Бипирамида

Многогранник, образованный соединением оснований зеркальных пирамид.

В геометрии бипирамида , дипирамида или двойная пирамида — это многогранник , образованный путем слияния двух пирамид друг с другом по основанию . Поэтому многоугольное основание каждой пирамиды должно быть одинаковым, и, если не указано иное, вершины основания обычно копланарны , а бипирамида обычно симметрична , то есть две пирамиды являются зеркальными отражениями в их общей плоскости основания. Когда каждая вершина ( мн.  вершины, вершины вне основания) бипирамиды находится на линии, перпендикулярной основанию и проходящей через ее центр, это правильная бипирамида; ^[a] в противном случае оно является косым . Если основанием является правильный многоугольник , бипирамиду также называют правильной .

Определение и свойства

Треугольная бипирамида, октаэдр и пятиугольная бипирамида.

Бипирамида — это многогранник, построенный путем слияния двух пирамид , имеющих одно и то же многоугольное основание ; ^[1] пирамида, в свою очередь, строится путем соединения каждой вершины ее основания с одной новой вершиной ( вершиной ), не лежащей в плоскости основания, для -угольного основания, образующего в дополнение к базовой грани треугольные грани. Таким образом, -угольная бипирамида имеет грани, ребра и вершины. ^[2] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 3n}$ ${\displaystyle n+2}$

Когда две пирамиды являются зеркальными отражениями, бипирамида называется симметричной . Он называется правильным, если его основанием является правильный многоугольник. ^[1] Если основанием является правильный многоугольник, а вершины лежат на перпендикуляре, проходящем через его центр ( правильная правая бипирамида ), то все его грани представляют собой равнобедренные треугольники ; иногда название бипирамида относится конкретно к симметричным правильным правым бипирамидам, ^[3] Примерами таких бипирамид являются треугольная бипирамида , октаэдр (квадратная бипирамида) и пятиугольная бипирамида . В случае, если все их ребра равны по длине, эти фигуры состоят из граней равностороннего треугольника , что делает их дельтаэдрами ; ^{[4] [5]} треугольная бипирамида и пятиугольная бипирамида являются телами Джонсона , а правильный октаэдр является платоновым телом . ^[6]

Октаэдр двойственен кубу.

Симметричные правильные правые бипирамиды обладают призматической симметрией , двугранной группой порядка : их внешний вид симметричен за счет вращения вокруг оси симметрии и отражения через плоскость зеркала. ^[7] Они являются двойственным многогранником призм , а призмы также являются двойственными бипирамидам: вершины бипирамид соответствуют граням призмы, а ребра между парами вершин одной соответствуют ребрам между парами граней призмы. другой, и наоборот; ^[8] призмы имеют ту же симметрию, что и бипирамиды. ^[9] Правильный октаэдр еще более симметричен, поскольку его базовые вершины и вершины неразличимы и могут меняться местами за счет отражений или вращений: октаэдр и двойственный ему куб обладают октаэдрической симметрией . ^[10] ${\displaystyle D_{nh}}$ ${\displaystyle 2n}$

В более общем смысле, правильная пирамида — это пирамида, вершины которой находятся на перпендикуляре, проходящем через центр тяжести произвольного многоугольника или центр тангенциального многоугольника , в зависимости от источника. ^[а] Точно так же правая бипирамида — это многогранник, построенный путем соединения двух симметричных оснований правой бипирамиды; бипирамиды, вершины которых не лежат на этой линии, называются косыми бипирамидами . ^[2]

Объем симметричной бипирамиды равен

$${\displaystyle {\frac {2}{3}}Bh,}$$

Bhмногоугольника ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle h}$

$${\displaystyle {\frac {n}{6}}hs^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}.}$$

Родственные и другие виды бипирамиды

Вогнутые бипирамиды

Вогнутая бипирамида имеет основание вогнутого многоугольника , и одним из примеров является вогнутая тетрагональная бипирамида или неправильный вогнутый октаэдр. Бипирамиду с произвольным многоугольным основанием можно считать правой бипирамидой, если вершины находятся на линии, перпендикулярной основанию, проходящей через центр тяжести основания .

