Уравнения Дена–Соммервилля

В математике уравнения Дена–Соммервилля представляют собой полный набор линейных соотношений между числами граней различной размерности симплициального многогранника . Для многогранников размерности 4 и 5 они были найдены Максом Деном в 1905 году. Их общая форма была установлена ​​Дунканом Соммервиллем в 1927 году. Уравнения Дена–Соммервилля можно переформулировать как условие симметрии для h -вектора симплициального многогранника, и это стало стандартной формулировкой в ​​недавней литературе по комбинаторике. По двойственности аналогичные уравнения справедливы для простых многогранников .

Заявление

Пусть P — d -мерный симплициальный многогранник . Для i = 0, 1, ..., d  − 1 пусть f _i обозначает число i -мерных граней P. Последовательность

${\displaystyle f(P)=(f_{0},f_{1},\ldots ,f_{d-1})}$

называется f -вектором многогранника P. Кроме того, задайте

${\displaystyle f_{-1}=1,f_{d}=1.}$

Тогда для любого k = −1, 0, ..., d − 2 справедливо  следующее уравнение Дена–Соммервилля :

${\displaystyle \sum _{j=k}^{d-1}(-1)^{j}{\binom {j+1}{k+1}}f_{j}=(-1)^{d-1}f_{k}.}$

При k = −1 это выражает тот факт, что эйлерова характеристика ( d  − 1)-мерной симплициальной сферы равна 1 + (−1) ^{d  − 1} .

Уравнения Дена–Соммервилля с разными k не являются независимыми. Существует несколько способов выбрать максимальное независимое подмножество, состоящее из уравнений. Если d четное, то уравнения с k = 0, 2, 4, ...,  d  − 2 являются независимыми. Другое независимое множество состоит из уравнений с k = −1, 1, 3, ..., d  − 3. Если d нечетное, то уравнения с k = −1, 1, 3, ..., d  − 2 образуют одно независимое множество, а уравнения с k = −1, 0, 2, 4, ..., d  − 3 образуют другое. ${\textstyle \left[{\frac {d+1}{2}}\right]}$

Эквивалентные формулировки

Соммервилль нашел другой способ сформулировать эти уравнения:

${\displaystyle \sum _{i=-1}^{k-1}(-1)^{d+i}{\binom {d-i-1}{d-k}}f_{i}=\sum _{i=-1}^{d-k-1}(-1)^{i}{\binom {d-i-1}{k}}f_{i},}$

где 0 ≤ k ≤ 1 ⁄ 2 (d−1). Это можно еще больше облегчить, введя понятие h -вектора P. Для k = 0, 1, ..., d пусть

${\displaystyle h_{k}=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{\binom {d-i}{k-i}}f_{i-1}.}$

Последовательность

${\displaystyle h(P)=(h_{0},h_{1},\ldots ,h_{d})}$

называется h -вектором P. F - вектор и h - вектор однозначно определяют друг друга через соотношение

${\displaystyle \sum _{i=0}^{d}f_{i-1}(t-1)^{d-i}=\sum _{k=0}^{d}h_{k}t^{d-k}.}$

Тогда уравнения Дена–Соммервилля можно переформулировать просто как

${\displaystyle h_{k}=h_{d-k}\quad {\text{ for }}0\leq k\leq d.}$

Уравнения с 0 ≤ k ≤ 1 ⁄ 2 (d−1) независимы, а остальные им явно эквивалентны.

Ричард Стэнли дал интерпретацию компонентов h -вектора симплициального выпуклого многогранника P в терминах проективного торического многообразия X, связанного с (двойственным к)  P. А именно, они являются размерностями групп  когомологий четного пересечения X :

${\displaystyle h_{k}=\dim _{\mathbb {Q} }\operatorname {IH} ^{2k}(X,\mathbb {Q} )}$

(нечетные группы когомологий пересечения X все равны нулю). На этом языке последняя форма уравнений Дена–Соммервилля, симметрия h -вектора, является проявлением двойственности Пуанкаре в когомологиях  пересечения X.

Ссылки

• Бранко Грюнбаум , Выпуклые многогранники . Второе издание. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 221, Springer, 2003 ISBN  0-387-00424-6
• Ричард П. Стэнли , Комбинаторика и коммутативная алгебра . Второе издание. Progress in Mathematics, 41. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 1996. ISBN 0-8176-3836-9 
• DMY Sommerville (1927) Соотношения, связывающие суммы углов и объем многогранника в пространстве n измерений. Труды Королевского общества, серия A, 115:103–19, веб-ссылка из JSTOR .
• Гюнтер М. Циглер , Лекции о многогранниках . Springer , 1998. ISBN 0-387-94365-X