Система Штейнера

Блочное проектирование в комбинаторной математике

Плоскость Фано представляет собой систему троек Штейнера S(2,3,7). Блоки представляют собой 7 линий, каждая из которых содержит 3 точки. Каждая пара точек принадлежит уникальной линии.

В комбинаторной математике система Штейнера (названная в честь Якоба Штайнера ) — это тип блочной схемы , а именно t-схема с λ = 1 и t = 2 или (в последнее время) t ≥ 2.

Система Штейнера с параметрами t , k , n , записанная S( t , k , n ), представляет собой n -элементный набор S вместе с набором k -элементных подмножеств S (называемых блоками ) со свойством, что каждый t - Подмножество элементов S содержится ровно в одном блоке. В альтернативном обозначении блочных схем S( t , k , n ) будет схемой t -( n , k ,1).

Это определение относительно новое. Классическое определение систем Штейнера также требовало, чтобы k = t + 1. S(2,3, n ) называлась (и до сих пор называется) системой троек Штейнера (или триады ) , тогда как S(3,4, n ) называется системой четверок Штейнера и так далее. С обобщением определения эта система именования уже не соблюдается строго.

Давние проблемы теории дизайна заключались в том, существуют ли какие-либо нетривиальные системы Штейнера (нетривиальное значение t < k < n ) с t ≥ 6; а также вопрос о том, имеют ли бесконечно многие t = 4 или 5. ^[1] Оба существования были доказаны Питером Кивашем в 2014 году. Его доказательство неконструктивно , и по состоянию на 2019 год не известно ни одной реальной системы Штейнера для больших значений t . ^{[2] [3] [4]}

Типы систем Штейнера

Конечная проективная плоскость порядка q с прямыми в виде блоков представляет собой S(2, q + 1, q ² + q + 1) , поскольку она имеет q ² + q + 1 точек, каждая прямая проходит через q + 1 . точек, причем каждая пара различных точек лежит ровно на одной прямой.

Конечная аффинная плоскость порядка q с прямыми в виде блоков представляет собой S(2,  q ,  q ² ) . Аффинная плоскость порядка q может быть получена из проективной плоскости того же порядка, удалив один блок и все точки в этом блоке из проективной плоскости. Выбор разных блоков для удаления таким образом может привести к неизоморфным аффинным плоскостям.

S(3,4, n ) называется системой четверок Штейнера . Необходимым и достаточным условием существования S(3,4, n ) является то, что n = 2 или 4 (mod 6). Для этих систем часто используется аббревиатура SQS( n ). С точностью до изоморфизма SQS(8) и SQS(10) уникальны, имеется 4 SQS(14) и 1 054 163 SQS(16). ^[5] ${\displaystyle \equiv }$

S(4,5, n ) называется пятерной системой Штейнера . Необходимым условием существования такой системы является n 3 или 5 (mod 6), что следует из соображений, применимых ко всем классическим системам Штейнера. Дополнительным необходимым условием является n 4 (mod 5), что обусловлено тем, что количество блоков должно быть целым числом. Достаточные условия неизвестны. Существует единственная пятерная система Штейнера порядка 11, но нет ни системы пятнадцатого, ни порядка 17. ^[6] Известны системы порядков 23, 35, 47, 71, 83, 107, 131, 167 и 243. Наименьший порядок для о существовании которых неизвестно (по состоянию на 2011 год) - 21. ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle \not \equiv }$

Тройные системы Штейнера

S(2,3, n ) называется системой троек Штейнера , а ее блоки — тройками . Обычно можно увидеть аббревиатуру STS( n ) для системы троек Штейнера порядка n . Общее количество пар равно n(n-1)/2 , из которых три входят в тройку, поэтому общее количество троек равно n ( n −1)/6. Это показывает, что n должно иметь вид 6k+1 или 6k+3 для некоторого k . Тот факт, что это условие на n достаточно для существования S(2,3, n ), был доказан Раджем Чандрой Бозе ^[7] и Т. Сколемом. ^[8] Проективная плоскость порядка 2 ( плоскость Фано ) — это STS(7), а аффинная плоскость порядка 3 — это STS(9). С точностью до изоморфизма STS(7) и STS(9) уникальны, имеется два STS(13), 80 STS(15) и 11 084 874 829 STS(19). ^[9]

