Геодезический

Прямой путь на искривленной поверхности или римановом многообразии

Квартика Клейна с 28 геодезическими (отмечена 7 цветами и 4 узорами)

В геометрии геодезическая ( / ˌ dʒ iː . ə ˈ d ɛ s ɪ k , - oʊ -, - ˈ d iː s ɪ k , - z ɪ k / ) ^[1] [ ^2] — это кривая , представляющая в некотором смысле кратчайший ^[a] путь ( дугу ) между двумя точками на поверхности или, в более общем смысле, в римановом многообразии . Этот термин также имеет значение в любом дифференцируемом многообразии со связностью . Это обобщение понятия « прямая линия ».

Существительное геодезический и прилагательное геодезический происходят от геодезии , науки об измерении размера и формы Земли , хотя многие из лежащих в ее основе принципов могут быть применены к любой эллипсоидальной геометрии. В первоначальном смысле геодезическая была кратчайшим путем между двумя точками на поверхности Земли . Для сферической Земли это сегмент большого круга (см. также расстояние по большому кругу ). С тех пор этот термин был обобщен на более абстрактные математические пространства; например, в теории графов можно рассмотреть геодезическую между двумя вершинами / узлами графа .

В римановом многообразии или подмногообразии геодезические характеризуются свойством иметь исчезающую геодезическую кривизну . В более общем смысле, при наличии аффинной связности геодезическая определяется как кривая, касательные векторы которой остаются параллельными, если они переносятся вдоль нее. Применение этого к связности Леви-Чивиты римановой метрики восстанавливает предыдущее понятие.

Геодезические имеют особое значение в общей теории относительности . Временные геодезические в общей теории относительности описывают движение свободно падающих пробных частиц .

Введение

Локально кратчайший путь между двумя заданными точками в искривленном пространстве, предполагаемом ^[a] как риманово многообразие , может быть определен с помощью уравнения для длины кривой (функции f из открытого интервала R в пространство), а затем минимизации этой длины между точками с помощью вариационного исчисления . Это имеет некоторые незначительные технические проблемы, поскольку существует бесконечномерное пространство различных способов параметризации кратчайшего пути. Проще ограничить набор кривых теми, которые параметризованы «с постоянной скоростью» 1, что означает, что расстояние от f ( s ) до f ( t ) вдоль кривой равно | s − t |. Эквивалентно, может быть использована другая величина, называемая энергией кривой; минимизация энергии приводит к тем же уравнениям для геодезической (здесь «постоянная скорость» является следствием минимизации). ^{[ необходима цитата ]} Интуитивно можно понять эту вторую формулировку, заметив, что эластичная лента, растянутая между двумя точками, сократит свою ширину и, таким образом, минимизирует свою энергию. Результирующая форма ленты — геодезическая.

Возможно, что несколько различных кривых между двумя точками минимизируют расстояние, как в случае двух диаметрально противоположных точек на сфере. В таком случае любая из этих кривых является геодезической.

Смежный отрезок геодезической линии снова является геодезической.

В общем, геодезические не то же самое, что «кратчайшие кривые» между двумя точками, хотя эти два понятия тесно связаны. Разница в том, что геодезические являются только локально кратчайшим расстоянием между точками и параметризуются «постоянной скоростью». Движение «длинным кругом» по большой окружности между двумя точками на сфере является геодезической, но не кратчайшим путем между точками. Отображение единичного интервала на числовой прямой на себя дает кратчайший путь между 0 и 1, но не является геодезической, поскольку скорость соответствующего движения точки не постоянна. ${\displaystyle t\to t^{2}}$

Геодезические линии обычно рассматриваются при изучении римановой геометрии и, в более общем смысле, метрической геометрии . В общей теории относительности геодезические линии в пространстве-времени описывают движение точечных частиц под действием только гравитации. В частности, путь падающего камня, орбитального спутника или форма планетарной орбиты — все это геодезические линии ^[b] в искривленном пространстве-времени. В более общем смысле, тема субримановой геометрии имеет дело с путями, которые могут выбирать объекты, когда они не свободны, и их движение ограничено различными способами.

В этой статье представлен математический формализм, используемый для определения, нахождения и доказательства существования геодезических в случае римановых многообразий . В статье Связь Леви-Чивиты обсуждается более общий случай псевдориманова многообразия , а геодезическая (общая теория относительности) более подробно обсуждает частный случай общей теории относительности.

Примеры

Геодезическая на трехосном эллипсоиде .

