В геометрии косой апейроэдр — это бесконечный косой многогранник, состоящий из неплоских граней или неплоских вершинных фигур , что позволяет фигуре бесконечно расширяться без сворачивания с образованием замкнутой поверхности .
Косые апейроэдры также называют многогранными губками .
Многие из них напрямую связаны с выпуклыми однородными сотами , являясь многоугольной поверхностью сот с некоторыми удаленными ячейками . Характерно, что бесконечный косой многогранник делит трехмерное пространство на две половины. Если одна половина рассматривается как сплошная, фигуру иногда называют частичной сотой .
По словам Коксетера , в 1926 году Джон Флиндерс Петри обобщил концепцию правильных косых многоугольников (неплоских многоугольников) до правильных косых многогранников (апейроэдров). [1]
Коксетер и Петри нашли три из них, которые заполняли 3-мерное пространство:
Существуют также хиральные косые апейроэдры типов {4,6}, {6,4} и {6,6}. Эти косые апейроэдры являются вершинно-транзитивными , рёберно-транзитивными и гранно-транзитивными , но не зеркально-симметричными (Schulte 2004).
За пределами евклидова 3-мерного пространства в 1967 году К. У. Л. Гарнер опубликовал набор из 31 правильного косого многогранника в гиперболическом 3-мерном пространстве. [2]
В 1967 году Дж. Ричард Готт опубликовал более крупный набор из семи бесконечных косых многогранников, которые он назвал правильными псевдомногогранниками , включая три из Коксетера: {4,6}, {6,4} и {6,6}, а также четыре новых: {5,5}, {4,5}, {3,8}, {3,10}. [3] [4]
Готт ослабил определение регулярности, чтобы разрешить свои новые фигуры. Там, где Коксетер и Петри требовали, чтобы вершины были симметричны, Готт требовал только, чтобы они были конгруэнтными. Таким образом, новые примеры Готта не являются регулярными по определению Коксетера и Петри.
Готт назвал полный набор правильных многогранников , правильных мозаик и правильных псевдомногогранников правильными обобщенными многогранниками , представляемыми символом Шлефли {p,q} , с p-угольными гранями, q вокруг каждой вершины. Однако ни термин «псевдомногогранник», ни определение правильности Готта не получили широкого распространения.
Кристаллограф А. Ф. Уэллс в 1960-х годах также опубликовал список косых апейроэдров. Мелинда Грин опубликовала еще больше в 1998 году.
Существуют две призматические формы:
{3,10} также образован параллельными плоскостями треугольных мозаик с чередующимися октаэдрическими отверстиями, идущими в обоих направлениях.
{5,5} состоит из трех копланарных пятиугольников вокруг вершины и двух перпендикулярных пятиугольников, заполняющих зазор.
Готт также признал, что существуют и другие периодические формы правильных плоских мозаик. Как квадратная мозаика {4,4}, так и треугольная мозаика {3,6} могут быть изогнуты в аппроксимирующие бесконечные цилиндры в 3-мерном пространстве.
Он написал несколько теорем:
Существует много других однородных ( вершинно-транзитивных ) косых апейроэдров. Вахманн, Берт и Кляйнманн (1974) обнаружили много примеров, но неизвестно, является ли их список полным.
Некоторые из них проиллюстрированы здесь. Их можно назвать по конфигурации вершины , хотя это не уникальное обозначение для косых форм.
Другие могут быть построены как расширенные цепочки многогранников: