Многогранник

3D-форма с плоскими гранями, прямыми краями и острыми углами.

В геометрии многогранник ( мн.: многогранники или многогранники ; от греческого πολύ ( поли- )  «много» и ἕδρον (-эдр)  «основание, основание») — трехмерная форма с плоскими многоугольными гранями , прямыми краями и острые углы или вершины .

Выпуклый многогранник — это многогранник, ограничивающий выпуклое множество . Каждый выпуклый многогранник можно построить как выпуклую оболочку его вершин, и для любого конечного набора точек, не все из которых находятся в одной плоскости, выпуклая оболочка является выпуклым многогранником. Кубы и пирамиды являются примерами выпуклых многогранников.

Многогранник — это трехмерный пример многогранника , более общего понятия для любого количества измерений.

Определение

Скелетный многогранник (точнее, ромбокубооктаэдр ), нарисованный Леонардо да Винчи для иллюстрации книги Луки Пачоли.

Выпуклые многогранники четко определены и имеют несколько эквивалентных стандартных определений. Однако формальное математическое определение многогранников, которые не обязаны быть выпуклыми, было проблематичным. Многие определения «многогранника» были даны в определенных контекстах, ^[1] некоторые из них более строгие, чем другие, и не существует универсального согласия относительно того, какое из них выбрать. Некоторые из этих определений исключают формы, которые часто считаются многогранниками (например, самопересекающиеся многогранники ) или включают формы, которые часто не считаются действительными многогранниками (например, твердые тела, границы которых не являются многообразиями ). Как заметил Бранко Грюнбаум ,

«Первородный грех в теории многогранников восходит к Евклиду, а через Кеплера, Пуансо, Коши и многих других... на каждом этапе... авторы не смогли определить, что такое многогранники». ^[2]

Тем не менее, существует общее мнение, что многогранник — это твердое тело или поверхность, которую можно описать своими вершинами (угловыми точками), рёбрами (отрезками прямых, соединяющими определённые пары вершин), гранями (двумерными многоугольниками ), а иногда и Можно сказать, что он имеет определенный трехмерный внутренний объем . Можно различать эти различные определения в зависимости от того, описывают ли они многогранник как твердое тело, описывают ли они его как поверхность или описывают ли они его более абстрактно, основываясь на его геометрии падения . ^[3]

• Распространенное и несколько наивное определение многогранника состоит в том, что это тело, граница которого может быть покрыта конечным числом плоскостей ^{[4] [5]} , или что это тело, образованное объединением конечного числа выпуклых многогранников. ^[6] Естественные уточнения этого определения требуют, чтобы твердое тело было ограниченным, имело связную внутреннюю часть и, возможно, также имело связную границу. Грани такого многогранника можно определить как связные компоненты частей границы внутри каждой из покрывающих его плоскостей, а ребра и вершины — как отрезки прямых и точки пересечения граней. Однако многогранники, определенные таким образом, не включают самопересекающиеся звездчатые многогранники, грани которых не могут образовывать простые многоугольники , а некоторые из ребер которых могут принадлежать более чем двум граням. ^[7]
• Также распространены определения, основанные на идее ограничивающей поверхности, а не твердого тела. ^[8] Например, О'Рурк (1993) определяет многогранник как объединение выпуклых многоугольников (его граней), расположенных в пространстве так, что пересечение любых двух многоугольников является общей вершиной или ребром или пустым множеством и так, что их союз является многообразием . ^[9] Если плоская часть такой поверхности сама по себе не является выпуклым многоугольником, О'Рурк требует, чтобы она была разделена на меньшие выпуклые многоугольники с плоскими двугранными углами между ними. В более общем смысле Грюнбаум определяет акоптический многогранник как набор простых многоугольников, образующих вложенное многообразие, каждая вершина которого инцидентна как минимум трем ребрам, а каждые две грани пересекаются только в общих вершинах и ребрах каждого. ^[10] Многогранники Кромвеля дают аналогичное определение, но без ограничения не менее трех ребер на вершину. Опять же, этот тип определения не охватывает самопересекающиеся многогранники. ^[8] Подобные понятия составляют основу топологических определений многогранников как подразделения топологического многообразия на топологические диски (грани), попарные пересечения которых должны быть точками (вершинами), топологическими дугами (ребрами) или пустым множеством. Однако существуют топологические многогранники (даже со всеми гранями треугольники), которые не могут быть реализованы как акоптические многогранники. ^[11]
• Один современный подход основан на теории абстрактных многогранников . Их можно определить как частично упорядоченные множества , элементами которых являются вершины, ребра и грани многогранника. Элемент вершины или ребра меньше элемента ребра или грани (в этом частичном порядке), если вершина или ребро является частью ребра или грани. Кроме того, можно включить специальный нижний элемент этого частичного порядка (представляющий пустое множество) и верхний элемент, представляющий весь многогранник. Если участки частичного порядка между элементами, расположенными на расстоянии трех уровней (то есть между каждой гранью и нижним элементом, а также между верхним элементом и каждой вершиной), имеют ту же структуру, что и абстрактное представление многоугольника, то эти частично упорядоченные множества несут точно такую ​​же информацию, что и топологический многогранник. ^{[ нужна цитата ]} когда Однако эти требования часто ослабляются и вместо этого требуют только, чтобы разделы между элементами, расположенными на двух уровнях друг от друга, имели ту же структуру, что и абстрактное представление сегмента линии. ^[12] (Это означает, что каждое ребро содержит две вершины и принадлежит двум граням, и что каждая вершина на грани принадлежит двум ребрам этой грани.) Геометрические многогранники, определенные другими способами, могут быть описаны абстрактно следующим образом: но можно также использовать абстрактные многогранники как основу определения геометрических многогранников. Реализация абстрактного многогранника обычно считается отображением вершин абстрактного многогранника в геометрические точки, так что точки каждой грани компланарны . Тогда геометрический многогранник можно определить как реализацию абстрактного многогранника. ^[13] Также рассматривались реализации, в которых отсутствует требование планарности граней, которые налагают дополнительные требования симметрии или которые отображают вершины в пространства более высоких размерностей. ^[12] В отличие от определений, основанных на твердых телах и поверхностях, это отлично работает для звездчатых многогранников. Однако без дополнительных ограничений это определение допускает вырожденные или неверные многогранники (например, путем отображения всех вершин в одну точку), и вопрос о том, как ограничить реализации, чтобы избежать этих вырождений, не решен.

Во всех этих определениях многогранник обычно понимается как трехмерный пример более общего многогранника в любом количестве измерений. Например, многоугольник имеет двумерное тело и не имеет граней, а 4-мерный многогранник имеет четырехмерное тело и дополнительный набор трехмерных «ячеек». Однако в некоторой литературе по многомерной геометрии термин «многогранник» используется для обозначения чего-то другого: не трехмерного многогранника, а формы, которая каким-то образом отличается от многогранника. Например, в некоторых источниках выпуклый многогранник определяется как пересечение конечного числа полупространств , а многогранник — как ограниченный многогранник. ^{[14] [15]} Оставшаяся часть этой статьи рассматривает только трехмерные многогранники.

Характеристики

Количество граней

Многогранники можно классифицировать и часто называют по количеству граней. Система именования основана на классическом греческом языке и сочетает в себе префикс, обозначающий грани, с суффиксом «эдр», означающим «основание» или «сиденье» и относящимся к граням. Например, тетраэдр — это многогранник с четырьмя гранями, пятигранник — это многогранник с пятью гранями, шестигранник — это многогранник с шестью гранями и т. д. ^[16] Полный список префиксов греческих цифр см. В разделе « Префикс цифр» § Таблица чисел. префиксы на английском языке , в столбце для греческих кардинальных числительных. Названия тетраэдров, шестигранников, октаэдров (8-гранников), додекаэдров (12-гранников) и икосаэдров (20-гранников) иногда используются без дополнительных уточнений для обозначения платоновых тел , а иногда и для обозначения более вообще говоря, к многогранникам с заданным числом сторон без каких-либо предположений о симметрии. ^[17]

Топологическая классификация

Тетрагемигексаэдр — неориентируемый самопересекающийся многогранник с четырьмя треугольными гранями (красные) и тремя квадратными гранями (желтые) . Как и в случае с лентой Мёбиуса или бутылкой Клейна , непрерывный путь по поверхности этого многогранника может достигать точки на противоположной стороне поверхности от ее начальной точки, что делает невозможным разделение поверхности на внутреннюю и внешнюю часть. (Топологически этот многогранник представляет собой настоящую проективную плоскость .)

