Математическая константа

Фиксированный номер, получивший имя

Длина окружности диаметром 1 равна π .

Математическая константа — это ключевое число , значение которого фиксируется однозначным определением, которое часто обозначается специальным символом (например, буквой алфавита ) или именами математиков, чтобы облегчить его использование в различных математических задачах . ^[1] Константы возникают во многих областях математики , причем такие константы, как e и π, встречаются в таких разнообразных контекстах, как геометрия , теория чисел , статистика и исчисление .

Некоторые константы возникают естественным образом на основании фундаментального принципа или внутреннего свойства, например, отношения длины окружности к диаметру ( π ). Другие константы примечательны больше по историческим причинам, чем по своим математическим свойствам. Наиболее популярные константы изучались на протяжении веков и вычислялись с точностью до многих десятичных знаков.

Все названные математические константы являются определяемыми числами и обычно также являются вычислимыми числами ( константа Чайтина является существенным исключением).

Основные математические константы

Это константы, с которыми можно столкнуться во время довузовского образования во многих странах.

Постоянная Архимеда π

Константа π (пи) имеет естественное определение в евклидовой геометрии как отношение длины окружности к диаметру круга. Его можно найти во многих других местах математики: например, в интеграле Гаусса , комплексных корнях из единицы и распределениях Коши по вероятности . Однако его повсеместное распространение не ограничивается чистой математикой. Он появляется во многих формулах физики, а некоторые физические константы наиболее естественно определяются с помощью π или без учета его обратной величины. Например, волновая функция основного состояния атома водорода равна

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {\pi {a_{0}}^{3}}}}e^{-r/a_{0}},}$

где радиус Бора . ${\displaystyle a_{0}}$

π — иррациональное число и трансцендентное число .

Числовое значение π примерно равно 3,1415926536 (последовательность A000796 в OEIS ). Запоминание все более точных цифр числа π — это мировой рекорд.

Мнимая единица i

Мнимая единица i на комплексной плоскости . Действительные числа лежат на горизонтальной оси, а мнимые числа лежат на вертикальной оси.

Мнимая единица или единица мнимого числа , обозначаемая как i , представляет собой математическое понятие, которое расширяет действительную систему счисления до комплексной системы счисления. Основное свойство мнимой единицы состоит в том, что i ² = −1 . Термин « мнимый » был придуман потому, что не существует ( действительного ) числа, имеющего отрицательный квадрат . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

На самом деле существует два комплексных квадратных корня из −1, а именно i и −i , точно так же, как есть два комплексных квадратных корня из любого другого действительного числа (кроме нуля , которое имеет один двойной квадратный корень).

В контекстах, где символ i неоднозначен или проблематичен, иногда используется j или греческая йота ( ι ). Это особенно актуально в электротехнике и системах управления , где мнимая единица часто обозначается j , поскольку i обычно используется для обозначения электрического тока .

Число Эйлера e

Экспоненциальный рост (зеленый) описывает многие физические явления.

Число Эйлера e , также известное как константа экспоненциального роста , встречается во многих областях математики, и одним из возможных его определений является значение следующего выражения:

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

Константа e неразрывно связана с показательной функцией . ${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$

Швейцарский математик Якоб Бернулли обнаружил, что е возникает при сложных процентах : если счет начинается с 1 доллара и приносит проценты по годовой ставке R , то, поскольку количество периодов начисления сложных процентов в году стремится к бесконечности (ситуация, известная как непрерывное начисление сложных процентов ), сумма денег в конце года приблизится к е ^R долларов.

Константа е также имеет приложения в теории вероятностей , где она возникает способом, явно не связанным с экспоненциальным ростом. В качестве примера предположим, что в игровой автомат с вероятностью выигрыша один из n играют n раз, тогда для больших n (например, одного миллиона) вероятность того, что ничего не будет выиграно, будет стремиться к 1/ e , поскольку n стремится к бесконечность.