Мы можем определить умножение на множестве S, используя систему троек Штейнера, установив aa = a для всех a в S и ab = c , если { a , b , c } является тройкой. Это делает S идемпотентной коммутативной квазигруппой .​ Он обладает дополнительным свойством: из ab = c следует bc = a и ca = b . ^{[примечание 1]} И наоборот, любая (конечная) квазигруппа с этими свойствами возникает из системы троек Штейнера. Коммутативные идемпотентные квазигруппы, удовлетворяющие этому дополнительному свойству, называются квазигруппами Штейнера . ^[10]

Разрешимые системы Штейнера

Тройки некоторых систем S(2,3,n) могут быть разделены на (n-1)/2 множества, каждое из которых имеет (n/3) попарно непересекающиеся тройки. Это называется разрешимой , а такие системы называются тройными системами Киркмана в честь Томаса Киркмана , который изучал такие разрешимые системы до Штайнера. Дейл Меснер, Эрл Крамер и другие исследовали совокупности систем троек Штейнера, которые не пересекаются друг с другом (т. е. никакие две системы Штейнера в таком наборе не имеют общего триплета). Известно (Bays 1917, Kramer & Mesner 1974), что можно создать семь различных систем S(2,3,9), которые вместе охватывают все 84 триплета в 9-множестве; им также было известно, что существует 15360 различных способов найти такие 7-множества решений, которые при перемаркировке сводятся к двум неизоморфным решениям с кратностями 6720 и 8640 соответственно.

Соответствующий вопрос о нахождении тринадцати различных непересекающихся систем S(2,3,15) был задан Джеймсом Сильвестром в 1860 году как расширение проблемы школьниц Киркмана , а именно, могли ли школьницы Киркмана маршировать в течение всего семестра в 13 недель без тройки девочки повторяются в течение всего семестра. Вопрос был решен RHF Denniston в 1974 году ^[11] , который построил первую неделю следующим образом:

День 1 ABJ CEM FKL HIN DGOДень 2 ACH DEI FGM JLN BKOДень 3 ADL BHM GIK CFN EJOДень 4 AEG BIL CJK DMN FHOДень 5 AFI BCD GHJ EKN LMOДень 6 AKM DFJ EHL BGN CIOДень 7 BEF CGL DHK IJM ANO

для девочек помечены от A до O, и строил решение каждой последующей недели на основе его непосредственного предшественника, меняя A на B, B на C, ... L на M и M обратно на A, оставляя при этом N и O неизменными. Решение 13-й недели после повторной маркировки возвращается к раствору 1-й недели. Деннистон сообщил в своей статье, что поиск, который он использовал, занял 7 часов на компьютере Elliott 4130 в Университете Лестера , и он немедленно завершил поиск по поиску решения, указанного выше, не стремясь установить уникальность. Количество неизоморфных решений проблемы Сильвестра по состоянию на 2021 год остается неизвестным.

Характеристики

Из определения S ( t , k , n ) ясно, что . (Равенства, хотя и технически возможны, приводят к тривиальным системам.) ${\displaystyle 1<t<k<n}$

Если S( t , k , n ) существует, то взятие всех блоков, содержащих определенный элемент, и отбрасывание этого элемента дает производную систему S( t −1, k −1, n −1) . Следовательно, существование S( t −1, k −1, n −1) является необходимым условием существования S( t , k , n ) .

Число подмножеств t -элементов в S равно , а количество подмножеств t -элементов в каждом блоке равно . Поскольку каждое подмножество t -элементов содержится ровно в одном блоке, мы имеем , или ${\displaystyle {\tbinom {n}{t}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {k}{t}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{t}}=b{\tbinom {k}{t}}}$

${\displaystyle b={\frac {\tbinom {n}{t}}{\tbinom {k}{t}}}={\frac {n(n-1)\cdots (n-t+1)}{k(k-1)\cdots (k-t+1)}},}$

где b — количество блоков. Аналогичные рассуждения о подмножествах t -элементов, содержащих конкретный элемент, дают нам , или ${\displaystyle {\tbinom {n-1}{t-1}}=r{\tbinom {k-1}{t-1}}}$

${\displaystyle r={\frac {\tbinom {n-1}{t-1}}{\tbinom {k-1}{t-1}}}}$"=" ${\displaystyle {\frac {(n-t+1)\cdots (n-2)(n-1)}{(k-t+1)\cdots (k-2)(k-1)}},}$

