Секционная кривизна

В римановой геометрии секционная кривизна является одним из способов описания кривизны римановых многообразий . Секционная кривизна K (σ _p ) зависит от двумерного линейного подпространства σ _p касательного пространства в точке p многообразия. Ее можно определить геометрически как гауссову кривизну поверхности , которая имеет плоскость σ _p как касательную плоскость в точке p , полученную из геодезических , которые начинаются в точке p в направлениях σ _p (другими словами, образ σ _p при экспоненциальном отображении в точке p ). Секционная кривизна является действительной функцией на 2- грассмановом расслоении над многообразием.

Секционная кривизна полностью определяет тензор кривизны .

Определение

Учитывая риманово многообразие и два линейно независимых касательных вектора в одной и той же точке, u и v , мы можем определить

${\displaystyle K(u,v)={\langle R(u,v)v,u\rangle \over \langle u,u\rangle \langle v,v\rangle -\langle u,v\rangle ^{2}}}$

Здесь R — тензор кривизны Римана , определяемый здесь по соглашению Некоторые источники используют противоположное соглашение , в котором K(u,v) должен быть определен с в числителе вместо ^[1] ${\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w.}$ ${\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{[v,u]}w,}$ ${\displaystyle \langle R(u,v)u,v\rangle }$ ${\displaystyle \langle R(u,v)v,u\rangle .}$

Обратите внимание, что линейная независимость u и v заставляет знаменатель в приведенном выше выражении быть ненулевым, так что K(u,v) хорошо определено. В частности, если u и v ортонормальны , то определение принимает простую форму

${\displaystyle K(u,v)=\langle R(u,v)v,u\rangle .}$

Легко проверить, что если линейно независимы и охватывают то же двумерное линейное подпространство касательного пространства , что и , то поэтому можно рассматривать секционную кривизну как действительную функцию, входом которой является двумерное линейное подпространство касательного пространства. ${\displaystyle u,v\in T_{p}M}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle x,y\in T_{p}M}$ ${\displaystyle K(u,v)=K(x,y).}$

Альтернативные определения

Альтернативно, секционная кривизна может быть охарактеризована окружностью малых кругов. Пусть будет двумерной плоскостью в . Пусть для достаточно малого обозначим изображение при экспоненциальном отображении в единичной окружности в , и пусть обозначим длину . Тогда можно доказать, что ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle C_{P}(r)}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle l_{P}(r)}$ ${\displaystyle C_{P}(r)}$

${\displaystyle l_{P}(r)=2\pi r\left(1-{r^{2} \over 6}\sigma (P)+O(r^{3})\right),}$

как , для некоторого числа . Это число при есть секционная кривизна при . ^[2] ${\displaystyle r\to 0}$ ${\displaystyle \sigma (P)}$ ${\displaystyle \sigma (P)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p}$

Коллекторы с постоянной кривизной сечения

Говорят, что риманово многообразие имеет «постоянную кривизну », если для всех двумерных линейных подпространств и для всех ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \operatorname {sec} (P)=\kappa }$ ${\displaystyle P\subset T_{p}M}$ ${\displaystyle p\in M.}$

Лемма Шура утверждает , что если (M,g) — связное риманово многообразие размерности не менее трех, и если существует функция такая, что для всех двумерных линейных подпространств и для всех , то f должно быть постоянным, и, следовательно, (M,g) имеет постоянную кривизну. ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {sec} (P)=f(p)}$ ${\displaystyle P\subset T_{p}M}$ ${\displaystyle p\in M,}$

Риманово многообразие с постоянной секционной кривизной называется пространственной формой . Если обозначает постоянное значение секционной кривизны, то тензор кривизны можно записать как ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle R(u,v)w=\kappa {\big (}\langle v,w\rangle u-\langle u,w\rangle v{\big )}}$

для любого ${\displaystyle u,v,w\in T_{p}M.}$

Поскольку любая риманова метрика параллельна относительно своей связности Леви-Чивиты, это показывает, что тензор Римана любого пространства постоянной кривизны также параллелен. Тогда тензор Риччи задается как а скалярная кривизна равна В частности, любое пространство постоянной кривизны является эйнштейновым и имеет постоянную скалярную кривизну. ${\displaystyle \operatorname {Ric} =(n-1)\kappa g}$ ${\displaystyle n(n-1)\kappa .}$

