Хороцикл

Кривая, нормали которой сходятся асимптотически

Синий орицикл в модели диска Пуанкаре и несколько красных нормалей. Нормали асимптотически сходятся к верхней центральной идеальной точке .

В гиперболической геометрии орицикл ( от греческих корней , означающих «граничный круг»), иногда называемый орициклом или предельным кругом , представляет собой кривую постоянной кривизны , которая асимптотически сходится в обоих направлениях к одной идеальной точке , называемой центром орицикла. Перпендикулярные геодезические, проходящие через каждую точку орицикла, являются предельными параллелями и все они асимптотически сходятся к центру. Это двумерный случай орисферы .

В евклидовом пространстве все кривые постоянной кривизны представляют собой либо прямые линии (геодезические), либо окружности , но в гиперболическом пространстве секционной кривизны кривые постоянной кривизны бывают четырёх типов: геодезические с кривизной, гиперциклы с кривизной , орициклы с кривизной и окружности с кривизной. ${\displaystyle -1,}$ ${\displaystyle \kappa =0,}$ ${\displaystyle 0<|\kappa |<1,}$ ${\displaystyle |\kappa |=1,}$ ${\displaystyle |\kappa |>1.}$

Любые два орицикла конгруэнтны и могут быть наложены друг на друга с помощью изометрии (переноса и вращения) гиперболической плоскости.

Орицикл также можно описать как предел кругов, имеющих общую касательную в данной точке, поскольку их радиусы стремятся к бесконечности , или как предел гиперциклов, касающихся этой точки, поскольку расстояния от их осей стремятся к бесконечности.

Два орицикла с одинаковым центром называются концентрическими . Что касается концентрических окружностей, то любая геодезическая, перпендикулярная орициклу, также перпендикулярна каждому концентрическому орициклу.

Характеристики

• Через каждую пару точек проходит 2 орицикла. Центры орициклов являются идеальными точками серединного перпендикуляра отрезка между ними.
• Никакие три точки орицикла не лежат на прямой, окружности или гиперцикле.
• Все орициклы конгруэнтны . (Даже концентрические орициклы конгруэнтны друг другу)
• Прямая линия , окружность , гиперцикл или другой орицикл разрезает орицикл не более чем в двух точках.
• Биссектриса хорды орицикла является нормалью этого орицикла, а биссектриса делит пополам дугу, опирающуюся на хорду, и является осью симметрии этого орицикла.
• Длина дуги орицикла между двумя точками равна:

длиннее, чем длина отрезка между этими двумя точками,

длиннее, чем длина дуги гиперцикла между этими двумя точками и

короче, чем длина любой дуги окружности между этими двумя точками.

• Расстояние от орицикла до его центра бесконечно, и хотя в некоторых моделях гиперболической геометрии кажется, что два «конца» орицикла становятся все ближе и ближе друг к другу и ближе к его центру, это не так; два «конца» орицикла удаляются все дальше и дальше друг от друга.
• Правильный апейрогон описан либо орициклом, либо гиперциклом.
• Если C — центр орицикла, а A и B — точки орицикла, то углы CAB и CBA равны. ^[1]
• Площадь сектора орицикла (площадь между двумя радиусами и орициклом) конечна. ^[2]

Стандартизованная гауссова кривизна

Когда гиперболическая плоскость имеет стандартизированную гауссову кривизну K , равную -1:

• Длина s дуги орицикла между двумя точками равна: где d — расстояние между двумя точками, а sinh и cosh — гиперболические функции . ^[3] $${\displaystyle s=2\sinh \left({\frac {1}{2}}d\right)={\sqrt {2(\cosh d-1)}}}$$
• Длина дуги орицикла, при которой касательная на одном конце ограничивается радиусом, проходящим через другой конец, равна 1. ^[4] площадь, заключенная между этим орициклом и радиусами, равна 1. ^[5]
• Отношение длин дуг между двумя радиусами двух концентрических орициклов, где орициклы находятся на расстоянии 1 друг от друга, равно e  : 1. ^[6]

Представления в моделях гиперболической геометрии.

Апейрогоны третьего порядка , {∞,3} заполняют гиперболическую плоскость апейрогонами, вершины которых существуют вдоль орициклических путей.

Модель диска Пуанкаре

В модели диска Пуанкаре гиперболической плоскости орициклы изображаются окружностями, касающимися граничной окружности; центр орицикла - это идеальная точка, где орицикл касается граничной окружности.

