Поток (математика)

Течение в фазовом пространстве , заданное дифференциальным уравнением маятника . По горизонтальной оси — положение маятника, по вертикальной — его скорость.

В математике поток формализует представление о движении частиц в жидкости. Потоки широко распространены в науке, включая инженерию и физику . Понятие потока является основой изучения обыкновенных дифференциальных уравнений . Неформально поток можно рассматривать как непрерывное движение точек во времени. Более формально поток — это групповое действие действительных чисел на множестве .

Идея векторного потока , то есть потока, определяемого векторным полем , встречается в областях дифференциальной топологии , римановой геометрии и групп Ли . Конкретные примеры векторных потоков включают геодезический поток , гамильтонов поток , поток Риччи , поток средней кривизны и потоки Аносова . Потоки могут быть также определены для систем случайных величин и случайных процессов и встречаются при изучении эргодических динамических систем . Самым знаменитым из них, пожалуй, является поток Бернулли .

Формальное определение

Поток на множестве $X$ — это групповое действие аддитивной группы действительных чисел на $X.$ Более явно, поток — это отображение

\varphi:X\times \mathbb {R} \to X

такой, что для всех x $\in X и$ всех действительных чисел $s$ и $t$

{\begin{aligned}&\varphi (x,0)=x;\\&\varphi (\varphi (x,t),s)=\varphi (x,s+t).\end{ выровнено}}

Принято писать $φ t (x)$ вместо $φ (x, t)$ , так что приведенные выше уравнения можно выразить как ( функция тождества ) и (групповой закон). Тогда для всех отображение является биекцией с обратным. Это следует из приведенного выше определения, и вещественный параметр $t$ может быть взят как обобщенная функциональная степень , как в функции итерации . $\varphi ^{0}={\text{Id}}$ $\varphi ^{s} \circ \varphi ^{t} = \varphi ^{s+t}$ ${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R},}$ $\varphi ^{t}:X\to X$ $\varphi ^{-t}:X\to X.$

Обычно требуется, чтобы потоки были совместимы со структурами , заданными на множестве $X.$ В частности, если $X$ оснащен топологией , то обычно требуется, чтобы $φ была$ непрерывной . Если $X$ наделено дифференцируемой структурой , то обычно требуется, чтобы $φ$ была дифференцируемой . В этих случаях поток образует однопараметрическую группу гомеоморфизмов и диффеоморфизмов соответственно.

В определенных ситуациях можно также рассмотретьлокальный поток s, которые определены только в некотором подмножестве

\mathrm {dom} (\varphi)=\{(x,t)\ |\ t\in [a_{x},b_{x}],\ a_{x}<0<b_{x} ,\ x\in X\}\subset X\times \mathbb {R}

называетсяобласть теченияφ $.$ Так часто бывает спотоками векторных полей.

Альтернативные обозначения

Во многих областях, включая инженерию , физику и изучение дифференциальных уравнений , очень распространено использование обозначений, которые делают поток неявным. Таким образом, $x (t)$ записано для и можно сказать, что переменная x $зависит$ от времени $t$ и начального условия $x$ $=$ $x0$ $.$ Примеры приведены ниже. $\varphi ^{t}(x_{0}),$

В случае потока векторного поля $V$ на гладком многообразии $X$ поток часто обозначается так, что его генератор делается явным. Например,

\Phi _{V}\colon X\times \mathbb {R} \to X;\qquad (x,t)\mapsto \Phi _{V}^{t}(x).

Орбиты

Учитывая $x$ в $X$ , набор называется орбитой x $относительно$ φ $.$ Неформально ее можно рассматривать как траекторию частицы, которая первоначально находилась в точке $x$ . Если поток порождается векторным полем , то его орбиты являются изображениями его интегральных кривых . $\{\varphi (x,t):t\in \mathbb {R} \}$

Примеры

Алгебраическое уравнение

Пусть – нестационарная траектория, которая является биективной функцией. Тогда поток можно определить как $f:\mathbb {R} \to X$

\varphi (x,t)=f(t+f^{-1}(x)).

Автономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Пусть – (независимое от времени) векторное поле и решение начальной задачи ${\boldsymbol {F}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ ${\boldsymbol {x}}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$

{\dot {\boldsymbol {x}}}(t)={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}}(t)),\qquad {\boldsymbol {x}}(0) = {\boldsymbol {x}}_ {0}.

