Апейрогон

В геометрии апейрогон (от древнегреческого ἄπειρος apeiros 'бесконечный, безграничный' и γωνία gonia 'угол') или бесконечный многоугольник — это многоугольник с бесконечным числом сторон. Апейрогоны являются случаем ранга 2 бесконечных многогранников . В некоторой литературе термин «апейрогон» может относиться только к правильному апейрогону с бесконечной диэдральной группой симметрий . [ ^1]

Определения

Геометрический апейрогон

Дана точка A ₀ в евклидовом пространстве и перенос S , определим точку A _i как точку, полученную из i применений переноса S к A ₀ , так что A _i = S ⁱ ( A ₀ ). Множество вершин A _i с i любым целым числом, вместе с ребрами, соединяющими смежные вершины, является последовательностью отрезков равной длины линии и называется правильным апейрогоном , как определено HSM Coxeter . ^[1]

Правильный апейрогон можно определить как разбиение евклидовой прямой E ¹ на бесконечное число отрезков равной длины. Он обобщает правильный n -угольник , который можно определить как разбиение окружности S ¹ на конечное число отрезков равной длины. ^[2]

Гиперболический псевдогон

Правильный псевдогон — это разбиение гиперболической прямой ^H1( вместо евклидовой прямой) на отрезки длины 2λ, как аналог правильного апейрогона. ^[2]

Абстрактный апейрогон

Абстрактный многогранник — это частично упорядоченное множество P (элементы которого называются гранями ) со свойствами, моделирующими свойства включений граней выпуклых многогранников . Ранг (или размерность) абстрактного многогранника определяется длиной максимальных упорядоченных цепей его граней, а абстрактный многогранник ранга n называется абстрактным n -многогранником. ^[3]^{: 22–25}

Для абстрактных многогранников ранга 2 это означает, что: A) элементы частично упорядоченного множества являются множествами вершин либо с нулевой вершиной ( пустое множество ), либо с одной вершиной, либо с двумя вершинами ( ребро ), либо со всем множеством вершин (двумерная грань), упорядоченными включением множеств; B) каждая вершина принадлежит ровно двум ребрам; C) неориентированный граф, образованный вершинами и ребрами, связен. ^[3]^{: 22–25}^[4]^{: 224}

Абстрактный многогранник называется абстрактным апейротопом , если он имеет бесконечно много элементов; абстрактный 2-апейротоп называется абстрактным апейрогоном . ^[3]^{: 25}

Реализация абстрактного многогранника — это отображение его вершин в точки геометрического пространства (обычно евклидова пространства ). ^[3]^{: 121} Точная реализация — это реализация, при которой отображение вершин является инъективным . ^[3]^{: 122}^{[примечание 1]} Каждый геометрический апейрогон является реализацией абстрактного апейрогона.

Симметрии

Бесконечная диэдральная группа G симметрий правильного геометрического апейрогона порождается двумя отражениями, произведение которых переводит каждую вершину P в следующую. ^[3]^{: 140–141}^[4]^{: 231} Произведение двух отражений можно разложить как произведение ненулевого переноса, конечного числа поворотов и, возможно, тривиального отражения. ^[3]^{: 141}^[4]^{: 231}

В абстрактном многограннике флаг — это набор из одной грани каждого измерения, все из которых инцидентны друг другу (то есть сравнимы в частичном порядке); абстрактный многогранник называется регулярным , если он имеет симметрии (сохраняющие структуру перестановки его элементов), которые переводят любой флаг в любой другой флаг. В случае двумерного абстрактного многогранника это автоматически верно; симметрии апейрогона образуют бесконечную диэдральную группу . ^[3]^{: 31}

Симметричная реализация абстрактного апейрогона определяется как отображение его вершин в конечномерное геометрическое пространство (обычно евклидово пространство ) таким образом, что каждая симметрия абстрактного апейрогона соответствует изометрии образов отображения. ^[3]^{: 121}^[4]^{: 225}