Некоторые многогранники имеют две разные стороны на поверхности. Например, внутренней и внешней части бумажной модели выпуклого многогранника можно присвоить разный цвет (хотя внутренний цвет будет скрыт от просмотра). Эти многогранники ориентируемы . То же самое справедливо и для невыпуклых многогранников без самопересечений. Некоторые невыпуклые самопересекающиеся многогранники можно раскрасить таким же образом, но иметь области, вывернутые «наизнанку», так что оба цвета появляются снаружи в разных местах; они по-прежнему считаются ориентируемыми. Однако для некоторых других самопересекающихся многогранников с простыми многоугольными гранями, таких как тетрагемигексаэдр , невозможно покрасить две стороны каждой грани в два разных цвета, чтобы соседние грани имели одинаковые цвета. В этом случае многогранник называется неориентируемым. Для многогранников с самопересекающимися гранями может быть неясно, что означает последовательно окрашенные смежные грани, но для этих многогранников все же можно определить, является ли он ориентируемым или неориентируемым, рассматривая топологический комплекс ячеек с одинаковые инцидентности между его вершинами, ребрами и гранями. ^[18]

Более тонкое различие между поверхностями многогранников дается их эйлеровой характеристикой , которая объединяет числа вершин , ребер и граней многогранника в одно число, определяемое формулой ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \chi =V-E+F.\ }$

Эта же формула используется и для эйлеровой характеристики других видов топологических поверхностей. Это инвариант поверхности, означающий, что когда одна поверхность подразделяется на вершины, ребра и грани более чем одним способом, эйлерова характеристика будет одинаковой для этих подразделений. Для выпуклого многогранника или, в более общем плане, любого односвязного многогранника с поверхностью, представляющей собой топологическую сферу, она всегда равна 2. Для более сложных форм эйлерова характеристика связана с количеством тороидальных отверстий, ручек или поперечных вершин на поверхности и будет равна меньше 2. ^[19] Все многогранники с нечетной эйлеровой характеристикой неориентируемы. Данная фигура с четной эйлеровой характеристикой может быть ориентируемой, а может и не быть. Например, и тороид с одним отверстием , и бутылка Клейна имеют , причем первый из них ориентируем, а другой нет. ^[18] ${\displaystyle \chi =0}$

Для многих (но не всех) способов определения многогранников поверхность многогранника должна быть многообразием . Это означает, что каждое ребро является частью границы ровно двух граней (не допуская таких форм, как объединение двух кубов, которые встречаются только по общему ребру) и что каждая вершина инцидентна одному чередующемуся циклу ребер и граней (не допуская таких фигур, как объединение двух кубов, имеющих только одну вершину). Для многогранников, определенных таким образом, классификация многообразий предполагает, что топологический тип поверхности полностью определяется комбинацией ее эйлеровой характеристики и ориентируемости. Например, каждый многогранник, поверхность которого является ориентируемым многообразием и эйлерова характеристика которого равна 2, должен быть топологической сферой. ^[18]

Тороидальный многогранник — это многогранник, эйлерова характеристика которого меньше или равна 0, или, что то же самое, род которого равен 1 или больше. Топологически поверхности таких многогранников представляют собой поверхности тора , имеющие одно или несколько отверстий в середине. ^[20]

Двойственность

Октаэдр двойственен кубу.

Для каждого выпуклого многогранника существует двойственный многогранник, имеющий

• грани вместо вершин оригинала и наоборот, и
• одинаковое количество ребер.

Двойственный выпуклому многограннику можно получить методом полярного возвратно-поступательного движения . ^[21] Двойственные многогранники существуют парами, и двойственный к двойственному многограннику снова является исходным многогранником. Некоторые многогранники самодвойственны, то есть двойственный многогранник конгруэнтен исходному многограннику. ^[22]

У абстрактных многогранников также есть двойственные элементы, полученные путем изменения частичного порядка , определяющего многогранник, для получения его двойственного или противоположного порядка . ^[13] Они имеют ту же эйлерову характеристику и ориентацию, что и исходный многогранник. Однако эта форма двойственности описывает не форму двойственного многогранника, а лишь его комбинаторную структуру. Для некоторых определений невыпуклых геометрических многогранников существуют многогранники, абстрактные двойники которых не могут быть реализованы как геометрические многогранники по тому же определению. ^[10]

Вершинные фигуры

Для каждой вершины можно определить фигуру вершины , которая описывает локальную структуру многогранника вокруг вершины. Точные определения различаются, но фигуру вершины можно рассматривать как многоугольник, в котором срез многогранника отсекает вершину. ^[8] Для платоновых тел и других высокосимметричных многогранников этот срез может быть выбран так, чтобы проходить через середины каждого ребра, инцидентного вершине, ^[23] но другие многогранники могут не иметь плоскости, проходящей через эти точки. Для выпуклых многогранников и, в более общем плане, для многогранников, вершины которых находятся в выпуклом положении , в качестве этого среза можно выбрать любую плоскость, отделяющую вершину от других вершин. ^[24] Когда многогранник имеет центр симметрии, обычно выбирают эту плоскость перпендикулярно линии, проходящей через данную вершину и центр; ^[25] при таком выборе форма вершинной фигуры определяется с точностью до масштабирования. Когда вершины многогранника не находятся в выпуклом положении, не всегда будет плоскость, отделяющая каждую вершину от остальных. В этом случае вместо этого принято разрезать многогранник на небольшую сферу с центром в вершине. ^[26] Опять же, это создает форму вершинной фигуры, которая инвариантна до масштабирования. Все эти варианты приводят к вершинным фигурам с одинаковой комбинаторной структурой для многогранников, к которым они могут быть применены, но могут придавать им разные геометрические формы.

Площадь поверхности и расстояния

Площадь поверхности многогранника представляет собой сумму площадей его граней для определений многогранников, для которых площадь грани четко определена. Геодезическое расстояние между любыми двумя точками на поверхности многогранника измеряет длину кратчайшей кривой, соединяющей две точки, остающиеся внутри поверхности. По теореме единственности Александрова каждый выпуклый многогранник однозначно определяется метрическим пространством геодезических расстояний на его поверхности. Однако невыпуклые многогранники могут иметь одинаковые поверхностные расстояния друг с другом или такие же, как некоторые выпуклые многогранники. ^[27]

Объем

У многогранных тел есть связанная с ними величина, называемая объемом , которая измеряет, сколько места они занимают. Простые семейства твердых тел могут иметь простые формулы для своих объемов; например, объемы пирамид, призм и параллелепипедов можно легко выразить через длины их ребер или другие координаты. ( Список, включающий многие из этих формул, см. в разделе «Формулы объема» .)

Объемы более сложных многогранников могут не иметь простых формул. Объемы таких многогранников можно вычислить, разделив многогранник на более мелкие части (например, триангуляцией ) . Например, объем правильного многогранника можно вычислить, разделив его на конгруэнтные пирамиды , причем каждая пирамида имеет грань многогранника в качестве основания и центр многогранника в качестве вершины.

В общем, из теоремы о дивергенции можно вывести, что объем многогранного тела определяется выражением

$${\displaystyle {\frac {1}{3}}\left|\sum _{F}(Q_{F}\cdot N_{F})\operatorname {area} (F)\right|,}$$

FQ _FFN _Fединичный вектор,Fскалярное произведение^[28]алгоритмы^[29]

Инвариант Дена

В двух измерениях теорема Бояи-Гервина утверждает, что любой многоугольник можно преобразовать в любой другой многоугольник той же площади, разрезав его на конечное число многоугольных частей и переставив их . Аналогичный вопрос для многогранников был предметом третьей проблемы Гильберта . Макс Ден решил эту проблему, показав, что, в отличие от двумерного случая, существуют многогранники одинакового объема, которые нельзя разрезать на меньшие многогранники и снова собрать друг в друга. Чтобы доказать это, Ден открыл еще одну величину, связанную с многогранником, инвариант Дена , такой, что два многогранника могут быть разделены друг на друга только тогда, когда они имеют одинаковый объем и одинаковый инвариант Дена. Позже Сидлер доказал, что это единственное препятствие для рассечения: любые два евклидовых многогранника с одинаковыми объемами и инвариантами Дена можно разрезать и собрать друг в друга. ^[30] Инвариант Дена — это не число, а вектор в бесконечномерном векторном пространстве, определяемый по длинам и двугранным углам ребер многогранника. ^[31]

Другая проблема Гильберта, 18-я проблема , касается (помимо прочего) многогранников, расположенных в пространстве плиток . Каждый такой многогранник должен иметь нулевой инвариант Дена. ^[32] Инвариант Дена также связан с гибкими многогранниками сильной теоремой кузнечных мехов, которая утверждает, что инвариант Дена любого гибкого многогранника остается инвариантным при изгибе. ^[33]

Выпуклые многогранники

Блоки выпуклых многогранников на выставке в музее Universum в Мехико.

Трехмерное тело является выпуклым множеством, если оно содержит каждый отрезок, соединяющий две его точки. Выпуклый многогранник – это многогранник, который, будучи телом, образует выпуклое множество. Выпуклый многогранник также можно определить как ограниченное пересечение конечного числа полупространств или как выпуклую оболочку конечного числа точек.