Конструкция циркуля и линейки для двух орициклов, проходящих через две точки, аналогична конструкции CPP для особых случаев задачи Аполлония, когда обе точки находятся внутри круга.

Модель полуплоскости Пуанкаре

В модели полуплоскости Пуанкаре орициклы представлены окружностями, касающимися граничной линии, и в этом случае их центром является идеальная точка, в которой круг касается граничной линии.

Если центр орицикла является идеальной точкой, то орицикл представляет собой линию, параллельную граничной линии. ${\displaystyle y=\infty }$

Конструкция циркуля и линейки в первом случае аналогична конструкции ЛПП для частных случаев задачи Аполлония .

Гиперболоидная модель

В модели гиперболоида они представлены пересечениями гиперболоида с плоскостями, нормаль которых лежит на асимптотическом конусе (т. е. является нулевым вектором в трехмерном пространстве Минковского ).

Метрика

Если метрика нормирована так, чтобы иметь гауссову кривизну  -1, то орицикл представляет собой кривую геодезической кривизны  1 в каждой точке.

Поток орицикла

Каждый орицикл является орбитой унипотентной подгруппы PSL (2,R) в гиперболической плоскости. Более того, перемещение с единичной скоростью вдоль орицикла, касательного к заданному единичному касательному вектору, индуцирует поток на единичном касательном расслоении гиперболической плоскости. Этот поток называется орициклическим потоком гиперболической плоскости.

Отождествляя единичное касательное расслоение с группой PSL(2,R) , поток орицикла задается правым действием унипотентной подгруппы , где: То есть поток во времени, начиная с вектора, представленного , равен . ${\displaystyle U=\{u_{t},\,t\in \mathbb {R} \}}$ $${\displaystyle u_{t}=\pm \left({\begin{array}{cc}1&t\\0&1\end{array}}\right).}$$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle g\in \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle gu_{t}}$

Если - гиперболическая поверхность, ее единичное касательное расслоение также поддерживает поток орицикла. If униформизирован, поскольку единичное касательное расслоение идентифицируется с , а поток, начинающийся с, определяется как . Если поток компактен или, в более общем смысле, представляет собой решетку , этот поток эргодичен (относительно нормированной меры Лиувилля ). Более того, в этом случае теоремы Ратнера очень точно описывают возможные замыкания его орбит. ^[7] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\Gamma \backslash \mathbb {H} ^{2}}$ ${\displaystyle \Gamma \backslash \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \Gamma g}$ ${\displaystyle t\mapsto \Gamma gu_{t}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Смотрите также

Круги, наблюдаемые в аполлоновой прокладке и касающиеся внешнего круга, можно считать орициклами в модели диска Пуанкаре.

• Горосфера
• Гиперцикл (геометрия)

Рекомендации

1. Сосинский, AB (2012). Геометрии . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 141–2. ISBN 9780821875711.
2. Коксетер, HSM (1998). Неевклидова геометрия (6-е изд.). Вашингтон, округ Колумбия: Математический доц. Америки. стр. 243–244. ISBN 978-0-88385-522-5.
3. Смогоржевский (1976). Лобачевская геометрия . Москва: Мир. п. 65.
4. Соммервилл, DMY (2005). Элементы неевклидовой геометрии (Унабр. и неизмен. республик. изд.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. п. 58. ИСБН 0-486-44222-5.
5. Коксетер, HSM (1998). Неевклидова геометрия (6-е изд.). Вашингтон, округ Колумбия: Математический доц. Америки. п. 250. ИСБН 978-0-88385-522-5.
6. Соммервилл, DMY (2005). Элементы неевклидовой геометрии (Унабр. и неизмен. республик. изд.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. п. 58. ИСБН 0-486-44222-5.
7. Моррис, Дэйв Витте (2005). Теоремы Ратнера об унипотентных потоках . Чикагские лекции по математике. Чикаго, Иллинойс: Издательство Чикагского университета. arXiv : math/0310402 . ISBN 978-0-226-53984-3. МР  2158954.

• HSM Coxeter (1961) « Введение в геометрию» , §16.6: «Окружности, орициклы и эквидистантные кривые», стр. 300, 1, John Wiley & Sons .
• Четыре столпа геометрии с. 198