Тогда – поток векторного поля $F$ . Это вполне определенный локальный поток при условии, что векторное поле липшицево -непрерывно . Тогда также липшицево-непрерывно везде, где оно определено. В общем, может быть трудно показать, что поток $φ$ определен глобально, но есть один простой критерий: векторное поле $F$ имеет компактный носитель . $\varphi ({\boldsymbol {x}}_{0},t) = {\boldsymbol {x}}(t)$ ${\boldsymbol {F}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ $\varphi:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$

Нестационарные обыкновенные дифференциальные уравнения

В случае векторных полей, зависящих от времени , обозначается где находится решение ${\boldsymbol {F}}:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ $\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}) = {\boldsymbol {x}}(t+t_{0}),$ ${\boldsymbol {x}}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$

{\dot {\boldsymbol {x}}}(t)={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}}(t),t),\qquad {\boldsymbol {x}}(t_{0})={\boldsymbol {x}}_{0}.

Тогда это зависящий от времени поток $F$ . Это не «поток» по приведенному выше определению, но его легко можно рассматривать как таковой, переставив его аргументы. А именно, отображение $\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0})$

\varphi \colon (\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} )\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ;\qquad \varphi (({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0}),t)=(\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),t+t_{0})

действительно удовлетворяет групповому закону для последней переменной:

{\begin{aligned}\varphi (\varphi (({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0}),t),s)&=\varphi ((\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),t+t_{0}),s)\\&=(\varphi ^{s,t+t_{0}}(\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0})),s+t+t_{0})\\&=(\varphi ^{s,t+t_{0}}({\boldsymbol {x}}(t+t_{0})),s+t+t_{0})\\&=({\boldsymbol {x}}(s+t+t_{0}),s+t+t_{0})\\&=(\varphi ^{s+t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),s+t+t_{0})\\&=\varphi (({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0}),s+t).\end{aligned}}

Потоки векторных полей, зависящие от времени, можно рассматривать как частные случаи независимых от времени с помощью следующего приема. Определять

{\boldsymbol {G}}({\boldsymbol {x}},t):=({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}},t),1),\qquad {\boldsymbol {y}}(t):=({\boldsymbol {x}}(t+t_{0}),t+t_{0}).

Тогда $y (t)$ является решением «независимой от времени» задачи начального значения.

{\dot {\boldsymbol {y}}}(s)={\boldsymbol {G}}({\boldsymbol {y}}(s)),\qquad {\boldsymbol {y}}(0)=({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0})

тогда и только тогда, когда $x (t)$ является решением исходной нестационарной задачи начального значения. Более того, тогда отображение $φ$ является в точности потоком «независимого от времени» векторного поля $G$ .

Потоки векторных полей на многообразиях

Потоки нестационарных и нестационарных векторных полей определяются на гладких многообразиях точно так же, как они определены в евклидовом пространстве, и их локальное поведение одинаково. Однако глобальная топологическая структура гладкого многообразия сильно проявляется в том, какие глобальные векторные поля оно может поддерживать, и потоки векторных полей на гладких многообразиях действительно являются важным инструментом дифференциальной топологии. Основная часть исследований динамических систем проводится на гладких многообразиях, которые в приложениях рассматриваются как «пространства параметров». $\mathbb {R} ^{n}$

Формально: Пусть – дифференцируемое многообразие . Пусть обозначает касательное пространство точки. Пусть – полное касательное многообразие; то есть, пусть ${\mathcal {M}}$ $\mathrm {T} _{p}{\mathcal {M}}$ $p\in {\mathcal {M}}.$ $\mathrm {T} {\mathcal {M}}$ $\mathrm {T} {\mathcal {M}}=\cup _{p\in {\mathcal {M}}}\mathrm {T} _{p}{\mathcal {M}}.$

f:\mathbb {R} \times {\mathcal {M}}\to \mathrm {T} {\mathcal {M}}

векторным полем

f

f

{\mathcal {M}}

t\in \mathbb {R}

p\in {\mathcal {M}}

f(t,p)\in \mathrm {T} _{p}{\mathcal {M}};

x\mapsto f(t,x)

I\subseteq \mathbb {R}

\phi :I\times {\mathcal {M}}\to {\mathcal {M}}

{\begin{aligned}\phi (0,x_{0})&=x_{0}&\forall x_{0}\in {\mathcal {M}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Big |}_{t=t_{0}}\phi (t,x_{0})&=f(t_{0},\phi (t_{0},x_{0}))&\forall x_{0}\in {\mathcal {M}},t_{0}\in I\end{aligned}}

Решения уравнения теплопроводности

Пусть $Ω$ — подобласть (ограниченная или нет) области (где $n —$ целое число). Обозначим через $Γ$ его границу (предполагаемую гладкой). Рассмотрим следующее уравнение теплопроводности на $Ω \times (0,$ $T$ $)$ для $T$ $> 0$ : $\mathbb {R} ^{n}$

{\begin{array}{rcll}u_{t}-\Delta u&=&0&{\mbox{ in }}\Omega \times (0,T),\\u&=&0&{\mbox{ on }}\Gamma \times (0,T),\end{array}}

со следующим начальным условием $u$ $(0) =$ $u$ $0$ в $Ω$ .