где r — количество блоков, содержащих любой заданный элемент. Из этих определений следует уравнение . Необходимым условием существования S( t , k , n ) является то, что b и r являются целыми числами. Как и в любой блочной конструкции, неравенство Фишера справедливо в системах Штейнера. ${\displaystyle bk=rn}$ ${\displaystyle b\geq n}$

Учитывая параметры системы Штейнера S( t, k, n ) и подмножество размера , содержащееся хотя бы в одном блоке, можно вычислить количество блоков, пересекающих это подмножество в фиксированном количестве элементов, построив треугольник Паскаля . ^[12] В частности, количество блоков, пересекающих фиксированный блок в любом количестве элементов, не зависит от выбранного блока. ${\displaystyle t'\leq t}$

Количество блоков, содержащих любой i -элементный набор точек, равно:

${\displaystyle \lambda _{i}=\left.{\binom {n-i}{t-i}}\right/{\binom {k-i}{t-i}}{\text{ for }}i=0,1,\ldots ,t,}$

Можно показать, что если существует система Штейнера S(2, k , n ) , где k — степень простого числа, большая 1, то n 1 или k (mod k ( k −1) ) . В частности, система троек Штейнера S(2, 3, n ) должна иметь n = 6 m + 1 или 6 m + 3 . И как мы уже упоминали, это единственное ограничение на системы троек Штейнера, то есть для каждого натурального числа m системы S(2, 3, 6 m + 1) и S(2, 3, 6 m + 3) существовать. ${\displaystyle \equiv }$

История

Тройные системы Штейнера были впервые определены Уэсли С.Б. Вулхаусом в 1844 году в призовом вопросе № 1733 журнала «Дневник леди и джентльменов». ^[13] Поставленная задача была решена Томасом Киркманом  (1847). В 1850 году Киркман сформулировал вариант проблемы, известной как проблема школьницы Киркмана , которая требует наличия тройных систем, обладающих дополнительным свойством (разрешимостью). Не зная о работе Киркмана, Якоб Штайнер  (1853) вновь ввел тройные системы, и, поскольку эта работа стала более широко известна, системы были названы в его честь.

Группы Матье

Некоторые примеры систем Штейнера тесно связаны с теорией групп . В частности, конечные простые группы, называемые группами Матье, возникают как группы автоморфизмов систем Штейнера:

• Группа Матье M ₁₁ — это группа автоморфизмов S(4,5,11) системы Штейнера.
• Группа Матье M ₁₂ — это группа автоморфизмов S(5,6,12) системы Штейнера.
• Группа Матье M ₂₂ — это единственная подгруппа индекса 2 группы автоморфизмов S(3,6,22) системы Штейнера.
• Группа Матье M ₂₃ — это группа автоморфизмов S(4,7,23)-системы Штейнера.
• Группа Матье M ₂₄ является группой автоморфизмов S(5,8,24)-системы Штейнера.

Система Штейнера S(5, 6, 12)

Существует уникальная система Штейнера S(5,6,12); ее группой автоморфизмов является группа Матье M ₁₂ , и в этом контексте она обозначается W ₁₂ .

Построение проективной линии

Эта конструкция принадлежит Кармайклу (1937). ^[14]

Добавьте новый элемент, назовем его ∞ , к 11 элементам конечного поля F ₁₁ (т. е. целым числам по модулю 11). Этот набор S из 12 элементов формально можно отождествить с точками проективной прямой над F ₁₁ . Вызовите следующее конкретное подмножество размера 6,

${\displaystyle \{\infty ,1,3,4,5,9\},}$

«блок» (он содержит ∞ вместе с 5 ненулевыми квадратами в F ₁₁ ). Из этого блока путем многократного применения дробно-линейных преобразований получаем остальные блоки системы S (5,6,12) :

${\displaystyle z'=f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},}$

где a,b,c,d находятся в F ₁₁ и ad − bc = 1 . С обычными соглашениями об определении f (− d / c ) = ∞ и f (∞) = a / c эти функции отображают множество S на себя. На геометрическом языке это проективности проективной прямой. Они образуют группу по композиции, которая представляет собой проективную специальную линейную группу PSL (2,11) порядка 660. Есть ровно пять элементов этой группы, которые оставляют стартовый блок фиксированным по заданному принципу, ^[15] а именно такие, что b=c= 0 и ad =1, так что f(z) = a ² z . Таким образом, изображений этого блока будет 660/5 = 132. В результате свойства кратной транзитивности этой группы, действующего на это множество, любое подмножество из пяти элементов S появится ровно в одном из этих 132 изображений размера шесть.