Если насекомое поместить на поверхность и непрерывно двигаться «вперед», то по определению оно будет описывать геодезическую линию.

Наиболее известными примерами являются прямые линии в евклидовой геометрии . На сфере образами геодезических являются большие окружности . Кратчайший путь из точки A в точку B на сфере задается более короткой дугой большого круга, проходящей через A и B. Если A и B являются антиподными точками , то между ними существует бесконечно много кратчайших путей. Геодезические на эллипсоиде ведут себя сложнее, чем на сфере; в частности, они, вообще говоря, не замкнуты (см. рисунок).

Треугольники

Геодезический треугольник на сфере.

Геодезический треугольник образован геодезическими, соединяющими каждую пару из трех точек на данной поверхности. На сфере геодезические являются дугами большого круга , образуя сферический треугольник .

Геодезические треугольники в пространствах положительной (вверху), отрицательной (в середине) и нулевой (внизу) кривизны.

Метрическая геометрия

В метрической геометрии геодезическая — это кривая, которая локально минимизирует расстояние . Точнее , кривая γ  : I → M из интервала I действительных чисел в метрическое пространство M является геодезической, если существует константа v ≥ 0 такая, что для любого t ∈ I существует окрестность J точки t в I такая, что для любых t ₁ ,  t ₂ ∈ J мы имеем

${\displaystyle d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=v\left|t_{1}-t_{2}\right|.}$

Это обобщает понятие геодезической для римановых многообразий. Однако в метрической геометрии рассматриваемая геодезическая часто снабжается естественной параметризацией , т.е. в приведенном выше тождестве v  = 1 и

${\displaystyle d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=\left|t_{1}-t_{2}\right|.}$

Если последнее равенство выполняется для всех t ₁ , t ₂ ∈ I , то геодезическая называется минимизирующей геодезической или кратчайшим путем .

В общем случае метрическое пространство может не иметь геодезических, за исключением постоянных кривых. С другой стороны, любые две точки в метрическом пространстве длины соединены минимизирующей последовательностью спрямляемых путей , хотя эта минимизирующая последовательность не обязательно сходится к геодезической.

Риманова геометрия

В римановом многообразии M с метрическим тензором g длина L непрерывно дифференцируемой кривой γ : [ a , b ] →  M определяется как

${\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\,dt.}$

Расстояние d ( p ,  q ) между двумя точками p и q множества M определяется как инфимум длины, взятой по всем непрерывным, кусочно-непрерывно дифференцируемым кривым γ : [ a , b ] →  M таким, что γ( a ) =  p и γ( b ) =  q . В римановой геометрии все геодезические являются локально минимизирующими расстояние путями, но обратное неверно. Фактически, только пути, которые одновременно локально минимизируют расстояние и параметризованы пропорционально длине дуги, являются геодезическими. Другой эквивалентный способ определения геодезических на римановом многообразии — определить их как минимумы следующего действия или функционала энергии

${\displaystyle E(\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,dt.}$

Все минимумы E также являются минимумами L , но L — большее множество, поскольку пути, которые являются минимумами L, могут быть произвольно перепараметризованы (без изменения их длины), в то время как минимумы E не могут. Для кусочно-последовательной кривой (в более общем смысле, кривой) неравенство Коши–Шварца дает ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle W^{1,2}}$

${\displaystyle L(\gamma )^{2}\leq 2(b-a)E(\gamma )}$

с равенством тогда и только тогда, когда равно константе ae; путь должен быть пройден с постоянной скоростью. Бывает, что минимизаторы также минимизируют , поскольку они оказываются аффинно параметризованными, и неравенство представляет собой равенство. Полезность этого подхода заключается в том, что задача поиска минимизаторов E является более надежной вариационной задачей. Действительно, E является «выпуклой функцией» от , так что внутри каждого изотопического класса «разумных функций» следует ожидать существования, единственности и регулярности минимизаторов. Напротив, «минимизаторы» функционала, как правило, не очень регулярны, поскольку допускаются произвольные перепараметризации. ${\displaystyle g(\gamma ',\gamma ')}$ ${\displaystyle E(\gamma )}$ ${\displaystyle L(\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle L(\gamma )}$

Уравнения движения Эйлера –Лагранжа для функционала E тогда задаются в локальных координатах как

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{\mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}=0,}$

где — символы Кристоффеля метрики. Это геодезическое уравнение , обсуждаемое ниже. ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$

Вариационное исчисление

Методы классического вариационного исчисления могут быть применены для исследования функционала энергии E. Первая вариация энергии определяется в локальных координатах как