Другое применение е , открытое частично Якобом Бернулли вместе с французским математиком Пьером Раймоном де Монмором , находится в задаче о расстройствах , также известной как проблема проверки шляпы . ^[2] Здесь на вечеринку приглашаются n гостей, и у дверей каждый гость проверяет свою шляпу у дворецкого, который затем складывает ее в маркированные коробки. Дворецкий не знает имен гостей и поэтому должен раскладывать их по ящикам, выбранным наугад. Задача де Монмора состоит в следующем: какова вероятность того, что ни одна шляпа не окажется в нужной коробке. Ответ

${\displaystyle p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +(-1)^{n}{\frac {1}{n!}}}$

которое при стремлении n к бесконечности приближается к 1/ e .

е — иррациональное число .

Числовое значение e составляет примерно 2,7182818284 (последовательность A001113 в OEIS ).

Константа Пифагора √ 2

Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы прямоугольного треугольника с длиной катета 1.

Квадратный корень из 2 , часто известный как корень 2 , радикал 2 или константа Пифагора и записываемый как √ 2 , является положительным алгебраическим числом , которое при умножении само на себя дает число 2 . Точнее, его называют главным квадратным корнем из 2 , чтобы отличить его от отрицательного числа с тем же свойством.

Геометрически квадратный корень из 2 — это длина диагонали квадрата со сторонами в одну единицу длины ; это следует из теоремы Пифагора . Вероятно, это было первое известное число иррационально . Его числовое значение , усеченное до 65 десятичных знаков , равно:

1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799... (последовательность A002193 в OEIS ).

Квадратный корень из 2.

Альтернативно, быстрое приближение 99/70 (≈ 1,41429) для квадратного корня из двух часто использовалось до широкого использования электронных калькуляторов и компьютеров . Несмотря на то, что знаменатель равен всего 70, оно отличается от правильного значения менее чем на 1/10 000 (приблизительно 7,2 × 10  ^-5 ).

Константа Теодора √ 3

Числовое значение √ 3 примерно равно 1,7320508075 (последовательность A002194 в OEIS ).

Константы в высшей математике

Это константы, которые часто встречаются в высшей математике .

Константы Фейгенбаума α и δ

Бифуркационная диаграмма логистической карты.

Итерации непрерывных отображений служат простейшими примерами моделей динамических систем . ^[3] Названные в честь физика-математика Митчелла Фейгенбаума , две константы Фейгенбаума появляются в таких итерационных процессах: они являются математическими инвариантами логистических карт с квадратичными точками максимума ^[4] и их бифуркационных диаграмм . В частности, константа α представляет собой отношение ширины зубца к ширине одного из двух его подзубцов, а константа δ представляет собой предельное отношение каждого интервала бифуркации к следующему между каждой бифуркацией удвоения периода .

Логистическая карта — это полиномиальное отображение, которое часто называют архетипическим примером того, как хаотическое поведение может возникнуть из очень простых нелинейных динамических уравнений. Карта была популяризирована в основополагающей статье 1976 года австралийского биолога Роберта Мэя [ ^5] частично как демографическая модель дискретного времени, аналогичная логистическому уравнению, впервые созданному Пьером Франсуа Верхюльстом . Разностное уравнение предназначено для отражения двух эффектов воспроизводства и голода.

Числовое значение α составляет примерно 2,5029. Числовое значение δ составляет примерно 4,6692.

Константа Апери ζ(3)

Константа Апери представляет собой сумму ряда

$${\displaystyle \zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots }$$

иррациональное число

Несмотря на то , что константа Апери является особым значением дзета-функции Римана , она естественным образом возникает в ряде физических задач, в том числе в терминах гиромагнитного отношения второго и третьего порядка электрона , вычисляемых с помощью квантовой электродинамики . ^[6]

Золотое сечение φ

Золотые прямоугольники в правильном икосаэдре

${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}}$

Явная формула для n- го числа Фибоначчи , включающая золотое сечение φ .

