В математике дробно -линейное преобразование — это, грубо говоря, обратимое преобразование вида
Точное определение зависит от природы a , b , c , d и z . Другими словами, линейное дробное преобразование — это преобразование , представленное дробью, числитель и знаменатель которой линейны .
В самом простом случае a , b , c , d , и z являются комплексными числами (в этом случае преобразование также называется преобразованием Мёбиуса ), или, в более общем смысле, элементами поля . Условие обратимости тогда ad – bc ≠ 0 . Над полем дробно-линейное преобразование является ограничением на поле проективного преобразования или гомографии проективной прямой .
Когда a , b , c , d являются целыми числами (или, в более общем смысле, принадлежат к области целостности ), z считается рациональным числом (или принадлежит к полю дробей области целостности. В этом случае условие обратимости состоит в том, что ad – bc должно быть единицей области (то есть 1 или −1 в случае целых чисел). [1]
В наиболее общем случае a , b , c , d и z являются элементами кольца , например, квадратными матрицами . Примером такого линейного дробного преобразования является преобразование Кэли , которое изначально было определено на кольце действительных матриц 3 × 3 .
Дробно-линейные преобразования широко используются в различных областях математики и ее приложениях к технике, таких как классическая геометрия , теория чисел (они используются, например, в доказательстве Уайлсом Великой теоремы Ферма ), теория групп , теория управления .
В общем случае дробно-линейное преобразование является гомографией P ( A ) , проективной прямой над кольцом A. Когда A — коммутативное кольцо , дробно-линейное преобразование имеет знакомую форму
где a , b , c , d — элементы A, такие , что ad – bc — единица A ( то есть ad – bc имеет мультипликативную инверсию в A )
В некоммутативном кольце A с ( z , t ) в A 2 единицы u определяют отношение эквивалентности Класс эквивалентности в проективной прямой над A записывается как U [ z : t ] , где скобки обозначают проективные координаты . Тогда дробно-линейные преобразования действуют справа от элемента P( A ) :
Кольцо вкладывается в свою проективную прямую z → U [ z : 1] , поэтому t = 1 восстанавливает обычное выражение. Это линейное дробное преобразование хорошо определено, поскольку U [ za + tb : zc + td ] не зависит от того, какой элемент выбран из его класса эквивалентности для операции.
Дробно-линейные преобразования над A образуют группу , проективную линейную группу, обозначаемую
Группа дробно-линейных преобразований называется модулярной группой . Она широко изучалась из-за многочисленных приложений к теории чисел , в том числе доказательства Уайлсом Великой теоремы Ферма .
В комплексной плоскости обобщенная окружность является либо прямой, либо окружностью. При дополнении точкой в бесконечности обобщенные окружности на плоскости соответствуют окружностям на поверхности сферы Римана , выражения комплексной проективной прямой. Дробно-линейные преобразования переставляют эти окружности на сфере и соответствующие конечные точки обобщенных окружностей в комплексной плоскости.
Для построения моделей гиперболической плоскости единичный круг и верхняя полуплоскость используются для представления точек. Эти подмножества комплексной плоскости снабжены метрикой с метрикой Кэли–Клейна . Затем расстояние между двумя точками вычисляется с использованием обобщенной окружности, проходящей через точки и перпендикулярной границе подмножества, используемого для модели. Эта обобщенная окружность пересекает границу в двух других точках. Все четыре точки используются в перекрестном отношении , которое определяет метрику Кэли–Клейна. Дробно-линейные преобразования оставляют перекрестное отношение инвариантным, поэтому любое дробно-линейные преобразования, которые оставляют единичный круг или верхние полуплоскости стабильными, является изометрией метрического пространства гиперболической плоскости . Поскольку Анри Пуанкаре объяснил эти модели, они были названы в его честь: модель диска Пуанкаре и модель полуплоскости Пуанкаре . Каждая модель имеет группу изометрий, которая является подгруппой группы Мёбиуса : группа изометрий для дисковой модели — это SU(1, 1) , где дробно-линейные преобразования являются «специальными унитарными», а для верхней полуплоскости группа изометрий — это PSL(2, R ) , проективная линейная группа дробно-линейных преобразований с действительными элементами и определителем, равным единице. [2]
Преобразования Мёбиуса обычно появляются в теории непрерывных дробей и в аналитической теории чисел эллиптических кривых и модулярных форм , поскольку они описывают автоморфизмы верхней полуплоскости под действием модулярной группы . Они также предоставляют канонический пример расслоения Хопфа , где геодезический поток , индуцированный линейным дробным преобразованием, разбивает комплексное проективное пространство на устойчивые и неустойчивые многообразия , причем орициклы появляются перпендикулярно геодезическим. См. поток Аносова для работающего примера расслоения: в этом примере геодезические задаются дробным линейным преобразованием
где a , b , c и d — действительные числа , причем ad − bc = 1. Грубо говоря, центральное многообразие порождается параболическими преобразованиями , неустойчивое многообразие — гиперболическими преобразованиями, а устойчивое многообразие — эллиптическими преобразованиями.
Дробно-линейные преобразования широко используются в теории управления для решения проблем взаимосвязи объекта и регулятора в машиностроении и электротехнике . [3] [4] Общая процедура объединения дробно-линейных преобразований с произведением звезд Редхеффера позволяет применять их к теории рассеяния общих дифференциальных уравнений, включая подход S-матрицы в квантовой механике и квантовой теории поля, рассеяние акустических волн в средах (например, термоклинах и подводных лодках в океанах и т. д.) и общий анализ рассеяния и связанных состояний в дифференциальных уравнениях. Здесь компоненты матрицы 3 × 3 относятся к входящим, связанным и исходящим состояниям. Возможно, простейший пример применения дробно-линейных преобразований происходит при анализе затухающего гармонического осциллятора . Другим элементарным применением является получение нормальной формы Фробениуса , т. е. сопутствующей матрицы полинома.
Коммутативные кольца расщепленных комплексных чисел и дуальных чисел присоединяются к обычным комплексным числам как кольца, которые выражают угол и «вращение». В каждом случае экспоненциальное отображение, примененное к мнимой оси, производит изоморфизм между однопараметрическими группами в ( A , +) и в группе единиц ( U , ×) : [5]
«Угол» y — это гиперболический угол , наклон или круговой угол в зависимости от принимающего кольца.
Линейные дробно-прямые преобразования показаны как конформные отображения путем рассмотрения их генераторов : мультипликативной инверсии z → 1/ z и аффинных преобразований z → az + b . Конформность может быть подтверждена путем демонстрации того, что все генераторы являются конформными. Сдвиг z → z + b является изменением начала координат и не влияет на угол. Чтобы увидеть, что z → az является конформным, рассмотрим полярное разложение a и z . В каждом случае угол a добавляется к углу z, что приводит к конформному отображению. Наконец, инверсия является конформной, поскольку z → 1/ z отправляет