Строительство котенка

Альтернативная конструкция W ₁₂ получена с использованием «котенка» Р.Т. Кертиса ^[16] , который был задуман как «ручной калькулятор» для записи блоков по одному. Метод котенка основан на заполнении шаблонов в сетке чисел 3x3, которые представляют собой аффинную геометрию в векторном пространстве F ₃ xF ₃ , системе S(2,3,9).

Построение из факторизации графа K 6

Отношения между факторами графа полного графа K ₆ порождают S(5,6,12). ^[17] Граф AK ₆ имеет 6 вершин, 15 ребер, 15 идеальных паросочетаний и 6 различных 1-факторизаций (способы разделения ребер на непересекающиеся совершенные паросочетания). Набор вершин (обозначенный 123456) и набор факторизаций (обозначенный ABCDEF ) составляют по одному блоку каждый. Каждая пара факторизаций имеет ровно одно общее идеальное паросочетание. Предположим, что факторизации A и B имеют общее сопоставление с ребрами 12, 34 и 56. Добавьте три новых блока AB 3456, 12 AB 56 и 1234 AB , поочередно заменяя каждое ребро в общем сопоставлении метками факторизации. Аналогично добавьте еще три блока 12 CDEF , 34 CDEF и 56 CDEF , заменив метки факторизации соответствующими метками ребер общего сопоставления. Сделайте это для всех 15 пар факторизаций, чтобы добавить 90 новых блоков. Наконец, возьмите полный набор комбинаций из 6 объектов из 12 и отбросьте любую комбинацию, которая имеет 5 или более общих объектов с любым из 92 сгенерированных блоков. Осталось ровно 40 блоков, что дает 2 + 90 + 40 = 132 блока S(5,6,12). Этот метод работает , потому что в симметричной группе S6 существует внешний автоморфизм , который отображает вершины в факторизации, а ребра в разбиения. Перестановка вершин приводит к тому, что факторизации переставляются по-разному в соответствии с внешним автоморфизмом. ${\displaystyle {\tbinom {12}{6}}=924}$

Система Штейнера S(5, 8, 24)

Система Штейнера S(5, 8, 24), также известная как план Витта или геометрия Витта , была впервые описана Кармайклом  (1931) и заново открыта Виттом  (1938). Эта система связана со многими спорадическими простыми группами и с исключительной 24-мерной решеткой , известной как решетка Лича . Группа автоморфизмов S(5, 8, 24) — это группа Матье M ₂₄ , и в этом контексте конструкция обозначается W ₂₄ («W» означает «Витт»).

Прямая лексикографическая генерация

Все подмножества из 24 элементов из 8 элементов генерируются в лексикографическом порядке, и любое такое подмножество, которое отличается от некоторого подмножества, уже найденного менее чем в четырех позициях, отбрасывается.

Тогда список октад для элементов 01, 02, 03, ..., 22, 23, 24 будет следующим:

01 02 03 04 05 06 07 08

01 02 03 04 09 10 11 12

01 02 03 04 13 14 15 16

.

. (следующие 753 октады опущены)

.

13 14 15 16 17 18 19 20

13 14 15 16 21 22 23 24

17 18 19 20 21 22 23 24

Каждый отдельный элемент встречается где-то в какой-то октаде 253 раза. Каждая пара встречается 77 раз. Каждая тройка встречается 21 раз. Каждая четверка (тетрада) встречается 5 раз. Каждая пятёрка (пентада) встречается один раз. Встречаются не все гексады, гептады или октады.

Построение из двоичного кода Голея

Генерируются 4096 кодовых слов 24-битного двоичного кода Голея , а 759 кодовых слов с весом Хэмминга 8 соответствуют системе S(5,8,24).

Код Голея может быть создан многими методами, такими как генерация всех 24-битных двоичных строк в лексикографическом порядке и отбрасывание тех, которые отличаются от более ранних менее чем на 8 позиций . Результат выглядит следующим образом:

 0000000000000000000000000 000000000000000011111111 000000000000111100001111 . . (следующие 4090 24-битных строк опущены) . 111111111111000011110000 1111111111111111100000000 1111111111111111111111111

Кодовые слова образуют группу в рамках операции XOR .