Асимметричные бипирамиды

Асимметричная бипирамида имеет вершины, которые не зеркально отражаются от базовой плоскости; для правой бипирамиды это происходит только в том случае, если каждая вершина находится на разном расстоянии от основания.

Двойственной асимметричной правой n - угольной бипирамиде является n -угольная усеченная пирамида .

Правильная несимметричная правоn - угольная _{бипирамида} имеет группу симметрии Cnv _{порядка} 2n .

Бипирамиды разностороннего треугольника

Пример: дитетрагональная бипирамида ( 2 n = 2×4 )

Изотоксальная правая (симметричная) би- n -угольная бипирамида — это правая (симметричная) 2 n -угольная бипирамида с изотоксальным плоским многоугольным основанием: ее 2 n базальные вершины компланарны, но чередуются по двум радиусам .

Все его грани представляют собой равные разносторонние треугольники , и он равногранен . Его можно рассматривать как еще один тип правосимметричного двуугольного скаленоэдра с изотоксальным плоским многоугольным основанием.

Изотоксальная правая (симметричная) двуугольная бипирамида имеет n осей двукратного вращения через противоположные базальные вершины, n плоскостей отражения через противоположные апикальные ребра, n - ось вращения через вершины, плоскость отражения через основание и n -кратная ось вращения-отражения через вершины, ^[11] представляющая группу симметрии D _{n h} , [ n ,2], (*22 n ) порядка 4 n . (Отражение от базовой плоскости соответствует отражению вращения на 0 ° . Если n четное, то существует инверсионная симметрия относительно центра, соответствующая отражению вращения на 180 ° .)

Пример с 2 n = 2×3 :

Изотоксальная правая (симметричная) дитригональная бипирамида имеет три одинаковые вертикальные плоскости симметрии, пересекающиеся по (вертикальной) оси вращения 3 -го порядка; перпендикулярно им — четвертая плоскость симметрии (горизонтальная); на пересечении трех вертикальных плоскостей с горизонтальной плоскостью находятся три одинаковые (горизонтальные) оси 2 -кратного вращения; нет центра инверсионной симметрии, ^[12] , но есть центр симметрии : точка пересечения четырех осей.

Пример с 2 n = 2×4 :

Изотоксальная правая (симметричная) дитетрагональная бипирамида имеет четыре вертикальные плоскости симметрии двух видов, пересекающиеся по (вертикальной) оси вращения 4 -го порядка; перпендикулярно им — пятая плоскость симметрии (горизонтальная); на пересечении четырех вертикальных плоскостей с горизонтальной плоскостью расположены четыре (горизонтальные) оси 2 -кратного вращения двух видов, каждая из которых перпендикулярна плоскости симметрии; две вертикальные плоскости делят пополам углы между двумя горизонтальными осями; и есть центр инверсионной симметрии. ^[13]

При не более чем двух частных значениях грани такого разностороннего треугольника-бипирамиды могут быть равнобедренными . ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle z_{A}=|z_{A'}|,}$

Двойной пример:

• Бипирамида с изотоксальными вершинами основания 2×2 -угольника U, U', V, V' и правосимметричными вершинами A, A'.
  $${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}U&=(1,0,0),&\quad V&=(0,2,0),&\quad A&=(0,0,1),\\U'&=(-1,0,0),&\quad V'&=(0,-2,0),&\quad A'&=(0,0,-1),\end{alignedat}}}$$
  имеет равнобедренные лица. Действительно:
  • Длина верхнего апикального края:
    $${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {2}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}&={\overline {AV'}}={\sqrt {5}}\,;\end{aligned}}}$$
  • Длина базовой кромки:
    $${\displaystyle {\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}={\sqrt {5}}\,;}$$
  • Длина нижнего апикального края (равна длине верхнего края):
    $${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}={\sqrt {2}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}={\sqrt {5}}\,.\end{aligned}}}$$