Важные классы выпуклых многогранников включают высокосимметричные Платоновы тела , архимедовы тела и их двойники , каталанские тела , а также тела Джонсона с правильными гранями .

Симметрии

Некоторые многогранники, вращающиеся вокруг симметричной оси (в Matemateca IME-USP)

Многие из наиболее изученных многогранников обладают высокой симметричностью , то есть их внешний вид не изменяется при некотором отражении или повороте пространства. Каждая такая симметрия может изменить расположение данной вершины, грани или ребра, но набор всех вершин (а также граней, ребер) остается неизменным. Совокупность симметрий многогранника называется его группой симметрии .

Говорят, что все элементы, которые могут быть наложены друг на друга посредством симметрии, образуют орбиту симметрии . Например, все грани куба лежат на одной орбите, а все ребра — на другой. Если все элементы данного измерения, скажем, все грани, лежат на одной орбите, фигура называется транзитивной на этой орбите. Например, куб транзитивен по граням, а усеченный куб имеет две орбиты симметрии граней.

Одна и та же абстрактная структура может поддерживать более или менее симметричные геометрические многогранники. Но там, где дается имя многогранника, например икосододекаэдр , почти всегда подразумевается наиболее симметричная геометрия, если не указано иное. ^{[ нужна цитата ]}

Существует несколько типов высокосимметричных многогранников, классифицируемых по тому, какой тип элементов — грани, ребра или вершины — принадлежит одной орбите симметрии:

• Обычные : вершинно-транзитивные, реберно-транзитивные и грани-транзитивные. (Это означает, что каждая грань представляет собой один и тот же правильный многоугольник ; это также означает, что каждая вершина является правильной.)
• Квазирегулярный : вершинно-транзитивный и транзитивный по ребрам (и, следовательно, имеет правильные грани), но не транзитивный по граням. Квазирегулярный двойственный элемент является гране-транзитивным и реберно-транзитивным (и, следовательно, каждая вершина регулярна), но не вершинно-транзитивным.
• Полуправильный : вершинно-транзитивен, но не реберно-транзитивен, и каждая грань представляет собой правильный многоугольник. (Это одно из нескольких определений этого термина, в зависимости от автора. Некоторые определения совпадают с квазиправильным классом.) Эти многогранники включают полуправильные призмы и антипризмы . Полуправильный двойственный элемент является гране-транзитивным, но не вершинно-транзитивным, и каждая вершина регулярна.
• Равномерный : вершинно-транзитивный, и каждая грань представляет собой правильный многоугольник, т. е. является правильным, квазиправильным или полуправильным. Однородный двойственный объект является гране-транзитивным и имеет правильные вершины, но не обязательно является вершинно-транзитивным.
• Изогональный : вершинно-транзитивный.
• Изотоксаль : транзитивный по краю.
• Изоэдрический : гране-переходный.
• Noble : гране-транзитивен и вершинно-транзитивен (но не обязательно реберно-транзитивен). Правильные многогранники также благородны; это единственные благородные однородные многогранники. Двойники благородных многогранников сами по себе благородны.

Некоторые классы многогранников имеют только одну главную ось симметрии. К ним относятся пирамиды , бипирамиды , трапецоэдры , купола , а также полуправильные призмы и антипризмы.

Правильные многогранники

Правильные многогранники являются наиболее высокосимметричными. Всего правильных многогранников девять: пять выпуклых и четыре звездчатых.

Пять выпуклых примеров известны с древности и называются Платоновыми телами . Это треугольная пирамида или тетраэдр , куб , октаэдр , додекаэдр и икосаэдр :

Существуют также четыре правильных звездчатых многогранника, известные как многогранники Кеплера – Пуансо в честь их первооткрывателей.

Двойственный правильному многограннику также является правильным.

Однородные многогранники и их двойники.

Однородные многогранники вершинно-транзитивны , и каждая грань является правильным многоугольником . Они могут быть подразделены на правильные , квазиправильные или полуправильные , а также могут быть выпуклыми или звездчатыми.

Двойственные однородным многогранникам имеют неправильные грани, но являются транзитивными по граням , и каждая вершинная фигура представляет собой правильный многоугольник. Однородный многогранник имеет те же орбиты симметрии, что и его двойственный многогранник, только грани и вершины просто поменяны местами. Двойники выпуклых архимедовых многогранников иногда называют каталонскими телами .

Однородные многогранники и их двойники традиционно классифицируются по степени симметрии, а также по тому, являются ли они выпуклыми или нет.

изоэдры

Изоэдр — это многогранник, симметрии которого транзитивно действуют на его гранях . Их топологию можно представить конфигурацией граней . Все 5 платоновых тел и 13 каталонских тел являются изоэдрами, а также бесконечные семейства трапецоэдров и бипирамид . Некоторые изоэдры допускают геометрические вариации, включая вогнутые и самопересекающиеся формы.

Группы симметрии

Полная икосаэдрическая симметрия делит сферу на 120 треугольных областей.

Многие симметрии или точечные группы в трех измерениях названы в честь многогранников, имеющих соответствующую симметрию. К ним относятся:

• Т – киральная тетраэдрическая симметрия ; группа вращения правильного тетраэдра ; заказ 12.
• Т _д – полная тетраэдрическая симметрия ; группа симметрии правильного тетраэдра ; заказ 24.
• T _h – пиритоэдрическая симметрия ; симметрия пиритоэдра ; заказ 24.
• О – киральная октаэдрическая симметрия ; группа вращения куба и октаэдра ; заказ 24.
• О _h – полная октаэдрическая симметрия ; группа симметрии куба и октаэдра ; заказ 48.
• I – киральная икосаэдрическая симметрия ; группа вращения икосаэдра и додекаэдра ; заказ 60.
• I _h – полная икосаэдрическая симметрия ; группа симметрии икосаэдра и додекаэдра ; заказ 120.
• C _nv – n -кратная пирамидальная симметрия
• D _nh – n -кратная призматическая симметрия
• D _nv – n -кратная антипризматическая симметрия .

Те, у кого есть киральная симметрия, не обладают отражательной симметрией и, следовательно, имеют две энантиоморфные формы, которые являются отражением друг друга. Примеры включают курносый кубооктаэдр и курносый икосододекаэдр .

Другие важные семейства многогранников

Многогранники с правильными гранями

Помимо правильных и однородных многогранников, существуют и другие классы, которые имеют правильные грани, но более низкую общую симметрию.

Равные правильные лица

Выпуклые многогранники, каждая грань которых представляет собой правильный многоугольник одного и того же типа, можно найти в трех семействах:

• Треугольники: Эти многогранники называются дельтаэдрами . Существует восемь выпуклых дельтаэдров: три платоновых тела и пять неоднородных примеров.
• Квадраты. Куб — единственный выпуклый пример. Другие примеры ( поликубы ) можно получить, соединяя кубы вместе, однако следует соблюдать осторожность, чтобы избежать копланарных граней.
• Пятиугольники: Правильный додекаэдр — единственный выпуклый пример.

Все многогранники с равными правильными гранями, имеющими шесть и более сторон, невыпуклые.

Таким образом, общее количество выпуклых многогранников с равными правильными гранями равно десяти: пять платоновых тел и пять неоднородных дельтаэдров. ^[8] Существует бесконечно много невыпуклых примеров. В некоторых из этих семейств существуют бесконечные губчатые примеры, называемые бесконечными косыми многогранниками .

Твердые вещества Джонсона

Норман Джонсон искал, какие из выпуклых неоднородных многогранников имеют правильные грани, хотя и не обязательно одинаковые. В 1966 году он опубликовал список из 92 таких тел, дал им названия и номера и предположил, что других не существует. Виктор Залгаллер доказал в 1969 году, что список этих тел Джонсона полон.

Пирамиды

Пирамиды включают в себя некоторые из наиболее проверенных временем и знаменитых многогранников, такие как четырехгранные египетские пирамиды .

Звездочки и грани

Звездчатость многогранника — это процесс удлинения граней (внутри их плоскостей) так, чтобы они встретились и образовали новый многогранник.

Фасетирование — это процесс удаления частей многогранника для создания новых граней или граней без создания новых вершин. ^{[34] [35]} Фасетой многогранника является любой многоугольник, углы которого являются вершинами многогранника, и не является гранью . ^[34]

Звездчатость и огранка - это обратные или обратные процессы: двойственный к некоторой звездчатости - это огранка двойственного исходному многограннику.

Зоноэдры

Зоноэдр — это выпуклый многогранник, каждая грань которого представляет собой многоугольник , симметричный при повороте на 180°. Зоноэдры также можно охарактеризовать как суммы Минковского отрезков прямых и включать в себя несколько важных многогранников, заполняющих пространство. ^[36]

Многогранники, заполняющие пространство

Заполняющий пространство многогранник упаковывается копиями самого себя, чтобы заполнить пространство. Такую плотную упаковку или заполнение пространства часто называют мозаикой пространства или сотами. Многогранники, заполняющие пространство, должны иметь инвариант Дена, равный нулю. Некоторые соты включают в себя более одного вида многогранников.