Построение проективной линии

Эта конструкция принадлежит Кармайклу (1931). ^[18]

Добавьте новый элемент, назовем его ∞ , к 23 элементам конечного поля F ₂₃ (т. е. целым числам по модулю 23). Это множество S из 24 элементов формально можно отождествить с точками проективной прямой над F ₂₃ . Вызовите следующее конкретное подмножество размера 8,

${\displaystyle \{\infty ,0,1,3,12,15,21,22\},}$

Блок". (Мы можем взять любую октаду расширенного двоичного кода Голея , рассматриваемого как код квадратичного вычета.) Из этого блока мы получаем другие блоки системы S (5,8,24), многократно применяя дробно-линейные преобразования :

${\displaystyle z'=f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},}$

где a,b,c,d находятся в F ₂₃ и ad − bc = 1 . С обычными соглашениями об определении f (− d / c ) = ∞ и f (∞) = a / c эти функции отображают множество S на себя. На геометрическом языке это проективности проективной прямой. Они образуют группу по композиции, которая представляет собой проективную специальную линейную группу PSL (2,23) порядка 6072. В этой группе ровно 8 элементов, которые оставляют исходный блок неподвижным. Таким образом, изображений этого блока будет 6072/8 = 759. Они образуют октады S(5,8,24).

Конструкция из чудо-генератора октадов

Miracle Octad Generator (MOG) — это инструмент для создания октад, например содержащих указанные подмножества. Он состоит из массива 4x6, строкам которого присвоены определенные веса. В частности, 8-подмножество должно подчиняться трем правилам, чтобы быть октадой S(5,8,24). Во-первых, каждый из 6 столбцов должен иметь одинаковую четность , то есть все они должны иметь нечетное количество ячеек или все они должны иметь четное количество ячеек. Во-вторых, верхняя строка должна иметь ту же четность, что и каждый из столбцов. В-третьих, строки соответственно умножаются на веса 0, 1, 2 и 3 по конечному полю порядка 4 , а суммы столбцов вычисляются для 6 столбцов с умножением и сложением с использованием определений арифметики конечных полей. Полученные суммы столбцов должны образовывать допустимое шестнадцатеричное слово вида ( a , b , c , a + b + c , 3a + 2b + c , 2a + 3b + c ) , где a, b, c также взяты из конечного поля порядок 4. Если четность сумм столбцов не совпадает с четностью суммы строк или друг друга, или если не существует a, b, c таких, что суммы столбцов образуют допустимое шестнадцатеричное слово, то это подмножество 8 не является октада S(5,8,24).

MOG основан на создании биекции (Конвелл 1910, «Трёхпространственный PG(3,2) и его группа») между 35 способами разделения набора из 8 на два разных набора из 4 и 35 строками трехмерное пространство Фано PG (3,2). Это также геометрически связано (Куллинан, «Инвариантность симметрии в кольце с бриллиантом», Уведомления AMS, стр. A193-194, февраль 1979 г.) с 35 различными способами разделения массива 4x4 на 4 разные группы по 4 ячейки в каждой, например что если массив 4x4 представляет собой четырехмерное конечное аффинное пространство , то группы образуют набор параллельных подпространств.

Смотрите также

• Код постоянного веса
• Проблема школьницы Киркмана
• Конфигурация Сильвестра – Галлая

Примечания

1. Это свойство эквивалентно утверждению, что (xy)y = x для всех x и y в идемпотентной коммутативной квазигруппе.