Пространство модулей

В общем случае пространство модулей точной реализации абстрактного многогранника представляет собой выпуклый конус бесконечной размерности. ^[3]^{: 127}^[4]^{: 229–230} Конус реализации абстрактного апейрогона имеет несчетно бесконечную алгебраическую размерность и не может быть замкнут в евклидовой топологии . ^[3]^{: 141}^[4]^{: 232}

Классификация евклидовых апейрогонов

Симметричная реализация любого правильного многоугольника в евклидовом пространстве размерности больше 2 является приводимой , то есть его можно сделать смесью двух многоугольников меньшей размерности. ^[3] Эта характеристика правильных многоугольников естественным образом характеризует и правильные апейрогоны. Дискретные апейрогоны являются результатами смешивания одномерного апейрогона с другими многоугольниками. ^[4]^{: 231} Поскольку каждый многоугольник является частным апейрогона, смешивание любого многоугольника с апейрогоном дает другой апейрогон. ^[3]

В двух измерениях дискретные правильные апейрогоны представляют собой бесконечные зигзагообразные многоугольники ^[5], полученные в результате смешения одномерного апейрогона с двуугольником , представленным символом Шлефли ${\infty}#{2}$ , ${\infty}#{}$ или . ^[3] $\left\{{\dfrac {2}{0,1}}\right\}$

В трех измерениях дискретные правильные апейрогоны — это бесконечные винтовые многоугольники, ^[5] с вершинами, равномерно расположенными вдоль спирали . Они являются результатом смешивания одномерного апейрогона с двумерным многоугольником, ${\infty}#{p / q}$ или . ^[3] $\left\{{\dfrac {p}{0,q}}\right\}$

Обобщения

Высший ранг

Апейроэдры являются аналогами апейрогонов ранга 3 и являются бесконечными аналогами многогранников . ^[6] В более общем смысле, n - апейротопы или бесконечные n -многогранники являются n -мерными аналогами апейрогонов и являются бесконечными аналогами n -многогранников . ^[3]^{: 22–25}

Смотрите также

Апейрогональная мозаика
Апейрогональная призма
Апейрогональная антипризма
Терагон , фрактальный обобщенный многоугольник, который также имеет бесконечно много сторон.

Примечания

^ МакМаллен и Шульте (2002) дают более строгое определение, требуя, чтобы индуцированные отображения на гранях более высокого ранга также были инъективными. Однако правильный многогранник либо вырожден, и в этом случае у него нет точных реализаций, либо каждая точная по вершинам реализация является точной. Апейрогон не вырожден, и поэтому этого условия достаточно, чтобы показать, что его реализации точны.

Ссылки

^ ab Coxeter, HSM (1948). Правильные многогранники . Лондон: Methuen & Co. Ltd. стр. 45.
^ ab Johnson, Norman W. (2018). "11: Конечные группы симметрии". Геометрии и преобразования. Cambridge University Press . стр. 226. ISBN 9781107103405.
^ abcdefghijklmnop МакМаллен, Питер ; Шульте, Эгон (декабрь 2002 г.). Абстрактные правильные многогранники (1-е изд.). Cambridge University Press . ISBN 0-521-81496-0.
^ abcdefg МакМаллен, Питер (1994), «Реализации правильных апейротопов», Aequationes Mathematicae , 47 (2–3): 223–239, doi : 10.1007/BF01832961, MR 1268033, S2CID 121616949
^ аб Грюнбаум, Б. (1977). «Правильные многогранники – старые и новые». Математические уравнения . 16 :1–20. дои : 10.1007/BF01836414. S2CID 125049930.
^ Коксетер, Х. С. М. (1937). «Правильные косые многогранники в трех и четырех измерениях». Proc. London Math. Soc . 43 : 33–62.

Внешние ссылки

Рассел, Роберт А. . «Апейрогон». Математический мир .
Ольшевский, Джордж. "Апейрогон". Глоссарий гиперпространства . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.