Примеры моделей

Дано положительное число, определите ${\displaystyle a,}$

• ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{n},g_{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$быть стандартной римановой структурой
• ${\displaystyle \left(S^{n}(a),g_{S^{n}(a)}\right)}$быть сферой с заданным путем обратного копирования стандартной римановой структуры с помощью отображения включения ${\displaystyle S^{n}(a)\equiv \left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:|x|=a\right\}}$ ${\displaystyle g_{S^{n}(a)}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle S^{n}(a)\to \mathbb {R} ^{n+1}}$
• ${\displaystyle \left(H^{n}(a),g_{H^{n}(a)}\right)}$быть мячом с ${\displaystyle H^{n}(a)\equiv \left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x|<a\right\}}$ ${\displaystyle g_{H^{n}(a)}=a^{2}{\frac {{\bigl (}a^{2}-|x|{}^{2}{\bigr )}\left(dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}\right)-\left(x_{1}dx_{1}+\cdots +x_{n}dx_{n}\right)^{2}}{{\bigl (}a^{2}-|x|{}^{2}{\bigr )}^{2}}}.}$

В обычной терминологии эти римановы многообразия называются евклидовым пространством , n-сферой и гиперболическим пространством . Здесь суть в том, что каждое из них является полным связным гладким римановым многообразием с постоянной кривизной. Если быть точным, риманова метрика имеет постоянную кривизну 0, риманова метрика имеет постоянную кривизну и риманова метрика имеет постоянную кривизну ${\displaystyle g_{\mathbb {R} ^{n}}}$ ${\displaystyle g_{S^{n}(a)}}$ ${\displaystyle 1/a^{2},}$ ${\displaystyle g_{H^{n}(a)}}$ ${\displaystyle -1/a^{2}.}$

Более того, это «универсальные» примеры в том смысле, что если — гладкое, связное и односвязное полное риманово многообразие с постоянной кривизной, то оно изометрично одному из приведенных выше примеров; конкретный пример диктуется значением постоянной кривизны в соответствии с постоянными кривизнами приведенных выше примеров. ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle g,}$

Если — гладкое и связное полное риманово многообразие с постоянной кривизной, но не предполагается, что оно односвязно, то рассмотрим универсальное накрывающее пространство с римановой метрикой обратного протягивания Поскольку — по топологическим принципам накрывающее отображение, риманово многообразие локально изометрично , и поэтому оно является гладким, связным и односвязным полным римановым многообразием с той же постоянной кривизной, что и Тогда оно должно быть изометричным одному из приведенных выше модельных примеров. Обратите внимание, что преобразования палубы универсального накрытия являются изометриями относительно метрики ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \pi :{\widetilde {M}}\to M}$ ${\displaystyle \pi ^{\ast }g.}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle ({\widetilde {M}},\pi ^{\ast }g)}$ ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle g.}$ ${\displaystyle \pi ^{\ast }g.}$

Изучение римановых многообразий с постоянной отрицательной кривизной называется гиперболической геометрией .

Масштабирование

Пусть будет гладким многообразием, и пусть будет положительным числом. Рассмотрим риманово многообразие Тензор кривизны, как полилинейное отображение, не изменяется при этой модификации. Пусть будут линейно независимыми векторами в . Тогда ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle (M,\lambda g).}$ ${\displaystyle T_{p}M\times T_{p}M\times T_{p}M\to T_{p}M,}$ ${\displaystyle v,w}$ ${\displaystyle T_{p}M}$

${\displaystyle K_{\lambda g}(v,w)={\frac {\lambda g\left(R^{\lambda g}(v,w)w,v\right)}{|v|_{\lambda g}^{2}|w|_{\lambda g}^{2}-\langle v,w\rangle {\vphantom {|}}_{\lambda g}^{2}}}={\frac {1}{\lambda }}{\frac {g\left(R^{g}(v,w)w,v\right)}{|v|_{g}^{2}|w|_{g}^{2}-\langle v,w\rangle {\vphantom {|}}_{g}^{2}}}={\frac {1}{\lambda }}K_{g}(v,w).}$

Таким образом, умножение метрики на умножает все кривизны сечения на ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda ^{-1}.}$

Теорема Топоногова

Теорема Топоногова дает характеристику секционной кривизны в терминах того, как выглядят «толстые» геодезические треугольники по сравнению с их евклидовыми аналогами. Основная интуиция заключается в том, что если пространство положительно искривлено, то ребро треугольника, противоположное некоторой заданной вершине, будет иметь тенденцию изгибаться от этой вершины, тогда как если пространство отрицательно искривлено, то противоположное ребро треугольника будет иметь тенденцию изгибаться к вершине.