${\displaystyle \delta E(\gamma )(\varphi )=\left.{\frac {\partial }{\partial t}}\right|_{t=0}E(\gamma +t\varphi ).}$

Критические точки первой вариации — это именно геодезические. Вторая вариация определяется как

${\displaystyle \delta ^{2}E(\gamma )(\varphi ,\psi )=\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\,\partial t}}\right|_{s=t=0}E(\gamma +t\varphi +s\psi ).}$

В соответствующем смысле нули второй вариации вдоль геодезической γ возникают вдоль полей Якоби . Поля Якоби, таким образом, рассматриваются как вариации по геодезическим.

Применяя вариационные методы классической механики , можно также рассматривать геодезические как гамильтоновы потоки . Они являются решениями связанных уравнений Гамильтона , причем (псевдо)риманова метрика принимается за гамильтонову .

Аффинные геодезические

Геодезическая на гладком многообразии M с аффинной связностью ∇ определяется как кривая γ( t ) такая, что параллельный перенос вдоль кривой сохраняет касательный вектор к кривой, поэтому

в каждой точке вдоль кривой, где — производная по . Точнее, для определения ковариантной производной необходимо сначала расширить до непрерывно дифференцируемого векторного поля в открытом множестве . Однако полученное значение ( 1 ) не зависит от выбора расширения. ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$

Используя локальные координаты на M , мы можем записать геодезическое уравнение (используя соглашение о суммировании ) как

${\displaystyle {\frac {d^{2}\gamma ^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {d\gamma ^{\mu }}{dt}}{\frac {d\gamma ^{\nu }}{dt}}=0\ ,}$

где — координаты кривой γ( t ), а — символы Кристоффеля связности ∇. Это обыкновенное дифференциальное уравнение для координат. Оно имеет единственное решение при заданном начальном положении и начальной скорости. Поэтому с точки зрения классической механики геодезические можно рассматривать как траектории свободных частиц в многообразии. Действительно, уравнение означает, что вектор ускорения кривой не имеет компонент в направлении поверхности (и, следовательно, он перпендикулярен касательной плоскости поверхности в каждой точке кривой). Таким образом, движение полностью определяется изгибом поверхности. Это также идея общей теории относительности, где частицы движутся по геодезическим, а изгиб вызывается гравитацией. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }=x^{\mu }\circ \gamma (t)}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$ ${\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0}$

Существование и уникальность

Локальная теорема о существовании и единственности геодезических утверждает, что геодезические на гладком многообразии с аффинной связностью существуют и единственны. Точнее:

Для любой точки p в M и для любого вектора V в T _p M ( касательное пространство к M в точке p ) существует единственная геодезическая  : I → M такая, что ${\displaystyle \gamma \,}$

${\displaystyle \gamma (0)=p\,}$и

${\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)=V,}$

где I — максимальный открытый интервал в R, содержащий 0.

Доказательство этой теоремы следует из теории обыкновенных дифференциальных уравнений , замечая, что геодезическое уравнение является ОДУ второго порядка. Существование и единственность затем следуют из теоремы Пикара–Линделёфа для решений ОДУ с заданными начальными условиями. γ гладко зависит как от p , так и  от V.

В общем случае I может не быть всем R, как, например, для открытого диска в R ^2. Любое γ распространяется на все ℝ тогда и только тогда, когда M геодезически полно .

Геодезический поток

Геодезический поток — это локальное R - действие на касательном расслоении TM многообразия M, определяемое следующим образом:

${\displaystyle G^{t}(V)={\dot {\gamma }}_{V}(t)}$

где t  ∈  R , V  ∈  TM и обозначает геодезическую с начальными данными . Таким образом, является экспоненциальным отображением вектора tV . Замкнутая орбита геодезического потока соответствует замкнутой геодезической на  M . ${\displaystyle \gamma _{V}}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}_{V}(0)=V}$ ${\displaystyle G^{t}(V)=\exp(tV)}$

На (псевдо)римановом многообразии геодезический поток отождествляется с гамильтоновым потоком на кокасательном расслоении. Гамильтониан затем задается обратной функцией (псевдо)римановой метрики, вычисленной по канонической форме . В частности, поток сохраняет (псевдо)риманову метрику , т.е. ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g(G^{t}(V),G^{t}(V))=g(V,V).\,}$

В частности, когда V — единичный вектор, скорость остаётся единичной на всём протяжении, поэтому геодезический поток касается единичного касательного расслоения . Теорема Лиувилля подразумевает инвариантность кинематической меры на единичном касательном расслоении. ${\displaystyle \gamma _{V}}$

Геодезический спрей

Геодезический поток определяет семейство кривых в касательном расслоении . Производные этих кривых определяют векторное поле на общем пространстве касательного расслоения, известное как геодезический спрей .