• Бипирамида с теми же вершинами в основании, но с правосимметричными вершинами.
  $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=(0,0,2),\\A'&=(0,0,-2),\end{aligned}}}$$
  также имеет равнобедренные лица. Действительно:
  • Длина верхнего апикального края:
    $${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {5}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}&={\overline {AV'}}=2{\sqrt {2}}\,;\end{aligned}}}$$
  • Длина базовой кромки (равна предыдущему примеру):
    $${\displaystyle {\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}={\sqrt {5}}\,;}$$
  • Длина нижнего апикального края (равна длине верхнего края):
    $${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}={\sqrt {5}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}=2{\sqrt {2}}\,.\end{aligned}}}$$

Примеры ромбических бипирамид

В кристаллографии существуют изотоксальные правосторонние (симметричные) дидигональные ^[b] (8-гранные), дитригональные (12-гранные), дитетрагональные (16-гранные) и дигексагональные (24-гранные) бипирамиды. ^{[11] [14]}

Скаленоэдры

Пример: дитригональный скаленоэдр ( 2 n = 2×3 )

Скаленоэдр подобен бипирамиде ; разница в том, что скаленоэдры имеют зигзагообразный рисунок на средних гранях. ^[15]

Он имеет две вершины и 2 n базальных вершин, 4 n граней и 6 n ребер; топологически она идентична 2n - угольной бипирамиде , но ее 2n базальные вершины чередуются в двух кольцах выше и ниже центра. ^[14]

Все его грани представляют собой равные разносторонние треугольники , и он равногранен . Ее можно рассматривать как еще один тип правосимметричной двуугольной бипирамиды с основанием из правильного зигзагообразного перекошенного многоугольника.

Правильный правосимметричный двуугольный скаленоэдр имеет n осей двойного вращения через противоположные базальные средние ребра, n плоскостей отражения через противоположные вершинные ребра, n - ось вращения через вершины и 2 n -кратное вращение-отражение. оси через вершины (относительно которых 1 n вращений-отражений глобально сохраняют тело), ^​​[11] представляющих группу симметрии D _{n v} = D _{n d} , [2 ⁺ ,2 n ], (2* n ), порядка 4 n . (Если n нечетно, то существует инверсионная симметрия относительно центра, соответствующая вращению-отражению на 180 ° .)

Пример с 2 n = 2×3 :

Правильный правосимметричный дитригональный скаленоэдр имеет три одинаковые вертикальные плоскости симметрии, наклоненные друг к другу под углом 60° и пересекающиеся по (вертикальной) оси вращения 3 -го порядка, три аналогичные горизонтальные оси вращения 2 -го порядка, каждая из которых перпендикулярна плоскости симметрии. центр инверсионной симметрии ^[16] и вертикальная 6 -кратная ось вращения-отражения.

Пример с 2 n = 2×2 :

Правильный правосимметричный дидигональный скаленоэдр имеет только одну вертикальную и две горизонтальные оси вращения 2 -го порядка, две вертикальные плоскости симметрии, делящие пополам углы между горизонтальной парой осей, и вертикальную ось 4 -го вращения-отражения; ^[17] у него нет центра инверсионной симметрии.

Примеры дисфеноидов и 8 -гранного скаленоэдра.

При не более чем двух частных значениях грани такого лестничного эдра могут быть равнобедренными . ${\displaystyle z_{A}=|z_{A'}|,}$

Двойной пример:

• Скаленоэдр с правильным зигзагообразным скосом 2×2 -угольника в основании вершинами U, U', V, V' и правосимметричными вершинами A, A'.
  $${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}U&=(3,0,2),&\quad V&=(0,3,-2),&\quad A&=(0,0,3),\\U'&=(-3,0,2),&\quad V'&=(0,-3,-2),&\quad A'&=(0,0,-3),\end{alignedat}}}$$
  имеет равнобедренные лица. Действительно:
  • Длина верхнего апикального края:
    $${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {10}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}&={\overline {AV'}}={\sqrt {34}}\,;\end{aligned}}}$$
  • Длина базовой кромки:
    $${\displaystyle {\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}={\sqrt {34}}\,;}$$
  • Длина нижнего апикального края (равна замененной длине верхнего края):
    $${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}={\sqrt {34}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}={\sqrt {10}}\,.\end{aligned}}}$$

