) и (0b)(1a)(25)(37)(48)(69). Третий генератор, выдающий M 12 , отправляет элемент x из F 11 в 4 x 2 − 3 x 7 ; как перестановка (26a7)(3945).
Эта группа оказывается не изоморфной ни одному члену бесконечных семейств конечных простых групп и называется спорадической. M 11 является стабилизатором точки в M 12 и также оказывается спорадической простой группой. M 10 , стабилизатор двух точек, не является спорадической, а представляет собой почти простую группу , коммутантом которой является знакопеременная группа A 6 . Таким образом , оно связано с исключительным внешним автоморфизмом A6 . Стабилизатором 3-х точек является проективная специальная унитарная группа PSU(3,2 2 ), которая разрешима. Стабилизатором 4-х точек является группа кватернионов .
Аналогично, M 24 имеет максимальную простую подгруппу порядка 6072, изоморфную PSL 2 ( F 23 ). Один генератор добавляет 1 к каждому элементу поля (оставляя точку N на бесконечности фиксированной), т.е. (0123456789ABCDEFGHIJKLM)( N ), а другой представляет собой перестановку, изменяющую порядок , (0N)(1M)(2B)(3F)( 4H)(59)(6J)(7D)(8K)(AG)(CL)(EI). Третий генератор, выдающий M 24 , отправляет элемент x из F 23 в 4 x 4 − 3 x 15 (который отправляет идеальные квадраты через x 4 и несовершенные квадраты через 7 x 4 ); вычисления показывают, что в качестве перестановки это (2G968)(3CDI4)(7HABM)(EJLKF).
Стабилизаторы точек 1 и 2 — М 23 и М 22 — также оказываются спорадическими простыми группами. Стабилизатор трех точек прост и изоморфен проективной специальной линейной группе PSL 3 (4).
Эти конструкции цитировал Кармайкл (1956, с. 151, 164, 263). Диксон и Мортимер (1996, стр. 209) приписывают эти перестановки Матье.
Существует с точностью до эквивалентности единственная S (5,8,24) система Штейнера W 24 ( план Витта ). Группа M 24 является группой автоморфизмов этой системы Штейнера; то есть набор перестановок, которые отображают каждый блок в какой-либо другой блок. Подгруппы M 23 и M 22 определены как стабилизаторы одной точки и двух точек соответственно.
Аналогично существует с точностью до эквивалентности единственная S (5,6,12) система Штейнера W 12 и группа M 12 является ее группой автоморфизмов. Подгруппа M 11 является стабилизатором точки.
W 12 может быть построен из аффинной геометрии векторного пространства F 3 × F 3 , системы S (2,3,9).
Альтернативная конструкция W 12 — «Котенок» Кертиса (1984).
Введение в конструкцию W 24 с помощью чудо-генератора октад RT Curtis и аналога Конвея для W 12 , miniMOG, можно найти в книге Конвея и Слоана .
Группа M 24 является группой автоморфизмов перестановок расширенного двоичного кода Голея W , т. е. группой перестановок 24 координат, которые отображают W в себя. Все группы Матье могут быть построены как группы подстановок двоичного кода Голея.
M 12 имеет индекс 2 в своей группе автоморфизмов, и M 12 :2 оказывается изоморфной подгруппе M 24 . M 12 — стабилизатор додекады , кодовое слово из 12 единиц; M 12 :2 стабилизирует разбиение на 2 дополнительные додекады.
Существует естественная связь между группами Матье и более крупными группами Конвея , поскольку решетка Лича была построена на бинарном коде Голея и фактически обе лежат в пространствах размерности 24. Группы Конвея, в свою очередь, находятся в группе Монстра . Роберт Грисс называет 20 спорадических групп, обнаруженных в Монстре, счастливой семьей , а группы Матье - первым поколением .
Группы Матье могут быть построены с помощью рисунков d'enfants , при этом рисунок, связанный с M 12 , Ле Брюйном (2007) наводит на размышления о названии «Месье Матье».