Точнее, аффинная связность приводит к разбиению двойного касательного расслоения TT ​​M на горизонтальное и вертикальное расслоения :

${\displaystyle TTM=H\oplus V.}$

Геодезический спрей — это уникальное горизонтальное векторное поле W, удовлетворяющее условию

${\displaystyle \pi _{*}W_{v}=v\,}$

в каждой точке v  ∈ T M ; здесь π _∗  : TT ​​M  → T M обозначает прямой проецирование (дифференциал) вдоль проекции π  : T M  →  M , связанной с касательным расслоением.

В более общем смысле, та же конструкция позволяет построить векторное поле для любой связности Эресмана на касательном расслоении. Для того чтобы полученное векторное поле было спреем (на удаленном касательном расслоении T M  \ {0}), достаточно, чтобы связность была эквивариантной относительно положительных перемасштабирований: она не обязательно должна быть линейной. То есть (ср. Связность Эресмана#Векторные расслоения и ковариантные производные ) достаточно, чтобы горизонтальное распределение удовлетворяло

${\displaystyle H_{\lambda X}=d(S_{\lambda })_{X}H_{X}\,}$

для любого X  ∈ T M  \ {0} и λ > 0. Здесь d ( S _λ ) — прямой перенос вдоль скалярной гомотетии . Частным случаем нелинейной связности, возникающей таким образом, является связь, связанная с финслеровым многообразием . ${\displaystyle S_{\lambda }:X\mapsto \lambda X.}$

Аффинные и проективные геодезические

Уравнение ( 1 ) инвариантно относительно аффинных репараметризаций, то есть параметризаций вида

${\displaystyle t\mapsto at+b}$

где a и b — постоянные действительные числа. Таким образом, помимо указания определенного класса вложенных кривых, геодезическое уравнение также определяет предпочтительный класс параметризаций на каждой из кривых. Соответственно, решения ( 1 ) называются геодезическими с аффинным параметром .

Аффинная связность определяется своим семейством аффинно параметризованных геодезических, с точностью до кручения (Спивак 1999, Глава 6, Приложение I). Само кручение, по сути, не влияет на семейство геодезических, поскольку уравнение геодезической зависит только от симметричной части связности. Точнее, если существуют две связности, такие, что тензор разности ${\displaystyle \nabla ,{\bar {\nabla }}}$

${\displaystyle D(X,Y)=\nabla _{X}Y-{\bar {\nabla }}_{X}Y}$

кососимметрично , то и имеют те же геодезические, с теми же аффинными параметризациями. Более того, существует единственная связь, имеющая те же геодезические, что и , но с исчезающим кручением. ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle {\bar {\nabla }}}$ ${\displaystyle \nabla }$

Геодезические без конкретной параметризации описываются проективной связностью .

Методы расчета

Эффективные решатели минимальной геодезической задачи на поверхностях были предложены Митчеллом ^[3] , Киммелом ^[4] , Крейном ^[5] и другими.

Тест с лентой

Ленточный «тест» — это способ нахождения геодезической линии на физической поверхности. ^[6] Идея состоит в том, чтобы как можно точнее намотать кусочек бумаги на прямую линию (ленту) на изогнутую поверхность, не растягивая и не сдавливая ленту (не изменяя ее внутреннюю геометрию).

Например, когда лента намотана кольцом на конус, лента не будет лежать на поверхности конуса, а будет торчать, так что эта окружность не будет геодезической на конусе. Если ленту отрегулировать так, чтобы все ее части касались поверхности конуса, она даст приближение к геодезической.