Точнее, пусть M будет полным римановым многообразием, а xyz — геодезическим треугольником в M (треугольником, каждая из сторон которого является геодезической, минимизирующей длину). Наконец, пусть m будет серединой геодезической xy . Если M имеет неотрицательную кривизну, то для всех достаточно малых треугольников

${\displaystyle d(z,m)^{2}\geq {\tfrac {1}{2}}d(z,x)^{2}+{\tfrac {1}{2}}d(z,y)^{2}-{\tfrac {1}{4}}d(x,y)^{2}}$

где d — функция расстояния на M. Случай равенства имеет место именно тогда, когда кривизна M обращается в нуль, а правая часть представляет собой расстояние от вершины до противоположной стороны геодезического треугольника в евклидовом пространстве, имеющего те же длины сторон, что и треугольник xyz . Это уточняет смысл, в котором треугольники «толще» в положительно искривленных пространствах. В неположительно искривленных пространствах неравенство имеет другой смысл:

${\displaystyle d(z,m)^{2}\leq {\tfrac {1}{2}}d(z,x)^{2}+{\tfrac {1}{2}}d(z,y)^{2}-{\tfrac {1}{4}}d(x,y)^{2}.}$

Если известны более строгие границы секционной кривизны, то это свойство обобщается, чтобы дать теорему сравнения между геодезическими треугольниками в M и треугольниками в подходящей односвязной пространственной форме; см. теорему Топоногова . Простые следствия изложенной здесь версии таковы:

• Полное риманово многообразие имеет неотрицательную секционную кривизну тогда и только тогда, когда функция является 1- вогнутой для всех точек p . ${\displaystyle f_{p}(x)=\operatorname {dist} ^{2}(p,x)}$
• Полное односвязное риманово многообразие имеет неположительную секционную кривизну тогда и только тогда, когда функция является 1- выпуклой . ${\displaystyle f_{p}(x)=\operatorname {dist} ^{2}(p,x)}$

Многообразия с неположительной кривизной сечения

В 1928 году Эли Картан доказал теорему Картана–Адамара : если M — полное многообразие с неположительной секционной кривизной, то его универсальное накрытие диффеоморфно евклидову пространству . В частности, оно асферично : гомотопические группы при i ≥ 2 тривиальны . Следовательно, топологическая структура полного многообразия неположительной кривизны определяется его фундаментальной группой . Теорема Прейсмана ограничивает фундаментальную группу компактных многообразий отрицательной кривизны. Гипотеза Картана–Адамара утверждает, что классическое изопериметрическое неравенство должно выполняться во всех односвязных пространствах неположительной кривизны, которые называются многообразиями Картана–Адамара . ${\displaystyle \pi _{i}(M)}$

Многообразия с положительной секционной кривизной

Мало что известно о структуре положительно искривленных многообразий. Теорема о душе (Cheeger & Gromoll 1972; Gromoll & Meyer 1969) подразумевает, что полное некомпактное неотрицательно искривленное многообразие диффеоморфно нормальному расслоению над компактным неотрицательно искривленным многообразием. Что касается компактных положительно искривленных многообразий, то есть два классических результата:

• Из теоремы Майерса следует , что фундаментальная группа такого многообразия конечна.
• Из теоремы Синга следует , что фундаментальная группа такого многообразия в четных размерностях равна 0, если оно ориентируемо, и в противном случае. В нечетных размерностях положительно искривленное многообразие всегда ориентируемо. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Более того, существует относительно немного примеров компактных положительно искривленных многообразий, что оставляет много гипотез (например, гипотеза Хопфа о том, существует ли метрика положительной секционной кривизны на ). Наиболее типичным способом построения новых примеров является следующее следствие из формул кривизны О'Нейла: если — риманово многообразие, допускающее свободное изометрическое действие группы Ли G, и M имеет положительную секционную кривизну на всех 2-плоскостях, ортогональных орбитам G, то многообразие с факторметрикой имеет положительную секционную кривизну. Этот факт позволяет строить классические положительно искривленные пространства, являющиеся сферами и проективными пространствами, а также эти примеры (Ziller 2007): ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{2}}$ ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle M/G}$