• Скаленоэдр с теми же вершинами в основании, но с правосимметричными вершинами.
  $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=(0,0,7),\\A'&=(0,0,-7),\end{aligned}}}$$
  также имеет равнобедренные лица. Действительно:
  • Длина верхнего апикального края:
    $${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {34}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}&={\overline {AV'}}=3{\sqrt {10}}\,;\end{aligned}}}$$
  • Длина базовой кромки (равна предыдущему примеру):
    $${\displaystyle {\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}={\sqrt {34}}\,;}$$
  • Длина нижнего апикального края (равна замененной длине верхнего края):
    $${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}=3{\sqrt {10}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}={\sqrt {34}}\,.\end{aligned}}}$$

В кристаллографии существуют правильные правосимметричные дидигональные ( 8 -гранные) и дитригональные ( 12 -гранные) скаленоэдры. ^{[11] [14]}

Наименьшие геометрические скаленоэдры имеют восемь граней и топологически идентичны правильному октаэдру . В этом случае ( 2 n = 2×2 ) в кристаллографии правильный правосимметричный дидигональный ( 8 -гранный) скаленоэдр называется тетрагональным скаленоэдром . ^{[11] [14]}

Остановимся временно на правильных правосимметричных 8 -гранных скаленоэдрах с h = r , т.е.

$${\displaystyle z_{A}=|z_{A'}|=x_{U}=|x_{U'}|=y_{V}=|y_{V'}|.}$$

A, A',U, U', V, V'

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}U&=(1,0,z),&\quad V&=(0,1,-z),&\quad A&=(0,0,1),\\U'&=(-1,0,z),&\quad V'&=(0,-1,-z),&\quad A'&=(0,0,-1),\end{alignedat}}}$$

z01

При z = 0 это правильный октаэдр; при z = 1 он имеет четыре пары копланарных граней, и объединение их в четыре конгруэнтных равнобедренных треугольника делает его дисфеноидом ; для z > 1 он вогнутый.

Если основание 2 n -угольника является одновременно изотоксальным входом-выходом и зигзагообразным скосом , то не все грани изотоксального правосимметричного скаленоэдра конгруэнтны.

Пример с пятью различными длинами кромок:

• Скаленоэдр с изотоксальным зигзагообразным скосом внутрь-наружу, 2 × 2 -угольными базовыми вершинами U, U ', V, V' и правосимметричными вершинами A, A'.
  $${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}U&=(1,0,1),&\quad V&=(0,2,-1),&\quad A&=(0,0,3),\\U'&=(-1,0,1),&\quad V'&=(0,-2,-1),&\quad A'&=(0,0,-3),\end{alignedat}}}$$
  имеет равные разносторонние верхние грани и равные разносторонние нижние грани, но не все его грани конгруэнтны. Действительно:
  • Длина верхнего апикального края:
    $${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {5}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}&={\overline {AV'}}=2{\sqrt {5}}\,;\end{aligned}}}$$
  • Длина базовой кромки:
    $${\displaystyle {\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}=3;}$$
  • Длина нижнего апикального края:
    $${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}={\sqrt {17}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}=2{\sqrt {2}}\,.\end{aligned}}}$$

Для некоторых конкретных значений z _A = | z _А' | Половины граней такого лестничного эдра могут быть равнобедренными или равносторонними .

Пример с тремя разными длинами кромок:

• Скаленоэдр с изотоксальным зигзагообразным скосом внутрь-наружу, 2 × 2 -угольными базовыми вершинами U, U ', V, V' и правосимметричными вершинами A, A'.
  $${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}U&=(3,0,2),&\quad V&=\left(0,{\sqrt {65}},-2\right),&\quad A&=(0,0,7),\\U'&=(-3,0,2),&\quad V'&=\left(0,-{\sqrt {65}},-2\right),&\quad A'&=(0,0,-7),\end{alignedat}}}$$
  имеет конгруэнтные неравносторонние верхние грани и конгруэнтные равносторонние нижние грани; таким образом, не все его грани конгруэнтны. Действительно:
  • Длина верхнего апикального края:
    $${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {AU}}&={\overline {AU'}}={\sqrt {34}}\,,\\[2pt]{\overline {AV}}&={\overline {AV'}}={\sqrt {146}}\,;\end{aligned}}}$$
  • Длина базовой кромки:
    $${\displaystyle {\overline {UV}}={\overline {VU'}}={\overline {U'V'}}={\overline {V'U}}=3{\sqrt {10}}\,;}$$
  • Длина нижнего апикального края:
    $${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {A'U}}&={\overline {A'U'}}=3{\sqrt {10}}\,,\\[2pt]{\overline {A'V}}&={\overline {A'V'}}=3{\sqrt {10}}\,.\end{aligned}}}$$