Решетчатые многогранники

Выпуклый многогранник, в котором все вершины имеют целые координаты, называется решетчатым многогранником или целочисленным многогранником . Полином Эрхарта решетчатого многогранника подсчитывает, сколько точек с целочисленными координатами лежит внутри масштабированной копии многогранника, в зависимости от масштабного коэффициента. Изучение этих полиномов лежит на стыке комбинаторики и коммутативной алгебры . ^[37] Существует далеко идущая эквивалентность между решетчатыми многогранниками и некоторыми алгебраическими многообразиями, называемыми торическими многообразиями . ^[38] Это было использовано Стэнли для доказательства уравнений Дена–Соммервилля для симплициальных многогранников . ^[39]

Гибкие многогранники

Некоторые многогранники могут менять свою общую форму, сохраняя при этом форму граней, изменяя углы их ребер. Многогранник, который может это делать, называется гибким многогранником. По теореме Коши о жесткости гибкие многогранники должны быть невыпуклыми. Объем гибкого многогранника должен оставаться постоянным при его изгибе; этот результат известен как теорема о сильфоне. ^[40]

Соединения

Многогранное соединение состоит из двух или более многогранников, имеющих общий центр. Симметричные соединения часто имеют те же вершины, что и другие хорошо известные многогранники, и часто также могут быть образованы звездчатостью. Некоторые из них перечислены в списке моделей многогранников Веннингера .

Ортогональные многогранники

Некоторые ортогональные многогранники, состоящие из частей куба Сомы , которые сами являются многокубами.

Ортогональный многогранник — это такой многогранник, все грани которого сходятся под прямым углом , а все ребра параллельны осям декартовой системы координат. ( Икосаэдр Джессена представляет собой пример многогранника, удовлетворяющего одному, но не обоим этим двум условиям.) Помимо прямоугольных кубоидов , ортогональные многогранники невыпуклы. Они являются трехмерными аналогами двумерных ортогональных многоугольников, также известных как прямолинейные многоугольники . Ортогональные многогранники используются в вычислительной геометрии , где их ограниченная структура позволила добиться прогресса в решении проблем, нерешенных для произвольных многогранников, например, развертывания поверхности многогранника в многоугольную сеть . ^[41]

Поликубы — это частный случай ортогональных многогранников, которые можно разложить на одинаковые кубы, и являются трёхмерными аналогами плоских полимино . ^[42]

Встроенные обычные карты с плоскими гранями.

Регулярные карты представляют собой транзитивные по флагу абстрактные 2-многообразия и изучались еще в девятнадцатом веке. Некоторые из них имеют трехмерные многогранные вложения, подобные тому, которое представляет квартику Клейна.

Канонические многогранники

Каждый выпуклый многогранник комбинаторно эквивалентен по существу уникальному каноническому многограннику , многограннику, у которого средняя сфера касается каждого из его ребер. ^[43]

Обобщения многогранников

Название «многогранник» стало использоваться для обозначения множества объектов, имеющих структурные свойства, аналогичные традиционным многогранникам.

Апейроэдры

Классическая многогранная поверхность имеет конечное число граней, попарно соединенных по ребрам. Апейроэдры образуют родственный класс объектов с бесконечным множеством граней . Примеры апейроэдров включают:

• мозаики или мозаики плоскости, и
• губчатые структуры, называемые бесконечными косыми многогранниками .

Сложные многогранники

Существуют объекты, называемые комплексными многогранниками, для которых базовым пространством является комплексное гильбертово пространство , а не настоящее евклидово пространство. Точные определения существуют только для правильных комплексных многогранников, группы симметрии которых являются комплексными группами отражений . Сложные многогранники математически более тесно связаны с конфигурациями , чем с реальными многогранниками. ^[44]

Искривленные многогранники

Некоторые области исследований позволяют многогранникам иметь изогнутые грани и края. Изогнутые грани могут позволить существовать двуугольным граням с положительной площадью.

Сферические многогранники

Когда поверхность сферы разделена конечным числом больших дуг (что эквивалентно плоскостям, проходящим через центр сферы), результат называется сферическим многогранником. Многие выпуклые многогранники, имеющие некоторую степень симметрии (например, все Платоновы тела), можно спроецировать на поверхность концентрической сферы, чтобы получить сферический многогранник. Однако обратный процесс не всегда возможен; некоторые сферические многогранники (например, осоэдры ) не имеют плоскогранного аналога. ^[45]

Искривленные многогранники, заполняющие пространство

Если граням разрешено быть не только выпуклыми, но и вогнутыми, смежные грани можно соединить без зазора. Некоторые из этих изогнутых многогранников могут собираться вместе, заполняя пространство. Два важных типа:

• Пузырьки в пенах и пенах, например пузырьки Вейра-Фелана . ^[46]
• Формы, используемые в архитектуре. ^[47]

Идеальные многогранники

Выпуклые многогранники можно определить в трехмерном гиперболическом пространстве так же, как и в евклидовом пространстве, как выпуклые оболочки конечных наборов точек. Однако в гиперболическом пространстве также можно рассматривать как идеальные точки , так и точки, лежащие внутри пространства. Идеальный многогранник — это выпуклая оболочка конечного набора идеальных точек. Его грани представляют собой идеальные многоугольники, но его края определяются целыми гиперболическими линиями, а не отрезками прямых, а его вершины (идеальные точки, выпуклой оболочкой которых он является) не лежат внутри гиперболического пространства.

Скелеты и многогранники как графы

Забывая структуру граней, любой многогранник порождает граф , называемый его скелетом , с соответствующими вершинами и ребрами. Такие фигуры имеют долгую историю: Леонардо да Винчи разработал каркасные модели правильных тел, которые он нарисовал для книги Пачоли «Божественная пропорция» , а аналогичные многогранники с проволочным каркасом появляются в гравюре М.К. Эшера « Звезды ». ^[48] ​​Одним из ярких моментов этого подхода является теорема Стейница , которая дает чисто теоретико-графовую характеристику скелетов выпуклых многогранников: она утверждает, что скелет каждого выпуклого многогранника представляет собой 3-связный плоский граф , а каждый 3-связный плоский граф Граф – это скелет некоторого выпуклого многогранника.

Ранняя идея абстрактных многогранников была развита в исследовании Бранко Грюнбаума «многогранников с полыми гранями». Грюнбаум определил грани как циклически упорядоченные наборы вершин и позволил им быть как косыми , так и плоскими. ^[2]

Перспектива графа позволяет применять терминологию и свойства графа к многогранникам. Например, тетраэдр и многогранник Часара — единственные известные многогранники, скелеты которых представляют собой полные графы (К ₄ ), а различные ограничения симметрии многогранников приводят к скелетам, которые являются симметричными графами .

Альтернативное использование

Со второй половины двадцатого века было обнаружено, что различные математические конструкции обладают свойствами, присущими традиционным многогранникам. Вместо того, чтобы ограничивать термин «многогранник» описанием трехмерного многогранника, он был принят для описания различных связанных, но различных типов структур.

Многогранники более высокой размерности

Многогранник был определен как набор точек в реальном аффинном (или евклидовом ) пространстве любой размерности n , имеющем плоские стороны. Альтернативно его можно определить как пересечение конечного числа полупространств . В отличие от обычного многогранника он может быть ограниченным и неограниченным. В этом смысле многогранник представляет собой ограниченный многогранник. ^{[14] [15]}

Аналитически такой выпуклый многогранник выражается как множество решений системы линейных неравенств. Такое определение многогранников обеспечивает геометрическую перспективу для задач линейного программирования . ^{[49] : 9}

Топологические многогранники

Топологический многогранник — это топологическое пространство, заданное вместе с определенным разложением на фигуры, топологически эквивалентные выпуклым многогранникам и регулярно соединенные друг с другом.

Такая фигура называется симплициальной, если каждая ее область является симплексом , т. е. в n -мерном пространстве каждая область имеет n +1 вершину. Двойственный симплициальному многограннику называется простым . Точно так же широко изученный класс многогранников (многогранников) — это кубические многогранники, когда основным строительным блоком является n -мерный куб.