• Пространства Бергера и . ${\displaystyle B^{7}=SO(5)/SO(3)}$ ${\displaystyle B^{13}=SU(5)/\operatorname {Sp} (2)\cdot \mathbb {S} ^{1}}$
• Пространства Уоллаха (или однородные флаговые многообразия): , и . ${\displaystyle W^{6}=SU(3)/T^{2}}$ ${\displaystyle W^{12}=\operatorname {Sp} (3)/\operatorname {Sp} (1)^{3}}$ ${\displaystyle W^{24}=F_{4}/\operatorname {Spin} (8)}$
• Пространства Алоффа–Валлаха . ${\displaystyle W_{p,q}^{7}=SU(3)/\operatorname {diag} \left(z^{p},z^{q},{\overline {z}}^{p+q}\right)}$
• Эшенбургские пространства ${\displaystyle E_{k,l}=\operatorname {diag} \left(z^{k_{1}},z^{k_{2}},z^{k_{3}}\right)\backslash SU(3)/\operatorname {diag} \left(z^{l_{1}},z^{l_{2}},z^{l_{3}}\right)^{-1}.}$
• Пространства Базайкина , где . ${\displaystyle B_{p}^{13}=\operatorname {diag} \left(z_{1}^{p_{1}},\dots ,z_{1}^{p_{5}}\right)\backslash U(5)/\operatorname {diag} (z_{2}A,1)^{-1}}$ ${\displaystyle A\in \operatorname {Sp} (2)\subset SU(4)}$

Многообразия с неотрицательной кривизной сечения

Чигер и Громолл доказали свою теорему о душе, которая гласит, что любое неотрицательно искривленное полное некомпактное многообразие имеет вполне выпуклое компактное подмногообразие такое, что диффеоморфно нормальному расслоению . Такое называется душой . В частности, из этой теоремы следует, что гомотопно своей душе, которая имеет размерность меньше . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$

Смотрите также

• Тензор кривизны Римана
• Кривизна римановых многообразий
• Кривизна
• Голоморфная секционная кривизна

Ссылки

1. Галло, Хулин и Лафонтен 2004, раздел 3.A.2.
2. Галло, Хулин и Лафонтен 2004, раздел 3.D.4.

• Чигер, Джефф ; Эбин, Дэвид Г. (2008). Теоремы сравнения в римановой геометрии (переиздание оригинального издания 1975 г.). Провиденс, Род-Айленд: AMS Chelsea Publishing . doi :10.1090/chel/365. ISBN 978-0-8218-4417-5. MR  2394158. Zbl  1142.53003.
• Чигер, Джефф; Громолл, Детлеф (1972), «О структуре полных многообразий неотрицательной кривизны», Annals of Mathematics , Вторая серия, 96 (3), Annals of Mathematics: 413–443, doi :10.2307/1970819, JSTOR  1970819, MR  0309010.
• Галло, Сильвестр ; Хулин, Доминик ; Лафонтен, Жак (2004). Риманова геометрия . Universitext (Третье изд.). Спрингер-Верлаг . дои : 10.1007/978-3-642-18855-8. ISBN 3-540-20493-8. MR  2088027. Zbl  1068.53001.
• Громолл, Детлеф; Мейер, Вольфганг (1969), «О полных открытых многообразиях положительной кривизны», Annals of Mathematics , вторая серия, 90 (1), Annals of Mathematics: 75–90, doi :10.2307/1970682, JSTOR  1970682, MR  0247590, S2CID  122543838.
• Милнор, Дж. (1963). Теория Морзе . Annals of Mathematics Studies. Том 51. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press . MR  0163331. Zbl  0108.10401.
• О'Нил, Барретт (1983). Полуриманова геометрия. С приложениями к теории относительности . Чистая и прикладная математика. Т. 103. Нью-Йорк: Academic Press, Inc. doi :10.1016/s0079-8169(08)x6002-7. ISBN 0-12-526740-1. MR  0719023. Zbl  0531.53051.
• Петерсен, Питер (2016). Риманова геометрия . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 171 (Третье издание 1998 г., оригинальное издание). Springer, Cham . doi :10.1007/978-3-319-26654-1. ISBN 978-3-319-26652-7. MR  3469435. Zbl  1417.53001.
• Ziller, Wolfgang (2007). "Примеры многообразий с неотрицательной секционной кривизной". В Cheeger, Jeffrey ; Grove, Karsten (ред.). Метрическая и сравнительная геометрия . Обзоры по дифференциальной геометрии. Том XI. Sommerville, MA: International Press. стр. 63–102. arXiv : math/0701389 . doi : 10.4310/SDG.2006.v11.n1.a4 . ISBN 978-1-57146-117-9. MR  2408264. Zbl  1153.53033.