Звездные бипирамиды

Звездчатая бипирамида имеет в основании звездчатый многоугольник и является самопересекающейся. ^[18]

Правильная правосимметричная звездчатая бипирамида имеет равные грани равнобедренного треугольника и является изоэдральной .

P / q -бипирамида имеет диаграмму Кокстера . .

4-многогранники с бипирамидальными ячейками

Двойственным выпрямлением каждого выпуклого правильного 4-многогранника является клеточно -транзитивный 4-многогранник с бипирамидальными ячейками . В следующих:

• A — вершина бипирамиды;
• E – вершина экватора;
• EE – расстояние между соседними вершинами на экваторе (равное 1);
• AE – длина ребра от вершины до экватора;
• АА — расстояние между вершинами.

4-многогранник бипирамиды будет иметь вершины V _A в местах пересечения вершин бипирамид N _A. Он будет иметь вершины V _E там, где встречаются вершины типа E бипирамид N _E.

• ${\displaystyle N_{\overline {AE}}}$бипирамиды сходятся вдоль каждого ребра типа AE .
• ${\displaystyle N_{\overline {EE}}}$бипирамиды встречаются вдоль каждого ребра типа EE .
• ${\displaystyle C_{\overline {AE}}}$– косинус двугранного угла вдоль ребра AE .
• ${\displaystyle C_{\overline {EE}}}$— косинус двугранного угла вдоль ребра EE .

Поскольку ячейки должны соответствовать краю,

$${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\overline {EE}}\arccos C_{\overline {EE}}&\leq 2\pi ,\\[4pt]N_{\overline {AE}}\arccos C_{\overline {AE}}&\leq 2\pi .\end{aligned}}}$$

Другие размеры

Ромб — это двумерный аналог правосимметричной бипирамиды.

Обобщенная n -мерная «бипирамида» — это любой n - многогранник , построенный из ( n − 1) -основания многогранника , лежащего в гиперплоскости , причем каждая вершина основания соединена ребром с двумя вершинами . Если ( n − 1) -многогранник является правильным многогранником и вершины равноудалены от его центра вдоль линии, перпендикулярной базовой гиперплоскости, он будет иметь одинаковые пирамидальные грани .

Двумерный аналог правосимметричной бипирамиды образуется путем соединения двух конгруэнтных равнобедренных треугольников по основаниям в ромб . В более общем смысле, воздушный змей — это двумерный аналог (возможно, асимметричной) правой бипирамиды, а любой четырехугольник — это двумерный аналог общей бипирамиды.

Смотрите также

• Трапецоэдр

Примечания

1. Центр правильного многоугольника однозначен, но источники неправильных многоугольников расходятся во мнениях. В некоторых источниках допускается, чтобы правильная пирамида имела в качестве основания только правильный многоугольник. Другие определяют правильную пирамиду как имеющую вершины на линии, перпендикулярной основанию и проходящей через ее центр тяжести . Пойа (1954) ограничивает правосторонние пирамиды пирамидами с тангенциальным многоугольником в основании, с вершинами на линии, перпендикулярной основанию и проходящей через центральную часть .
2. Наименьшие геометрические двуугольные бипирамиды имеют восемь граней и топологически идентичны правильному октаэдру . В этом случае ( 2 n = 2×2 ):
   изотоксальная правая (симметричная) дидигональная бипирамида называется ромбической бипирамидой , ^{[11] [14]} хотя все ее грани представляют собой разносторонние треугольники, поскольку ее плоское многоугольное основание представляет собой ромб.
3. Дано численно из-за более сложной формы.
4. Выпрямленные 16 ячеек — это обычные 24 ячейки, и все вершины эквивалентны — октаэдры представляют собой правильные бипирамиды.