Число φ , также называемое золотым сечением , часто встречается в геометрии , особенно в фигурах с пятиугольной симметрией . Действительно, длина диагонали правильного пятиугольника равна φ , умноженной на его сторону. Вершины правильного икосаэдра — это вершины трёх взаимно ортогональных золотых прямоугольников . Также он появляется в последовательности Фибоначчи , связанной с ростом рекурсией . ^[7] Кеплер доказал, что это предел отношения последовательных чисел Фибоначчи. ^[8] Золотое сечение имеет самую медленную сходимость среди всех иррациональных чисел. ^[9] По этой причине это один из худших случаев аппроксимационной теоремы Лагранжа и экстремальный случай неравенства Гурвица для диофантовых приближений . Возможно, поэтому при филлотаксисе (росте растений) часто возникают углы, близкие к золотому сечению. ^[10] Оно приблизительно равно 1,6180339887498948482, или, точнее, 2⋅sin(54°) = ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}$

Константа Эйлера–Машерони γ

Площадь между двумя кривыми (красная) стремится к пределу, а именно к константе Эйлера-Машерони.

Константа Эйлера -Машерони определяется как следующий предел:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left(\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)-\ln n\right)\\[5px]\end{aligned}}}$

Константа Эйлера-Машерони появляется в третьей теореме Мертенса и имеет отношение к гамма-функции , дзета-функции и многим различным интегралам и рядам .

Пока неизвестно, рационально это или нет. ${\displaystyle \gamma }$

Числовое значение составляет примерно 0,57721. ${\displaystyle \gamma }$

Постоянная Конвея λ

${\displaystyle {\begin{matrix}1\\11\\21\\1211\\111221\\312211\\\vdots \end{matrix}}}$

Последовательность взглядов Конвея

Константа Конвея — это инвариантная скорость роста всех производных строк, аналогичная последовательности «посмотри и скажи» (за исключением одной тривиальной). ^[11]

Он задается уникальным положительным действительным корнем многочлена степени 71 с целыми коэффициентами. ^[11]

Значение λ составляет примерно 1,30357.

Постоянная Хинчина K

Если действительное число r записать в виде простой цепной дроби :

${\displaystyle r=a_{0}+{\dfrac {1}{a_{1}+{\dfrac {1}{a_{2}+{\dfrac {1}{a_{3}+\cdots }}}}}},}$

где a _k — натуральные числа для всех k , то, как доказал в 1934 году русский математик Александр Хинчин, предел при стремлении n к бесконечности среднего геометрического : ( a 1 a ₂ ... _an ) 1 _/ ^{n существует} и — константа, константа Хинчина , за исключением набора меры 0. ^[12]

Числовое значение K составляет примерно 2,6854520010.

Константа Глейшера–Кинкелина A

Константа Глейшера -Кинкелина определяется как предел :

${\displaystyle A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\prod _{k=1}^{n}k^{k}}{n^{n^{2}/2+n/2+1/12}e^{-n^{2}/4}}}}$

Он появляется в некоторых выражениях производной дзета-функции Римана . Его числовое значение составляет примерно 1,2824271291.

Математические курьезы и неуказанные константы

Простые представители наборов чисел

Эта вавилонская глиняная табличка дает приблизительное выражение квадратного корня из 2 в четырех шестидесятеричных цифрах: 1; 24, 51, 10, что соответствует примерно шести десятичным знакам. ^[13]

${\displaystyle c=\sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0.\underbrace {\overbrace {110001} ^{3!{\text{ digits}}}000000000000000001} _{4!{\text{ digits}}}000\dots }$

Константа Лиувилля — простой пример трансцендентного числа .

Некоторые константы, такие как квадратный корень из 2 , константа Лиувилля и константа Чамперноуна :

${\displaystyle C_{10}=0.{\color {blue}{1}}2{\color {blue}{3}}4{\color {blue}{5}}6{\color {blue}{7}}8{\color {blue}{9}}10{\color {blue}{11}}12{\color {blue}{13}}14{\color {blue}{15}}16\dots }$

не являются важными математическими инвариантами, но сохраняют интерес, будучи простыми представителями специальных наборов чисел, иррациональных чисел , ^[14], трансцендентных чисел ^[15] и нормальных чисел (в базе 10) ^[16] соответственно. Открытие иррациональных чисел обычно приписывают пифагорейцу Гиппасу из Метапонта , который доказал, скорее всего, геометрически, иррациональность квадратного корня из 2. Что касается константы Лиувилля, названной в честь французского математика Жозефа Лиувилля , то это было первое число, которое было найдено. доказано, что оно трансцендентно. ^[17]

Постоянная Чайтина Ω

В подобласти информатики алгоритмической теории информации константа Чайтина — это действительное число, представляющее вероятность того, что случайно выбранная машина Тьюринга остановится, сформированное на основе конструкции аргентинско - американского математика и ученого-компьютерщика Грегори Чайтина . Было доказано , что константа Чайтина, хотя и не поддается вычислению , является трансцендентной и нормальной . Константа Чайтина не является универсальной и сильно зависит от числового кодирования, используемого в машинах Тьюринга; однако его интересные свойства не зависят от кодировки.

Неуказанные константы

Если константы не указаны, они обозначают классы подобных объектов, обычно функций, все равные с точностью до константы — технически говоря, это можно рассматривать как «сходство с точностью до константы». Такие константы часто появляются при работе с интегралами и дифференциальными уравнениями . Хотя они и не указаны, они имеют определенное значение, которое часто не имеет значения.

Решения с разными константами интегрирования . ${\displaystyle y'(x)=-2y+e^{-x}}$

В интегралах

Неопределенные интегралы называются неопределенными, потому что их решения единственны только с точностью до константы. Например, при работе над полем действительных чисел

${\displaystyle \int \cos x\ dx=\sin x+C}$

где C , константа интегрирования , — произвольное фиксированное действительное число. ^[18] Другими словами, каким бы ни было значение C , дифференцирование sin x + C по x всегда дает cos x .

В дифференциальных уравнениях

Аналогичным образом константы появляются в решениях дифференциальных уравнений , где задано недостаточно начальных значений или граничных условий . Например, обыкновенное дифференциальное уравнение y ^'  =  y ( x ) имеет решение Ce ^x , где C — произвольная константа.

При работе с уравнениями в частных производных константы могут быть функциями , постоянными по отношению к некоторым переменным (но не обязательно ко всем из них). Например, ПДЭ

${\displaystyle {\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}=0}$

имеет решения f ( x , y ) =  C ( y ), где C ( y ) — произвольная функция от переменной  y .

Обозначения

Представление констант

Числовое значение константы принято выражать, указывая ее десятичное представление (или только первые несколько ее цифр). По двум причинам такое представление может вызвать проблемы. Во-первых, хотя все рациональные числа имеют конечное или постоянно повторяющееся десятичное разложение, иррациональные числа не имеют такого выражения, что делает невозможным их полное описание таким способом. Кроме того, десятичное представление числа не обязательно уникально. Например, два представления 0,999... и 1 эквивалентны ^{[19] [20]} в том смысле, что они представляют одно и то же число.

Вычисление цифр десятичного разложения констант было обычным делом на протяжении многих столетий. Например, немецкий математик Людольф ван Цейлен из 16 века посвятил большую часть своей жизни вычислению первых 35 цифр числа Пи. ^[21] С помощью компьютеров и суперкомпьютеров некоторые математические константы, в том числе π, e и квадратный корень из 2, были вычислены до более чем ста миллиардов цифр. Были разработаны быстрые алгоритмы , некоторые из которых — что касается константы Апери — оказались неожиданно быстрыми.

${\displaystyle G=\left.{\begin{matrix}3\underbrace {\uparrow \ldots \uparrow } 3\\\underbrace {\vdots } \\3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3\end{matrix}}\right\}{\text{64 layers}}}$

Число Грэма , определенное с помощью обозначения стрелки вверх Кнута .

Некоторые константы настолько отличаются от обычного вида, что для их разумного представления были изобретены новые обозначения. Число Грэма иллюстрирует это, поскольку используется обозначение Кнута со стрелкой вверх . ^{[22] [23]}

Может быть интересно представить их с помощью цепных дробей для проведения различных исследований, включая статистический анализ. Многие математические константы имеют аналитическую форму , то есть их можно построить с помощью известных операций, которые легко поддаются вычислению. Однако не все константы имеют известные аналитические формы; Примерами являются константа Гроссмана ^[24] и константа Фойаса ^{[25] .}

Обозначение и наименование констант

Обозначение констант буквами является частым способом сделать обозначения более краткими. Распространенное соглашение , инициированное Рене Декартом в 17 веке и Леонардом Эйлером в 18 веке, заключается в использовании строчных букв из начала латинского алфавита или греческого алфавита при работе с константами в целом. ${\displaystyle a,b,c,\dots }$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\,\gamma ,\dots }$