Уравнение $u = 0$ на $Γ \times (0, T)$ соответствует однородному граничному условию Дирихле. Математической постановкой этой проблемы может быть полугрупповой подход. Чтобы использовать этот инструмент, мы вводим неограниченный оператор $∆ D$ , определенный на своей области определения $L^{2}(\Omega )$

D(\Delta _{D})=H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )

(см. классические пространства Соболева с и $H^{k}(\Omega )=W^{k,2}(\Omega )$

H_{0}^{1}(\Omega )={\overline {C_{0}^{\infty }(\Omega )}}^{H^{1}(\Omega )}

есть замыкание бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в $Ω$ по норме). $H^{1}(\Omega )-$

Для любого у нас есть $v\in D(\Delta _{D})$

\Delta _{D}v=\Delta v=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}v~.

С помощью этого оператора уравнение теплопроводности принимает вид u $($ $0) =$ $u$ $0$ . Таким образом, поток, соответствующий этому уравнению, имеет вид (см. обозначения выше) $u'(t)=\Delta _{D}u(t)$

\varphi (u^{0},t)={\mbox{e}}^{t\Delta _{D}}u^{0},

где $exp(t ∆ D)$ — (аналитическая) полугруппа, порожденная $∆ D$ .

Решения волнового уравнения

Опять же, пусть $Ω$ — подобласть (ограниченная или нет) области (где $n —$ целое число). Обозначим через $Г$ его границу (предполагаемую гладкой). Рассмотрим следующее волновое уравнение (при $T$ $> 0$ ): $\mathbb {R} ^{n}$ $\Omega \times (0,T)$

{\begin{array}{rcll}u_{tt}-\Delta u&=&0&{\mbox{ in }}\Omega \times (0,T),\\u&=&0&{\mbox{ on }}\Gamma \times (0,T),\end{array}}

со следующими начальными условиями $u$ $(0) =$ $u$ $1,0$ в $Ω$ и $u_{t}(0)=u^{2,0}{\mbox{ in }}\Omega .$

Используя тот же полугрупповой подход, что и в случае с уравнением теплопроводности выше. Запишем волновое уравнение как уравнение в частных производных первого порядка по времени, введя следующий неограниченный оператор:

{\mathcal {A}}=\left({\begin{array}{cc}0&Id\\\Delta _{D}&0\end{array}}\right)

с включенной областью определения (оператор $Δ$ $D$ определен в предыдущем примере). $D({\mathcal {A}})=H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )\times H_{0}^{1}(\Omega )$ $H=H_{0}^{1}(\Omega )\times L^{2}(\Omega )$

Введем векторы-столбцы

U=\left({\begin{array}{c}u^{1}\\u^{2}\end{array}}\right)

(где и ) и $u^{1}=u$ $u^{2}=u_{t}$

U^{0}=\left({\begin{array}{c}u^{1,0}\\u^{2,0}\end{array}}\right).

С учетом этих понятий волновое уравнение принимает вид U $($ $0) =$ $U$ $0$ . $U'(t)={\mathcal {A}}U(t)$

Таким образом, поток, соответствующий этому уравнению, имеет вид

\varphi (U^{0},t)={\mbox{e}}^{t{\mathcal {A}}}U^{0}

где – (унитарная) полугруппа, порожденная ${\mbox{e}}^{t{\mathcal {A}}}$ ${\mathcal {A}}.$

Поток Бернулли

Эргодические динамические системы , то есть системы, демонстрирующие случайность, также демонстрируют потоки. Самым знаменитым из них, пожалуй, является поток Бернулли . Теорема Орнштейна об изоморфизме утверждает, что для любой заданной энтропии $H$ существует поток $φ (x, t)$ , называемый потоком Бернулли, такой, что поток в момент времени $t = 1$ , т.е. $φ$ $($ $x$ $, 1)$ , является потоком Бернулли . сдвиг .

Более того, этот поток уникален, вплоть до постоянного масштабирования времени. То есть, если $ψ$ $($ $x$ $,$ $t$ $)$ — другой поток с той же энтропией, то $ψ$ $($ $x$ $,$ $t$ $) =$ $φ$ $($ $x$ $,$ $t$ $)$ для некоторой константы $c$ . Понятие единственности и изоморфизма здесь есть понятие изоморфизма динамических систем . Многие динамические системы, в том числе бильярд Синая и потоки Аносова, изоморфны сдвигам Бернулли.