Математически ленточный тест можно сформулировать как нахождение отображения окрестности прямой на плоскости на поверхность таким образом, чтобы отображение «не сильно меняло расстояния вокруг »; то есть на расстоянии от мы имеем , где и являются метриками на и . ${\displaystyle f:N(\ell )\to S}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle g_{N}-f^{*}(g_{S})=O(\varepsilon ^{2})}$ ${\displaystyle g_{N}}$ ${\displaystyle g_{S}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S}$

Приложения

Геодезические линии служат основой для расчета:

• геодезические планеры; см. геодезический планер или геодезический планер
• геодезические конструкции – например, геодезические купола
• горизонтальные расстояния на Земле или около нее; см. Геодезические данные Земли
• отображение изображений на поверхностях для рендеринга; см. UV-отображение
• Планирование движения робота (например, при покраске деталей автомобиля); см. задачу о кратчайшем пути
• коррекция геодезического кратчайшего пути (GSP) по реконструкции поверхности Пуассона (например, в цифровой стоматологии ); без реконструкции GSP часто возникают самопересечения внутри поверхности

Смотрите также

• Введение в математику общей теории относительности
• Соотношение Клеро  – Формула в классической дифференциальной геометрииPages displaying short descriptions of redirect targets
• Дифференцируемая кривая  – Изучение кривых с дифференциальной точки зрения.
• Дифференциальная геометрия поверхностей
• Геодезический круг
• Теорема Хопфа–Ринова  – дает эквивалентные утверждения о геодезической полноте римановых многообразий.
• Внутренняя метрика  – Концепция в геометрии/топологии
• Изотропная линия  – линия, вдоль которой квадратичная форма, примененная к смещению любых двух точек, равна нулю.
• поле Якоби
• Теория Морса  – анализирует топологию многообразия путем изучения дифференцируемых функций на этом многообразии.
• Поверхность Цолля  – Поверхность, гомеоморфная сфере
• Задача о пауке и мухе  – Задача занимательной геодезии

Примечания

1. Для псевдориманова многообразия , например, лоренцева многообразия , определение более сложное.
2. Путь представляет собой локальный максимум интервала k, а не локальный минимум.

Ссылки

1. "geodesic". Lexico UK English Dictionary . Oxford University Press . Архивировано из оригинала 2020-03-16.
2. "геодезический". Словарь Merriam-Webster.com . Merriam-Webster.
3. Митчелл, Дж.; Маунт, Д.; Пападимитриу, К. (1987). «Дискретная геодезическая задача». Журнал SIAM по вычислениям . 16 (4): 647–668. doi :10.1137/0216045.
4. Kimmel, R.; Sethian, JA (1998). "Вычисление геодезических путей на многообразиях" (PDF) . Труды Национальной академии наук . 95 (15): 8431–8435. Bibcode :1998PNAS...95.8431K. doi : 10.1073/pnas.95.15.8431 . PMC 21092 . PMID  9671694. Архивировано (PDF) из оригинала 2022-10-09. 
5. Крейн, К.; Вайшедель, К.; Вардецки, М. (2017). «Метод тепла для вычисления расстояния». Сообщения ACM . 60 (11): 90–99. doi :10.1145/3131280. S2CID  7078650.
6. Майкл Стивенс (2 ноября 2017 г.), [1] .

• Спивак, Майкл (1999), Всестороннее введение в дифференциальную геометрию (том 2) , Хьюстон, Техас: Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-71-3

Дальнейшее чтение

• Адлер, Рональд; Базен, Морис; Шиффер, Менахем (1975), Введение в общую теорию относительности (2-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-000423-8. См. главу 2 .
• Абрахам, Ральф Х.; Марсден , Джерролд Э. (1978), Основы механики , Лондон: Benjamin-Cummings, ISBN 978-0-8053-0102-1. См. раздел 2.7 .
• Йост, Юрген (2002), Риманова геометрия и геометрический анализ , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-42627-1. См. раздел 1.4 .
• Кобаяси, Сёсичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии , т. 1 (новое издание), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3.
• Ландау, Л. Д.; Лифшиц , Э. М. (1975), Классическая теория полей , Оксфорд: Pergamon, ISBN 978-0-08-018176-9. См. раздел 87 .
• Мизнер, Чарльз В.; Торн , Кип ; Уилер, Джон Арчибальд (1973), Гравитация , WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0
• Ортин, Томас (2004), Гравитация и струны , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-82475-0. Обратите особое внимание на страницы 7 и 10.
• Волков, Ю.А. (2001) [1994], "Геодезическая линия", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС.
• Вайнберг, Стивен (1972), Гравитация и космология: принципы и приложения общей теории относительности , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-92567-5. См. главу 3 .

Внешние ссылки

• Возвращаясь к геодезии — Введение в геодезию, включая два способа вывода уравнения геодезической с приложениями в геометрии (геодезическая на сфере и на торе ), механике ( брахистохрона ) и оптике (световой луч в неоднородной среде).
• Полностью геодезическое подмногообразие в Атласе многообразий