Абстрактные многогранники

Абстрактный многогранник — это частично упорядоченный набор (ЧУМ) элементов, частичный порядок которых подчиняется определенным правилам инцидентности (связности) и ранжирования. Элементы набора соответствуют вершинам, ребрам, граням и т. д. многогранника: вершины имеют ранг 0, ребра — 1 и т. д., причем частично упорядоченный ранг соответствует размерности геометрических элементов. Пустое множество, требуемое теорией множеств, имеет ранг -1 и иногда говорят, что оно соответствует нулевому многограннику. Абстрактным многогранником называется абстрактный многогранник, имеющий следующий ранг:

• ранг 3: максимальный элемент, иногда отождествляемый с телом.
• ранг 2: многоугольные грани .
• Ряд 1: Края .
• ранг 0: вершины .
• ранг −1: пустое множество, иногда отождествляемое снулевой многогранник или нульлитоп . ^[50]

Тогда говорят, что любой геометрический многогранник является «реализацией» в реальном пространстве абстрактного частично упорядоченного множества, как описано выше.

История

До появления греков

Задача 14 Московского математического папируса о вычислении объема усеченного пирамидального конуса .

Многогранники появились в ранних архитектурных формах , таких как кубы и кубоиды, причем самые ранние четырехгранные египетские пирамиды датируются 27 веком до нашей эры . ^[51] Московский математический папирус примерно 1800–1650 гг. до н.э. включает раннее письменное исследование многогранников и их объемов (в частности, объема усеченного конуса ) . ^[52] Математика Старой Вавилонской империи , примерно того же периода времени, что и Московский папирус, также включала расчеты объемов кубоидов (и неполиэдрических цилиндров ) и расчеты высоты такой формы, необходимой для достичь заданного объема. ^[53]

Этруски опередили греков в понимании по крайней мере некоторых правильных многогранников, о чем свидетельствует открытие этрусского додекаэдра , сделанного из мыльного камня на Монте-Лоффа . Его грани были отмечены различными рисунками, что навело некоторых ученых на мысль, что его, возможно, использовали в качестве игрового кубика. ^[54]

Древняя Греция

Древнегреческие математики открыли и изучили выпуклые правильные многогранники , которые стали известны как Платоновы тела . Их первое письменное описание содержится в «Тимее » Платона (около 360 г. до н. э.), где четыре из них связываются с четырьмя элементами , а пятый — с общей формой Вселенной. Более математическая трактовка этих пяти многогранников была вскоре написана в « Началах Евклида » . Ранний комментатор Евклида (возможно, Близнец ) пишет, что приписывание этих форм Платону неверно: Пифагор знал тетраэдр , куб и додекаэдр , а Теэтет (около 417 г. до н.э.) открыл два других, октаэдр и икосаэдр . ^[55] Позже Архимед расширил свое исследование до выпуклых однородных многогранников , которые теперь носят его имя. Его оригинальная работа утеряна, а его материалы дошли до нас через Паппа . ^[56]

Древний Китай

14-гранный кубик периода Воюющих царств.

И кубические игральные кости, и 14-гранные игральные кости в форме усеченного октаэдра в Китае датируются еще периодом Воюющих царств . ^[57]

К 236 году нашей эры Лю Хуэй описывал рассечение куба на его характерный тетраэдр ( ортосхему ) и связанные с ним твердые тела, используя совокупности этих твердых тел в качестве основы для расчета объемов земли, которая должна была быть перемещена во время инженерных раскопок. ^[58]

Средневековый ислам

После окончания классической эпохи ученые исламской цивилизации продолжали развивать греческие знания (см. Математика в средневековом исламе ). ^[59] Ученый 9-го века Сабит ибн Курра включил расчет объемов в свои исследования, ^[60] и написал работу о кубооктаэдре . Затем в X веке Абуль Вафа описал выпуклые правильные и квазиправильные сферические многогранники. ^[61]

Ренессанс

Доппио ритратто , приписываемое Якопо де Барбари , изображающее Луку Пачоли и студента, изучающего стеклянный ромбокубооктаэдр , наполовину наполненный водой. ^[62]

Как и в случае с другими областями греческой мысли, поддерживаемыми и развиваемыми исламскими учеными, интерес Запада к многогранникам возродился во время итальянского Возрождения . Художники конструировали скелетные многогранники, изображая их с натуры в рамках своих исследований перспективы . ^[63] Тороидальные многогранники , сделанные из дерева и используемые для поддержки головного убора, стали обычным упражнением в перспективном рисунке и изображались на панелях маркетри того периода как символ геометрии. ^[64] Пьеро делла Франческа писал о построении перспективных видов многогранников и заново открыл многие архимедовы тела. Леонардо да Винчи иллюстрировал скелетные модели нескольких многогранников для книги Луки Пачоли ^[65] с текстом , в значительной степени заимствованным у делла Франчески. ^[66] Многогранные сети появляются в работах Альбрехта Дюрера . ^[67]

В нескольких работах этого времени исследуются звездчатые многогранники и другие разработки основных платоновских форм. Мраморная тарсия на полу базилики Святого Марка в Венеции, спроектированная Паоло Уччелло , изображает звездчатый додекаэдр. ^[68] По мере того как эпоха Возрождения распространилась за пределы Италии, более поздние художники, такие как Венцель Ямницер , Дюрер и другие, также изображали многогранники возрастающей сложности, многие из которых были новыми, в творческих офортах. ^[63] Иоганн Кеплер (1571–1630) использовал звездчатые многоугольники , обычно пентаграммы , для построения звездчатых многогранников. Некоторые из этих фигур, возможно, были открыты до Кеплера, но он был первым, кто осознал, что их можно считать «правильными», если снять ограничение, согласно которому правильные многогранники должны быть выпуклыми. ^[69]

В тот же период формула многогранника Эйлера , линейное уравнение , связывающее количество вершин, ребер и граней многогранника, была сформулирована для Платоновых тел в 1537 году в неопубликованной рукописи Франческо Мауролико . ^[70]

17–19 вв.

Рене Декарт примерно в 1630 году написал свою книгу De Solidorum Elementis , изучающую выпуклые многогранники как общую концепцию, не ограничивающуюся платоновыми телами и их разработками. Работа была утеряна и обнаружена только в 19 веке. Одним из его вкладов была теорема Декарта о полном угловом дефекте , которая тесно связана с многогранной формулой Эйлера. ^[71] Леонард Эйлер , в честь которого названа формула, ввел ее в 1758 году для выпуклых многогранников в более общем смысле, хотя и с неверным доказательством. ^[72] Работа Эйлера (вместе с его более ранним решением загадки о семи Кенигсбергских мостах ) стала основой новой области топологии . ^[73] Основные концепции этой области, включая обобщения формулы многогранника, были развиты в конце девятнадцатого века Анри Пуанкаре , Энрико Бетти , Бернхардом Риманом и другими. ^[74]

В начале 19 века Луи Пуансо расширил работу Кеплера и открыл оставшиеся два правильных звездных многогранника. Вскоре после этого Огюстен-Луи Коши доказал полноту списка Пуансо при негласном предположении, что последовательность вершин и ребер каждой стороны многоугольника не может допускать повторений (предположение, которое рассматривалось, но отвергалось в более ранней работе А.Ф.Л. Мейстера). ^[75] Они стали известны как многогранники Кеплера-Пуансо , а их обычные имена дал Артур Кэли . ^[76] Между тем, открытие более высоких размерностей в начале 19 века привело Людвига Шлефли к 1853 году к идее многогранников более высокой размерности. ^[77] Кроме того, в конце 19 века русский кристаллограф Евграф Федоров завершил классификацию параллелоэдров , выпуклых многогранников, которые замостили пространство путем сдвигов. ^[78]

20–21 века

Математика 20-го века родилась с проблемами Гильберта , одна из которых, третья проблема Гильберта , касалась многогранников и их разрезов . Ее быстро решил ученик Гильберта Макс Ден , введя инвариант Дена многогранников. ^[79] Теорема Стейница , опубликованная Эрнстом Стейницем в 1992 году, охарактеризовала графики выпуклых многогранников, привнося современные идеи из теории графов и комбинаторики в изучение многогранников. ^[80]

Многогранники Кеплера-Пуансо могут быть построены из платоновых тел с помощью процесса, называемого звездчатостью . Большинство звездочек не являются регулярными. Большой толчок изучению звёздчатых платоновых тел дали Х. С. М. Коксетер и другие в 1938 году, опубликовав ныне знаменитую статью «59 икосаэдров» . ^[81] Анализ Коксетера сигнализировал о возрождении интереса к геометрии. Сам Коксетер впервые перечислил звездчатые однородные многогранники, рассматривал мозаику плоскости как многогранники, открыл правильные косые многогранники и разработал теорию сложных многогранников , впервые открытую Шепардом в 1952 году, а также сделал фундаментальные открытия. вклад во многие другие области геометрии. ^[82]

Во второй половине двадцатого века и Бранко Грюнбаум , и Имре Лакатос указали на тенденцию среди математиков определять «многогранник» разными, а иногда и несовместимыми способами, чтобы удовлетворить потребности момента. ^{[1] [2]} В серии статей Грюнбаум расширил общепринятое определение многогранника, открыв множество новых правильных многогранников . В конце 20-го века эти последние идеи объединились с другими работами по комплексам инцидентности, чтобы создать современную идею абстрактного многогранника (как абстрактного трехмерного многогранника), представленную, в частности, Макмалленом и Шульте. ^[83]

Многогранники часто появляются в современной вычислительной геометрии , компьютерной графике и геометрическом дизайне , включая реконструкцию многогранных поверхностей или поверхностных сеток из разбросанных точек данных, ^[84] геодезические на многогранных поверхностях, ^[85] видимость и освещение в многогранных сценах, ^[86] многокубы и другие невыпуклые многогранники с осно-параллельными сторонами, ^[87] алгоритмические формы теоремы Стейница, ^[88] и до сих пор нерешенная проблема существования многогранных сетей для выпуклых многогранников. ^[89]

В природе

О естественном появлении правильных многогранников см. Правильный многогранник § Правильные многогранники в природе .

