Теоремы Ратнера

В математике теоремы Ратнера представляют собой группу основных теорем эргодической теории, касающихся унипотентных потоков на однородных пространствах, доказанных Мариной Ратнер около 1990 года. Теоремы выросли из более ранней работы Ратнера по орициклическим потокам . Изучение динамики унипотентных потоков сыграло решающую роль в доказательстве гипотезы Оппенгейма Григорием Маргулисом . Теоремы Ратнера стали руководством к ключевым достижениям в понимании динамики унипотентных потоков. Их более поздние обобщения предоставляют способы как уточнить результаты, так и расширить теорию на случай произвольных полупростых алгебраических групп над локальным полем .

Краткое описание

Теорема Ратнера о замыкании орбит утверждает, что замыкания орбит унипотентных потоков на факторе группы Ли по решетке являются хорошими геометрическими подмножествами. Теорема Ратнера о равнораспределении далее утверждает, что каждая такая орбита равнораспределена в своем замыкании. Теорема Ратнера о классификации мер является более слабым утверждением о том, что каждая эргодическая инвариантная вероятностная мера является однородной или алгебраической : это оказывается важным шагом на пути к доказательству более общего свойства равнораспределения. Универсального соглашения о названиях этих теорем нет: они известны по-разному как «теорема о жесткости меры», «теорема об инвариантных мерах» и ее «топологическая версия» и т. д.

Формальная формулировка такого результата такова. Пусть — группа Ли , решетка в и однопараметрическая подгруппа из , состоящая из унипотентных элементов, с ассоциированным потоком на . Тогда замыкание каждой орбиты из однородно. Это означает , что существует связная замкнутая подгруппа из , такая, что образ орбиты для действия правыми переносами на при канонической проекции на замкнут, имеет конечную -инвариантную меру и содержит замыкание -орбиты из как плотное подмножество . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathit {\Gamma }}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle u^{t}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \phi _{t}}$ ${\displaystyle {\mathit {\Gamma }}\setminus G}$ ${\displaystyle \left\{xu^{t}\right\}}$ ${\displaystyle \phi _{t}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \,xS\,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathit {\Gamma }}\setminus G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \phi _{t}}$ ${\displaystyle x}$

Пример: С Л 2 ( Р ) {\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}

Простейшим случаем, к которому применимо приведенное выше утверждение, является . В этом случае оно принимает следующую более явную форму; пусть будет решеткой в ​​и замкнутым подмножеством, которое инвариантно относительно всех отображений, где . Тогда либо существует такое , что (где ), либо . ${\displaystyle G=SL_{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle F\subset \Gamma \backslash G}$ ${\displaystyle \Gamma g\mapsto \Gamma (gu_{t})}$ ${\displaystyle u_{t}={\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle x\in \Gamma \backslash G}$ ${\displaystyle F=xU}$ ${\displaystyle U=\{u_{t},t\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle F=\Gamma \backslash G}$

В геометрических терминах является коконечной фуксовой группой , поэтому фактор гиперболической плоскости по является гиперболическим орбифолдом конечного объема. Теорема выше подразумевает, что каждый орицикл имеет образ, в котором является либо замкнутой кривой (орицикл вокруг точки возврата ) , либо плотным в . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle M=\Gamma \backslash \mathbb {H} ^{2}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Смотрите также

• Данцер сет
• Теорема о равнораспределении

Ссылки

Экспозиции

• Моррис, Дэйв Витте (2005). Теоремы Ратнера об унипотентных потоках . Чикагские лекции по математике. Чикаго, Иллинойс: Издательство Чикагского университета. arXiv : math/0310402 . ISBN 978-0-226-53984-3. МР  2158954.
• Айнзидлер, Манфред (2009). «Что такое... жесткость меры?» (PDF) . Уведомления AMS . 56 (5): 600–601.

Избранные оригинальные статьи

• Ратнер, Марина (1990). "Строгая мера жесткости для унипотентных подгрупп разрешимых групп". Invent. Math. 101 (2): 449–482. doi :10.1007/BF01231511. MR  1062971.
• Ратнер, Марина (1990). «О жесткости меры унипотентных подгрупп полупростых групп». Acta Math. 165 (1): 229–309. doi : 10.1007/BF02391906 . MR  1075042.
• Ратнер, Марина (1991). «О гипотезе меры Рагхунатхана». Ann. of Math. 134 (3): 545–607. doi :10.2307/2944357. JSTOR  2944357. MR  1135878.
• Ратнер, Марина (1991). «Топологическая гипотеза Рагхунатхана и распределения унипотентных потоков». Duke Math. J. 63 (1): 235–280. doi :10.1215/S0012-7094-91-06311-8. MR  1106945.
• Ратнер, Марина (1993). «Гипотезы Рагхунатана для p-адических групп Ли». International Mathematics Research Notices . 1993 (5): 141–146. doi : 10.1155/S1073792893000145 . MR  1219864.
• Ратнер, Марина (1995). «Гипотезы Рагхунатана для декартовых произведений действительных и p-адических групп Ли». Duke Math. J. 77 (2): 275–382. doi :10.1215/S0012-7094-95-07710-2. MR  1321062.
• Маргулис, Григорий А .; Томанов, Жорж М. (1994). «Инвариантные меры для действий унипотентных групп над локальными полями на однородных пространствах». Invent. Math. 116 (1): 347–392. doi :10.1007/BF01231565. MR  1253197.