Рекомендации

1. "Энциклопедия теории дизайна: t-Designs" . Designtheory.org. 04.10.2004 . Проверено 17 августа 2012 г.
2. Киваш, Питер (2014). «Существование конструкций». arXiv : 1401.3665 [math.CO].
3. Эрика Кляйррах (9 июня 2015 г.). «Решенная дилемма дизайна, без дизайна». Журнал Кванта . Проверено 27 июня 2015 г.
4. Калаи, Гил. «Дизайн существует!» (PDF) . Семинар Бурбаки.
5. Колборн и Диниц, 2007, стр.106.
6. Остергард и Поттонен, 2008 г.
7. Бозе, RC (1939). «О построении уравновешенных неполных блочных конструкций». Анналы евгеники . 9 (4): 353–399. дои : 10.1111/j.1469-1809.1939.tb02219.x .
8. Т. Сколем. Некоторые замечания о системах троек Штейнера. Математика. Скан. 6 (1958), 273–280.
9. Колборн и Диниц 2007, стр.60
10. Колборн и Диниц 2007, стр. 497, определение 28.12
11. Деннистон, RHF (сентябрь 1974 г.). «Газета Деннистона, открытый доступ». Дискретная математика . 9 (3): 229–233. дои : 10.1016/0012-365X(74)90004-1 .
12. Ассмус и Ки 1994, стр. 8
13. Линднер и Роджер 1997, стр.3
14. Кармайкл 1956, с. 431
15. Бет, Юнгникель и Ленц 1986, стр. 196
16. Кертис 1984
17. "Учебник ЕАГТС".
18. Кармайкл 1931 г.

Рекомендации

• Ассмус, Э. Ф. младший; Ки, JD (1994), «8. Системы Штейнера», Проекты и их коды , Cambridge University Press , стр. 295–316, ISBN 978-0-521-45839-9.
• Ассмус, EF; Ки, JD (1992), Проекты и их коды , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-41361-9
• Бет, Томас; Юнгникель, Дитер ; Ленц, Ханфрид (1986), Теория дизайна , Кембридж: Издательство Кембриджского университета.. 2-е изд. (1999) ISBN 978-0-521-44432-3 . 
• Кармайкл, Роберт (1931), «Тактические конфигурации второго ранга», American Journal of Mathematics , 53 (1): 217–240, doi : 10.2307/2370885, JSTOR  2370885
• Кармайкл, Роберт Д. (1956) [1937], Введение в теорию групп конечного порядка , Дувр, ISBN 978-0-486-60300-1
• Колборн, Чарльз Дж.; Диниц, Джеффри Х. (1996), Справочник по комбинаторным расчетам , Бока-Ратон: Chapman & Hall/CRC, ISBN 978-0-8493-8948-1, Збл  0836.00010
• Колборн, Чарльз Дж.; Диниц, Джеффри Х. (2007), Справочник по комбинаторным планам (2-е изд.), Бока-Ратон: Chapman & Hall/CRC, ISBN 978-1-58488-506-1, Збл  1101.05001
• Кертис, RT (1984), «Система Штейнера S (5,6,12), группа Матье M ₁₂ и «котенок»«, Аткинсон, Майкл Д. (редактор), Вычислительная теория групп (Дарем, 1982) , Лондон: Academic Press, стр. 353–358, ISBN. 978-0-12-066270-8, МР  0760669
• Хьюз, доктор медицинских наук; Пайпер, ФК (1985), Теория дизайна , Издательство Кембриджского университета, стр. 173–176, ISBN 978-0-521-35872-9.
• Киркман, Томас П. (1847), «О проблеме комбинаций», Кембриджский и Дублинский математический журнал , II : 191–204.
• Линднер, CC; Роджер, Калифорния (1997), Теория дизайна , Бока-Ратон: CRC Press, ISBN 978-0-8493-3986-8
• Остергард, Патрик Р.Дж.; Поттонен, Олли (2008), «Не существует системы Штейнера S(4,5,17)», Журнал комбинаторной теории , серия A, 115 (8): 1570–1573, doi : 10.1016/j.jcta.2008.04. 005
• Штайнер, Дж. (1853), «Combinatorische Aufgabe», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1853 (45): 181–182, doi : 10.1515/crll.1853.45.181, S2CID  199547187.
• Витт, Эрнст (1938), «Die 5-Fach transitiven Gruppen von Mathieu», Abh. Математика. Сем. унив. Гамбург , 12 : 256–264, doi : 10.1007/BF02948947, S2CID  123658601

Внешние ссылки

• Роуленд, Тодд и Вайсштейн, Эрик В. «Система Штайнера». Математический мир .
• Румов, Б.Т. (2001) [1994], «Система Штейнера», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Системы Штейнера Андриса Э. Брауэра
• Реализация S(5,8,24) доктором Альберто Дельгадо, Гейбом Хартом и Майклом Колкебеком
• S(5, 8, 24) Программное обеспечение и листинг Йохана Э. Мебиуса