Неправильные многогранники встречаются в природе в виде кристаллов .

Смотрите также

• Расширение многогранника
• Многогранник Гольдберга
• Список книг о многогранниках
• Список маленьких многогранников по количеству вершин
• Почти промах Джонсон твердый
• Модели многогранников
• Диаграмма Шлегеля
• Списки фигур
• Стелла (программное обеспечение)

Рекомендации

1. Лакатос, Имре (2015) [1976], Уорролл, Джон; Захар, Эли (ред.), «Доказательства и опровержения: логика математического открытия» , Cambridge Philosophy Classics, Кембридж: Cambridge University Press, стр. 16, номер домена : 10.1017/CBO9781316286425, ISBN 978-1-107-53405-6, MR  3469698, определения часто предлагаются и дискутируются по поводу.
2. Грюнбаум, Бранко (1994), «Многогранники с полыми гранями», в Бистрички, Тибор; Шнайдер, Питер МакМаллен; Рольф; Вайс, А. (ред.), Труды Института перспективных исследований НАТО по многогранникам: реферат, выпуклые и вычислительные методы , Дордрехт: Kluwer Acad. Публикация, стр. 43–70, номер документа : 10.1007/978-94-011-0924-6_3, ISBN. 978-94-010-4398-4, МР  1322057{{citation}}: CS1 maint: несколько имен: список редакторов ( ссылка ); цитату см. на стр. 43.
3. Леб, Артур Л. (2013), «Многогранники: поверхности или твердые тела?», Сенешаль , Марджори (ред.), Формирование пространства: исследование многогранников в природе, искусстве и геометрическом воображении (2-е изд.), Springer, стр. 65–75, doi : 10.1007/978-0-387-92714-5_5.
4. Маккормак, Джозеф П. (1931), Solid Geometry , D. Appleton-Century Company, стр. 416.
5. де Берг, М .; ван Кревелд, М .; Овермарс, М .; Шварцкопф, О. (2000), Вычислительная геометрия: алгоритмы и приложения (2-е изд.), Springer, с. 64.
6. Матвеев, С.В. (2001) [1994], «Многогранник, аннотация», Энциклопедия математики , EMS Press
7. Стюарт, Б.М. (1980), Приключения среди тороидов: исследование ориентируемых многогранников с правильными гранями (2-е изд.), Стр. 6.
8. Cromwell, Питер Р. (1997), Многогранники , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-55432-9, МР  1458063; определения многогранников см. на стр. 206–209; о многогранниках с равными правильными гранями см. с. 86.
9. О'Рурк, Джозеф (1993), «Вычислительная геометрия на C» (PDF) , Компьютеры в физике , 9 (1): 113–116, Бибкод : 1995ComPh...9...55O, doi : 10.1063/1.4823371.
10. Грюнбаум, Бранко (1999), «Акоптические многогранники» (PDF) , Достижения в области дискретной и вычислительной геометрии (Саут-Хедли, Массачусетс, 1996) , Современная математика, том. 223, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 163–199, номер документа : 10.1090/conm/223/03137, ISBN. 978-0-8218-0674-6, MR  1661382, заархивировано из оригинала (PDF) 30 августа 2021 г. , получено 1 июля 2022 г..
11. Боковски, Дж.; Гуедес де Оливейра, А. (2000), «О поколении ориентированных матроидов», Дискретная и вычислительная геометрия , 24 (2–3): 197–208, doi : 10.1007/s004540010027 , MR  1756651.
12. Бургель, Х.; Стэнтон, Д. (2000), «Реализации правильных абстрактных многогранников типов {3,6} и {6,3}», Дискретная и вычислительная геометрия , 24 (2–3): 241–255, doi : 10.1007/s004540010030 , МР  1758047.
13. Грюнбаум, Бранко (2003), «Ваши многогранники такие же, как мои многогранники?» (PDF) , у Аронов, Борис ; Басу, Саугата; Пах, Янош ; Шарир, Миха (ред.), Дискретная и вычислительная геометрия: Фестиваль Гудмана – Поллака , Алгоритмы и комбинаторика, том. 25, Берлин: Springer, стр. 461–488, CiteSeerX 10.1.1.102.755 , doi : 10.1007/978-3-642-55566-4_21, ISBN .  978-3-642-62442-1, MR  2038487, заархивировано из оригинала (PDF) 21 декабря 2016 г. , получено 1 июля 2022 г.
14. Грюнбаум, Бранко (2003), Выпуклые многогранники , Тексты для выпускников по математике, том. 221 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, с. 26, номер домена : 10.1007/978-1-4613-0019-9, ISBN 978-0-387-00424-2, МР  : 1976856.
15. Брунс, Винфрид; Губеладзе, Джозеф (2009), «Определение 1.1», Многогранники, кольца и K -теория , Монографии Springer по математике, Дордрехт: Springer, стр. 5, CiteSeerX 10.1.1.693.2630 , doi : 10.1007/b105283, ISBN  978-0-387-76355-2, МР  2508056.
16. Пирс, Чарльз С. (1976), Эйзель, Кэролайн (редактор), Новые элементы математики, Том II: Алгебра и геометрия, Mouton Publishers & Humanities Press, стр. 297, ISBN 9783110818840
17. О'Киф, Майкл; Хайд, Брюс Г. (2020) [1996], Кристаллические структуры: закономерности и симметрия, Dover Publications, стр. 134, ISBN 9780486836546
18. Рингель, Герхард (1974), «Классификация поверхностей», Теорема о цвете карты , Springer, стр. 34–53, doi : 10.1007/978-3-642-65759-7_3
19. Ричесон, Дэвид С. (2008), Жемчужина Эйлера: формула многогранника и рождение топологии , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12677-7, МР  2440945, стр. 157, 180.
20. Стюарт, Б.М. (1980), Приключения среди тороидов: исследование ориентируемых многогранников с правильными гранями (2-е изд.), Б.М. Стюарт, ISBN 978-0-686-11936-4.
21. Канди, Х. Мартин ; Роллетт, AP (1961), «3.2 Дуальность», Математические модели (2-е изд.), Оксфорд: Clarendon Press, стр. 78–79, MR  0124167.
22. Грюнбаум, Б .; Шепард, GC (1969), «Выпуклые многогранники» (PDF) , Бюллетень Лондонского математического общества , 1 (3): 257–300, doi : 10.1112/blms/1.3.257, MR  0250188, заархивировано из оригинала (PDF) ) 22 февраля 2017 г. , получено 21 февраля 2017 г.. См., в частности, нижнюю часть страницы 260.
23. Коксетер, HSM (1947), Правильные многогранники , Метуэн, стр. 16
24. Барнетт, Дэвид (1973), «Доказательство гипотезы о нижней границе для выпуклых многогранников», Pacific Journal of Mathematics , 46 (2): 349–354, doi : 10.2140/pjm.1973.46.349 , MR  0328773
25. Луотониеми, Танели (2017), «Кривые дома: визуализация полихоры с помощью гиперболического лоскутного одеяла», в Сварте, Дэвид; Секен, Карло Х.; Фенивеси, Кристоф (ред.), Proceedings of Bridges 2017: Mathematics, Art, Music, Architecture, Education, Culture , Phoenix, Arizona: Tessellations Publishing, стр. 17–24, ISBN 978-1-938664-22-9
26. Коксетер, HSM (январь 1930 г.), «Многогранники с правильно-призматическими вершинными фигурами», Philosophical Transactions of the the Royal Society of London, Series A , The Royal Society, 229 (670–680): 329–425, doi : 10.1098 /rsta.1930.0009
27. Хартсхорн, Робин (2000), «Пример 44.2.3, «перфорированный икосаэдр»", Геометрия: Евклид и не только , Тексты для бакалавров по математике, Springer-Verlag, Нью-Йорк, стр. 442, doi : 10.1007/978-0-387-22676-7, ISBN 0-387-98650-2, МР  1761093
28. Гольдман, Рональд Н. (1991), «Глава IV.1: Площадь плоских многоугольников и объем многогранников», в Арво, Джеймс (редактор), Graphic Gems Package: Graphics Gems II , Academic Press, стр. 170– 171
29. Бюлер, Б.; Энге, А.; Фукуда, К. (2000), «Точное вычисление объема многогранников: практическое исследование», Многогранники — комбинаторика и вычисления , стр. 131–154, CiteSeerX 10.1.1.39.7700 , doi : 10.1007/978-3-0348-8438 -9_6, ISBN  978-3-7643-6351-2
30. Сидлер, Ж.-П. (1965), «Необходимые и достаточные условия для эквивалентности многогранников евклидового пространства в трех измерениях», Комментарий. Математика. Хелв. (на французском языке), 40 : 43–80, doi : 10.1007/bf02564364, MR  0192407, S2CID  123317371
31. Хазевинкель, М. (2001) [1994], «Инвариант Дена», Энциклопедия математики , EMS Press
32. Дебруннер, Ханс Э. (1980), "Über Zerlegungsgleichheit von Pflasterpolyedern mit Würfeln", Archiv der Mathematik (на немецком языке), 35 (6): 583–587, doi : 10.1007/BF01235384, MR  0604258, S2CID  121301319.
33. Александров, Виктор (2010), «Инварианты Дена октаэдров Брикара», Journal of Geometry , 99 (1–2): 1–13, arXiv : 0901.2989 , CiteSeerX 10.1.1.243.7674 , doi : 10.1007/s00022- 011-0061-7, МР  2823098, S2CID  17515249 .
34. Bridge, Нью-Джерси (1974), «Огранка додекаэдра», Acta Crystallographica , A30 (4): 548–552, doi : 10.1107/S0567739474001306
35. Инчбальд, Г. (2006), «Диаграммы огранки», The Mathematical Gazette , 90 (518): 253–261, doi : 10.1017/S0025557200179653, S2CID  233358800
36. Тейлор, Джин Э. (1992), «Зоноэдры и обобщенные зоноэдры», American Mathematical Monthly , 99 (2): 108–111, doi : 10.2307/2324178, JSTOR  2324178, MR  1144350.
37. Стэнли, Ричард П. (1997), Перечислительная комбинаторика, Том I (1-е изд.), Cambridge University Press, стр. 235–239, ISBN 978-0-521-66351-9
38. Кокс, Дэвид А. (2011), Торические разновидности , Джон Б. Литтл, Генри К. Шенк, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-4819-7, OCLC  698027255
39. Стэнли, Ричард П. (1996), Комбинаторика и коммутативная алгебра (2-е изд.), Бостон: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3836-9, OCLC  33080168
40. Демейн, Эрик Д .; О'Рурк, Джозеф (2007), «23.2 Гибкие многогранники», Геометрические алгоритмы складывания: связи, оригами, многогранники , Cambridge University Press, Кембридж, стр. 345–348, doi : 10.1017/CBO9780511735172, ISBN 978-0-521-85757-4, МР  2354878.
41. О'Рурк, Джозеф (2008), «Развертывание ортогональных многогранников», Обзоры по дискретной и вычислительной геометрии , Contemp. Матем., вып. 453, амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, стр. 307–317, doi : 10.1090/conm/453/08805 , ISBN. 978-0-8218-4239-3, МР  2405687.
42. Гарднер, Мартин (ноябрь 1966 г.), «Математические игры: возможно ли визуализировать четырехмерную фигуру?», Scientific American , 215 (5): 138–143, doi : 10.1038/scientificamerican1166-138, JSTOR  24931332
43. Шрамм, Одед (1992-12-01), «Как поместить яйцо в клетку», Inventiones Mathematicae , 107 (1): 543–560, Бибкод : 1992InMat.107..543S, doi : 10.1007/BF01231901, ISSN  1432- 1297