Цитаты

1. Аартс, Дж. М. (2008). Плоская и объемная геометрия. Спрингер. п. 303. дои : 10.1007/978-0-387-78241-6. ISBN 978-0-387-78241-6.
2. Поля, Г. (1954). Математика и правдоподобные рассуждения: индукция и аналогия в математике. Издательство Принстонского университета. п. 138.
3. Монтролл, Джон (2009). Конструирование многогранников оригами . АК Петерс. п. 6. ISBN 9781439871065.
4. Тригг, Чарльз В. (1978). «Бесконечный класс дельтаэдров». Журнал «Математика» . 51 (1): 55–57. дои : 10.1080/0025570X.1978.11976675. JSTOR  2689647. MR  1572246.
5. Уэхара, Рюхей (2020). Введение в вычислительное оригами: мир новой вычислительной геометрии. Спрингер. п. 62. дои : 10.1007/978-981-15-4470-5. ISBN 978-981-15-4470-5. S2CID  220150682.
6. Кромвель, Питер Р. (1997). Многогранники. Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-55432-9.
7. Флюссер, Ян; Сук, Томас; Зитофа, Барбара (2017). Анализ 2D и 3D изображений по моментам. Джон и сыновья Уайли. п. 126.
8. Сибли, Томас К. (2015). Мыслить геометрически: обзор геометрии. Математическая ассоциация Америки. п. 53.
9. Кинг, Роберт Б. (1994). «Многогранная динамика». В Бончеве Данаил Д.; Мекенян О.Г. (ред.). Теоретико-графовые подходы к химической реакционной способности . Спрингер. дои : 10.1007/978-94-011-1202-4. ISBN 978-94-011-1202-4.
10. Армстронг, Массачусетс (1988). Группа и симметрия. Спрингер. п. 39. дои : 10.1007/978-1-4757-4034-9. ISBN 978-1-4757-4034-9.
11. «Кристаллическая форма, зоны, кристаллическая привычка». Тулане.edu . Проверено 16 сентября 2017 г.
12. Спенсер 1911, 6. Шестиугольная система, ромбоэдрическое деление , класс дитригональных бипирамид, с. 581 (стр. 603 в Wikisource).
13. Спенсер 1911, 2. Теграгональная система, голосимметричный класс, рис. 46, с. 577 (стр. 599 в Wikisource).
14. «48 особых кристаллических форм». 18 сентября 2013 года. Архивировано из оригинала 18 сентября 2013 года . Проверено 18 ноября 2020 г. .
15. Кляйн, Корнелис; Филпоттс, Энтони Р. (2013). Земные материалы: введение в минералогию и петрологию. Издательство Кембриджского университета. п. 108.
16. Спенсер 1911, 6. Шестиугольная система, ромбоэдрическое деление , голосимметричный класс, рис. 68, с. 580 (стр. 602 в Wikisource).
17. Спенсер 1911, с. 2. Тетрагональная система, скаленоэдрический класс, рис. 51, с. 577 (стр. 599 в Wikisource).
18. Рэнкин, Джон Р. (1988). «Классы многогранников, определяемые струйной графикой». Компьютеры и графика . 12 (2): 239–254. дои : 10.1016/0097-8493(88)90036-2.

Цитируемые работы

• Энтони Пью (1976). Многогранники: визуальный подход . Калифорния: Издательство Калифорнийского университета в Беркли. ISBN 0-520-03056-7.Глава 4: Двойники архимедовых многогранников, призмы и антипризмы
• Спенсер, Леонард Джеймс (1911). «Кристаллография»  . В Чисхолме, Хью (ред.). Британская энциклопедия . Том. 07 (11-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 569–591.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Дипирамида». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Изоэдр». Математический мир .
• Однородные многогранники
• Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников
  • Модели VRML (Джордж Харт) <3> <4> <5> <6> <7> <8> <9> <10>
    • Обозначение Конвея для многогранников. Попробуйте: «dP n », где n = 3, 4, 5, 6, ... Пример: «dP4» — октаэдр.