Однако для более важных констант символы могут быть более сложными и иметь дополнительную букву, звездочку , цифру, лемнискату или использовать другие алфавиты, такие как иврит , кириллица или готика . ^[23]

Константа Эрдеша–Борвейна, константа Эмбри–Трефетена , константа Брюна для простых близнецов , константы Чамперноуна , кардинальное число, алеф, ноль. ${\displaystyle E_{B}}$
${\displaystyle \beta ^{*}}$
${\displaystyle B_{2}}$
${\displaystyle C_{b}}$
${\displaystyle \aleph _{0}}$

Примеры различных видов записи констант.

Иногда символ, обозначающий константу, представляет собой целое слово. Например, 9-летний племянник американского математика Эдварда Каснера придумал названия гугол и гуголплекс . ^{[23] [26]}

${\displaystyle \mathrm {googol} =10^{100}\,\ ,\ \mathrm {googolplex} =10^{\mathrm {googol} }=10^{10^{100}}}$

Другие названия связаны либо со значением константы ( универсальная параболическая константа , константа простого близнеца , ...), либо с конкретным человеком ( константа Серпинского , константа Джозефсона и так далее).

Универсальная параболическая константа — это отношение для любой параболы длины дуги параболического сегмента (красный) , образованного широкой прямой кишкой (синий), к фокальному параметру (зеленый).

Избранные математические константы

Использованные сокращения:

R – Рациональное число , I – Иррациональное число (может быть алгебраическим или трансцендентным), A – Алгебраическое число (иррациональное), T – Трансцендентное число

Gen – Общее , NuT – Теория чисел , ChT – Теория хаоса , Com – Комбинаторика , Inf – Теория информации , Ana – Математический анализ

Смотрите также

• Инвариант (математика)
• Список математических символов
• Список номеров
• Физическая константа

Примечания

1. Вайсштейн, Эрик В. «Константа». mathworld.wolfram.com . Проверено 8 августа 2020 г.
2. Гринстед, CM; Снелл, Дж.Л. «Введение в теорию вероятностей». п. 85. Архивировано из оригинала 27 июля 2011 г. Проверено 9 декабря 2007 г.
3. Колле и Экманн (1980). Итерационные отображения на интервале как динамические системы . Биркгаузер. ISBN 3-7643-3026-0.
4. Финч, Стивен (2003). Математические константы . Издательство Кембриджского университета . п. 67. ИСБН 0-521-81805-2.
5. Мэй, Роберт (1976). Теоретическая экология: принципы и приложения . Научные издательства Блэквелл. ISBN 0-632-00768-0.
6. Стивен Финч. «Константа Апери». Математический мир .
7. Ливио, Марио (2002). Золотое сечение: история Фи, самого удивительного числа в мире. Нью-Йорк: Бродвейские книги. ISBN 0-7679-0815-5.
8. Татерсолл, Джеймс (2005). Элементарная теория чисел в девяти главах (2-е изд .
9. "Тайная жизнь непрерывных дробей"
10. Числа Фибоначчи и природа - Часть 2: Почему золотое сечение является «лучшим» расположением?, из книги доктора Рона Нотта «Числа Фибоначчи и золотое сечение», получено 29 ноября 2012 г.
11. Стивен Финч. «Константа Конвея». Математический мир .
12. Стивен Финч. «Константа Хинчина». Математический мир .
13. Фаулер, Дэвид ; Элеонора Робсон (ноябрь 1998 г.). «Приближения квадратного корня в древневавилонской математике: YBC 7289 в контексте». История Математики . 25 (4): 368. doi : 10.1006/hmat.1998.2209 .
    Фотография, иллюстрация и описание таблички root(2) из ​​Йельской вавилонской коллекции
    Фотографии, описания и анализ таблички root(2) (YBC 7289) в высоком разрешении из Йельской вавилонской коллекции.
14. Богомольный, Александр . «Квадратный корень из 2 иррационален».
15. Обри Дж. Кемпнер (октябрь 1916 г.). «О трансцендентных числах». Труды Американского математического общества . Труды Американского математического общества, Vol. 17, № 4. 17 (4): 476–482. дои : 10.2307/1988833 . JSTOR  1988833.
16. Чамперноун, Дэвид (1933). «Построение нормальных десятичных дробей в десятичной шкале». Журнал Лондонского математического общества . 8 (4): 254–260. doi : 10.1112/jlms/s1-8.4.254.
17. Вайсштейн, Эрик В. «Константа Лиувилля». Математический мир .
18. Эдвардс, Генри; Дэвид Пенни (1994). Исчисление с аналитической геометрией (4е изд.). Прентис Холл. п. 269. ИСБН 0-13-300575-5.
19. Рудин, Уолтер (1976) [1953]. Принципы математического анализа (3е изд.). МакГроу-Хилл. с.61 теорема 3.26. ISBN 0-07-054235-Х.
20. Стюарт, Джеймс (1999). Исчисление: ранние трансцендентальные теории (4-е изд.). Брукс/Коул. п. 706. ИСБН 0-534-36298-2.
21. Людольф ван Сеулен. Архивировано 7 июля 2015 г. в Wayback Machine - биография в архиве истории математики MacTutor.
22. Кнут, Дональд (1976). «Математика и информатика: борьба с конечностью. Развитие наших способностей к вычислениям существенно приближает нас к предельным ограничениям». Наука . 194 (4271): 1235–1242. дои : 10.1126/science.194.4271.1235. PMID  17797067. S2CID  1690489.
23. «математические константы». Архивировано из оригинала 7 сентября 2012 г. Проверено 27 ноября 2007 г.
24. Вайсштейн, Эрик В. «Постоянная Гроссмана». Математический мир .
25. Вайсштейн, Эрик В. «Константа Фоиаса». Математический мир .
26. Эдвард Каснер и Джеймс Р. Ньюман (1989). Математика и воображение . Майкрософт Пресс . п. 23.
27. Александр Дж. Йи. «y-cruncher - многопоточная программа Pi». NumberWorld.org . Проверено 14 марта 2020 г.
28. Александр Дж. Йи. «Рекорды, установленные y-cruncher». NumberWorld.org . Проверено 14 марта 2020 г.
29. Роджерс, Брэд; Тао, Теренс (2018). «Константа Де Брейна-Ньюмана неотрицательна». arXiv : 1801.05914 [math.NT].(препринт)
30. «Константа Де Брейна-Ньюмана неотрицательна» . 19 января 2018 года . Проверено 19 января 2018 г.(анонсирующий пост)
31. Polymath, DHJ (2019), «Эффективное приближение эволюции теплового потока ξ-функции Римана и новая верхняя оценка константы де Брейна-Ньюмана», Research in the Mathematical Sciences , 6 (3), arXiv : 1904.12438 , Bibcode : 2019arXiv190412438P, doi : 10.1007/s40687-019-0193-1, S2CID  139107960
32. Платт, Дэйв; Трудджиан, Тим (2021). «Гипотеза Римана верна до 3·1012». Бюллетень Лондонского математического общества . 53 (3): 792–797. arXiv : 2004.09765 . дои : 10.1112/blms.12460. S2CID  234355998.(препринт)
33. Вайсштейн, Эрик В. «Константа Бернштейна». Математический мир .
34. Вайсштейн, Эрик В. «Постоянная Бэкхауса». Математический мир .
35. Вайсштейн, Эрик В. «Константа Портера». Математический мир .
36. Вайсштейн, Эрик В. «Ледяная постоянная на площади Либа». Математический мир .
37. Вайсштейн, Эрик В. «Взаимная константа Фибоначчи». Математический мир .

Внешние ссылки

• Константы – из Wolfram MathWorld
• Обратный символьный калькулятор (CECM, ISC) (рассказывает, как данное число можно составить из математических констант)
• Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей (OEIS)
• Инвертор Симона Плуффа
• Страница математических констант Стивена Финча (сломанная ссылка)
• Стивен Р. Финч, «Математические константы», Энциклопедия математики и ее приложений , Cambridge University Press (2003).
• Страница чисел, математических констант и алгоритмов Ксавье Гурдона и Паскаля Себаха