44. Коксетер, HSM (1974), Правильные комплексные многогранники , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, MR  0370328. ^{[ нужна страница ]}
45. Попко, Эдвард С. (2012), Разделенные сферы: геодезика и упорядоченное деление сферы, CRC Press, стр. 463, ISBN 978-1-4665-0430-1, Осоэдр возможен только на сфере.
46. Крайник, А.М.; Рейнельт, Д.А. (2007), «Пены, микрореология», Мортенсен, Андреас (редактор), Краткая энциклопедия композитных материалов (2-е изд.), Elsevier, стр. 402–407.. См., в частности, стр. 403: «Пена состоит из многогранных пузырьков газа... каждая грань многогранника представляет собой минимальную поверхность с равномерной средней кривизной... ни одна грань не может быть плоским многоугольником с прямыми краями».
47. Пирс, П. (1978), «14 седловых многогранников и непрерывных поверхностей как структур окружающей среды», Структура в природе - это стратегия дизайна, MIT Press, стр. 224, ISBN 978-0-262-66045-7.
48. Коксетер, HSM (1985), «Специальная рецензия на книгу: MC Эшер: Его жизнь и полная графическая работа», The Mathematical Intelligencer , 7 (1): 59–69, doi : 10.1007/BF03023010, S2CID  189887063Анализ «Звезд» Кокстером находится на стр. 61–62.
49. Гретшель, Мартин ; Ловас, Ласло ; Шрийвер, Александр (1993), Геометрические алгоритмы и комбинаторная оптимизация, Алгоритмы и комбинаторика, том. 2 (2-е изд.), Springer-Verlag, Берлин, номер документа : 10.1007/978-3-642-78240-4, ISBN 978-3-642-78242-8, МР  1261419
50. Н. В. Джонсон : Геометрии и преобразования , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Группы конечной симметрии , 11.1 Многогранники и соты , стр.224 
51. Китчен, Калифорния (октябрь 1991 г.), «Хронология древнего Египта», World Archeology , 23 (2): 201–208, doi : 10.1080/00438243.1991.9980172.
52. Ганн, Баттискомб; Пит, Т. Эрик (май 1929 г.), «Четыре геометрические задачи из Московского математического папируса», Журнал египетской археологии , 15 (1): 167–185, doi : 10.1177/030751332901500130, S2CID  192278129
53. Фриберг, Йоран (2000), «Математика в Уре в старовавилонский период», Revue d'Assyriologie et d'archéologie orientale , 94 (2): 97–188, JSTOR  23281940
54. Спаравинья, Амелия Каролина (2012), Этрусский додекаэдр , arXiv : 1205.0706
55. Ивс, Ховард (январь 1969 г.), «Геометрическая капсула, касающаяся пяти платоновых тел», Исторически говоря, Учитель математики , 62 (1): 42–44, doi : 10.5951/mt.62.1.0042, JSTOR  27958041
56. Филд, СП (1997), «Вновь открывая архимедовы многогранники: Пьеро делла Франческа, Лука Пачоли, Леонардо да Винчи, Альбрехт Дюрер, Даниэле Барбаро и Иоганн Кеплер», Архив истории точных наук , 50 (3–4): 241–289, номер документа : 10.1007/BF00374595, JSTOR  41134110, MR  1457069, S2CID  118516740.
57. Бреар, Андреа ; Кук, Констанс А. (декабрь 2019 г.), «Раскалывание костей и чисел: решение загадки числовых последовательностей на древних китайских артефактах», Архив истории точных наук , 74 (4): 313–343, doi : 10.1007/s00407- 019-00245-9, S2CID  253898304
58. ван дер Варден, Б.Л. (1983), «Глава 7: Лю Хуэй и Ариабхата», Геометрия и алгебра в древних цивилизациях , Springer, стр. 192–217, doi : 10.1007/978-3-642-61779-9_7
59. Норр, Уилбур (1983), «О передаче геометрии с греческого на арабский язык», Historia Mathematica , 10 (1): 71–78, doi : 10.1016/0315-0860(83)90034-4 , MR  0698139
60. Рашед, Рошди (2009), «Табит ибн Курра и l'art de la mesure», в Рашед, Рошди (ред.), Табит ибн Курра: Наука и философия в Багдаде девятого века , Scientia Graeco-Arabica (на французском языке) ), т. 4, Вальтер де Грюйтер, стр. 173–175, ISBN. 9783110220780
61. Хисарлигил, Хакан; Хисарлигил, Бейхан Болак (декабрь 2017 г.), «Геометрия кубооктаэдров в средневековом искусстве Анатолии», Nexus Network Journal , 20 (1): 125–152, doi : 10.1007/s00004-017-0363-7
62. Гамба, Энрико (2012), «Математические идеи Луки Пачоли, изображенные Якопо де Барбари в ритратто Доппио » , в Эммер, Микеле (редактор), Imagine Math , Springer, стр. 267–271, doi : 10.1007 /978-88-470-2427-4_25, ISBN 978-88-470-2427-4
63. Эндрюс, Ноам (2022), Многогранники: искусство и геометрия в долгом шестнадцатом веке , MIT Press, ISBN 9780262046640
64. Кальво-Лопес, Хосе; Алонсо-Родригес, Мигель Анхель (февраль 2010 г.), «Перспектива против стереотипии: от многогранных колец кватроченто до испанских торических сводов шестнадцатого века», Nexus Network Journal , 12 (1): 75–111, doi : 10.1007/s00004-010- 0018-4
65. Филд, СП (1997), «Вновь открывая архимедовы многогранники: Пьеро делла Франческа, Лука Пачоли, Леонардо да Винчи, Альбрехт Дюрер, Даниэле Барбаро и Иоганн Кеплер», Архив истории точных наук , 50 (3–4): 241–289, номер документа : 10.1007/BF00374595, JSTOR  41134110, MR  1457069, S2CID  118516740.
66. Монтебелли, Вико (2015), «Лука Пачоли и перспектива (часть I)», Lettera Matematica , 3 (3): 135–141, doi : 10.1007/s40329-015-0090-4, MR  3402538, S2CID  193533200
67. Гоми, Мохаммад (2018), «Проблема Дюрера о развертывании выпуклых многогранников» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 65 (1): 25–27, doi : 10.1090/noti1609, MR  3726673
68. Саффаро, Лусио (1992), «Космоиды, фуллерены и непрерывные многоугольники», Талиани, К.; Руани, Г.; Замбони, Р. (ред.), Фуллерены: статус и перспективы, Материалы 1-го итальянского семинара, Болонья, Италия, 6–7 февраля , Сингапур: World Scientific, стр. 55–64.
69. Филд, СП (1979), «Звездные многогранники Кеплера», Vistas in Astronomy , 23 (2): 109–141, doi : 10.1016/0083-6656(79)90001-1, MR  0546797
70. Фридман, Майкл (2018), История складывания в математике: математизация полей , Science Networks. Исторические исследования, том. 59, Биркхойзер, с. 71, номер домена : 10.1007/978-3-319-72487-4, ISBN 978-3-319-72486-7
71. Федерико, Паскуале Джозеф (1982), Декарт о многогранниках: исследование «De Solidorum elementis» , Источники по истории математики и физических наук, том. 4, Спрингер-Верлаг, ISBN 0-387-90760-2, МР  0680214
72. Франсезе, Кристофер; Ричесон, Дэвид (2007), «Ошибка в доказательстве Эйлером его многогранной формулы», The American Mathematical Monthly , 114 (4): 286–296, doi : 10.1080/00029890.2007.11920417, MR  2281926, S2CID  10023787
73. Александерсон, Джеральд Л. (2006), «Об обложке: мосты Эйлера и Кенигсберга: исторический взгляд», Американское математическое общество , New Series, 43 (4): 567–573, doi : 10.1090/S0273-0979-06 -01130-Х , МР  2247921
74. Экманн, Бено (2006), «Характеристика Эйлера - несколько ярких моментов в ее долгой истории», Mathematical Survey Lectures 1943–2004 , Springer, стр. 177–188, doi : 10.1007/978-3-540-33791-1_15 , ISBN 978-3-540-33791-1, МР  2269092
75. Грюнбаум, Бранко (1994), «Правильные многогранники», в Grattan-Guinness, I. (ред.), Сопутствующая энциклопедия истории и философии математических наук , том. 2, Рутледж, стр. 866–876, ISBN. 0-415-03785-9, МР  1469978
76. Малкевич, Джозеф (2018), «Многогранники с правильными гранями: вспоминая Нормана Джонсона», колонка AMS Feature , Американское математическое общество , получено 27 мая 2023 г.
77. Коксетер (1947), стр. 141–143.
78. Остин, Дэвид (ноябрь 2013 г.), «Пять параллелоэдров Федорова», колонка AMS Feature , Американское математическое общество
79. Зееман, EC (июль 2002 г.), «О третьей проблеме Гильберта», The Mathematical Gazette , 86 (506): 241–247, doi : 10.2307/3621846, JSTOR  3621846, S2CID  125593771
80. Грюнбаум, Бранко (2007), «Графики многогранников; многогранники как графы», Discrete Mathematics , 307 (3–5): 445–463, doi : 10.1016/j.disc.2005.09.037, hdl : 1773/2276 , МР  2287486
81. Коксетер, HSM ; Дю Валь, П.; Флатер, ХТ; Петри, Дж. Ф. (1999) [1938], Пятьдесят девять икосаэдров , Tarquin Publications, ISBN 978-1-899618-32-3, МР  0676126.
82. Робертс, Шивон (2009), Король бесконечного пространства: Дональд Коксетер, человек, который спас геометрию , Bloomsbury Publishing, ISBN 9780802718327
83. Макмаллен, Питер ; Шульте, Эгон (2002), Абстрактные правильные многогранники , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 92, Издательство Кембриджского университета
84. Лим, Сенг По; Харон, Хабиболла (март 2012 г.), «Методы реконструкции поверхности: обзор», Обзор искусственного интеллекта , 42 (1): 59–78, номер документа : 10.1007/s10462-012-9329-z, S2CID  254232891
85. Митчелл, Джозеф С.Б .; Маунт, Дэвид М .; Пападимитриу, Христос Х. (1987), «Дискретная геодезическая проблема», SIAM Journal on Computing , 16 (4): 647–668, doi : 10.1137/0216045, MR  0899694
86. Теллер, Сет Дж .; Ханрахан, Пэт (1993), «Алгоритмы глобальной видимости для вычислений освещения», в Уиттоне, Мэри К. (ред.), Труды 20-й ежегодной конференции по компьютерной графике и интерактивным методам, SIGGRAPH 1993, Анахайм, Калифорния, США, август. 2–6, 1993 , Ассоциация вычислительной техники, стр. 239–246, номер документа : 10.1145/166117.166148, S2CID  7957200.
87. Черчи, Джанмарко (февраль 2019 г.), Оптимизация и приложения Polycube: от цифрового мира к производству (докторская диссертация), Университет Кальяри, hdl : 11584/261570
88. Роте, Гюнтер (2011), «Реализация плоских графов как выпуклых многогранников», в Ван Кревельд, Марк Дж.; Спекманн, Беттина (ред.), Рисование графиков - 19-й Международный симпозиум, GD 2011, Эйндховен, Нидерланды, 21–23 сентября 2011 г., Пересмотренные избранные статьи , Конспекты лекций по информатике, том. 7034, Springer, стр. 238–241, номер документа : 10.1007/978-3-642-25878-7_23.
89. Демейн, Эрик ; О'Рурк, Джозеф (2007), Геометрические алгоритмы складывания: связи, оригами, многогранники , издательство Кембриджского университета

Внешние ссылки

Общая теория

• Вайсштейн, Эрик В. , «Многогранник», MathWorld
• Страницы многогранников
• Единое решение для однородных многогранников, автор: доктор Зви Хар'Эл. Архивировано 27 ноября 2015 г. в Wayback Machine.
• Симметрия, кристаллы и многогранники

Списки и базы данных многогранников

• Многогранники виртуальной реальности - Энциклопедия многогранников.
• Модели электронной геометрии – содержит проверенную подборку многогранников с необычными свойствами.
• Модели многогранников – виртуальные многогранники.
• Бумажные модели однородных (и других) многогранников
• Просмотр многогранников – веб-инструмент для визуализации взаимосвязей между выпуклыми многогранниками с правильными гранями.

Бесплатно программное обеспечение

• Множество многогранников — интерактивная бесплатная коллекция многогранников на Java. Возможности включают сети, плоские сечения, двойники, усечения и звездочки из более чем 300 многогранников.
• Hyperspace Star Polytope Slicer — Java-апплет Explorer, включает в себя множество опций трехмерного просмотра.
• openSCAD – Бесплатное кроссплатформенное программное обеспечение для программистов. Многогранники — это лишь одна из вещей, которые можно моделировать. Также доступно руководство пользователя openSCAD.
• OpenVolumeMesh — кроссплатформенная библиотека C++ с открытым исходным кодом для работы с многогранными сетками. Разработано Аахенской группой компьютерной графики RWTH Ахенского университета.
• Polyhedronisme. Архивировано 25 апреля 2012 г. на Wayback Machine — веб-инструмент для создания моделей многогранников с использованием нотации многогранников Конвея . Модели можно экспортировать как 2D-изображения PNG или как файлы 3D OBJ или VRML2. 3D-файлы можно открыть в программном обеспечении САПР или загрузить для 3D-печати в таких сервисах, как Shapeways.

Ресурсы для создания физических моделей

• Бумажные модели многогранников. Бесплатные сетки многогранников.
• Простые инструкции по построению более 30 бумажных многогранников.
• Многогранники, сплетенные из бумажных полосок – модели многогранников, построенные без использования клея.
• Примите многогранник — интерактивное отображение, сети и данные 3D-принтера для всех комбинаторных типов многогранников, имеющих до девяти вершин.